单位阶跃函数在一阶动态电路分析中的新用法
电路
一．填空题8、在电路中，电源的突然接通或断开，电源瞬时值的突然跳变，某一元件的突然接入或被移去等，统称为换路。
9、换路定律指出：一阶电路发生的路时，状态变量不能发生跳变。
该定律用公式可表示为 iL(0+)= iL(0-) 和 uC(0+)= uC(0-) 。
10、由时间常数公式可知，RC一阶电路中，C一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越长；RL一阶电路中，L一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越短。
二、判断下列说法的正确与错误1、换路定律指出：电感两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。
（错）2、换路定律指出：电容两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。
（∨）3、单位阶跃函数除了在t=0处不连续，其余都是连续的。
（∨）4、一阶电路的全响应，等于其稳态分量和暂态分量之和。
（∨）5、一阶电路中所有的初始值，都要根据换路定律进行求解。
（错）1-1.所谓电路，是由电的器件相互连接而构成的电流的通路。
1、叠加定理只适用于（ C ）A、交流电路B、直流电路C、线性电路2、自动满足基尔霍夫第一定律的电路求解法是（ B ） A、支路电流法 B、回路电流法 C、结点电压法3、自动满足基尔霍夫第二定律的电路求解法是（ C ） A、支路电流法 B、回路电流法 C、结点电压法4、必须设立电路参考点后才能求解电路的方法是（ C ） A、支路电流法 B、回路电流法 C、结点电压法5、只适应于线性电路求解的方法是（ C ）A、弥尔曼定理B、戴维南定理C、叠加定理1-2.实现电能输送和变换的电路称为电工电路；实现信息的传输和处理的电路称为电子电路。
由金属导线和电气、电子部件组成的导电回路，称为电路。
2-1.通常，把单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流。
2-2.习惯上把正电荷运动方向规定为电流的方向。
2-3.单位正电荷从a点移动到b点能量的得失量定义为这两点间的电压。
2-4.电压和电流的参考方向一致，称为关联参考方向。
一阶电路阶跃函数和冲激函数
一阶电路阶跃函数和冲激函数一阶电路是指由一个电感L和一个电阻R组成的电路。
在电路原理中，研究一阶电路的动态特性是非常重要的。
在分析一阶电路之前，我们需要先了解阶跃函数和冲激函数这两个重要的信号。
阶跃函数（Step Function）是一个在其中一时刻突变的函数。
它可以用一个数学表达式来表示，如下所示：u(t)={0,t<0{1,t>=0其中，u(t)表示阶跃函数，t表示时间。
在t=0时刻，阶跃函数突变从0变为1，表示系统的输入突变。
冲激函数（Impulse Function）是在一段非常短的时间内具有非常大的幅度的函数。
冲激函数用数学表达式表示为：δ(t)={0,t≠0{∞,t=0其中，δ(t)表示冲激函数。
冲激函数的面积等于1，但在t=0时刻的幅度为无穷大。
在电路分析中，我们经常使用阶跃函数和冲激函数来描述电路的输入和输出。
在一阶电路中，当输入信号为阶跃函数时，称为阶跃响应；当输入信号为冲激函数时，称为冲激响应。
一阶电路的特性可以通过阶跃响应和冲激响应来描述。
阶跃响应可以用一个指数函数来表示，具体形式为：y(t)=A(1-e^(-t/τ))其中，y(t)表示输出信号，A表示输入信号的幅度，τ表示电路的时间常数。
时间常数τ反映了电路的响应速度，它等于电感L与电阻R的乘积：τ=L/R。
冲激响应可以用一个指数函数来表示，具体形式为：h(t)=(1/τ)e^(-t/τ)其中，h(t)表示冲激响应。
通过上述公式，我们可以得到一阶电路的输出响应。
阶跃响应描述了电路对阶跃函数输入的响应特性，冲激响应描述了电路对冲激函数输入的响应特性。
在实际电路中，一阶电路有许多应用。
比如，RC电路常常用于信号的滤波，RL电路常常用于电感的充电和放电。
通过研究一阶电路的阶跃响应和冲激响应，我们可以进一步了解电路的动态特性，为电路设计和分析提供基础。
总之，阶跃函数和冲激函数是电路分析中常用的信号函数。
一阶电路的阶跃响应和冲激响应通过指数函数来描述，这些响应函数反映了电路的动态特性。
阶跃函数在动态电路分析中的应用
The Application of Step Function in Dynamic Circuits
XIANG Xiu2cen , L I Ming2hui
( S chool of A p plie d S ciences , j i an g x i Uni versit y of S cience and technolog y , Ganz hou 34100 , Chi na)
= [ 1 2te2εt ( t) ]V
(13)
根据式 (1) 对阶跃函数的定义 ,如果将 t = 02 和
ε(02) = 0 代入式 (13) ,可知该例中 i(02) = 1A ;将 t =
0+ 和ε(0+ ) = 1 代入式 (13) ,可知 i (0+ ) = 1A 。电容电
压在 (02 ,0+ ) 时域内没有发生跃变 ,满足换路定则 。
[例 2] 电路如图 2 所示 , 电容的初始电压为 uC (02) = 0 。试求 t Ε 0 时的 uC ( t) 。
由题意知 , uC ( t) 是电路的零状态响应 ,可写为 :
uC ( t) = U S 1 2e2RtC t Ε 0
(5)
这时电容的初始电压为 uC (02) = 0 ,可将式 (5)
动作的特性相吻合 。
另外 ,根据文献[6 ] , 用阶跃函数的组合可表示
任意分段函数 。例如有一分段函数为 :
f ( t) =
f 1 ( t) f 2 ( t)
t Φ 02 t Ε 0+
用阶跃函数的组合可将其表示成 : f ( t) = f 1 ( t) [1 2ε( t) ] + f 2 ( t)ε( t) 由以上阶跃函数的定义及用法的分析 ,笔者认
一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
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电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
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在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
一阶系统的单位阶跃响应
图3－5所示系统。
其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3） 式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。
第7章一阶电路阶跃、冲激响应
( t )dt 1
或
( t )dt 1
O
t
二、冲激函数的性质
1. 单位阶跃函数(t)对时间的一阶导数等于冲激函数(t) 2. 单位冲激函数(t) 对时间的积分等于单位阶跃函数(t)
d (t ) (t ) (t ) dt (t t ) d (t t ) (t t ) 1 1 1 dt
t
t
3、阶跃函数另一个重要应用是可以简洁地表示某些信号。 矩形脉冲信号，可以看成是
f 1 (t) 2 0 -2 (d )
0 1 (e ) 2 3 t 4 f 2 (t)
f (t) = Aε(t) - Aε(t – t0)
f (t )
Ai ( t t i )
i 1
n
1
2
t
2
f 1(t) = 2ε(t) - 4ε(t – 1) + 2ε(t – 2) f 2(t) = 2ε(t) + 2ε(t – 1) – 2ε(t – 2) – 2ε(t – 3)
4Ω 6Ω 0 .2 F (a) i S (t)/A u C (t)
（3）根据线性时不变性质，得零状态响应 uC(t) = 2 s(t) - 2 s(t -2) = 12(1 – e-t/2) ε(t) – 12[1 – e-(t-2)/2] ε(t-2) V
2 0 2 (b ) t/s
7 – 8 一阶电路的冲激响应 一、冲激函数
一、阶跃函数
ε
(t )
def
(t)
1 0
,t 0 ,t 0
1 0 t
若单位直流电源接入的时刻为t0， 则可用延迟单位阶跃函数表示，其 波形如图(d)。
单位阶跃函数表达式
单位阶跃函数表达式单位阶跃函数的特性与应用单位阶跃函数是一种非常特殊的函数，它在数学、物理、控制等领域中有着广泛应用。
在本文中，我们将深入探讨单位阶跃函数的定义、特性和应用，以及一些实际问题中的应用案例。
一、单位阶跃函数的定义单位阶跃函数是指一种特殊的函数，记为u(t)，其定义如下： {1, t>0u(t) = {{0, t<0从上述定义中可以看出，当t=0时，u(t)的值为1/2。
这一点常常被人们所忽略，但在实际问题中有一定的重要性。
二、单位阶跃函数的特性1.导数和积分对于单位阶跃函数，它的导数是冲击函数，即：{∞, t=0u'(t) = {{0, t≠0它的积分是斜坡函数，即：{0, t<0∫u(t)dt = {t, t≥02.性质单位阶跃函数有许多有趣的性质，如下所示：（1）u(-t) = 1-u(t)（2）u(at) = {1, a>0 ; 0, a<0（3）u(t-a) = {1, t>a ; 0, t<a这些性质在解决实际问题时非常有用，可以大大简化我们的计算。
三、单位阶跃函数的应用单位阶跃函数在许多领域中都有广泛应用，如控制理论、信号处理、电路设计等。
下面就来看一些典型的应用案例。
1.电路设计在电路设计中，单位阶跃函数经常被用来描述开关电源的输出电压。
开关电源是一种常见的电源设计，在其中，需要通过控制开关管的导通时间来调节输出电压。
而单位阶跃函数则能够有效地描述这个过程。
2.储能器管理在储能器管理中，单位阶跃函数可以被用来描述储能器在电荷或放电过程中的特性。
此外，储能器的电压变化也可以通过单位阶跃函数来解决。
3.自动控制在自动控制中，单位阶跃函数也是非常常见的。
通过使用单位阶跃函数，我们可以对系统进行建模，并且可以轻松地研究系统的稳定性、灵敏度和响应等指标。
4.信号处理在信号处理中，单位阶跃函数也非常有用。
例如，在数字信号处理中，我们可以通过单位阶跃函数来滤除噪声，并且可以对信号进行采样和编码。
再谈单位阶跃函数在一阶电路分析中的用法
再谈单位阶跃函数在一阶电路分析中的用法莫磊(四川托普信息技术职业学院)对单位阶跃函数在一阶电路中的应用进行了分析。
指出在一阶电路中,单位阶跃响应和零状态响应的关系和正确分析方法;指出了4个文献在对单位阶跃函数的分析中所出现的错误。
阶跃函数阶跃响应一阶电路等效电路零状态一、问题的提出单位阶跃函数是一个非常重要的信号,正确应用单位阶跃函数有助于信号的表达和分析。
但是,如果对单位阶跃函数的理解不准确,不但无助于信号的分析,还有可能在分析问题过程中出错。
文献[1]、[2]、[3]、[4]就是由于对单位阶跃函数理解不准确,在同一问题上反复分析,但最后仍分析错误。
这一错误从产生到现在已有10年之久,前后数篇论文对此进行了分析,但还是没有人指出真正的问题所在并进行正确分析。
特别是文献[1]为全国高等院校试题库,影响较大,更需尽早指出其错误。
本文对这几个文献中的错误一一进行了分析,论述了阶跃信号的正确应用和分析方法。
二、文献[1]的错误在国家教委主持开发的全国普通高校电路试题库!中,有下面一道单项选择试题:三、文献[2]的错误四、文献[3]的错误307/201017五、文献[4]的错误六、结论一道错误的试题引出了一系列错误的论文。
究其根源,在于对单位阶跃函数理解不透彻,还有部分论文作者对等效电路也理解不透彻。
本文一一指出各个文献的错误,并指出了对单位阶跃函数正确的分析方法,希望能对单位阶跃函数的教学和学习有所帮助。
参考文献:[1]全国普通高校电路试题库研制组.全国普通高校电路试题库.北京:高等教育出版社,1999.[2]李琳.对单位阶跃函数在一阶动态电路分析中用法的讨论[J].电气电子教学学报,2001,23(4):110-111.[3]文先拴.也谈单位阶跃函数在一阶动态电路分析中的用法[J].电气电子教学学报,2002,24(4):110-112.[4]李明辉,向秀芹.单位阶跃函数在一阶动态电路分析中的新用法[J].桂林电子科技大学学报,2008,28(3):208-209.[5]李杰,葛善虎,丁宣浩.阶跃函数在信号分析中的应用[J].桂林电子工业学院学报,2005,25(5):61-65.[6]王应生,徐亚宁.信号与系统[M ].北京:电子工业出版社,2003.[7]吴大正,杨林耀.信号与线性系统分析[M ].北京:高等教育出版社,2003.[8]田淑华,张晓冬.电路基础[M ].北京:机械工业出版社,2007.(上接第136页)职业资格证书。
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厂 ） 厂 ￡ ＝厂） ≥＋ （ － ＝ （（ （ ｆ 、． ３ （ ＝ ｛ｆ ０ ） －
由式 （ ） ， 将 式 （ ） 为定义 域适 合整 个 时 间 ３知 要 ２写
范围 的表 达式 ｆ （） 在 ｔ ０ ｆ 应 ≤ 一时为零 。 这一 结论 将
推广到 一 阶 电路 暂态 分析 中 ， 因为 电路 在换 路前 处 于
式 （） １ 可写 为 如下 分 段 函数 ：
ｆ ０ ｔ≤ Ｏ
示； 外， 另 当激 励为 脉 冲信号 或 者任 意 常量 信号 时 ， 电
路 的暂 态过 程 分析 必须 分 时 间段 进 行 ， 计算 过 程很 复 杂 。 助单 位 阶跃 函数 可 以方便 地 在整 个 时 间区 间上 借 用 一 个 函数 表达 式 简 洁地 表 示 一 阶 电路 暂 态过 程 中 的激 励和 响 应 。但 是 ， 由于 对单 位 阶跃 函数 的用 法理 解 不 准 确 ， 得何 时 使 用 、 何 使用 单 位 阶跃 函数 成 使 如 为 分 析 动 态 电路 暂 态过 程 的难 点 ， 献 ［— ］ 此 出 文 ５６ 因
ｏ ｅ ｏ ｄ ｒ ｃｒ ｕ ｔ ．Ｗ ｉｈ ｔ ｅｈ ｌ ｆｕ ｉ ｓ ｅ ｕ ｃ ｉｎ， ｈ ｏ ｒ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｓ ｆｏ ｅ ｏ ｄ ｒｃｒ ｕ ｔ ａ ｅ ｄ － ｎ — ｒ ｅ ｉｃ ｉｓ ｔ ｈ ｅｐｏ ｎ ｔ ｔ ｐｆ ｎ ｔ ｏ ｔ ｅ ｓ ｕ ｃ ｎ ｈ ｅ ｐ ｎ ｅｏ ｎ － ｒ ｅ ｉｃ ｉｓｃ ｎ ｂ ｅ
Ｋｅ ｒ ｓ ｓ ｅ ｕ ｃ ｉ ｎ；ｏ ｅ ｏ ｄ ｒ ｃｒ ｕ ｔ ；ｔ ａ ｓｅ ｔａ ａｙ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｐ ｆ ｎ ｔ ｏ ｎ — ｒ ｅ ｉ ｉｓ ｒ ｎ ｉｎ ｎ ｌ ｓｓ ｃ
１ 问 题 的提 出
阶跃 函数 在分 析 一 阶 电路暂 态过 程 中具 有 重 要 的作 用 。 通过 研 究它 的特性 可 以用来 简 化 一些 复 杂信
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｓｏ ｅ ｏ ｈ ｉ ｇ ｌ ｒｆ ｎ ｔｏ ｓ ｓｒ ｃ ： ｎ ｆｔ ｅ ｓｎ ｕ ａ ｕ ｃ ｉｎ ，ａ： ｅ ｕ ｃ ｉｎ ｐ ａ ｓ ａ ｖ ｒ ｍｐ ｒ ａ ｔｒ ｌ ｎ ｔ ｅ ｔ ａ ｓｅ ｔａ ａ ｙ ｉ ｏ ｓ ｐ ｆ ｎ ｔ ｌ ｙ ｅ ｙ ｉ ｏ ｔ ｎ ｏ ｅ ｉ ｈ ｒ ｎ ｉｎ ｎ ｌ ｓｓ ｆ ｔ ｏ
文献标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：１ ７—０ Ｘ（０ ８ ０ —２ ７０ ６ ３８ ８ ２０ ） ３０ ０ —３
关 键词 ： 阶跃 函数 ； 阶电路 ； 一 暂态分析
中图分类号 ： ＴＮ９ ９ ８ １． ２
Ａ ｌ ｗ ｐｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｆ ｕｎｉ ｔ ｐ ｆ ｃ ｉ ｎ ｉ ｏ — ｒ ｒ ｃ ｒ ｕｉｓ ｌｅ ａ ｌｃ ｔｏ ｏ ｔ ｓ ｅ ｕｎ ｔｏ ｎ ｎｅ ｏ ｄｅ ｉ ｃ ｔ
ＬＩ ３ ｉ ｇ— ｉ，Ｘ Ｉ Ｎ Ｇ ｉ ｃ ｎ １ ｎ ｈｕ Ａ Ｘ ｕ－ ｅ
（ ｃ ｏ ｌｏ ｐ ｉ ｃｅ ｃ ｓ ｉｎ ｘｉ ｉｅ ｓｔ ｆＳ ｉ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｇａ ｚ ｏ ４ ０ ０，Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｆＡｐ ｌ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ ，Ｊａ ｇ ｉ ｅ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃｅ ｅａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｕｎ ｙ ｎ ｎ ｈ ｕ３ １ ０ ｈｎ ）
稳 定状 态 ， 即是 要 求
厂 （一 ２０ ）一 ｆ（ 一 ｏ ）一 ０ ．
现 了错 误 。 文结 合文 献 ［－］ 本 ５６ 所举 实例 ， 单 位 阶跃 对
函数 在一 阶动态 电路分 析 中 的用法 进 行 了讨论 。
因此 ， 于 直 流激 励 下 的一 阶动态 电路 的全 响应 对
ｓ ｒｂ ｄ ｂ ｉ ｌ ｕ ｃ ｉ ｎ，ｂ ｉｈ ｔ ｅ ａ ａ ｙ ｉ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｏ ｉｃ ｉ ｒ ｒ ａ ｌ ｉ ｌ ｉ ｄ ｃ ｉ ｅ ｙ ａ ｓｍｐ ｅ ｆ ｎ ｔ ｏ ｙ ｗｈ ｃ ｈ ｎ ｌ ｓｓ ｎ ｈ ｏ ｕ ａ ｉ ｆｃｒ ｕ ｔ ａ ｅ ｇ ｅ ｔｙ ｓｍｐ ｉ ｅ ． ｏ ｓ ｆ
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第２ ８卷 第 ３期 ２０ ０ ８年 ６月
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｕｒ ￣ ｏ ｉ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｅ ｔ ｏ ｉ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｎ ｆ Ｇｕ ｌ ｉ ｅ ｓｔ ｆ Ｅｌ ｃ ｒ ｎ ｃ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｉ
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Ｖ ｏｌ ２８， ＿ ＮＯ．３
Ｊｎ ２ ０ ｕ． ０８
单位阶跃 函数在 一阶动态电路分析 中的新 用法
李 明辉 ，向秀岑
（ 西理 工 大 学 应 用科 学 学院 ， 西 赣 州 ３ １０ ） 江 江 ４ ０ ０
摘
一
要： 阶跃函数在分析一阶 电路暂 态过程 中十分 重要 。通过借助单位阶跃 函数 ， 以方便 地在整个 时间区间上用 可 个函数表达式 简洁地表 示一阶电路 的激励和响应 ， 大地简化了电路分析和运 算中复杂计算过程 。 极
号 ［ ］ 在 电路发 生换 路后 ， 响应 一般 用 分段 函 数表 １。 。 其
厂（ 一 ｆ ｔｔ ０． ２ｆ ） （ ≥ ）
（） ２
显然 ， （） 式 １ 的定 义域 为 （ 。 ＋。 ） 而 式 （ ） 一。 ， 。 ， ２ 的 定义域 为 ｆ ． ≥０ 根据 文 献 ［ ］ 出的 阶跃 函数 的 定 义 ， ７给