一类具有迁移特性的生物危险源扩散动力学模型分析
一类具扩散SEI传染病模型及其自由边界问题
一类具扩散SEI传染病模型及其自由边界问题生物学的进步为数学生态学的发展提供了机遇,如今数学和生态学已不再是完全独立的学科,他们有着紧密的结合,目前这种趋势越来越明显,特别地,传染病动力学已成为目前应用数学研究的热点之一；这主要是因为随着现代科学技术的不断进步,数学对各个科学领域起着日益重要的贡献,尤其是在生态学这一自然科学领域中,值得一提的是生态学中的传染病动力学得到了长足的发展。
基于疾病的发生及其在种群内传播的规律,我们可以用数学的方法构建模型对传染病动力学中提出的众多问题给出合理的解释,反过来,再由传染病的流行规律去检验构建模型的合理性和结论的正确性。
目前传染病动力学引起了人们的广泛关注,不少学者已经做了大量的研究工作,并且构建了不同形式的数学模型,例如：SIR模型、SI模型、SIS模型、SEI 模型还有SEIR模型。
本文主要研究一类具扩散SEI模型的方程组解的定性性质及其自由边界问题,特别地,本文考虑SEI模型中E(潜伏者)和Ⅰ(染病者)均具有传染性。
首先介绍传染病动力学的相关概念,接着是模型的建立,提出一个传染病动力学的偏微分方程组,对有关的数学问题进行较为系统的研究。
本文由六个部分组成。
在引言中具体介绍与本文研究有关的背景、来源、相关工作以及得到的结论。
接着给出SEI的常微分模型,再考虑空间的扩散,引入齐次Neumann边界条件和初始条件,提出SEI的偏微分模型,即一类非线性反应扩散问题。
随后的第一章中,先考虑在固定区域上的SEI模型,我们将首先给出问题解的正性和一致有界性。
第二章给出SEI常微分模型方程组稳态解的渐近性态,结果表明：有效接触率很大或平均潜伏期较长时,染病平衡点是局部渐近稳定的；而当有效接触率很小或平均潜伏期较短时,无病平衡点是全局渐近稳定的。
在上一章的基础上,第三章着重讨论相应的偏微分方程组平衡解的局部稳定性和全局稳定性,我们的结果和常微分方程组所得到的结果是一致的。
几类具扩散项的种群模型动力学性质分析
几类具扩散项的种群模型动力学性质分析在生物数学中,研究种群模型的动力学性质已经成为了一个重要内容,而其中对具有扩散项的种群模型的研究受到了许多数学家和生物学家的关注。
由于能量在生物个体中的传递、转化的差异,对具有不同功能反应函数以及扩散项的捕食-被捕食系统的长时间动力学性质的研究,如平衡点的稳定性,由扩散引起的Turing不稳定性,以及Hopf分支等问题,具有很强的理论意义和实际意义。
本文研究了具有扩散项以及Holling III型和Beddington-DeAngelis型功能反应函数的种群模型的动力学性质。
1.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中,研究了食饵具有的避难项对该模型动力学性质的影响。
通过构造Lyapunov函数,建立了正平衡点的全局渐近稳定性定理。
以避难系数为分支参数,分析了Hopf分支的存在性,并通过中心流形和规范型理论分析了Hopf分支方向以及分支周期解的稳定性。
最后,总结了分析结果,对于避难系数如何影响系统的动力学性质给出了解释并进行了数值模拟。
2.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中,研究了当捕食者的死亡率对系统动力学性质的影响。
考虑捕食者内部压力对死亡率的影响,定义捕食者的死亡率是关于捕食者数量的一个递增函数。
通过特征根分析,给出了平衡点局部稳定的充分条件,并且讨论了由扩散引起的Turing不稳定性。
最后,分析了Hopf分支存在性,以及Hopf分支的性质。
3.研究了一类具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的修正LeslieGower种群模型。
Beddington-DeAngelis型功能反应函数考虑了捕食者内部作用对捕食效率的影响。
另外,该模型假设食饵数量较少时,捕食者会捕食其它的食物,体现在环境对捕食者的最大承受量等于食饵与其他食物的数量和。
本文从分支的角度定性的分析了该模型,给出了Turing分支存在条件,Hopf 分支存在条件及Hopf分支的性质。
大气污染物迁移与扩散模拟模型
大气污染物迁移与扩散模拟模型近年来，随着工业化的迅猛发展，大气污染问题成为世界各国共同面临的挑战。
大气污染物的迁移与扩散模拟模型的研究，对于理解和预测大气污染物的传播路径和浓度分布具有重要意义。
大气污染物的迁移与扩散过程受到多种因素的影响，包括气象条件、地形地貌和污染源的特征等。
为了将这些复杂情况模拟并预测大气污染物的迁移与扩散，研究者们开发了各种模拟模型。
在大气污染物迁移与扩散模拟模型中，气象条件起着重要的作用。
气象因素如风速、风向和大气稳定度可以直接影响污染物的传播路径和浓度分布。
通过使用气象数据，可以对大气污染物的迁移与扩散进行预测和模拟。
此外，地形和地貌也对大气污染物的传播具有重要影响。
地形中的山脉、山谷和河流等地貌特征会影响风的流动，从而改变污染物的传播路径和浓度分布。
通过对地形和地貌的建模，并与气象数据结合，可以更准确地模拟大气污染物的迁移与扩散过程。
污染源的特征也是影响大气污染物迁移与扩散的重要因素。
不同污染源的类型和排放强度将影响污染物在大气中的浓度分布。
对于不同类型的污染源，研究者们利用不同的排放模型进行模拟和预测。
通过与实际监测数据进行对比验证，可以提高模拟模型的准确性。
在大气污染物迁移与扩散模拟模型的研究中，数学模型和计算机模拟技术起着核心作用。
利用数学和物理方程来描述气象条件、地形地貌和污染源的特征，再结合计算机模拟技术进行模拟计算和预测。
这些模型可以提供各种研究大气污染问题的工具和方法。
近年来，随着计算机性能的提升和数据获取的便捷，大气污染物迁移与扩散模拟模型的研究也得到了迅猛发展。
研究者们不断改进和完善模型，提高其预测准确性和适用性。
同时，也将模型与实际监测数据相结合，对模拟结果进行验证和修正，以提高模拟模型的可靠性。
大气污染物迁移与扩散模拟模型的研究对于环境管理和政策制定具有重要意义。
通过预测和模拟大气污染物的传播路径和浓度分布，可以为各国政府提供科学依据，制定相关政策和措施来减少大气污染。
一类具有产毒浮游植物的交叉扩散浮游生物模型的图灵斑图
点是局部渐进稳定的,接着通过构造Lyapunov函 数,进一步证明了正平衡点是全局渐近稳定的。
同时,许多学者研究了具有交叉扩散的反应扩 散模型的动力学行为611］。而文献［12-14］的研究 表明,交叉扩散项的出现会对模型动力学行为产生 影响。本文在文献［叮的研究基础上,在模型（3）中 引入交叉扩散项,考虑如下模型：
(2)
式中：/=%%为浮游植物种群的毒素释放率％为 密度制约系数）文献在模型（2）中引入自扩散系 数，并在NeurnAin边界条件下考虑如下的扩散 模型：
( 5P
5T
d<oP +p i
l — 6, k〉0
一类有迁移的传染病模型的研究
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（ 警） 一 警）
一
Ｎ １＋ Ｐ２ ２一 Ｐ１ １ Ｎ Ｎ ，
Ｎ ２＋ Ｐ Ｎ — Ｐ ２ Ｎ ，
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第 ３ Ｏ卷第 ４ 期
２１ ０ ２年 ７月
佛 山科学 技术学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｏ ｈ ｎ Ｕｎｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ｏ ｒ ａ ｆＦ ｓ ａ ｉｅ ｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ） ｙ ｉ
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收 稿 日期 ： ０ １ １ — ８ ２ １ － ２ ２
资 助 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助项 目（０ ７ ０ ３ ； 育部 博 士 点 基 金 资 助项 目（０ ０４ ０ ２ ０ １ 国 １ ８ １５ ）教 ２ １４ １ １０ ０ ） 作者简介： 彭华 勤 （９ ４）男 ， １ ８一 ， 江西 抚州 人 ， 州 大学 硕 士 研究 生 。 广 ＊通 讯 作者 ： 白定 勇 （９ ２）男 ， 肃 通 渭 人 ， 州 大学 教 授 ， 士 。 １ ７一 ， 甘 广 博
， ≤ （ ｄ２一 ２ Ｐ ｚ Ｐ１１ ２ 一 一 ２ ＋ ） Ｉ。
第 ４期
作辅 助 系统 记 满
一类合作竞争反应扩散模型的动力学
一类合作竞争反应扩散模型的动力学一类合作竞争反应扩散模型的动力学摘要：合作与竞争是自然界和人类社会中普遍存在的现象，其相互作用对于生态系统的稳定性和经济发展至关重要。
基于此，本文提出了一类合作竞争反应扩散模型，探讨了其动力学行为和稳定性。
一、引言合作与竞争的关系是自然界和社会领域中一个重要的研究课题。
在生态学中，合作与竞争共同决定了一个物种在生态系统中的生存和繁衍。
在经济学中，企业之间的合作与竞争关系决定了市场的供需关系和经济的发展。
因此，研究合作与竞争的动态变化和稳定性具有重要的理论和实际意义。
二、模型假设本文考虑一个包括两个群体的生态系统，每个群体内有多个个体。
个体之间通过合作和竞争相互作用。
我们假设个体的增长率受到两个因素的影响：1）与同群体个体的合作程度，合作程度越高，增长率越快；2）与其他群体个体的竞争程度，竞争程度越高，增长率越慢。
三、模型建立我们用以下方程描述每个群体个体数量的动态变化：\[\frac{{dx}}{{dt}}=r_{1}x(1-\frac{{x}}{{K_{1}}}-\alpha_{1}y)\]\[\frac{{dy}}{{dt}}=r_{2}y(1-\frac{{y}}{{K_{2}}}-\alpha_{2}x)\]其中，x和y分别代表两个群体个体的数量，r1和r2是群体内个体增长率，K1和K2是群体容量，α1和α2分别为合作和竞争的影响系数。
四、动力学行为通过分析上述模型的平衡点和稳定性，可以得到以下结论：1）当α1=α2时，模型中的平衡点为(0,0)和(K1,K2)。
当r1+r2大于1时，平衡点(0,0)是不稳定的，平衡点(K1,K2)是稳定的；当r1+r2小于1时，平衡点(0,0)和(K1,K2)都是稳定的。
2）当α1≠α2时，模型中的平衡点为(0,0)、(K1,0)和(0,K2)。
根据不同的参数取值，这三个平衡点有不同的稳定性。
五、数值模拟为了验证模型的有效性，我们进行了数值模拟。
移动环境中一类三物种捕食模型的传播动力学
移动环境中一类三物种捕食模型的传播动力学移动环境中一类三物种捕食模型的传播动力学摘要：随着人类社会的迅速发展，移动环境中的生态系统越来越受到研究者的关注。
本文研究了一类由三个物种组成的捕食模型在移动环境中的传播动力学。
通过建立数学模型，分析了捕食者和被捕食者的数量和密度随时间的变化规律，以及移动速度和捕食率对模型行为的影响。
研究结果表明，在一定条件下，捕食模型中的三个物种可以形成稳定的生态平衡。
1. 引言移动环境中的生态系统具有复杂的动态变化，涉及到多个物种之间的相互作用。
在这样的环境中，捕食模型的传播动力学成为了研究的重点。
传统的捕食模型通常只考虑两个物种之间的相互作用，而忽略了第三个物种的影响。
因此，本文将研究一类由三个物种组成的捕食模型在移动环境中的传播动力学。
2. 模型建立与分析考虑一个移动环境中的三物种捕食模型，包括捕食者1、捕食者2和被捕食者。
假设捕食者1和捕食者2之间存在竞争关系，而捕食者1和被捕食者之间的关系为捕食-被捕食关系。
模型的基本假设如下：- 捕食者1和捕食者2之间的竞争关系遵循Lotka-Volterra模型。
- 捕食者1以被捕食者为食，并以一定的捕食率进行捕食。
- 捕食者2以被捕食者和捕食者1为食，并以一定的捕食率进行捕食。
根据以上假设，建立如下数学模型：捕食者1的数量变化率为：dN1/dt = r1N1 - a11N1 - a12N1N2捕食者2的数量变化率为：dN2/dt = r2N2 - a22N2 - a21N2N1被捕食者的数量变化率为：dN3/dt = r3N3 - a31N1N3 - a32N2N3其中，N1、N2和N3分别表示捕食者1、捕食者2和被捕食者的数量，t表示时间。
r1、r2和r3为每个物种的增长率，a11、a12、a21、a22、a31和a32为捕食率。
通过求解上述微分方程组，可以得到捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律。
3. 结果和讨论在进行数值模拟时，假设初始条件为N1(0) = 10，N2(0) = 20，N3(0) = 30。
一类三种群反应扩散模型的定性分析及最优控制
一类三种群反应扩散模型的定性分析及最优控制一类三种群反应扩散模型的定性分析及最优控制摘要：反应扩散模型的研究在生物学、生态学和数学领域具有重要意义。
本文将讨论一类三种群反应扩散模型的定性分析及其最优控制问题。
通过数学建模，我们得到该模型的方程组，并进行定性分析，得到了系统在不同参数条件下的不动点及稳定性。
同时，利用最优控制理论，我们研究了对该模型进行最优控制的方法，得到了最优控制方程，并通过数值模拟验证了最优控制的有效性。
关键词：反应扩散模型；三种群；定性分析；最优控制 1. 研究背景与意义反应扩散模型是研究物质传输、生物种群演化和生态系统稳定性等问题的重要数学工具。
在生物学、生态学和数学领域有着广泛的应用。
三种群反应扩散模型作为一种典型的反应扩散模型，具有独特的特性和重要的研究意义。
定性分析和最优控制是研究反应扩散模型的重要手段，对于揭示模型的动力学行为和应用建模有着重要的作用。
2. 模型建立考虑一个由A种群、B种群和C种群组成的三种群反应扩散模型。
假设种群A的增长率与种群B和C的反应有关，种群B的增长率与种群A和C的反应有关，而种群C的增长率与种群A 和B的反应有关。
同时，考虑扩散项的影响，即种群之间的迁移。
通过对该模型的建模，可以得到如下的方程组：∂A/∂t = D₁∇²A + r₁A - β₁AB - γ₁AC∂B/∂t = D₂∇²B + r₂B - β₂BA - γ₂BC∂C/∂t = D₃∇²C + r₃C - β₃CA - γ₃CB其中，A, B, C分别表示种群A、B、C的密度，D₁, D₂,D₃分别表示扩散系数，r₁, r₂, r₃表示种群的增长率，β₁, β₂, β₃表示种群之间的相互作用强度，γ₁, γ₂, γ₃表示种群之间迁移的强度。
3. 定性分析我们通过分析系统的不动点及其稳定性，来研究模型的动力学行为。
对于该模型，根据实际问题的不同，可以得到以下几种类型的动力学行为：a. 均一平衡态：当所有种群的密度都相等且在恒定值时，系统达到均一平衡态。
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A n a l y s i s o f b i o l o g yd a n g e r o u s s o u r c ed i f f u s i n gd y n a m i c s mo d e l i np o p u l a t i o nm i g r a t i o n
Q uL i n b o H a nR u i z h u
m i =1 m i =1 + + -
t =n T ( 1)
N ′ ( t )=( b -d ) N I S R j j -α j +∑ a i j i +∑ c i j i
2 无病周期解的存在性
当系统存在无病周期解时 , 必满足 I 1) 可以变为 j = 0则方程组 (
2 i = 1 2
S ′ S , R ′ R j =∑ a i j i j j =∑ c i j i
i =1 -
t ≠n T
+ -
( 2)
S ( t ) =( 1 -P ) S ( t ) , R ( t)=R ( t )+P S ( t) j j j j j
2
+
t =n T
又因为 S ,即 S , 所以方程组 ( 2) 只需考虑方程 : j +I j +R j =N j j +R j =N j R ′ R j =∑ c i j i
[ 4]
; 文献 [ 5] 建立了
具有预防脉冲接种的 S I Q R 传染病模型 , 给出了模型的基本再生数 , 并证明了无病周期解的存在性和全局 稳定性 ; 文献 [ 6 7] 均考虑了具有比例接种和脉冲接种的传染病模型 , 并对比了这两种接种的效果 . 在具有迁移的传染病模型方面 , H e t h c o t e 早在 1976年就建立了一种在两个斑块间迁移的传染病模 型 , 但后继研究却甚少 ; 文献 [ 9] 提出了有患病者迁入的传染病模型 ; 文献 [ 10] 将城市的总人口分为本城 市居民和外来移民两个群体 , 建立并分析了具有连续接种的 S I R 模型 ; 国内学者王稳地
[ 1]
.
在具有脉冲效应的传染病模型方面 , 文献 [ 2] 研究了具有脉冲出生的 S I 模型 , 给出了无病平衡点 、 地 方病平衡点 、 平凡平衡点和种群灭绝平衡点 , 并讨论了这些点的稳定性 ; 文献 [ 3 ] 通过构建和分析具有脉 冲接种的 S I R模型 , 给出了非线性和混沌情况下的无病平衡点及消除疾病的条件 , 并讨论了其稳定性 , 2000年又进一步考虑了在此模型下消除疾病的最大周期 , 给出了最大周期的确定方法
收稿日期 :20070905. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 70671021) 、 “ 十一五 ”国家 科技支撑 计划课题 “ 现代物流 综合管理 关键技术 与平 台 ”资助 项目 ( 2006B A H 02A 06) . 作者简介 : 屈林波 ( 1983— ) , 男 , 硕士生 ; 韩瑞珠 ( 联系人 ) , 女 , 博士 , 教授 , d a o d a o 777@ 163. c o m .
+ + + +
( 4) ( 5)
[R t ) c t ) c x p [( t -t ( c ] +c t)+R t ) ] 2( 21 -R 1( 12 ] e n) 21 +c 12 ) 12 [ R 1( 2( R 2 = c +c 12 21 再结合脉冲接种方程组 : + R t ) =P+( 1 -P ) R t) 1( 1( t =n T + R t ) =P+( 1 -P ) R t) 2( 2(
第 37 卷 增刊 ( Ⅱ) 2007 年 11 月
自然 科学版 东 南 大学 学 报 (
)
J O U R N A LO FS O U T H E A S TU N I V E R S I T Y( N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n )
V o l . 37 S u p ( Ⅱ) N o v .2007
一类具有迁移特性的生物危险源扩散动力学模型分析
屈林波 韩瑞珠
( 东南大学经济管理学院 , 南京 210096)
摘要 : 为了解决人口迁移带来的传染病防治问题 , 以人口相互迁移的两个城市为例 , 建立了传染 率为双线性的 S I R 模型 , 通过脉冲接种对疾病进行预防和控制 , 求出了该模型的无病周期解和疾 病消亡的阈值 , 并分别利用 F i o q u e t 定理和脉冲微分不等式证明了无病周期解的局部稳定性和全 局稳定性 , 最后借助 M a t l a b 仿真加以验证 . 研究结果表明 , 脉冲接种不仅可以极大地减少患病者 的人数 , 而且能够缩短疾病流行时间 . 关键词 : 生物危险源 ; 扩散动力学 ; 迁移 ; 稳定性 ; 脉冲接种 中图分类号 : F 244. 9 文献标识码 :A 文章编号 : 1001 0505( 2007) 增刊 ( Ⅱ) 038106i =1t ≠n T-
( 3)
R ( t)=R ( t )+P [ 1 -R ( t) ] j j j 令 t T , 得方程组 ( 3) 在区域 t ≤t n =n n≤ t n + 1 上的解为 R 1 =
+ +
+
-
t =n T
+ +
[R t ) c t ) c x p [( t -t ( c ] +c t)+R t ) ] 1( 12 -R 2( 21 ] e n) 21 +c 12 ) 21 [ R 1( 2( c 12 +c 21
[ 11] [ 8]
在前人研究的
382
东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 37 卷
基础上建立了种群在 N 个斑块间迁移的传染病模型 , 并以两个种群为例介绍了文中的部分研究成果 ; 文 献 [ 12] 研究了各仓室均有常数输入且接触率为种群密度制约的 S E I 流行病模型 ; 文献 [ 13 ] 研究了在两个 斑块中的具有 L o g i s t i c s 增长率的流行病模型 , 文中假设患病者不生育后代 , 并且只允许易感者迁移 . 目前 , 对传染病的研究尽管已经取得了相当多的成果 , 但是将脉冲接种和具有迁移特性进行综合考虑 的相关文献很少 . 对此 , 本文考虑了两个城市的人群在相互迁移的情况下 , 如何通过脉冲接种来预防和控 制疾病的传播的问题 .
1 模型的建立
本文将总人口分成 : 易感者 ( S ) 、 患病者 ( I ) 和恢复者 ( R ) 三个 群体 , 并且易感者和恢复者在两个城市间迁移 , 而患病者由于疾病 所导致的体力不支等原因迁移率很低 , 在此不考虑其迁移 , 同时本 文考虑了出生率 b 、 自然死亡率 d 以及因病死亡率 α , 具体描述如图 1 所示 . 图 1中 , N ( i ,j = 1, 2) 表示城市 j 的总人口 , P 表示接种率 , T 表示接种周期 , γ 表示恢复率 , a 表示单 j i j 位时间内易感者从城市 i 到城市 j 的迁移系数 , 相应地 c 表示恢复者的迁移系数 , 并假设 : ① 易感者和恢复 i j 者的迁移系数相等 , a ; ② 具有指数出生和死亡 , 并且出生率等于死亡率 b=d ; ③ 传染率为双线性发 i j =c i j 生率 ; ④ 有垂直传染 , 并且恢复者的后代具有免疫性 . 根据上述条件建立如下的传染病模型 :
( S c h o o l o f E c o n o m i c s a n dM a n a g e m e n t , S o u t h e a s t U n i v e r s i t y , N a n j i n g210096)
A b s t r a c t :T o s o l v e t h e p r o b l e mo f e p i d e m i c c o n t r o l i np o p u l a t i o nm i g r a t i o n , t w o c i t i e s w i t hi n t e r m i g r a t i o nw e r e t a k e nf o r s t u d ye x a m p l e .AS I R( s u s c e p t i b l e s i n f e c t i v e sr e c o v e r i e s )m o d e l o f b i l i n e a r i n c i d e n c e w a s e s t a b l i s h e d , a n dt h e e p i d e m i cw a s p r e v e n t e d a n dc o n t r o l l e db y m e a n s o f p u l s e v a c c i n a t i o n . T h e i n f e c t i o n f r e ep e r i o d i c s o l u t i o na n dt h et h r e s h o l dd e t e r m i n i n g a r e o b t a i n e d .T h e m o d e l s l o c a l s t a b i l i t y a n dg l o b a l s t a b i l i t y a r ep r o v e db yF i o q u e t t h e o r ya n di m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t y .F u r t h e r m o r e , a l l t h e t h e o r i e s a r ev e r i f i e db yM a t l a bs i m u l a t i o n .T h er e s u l t s s h o wt h a t p u l s ev a c c i n a t i o nc a n n o t o n l y g r e a t l y r e d u c et h e q u a n t i t yo f i n f e c t i o n , b u t a l s os h o r t e nt h e e p i d e m i c a l p e r i o d . K e yw o r d s : t h eb i o l o g y d a n g e r o u s s o u r c e ; d i f f u s i o nd y n a m i c s ;m i g r a t i o n ;s t a b i l i t y ;p u l s ev a c c i n a t i o n 目前 , 对传染病的研究方法主要有四种 : 描述性研究 、 分析性研究 、 实验性研究和理论性研究 , 传染病 动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法 . 1927 年 , K e r m a c k 与 M c K e n d r i c k 创立了 “仓室 ” 模型 , 这一思想一直到现在仍然被广泛的使用和不断地发展 , 1932 年又提出了区分疾病流行与否的 “阈值 理论 ”, 为传染病动力学的研究奠定了基础