2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 42 421 含解析
第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．1直线与圆的位置关系课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是() A．相交且直线过圆心B．相交但直线不过圆心C．相切D．相离解析：选D圆心C(1,1)到直线的距离d＝|3×1＋4×1＋12|32＋42＝195，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于()A.6B.6 2C．1 D．5解析：选A圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝2，圆心到直线的距离d＝|2＋2－5|2＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r2－d2＝22－12＝ 6.3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：选D圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|6＋4＋5|5＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．0或4 B．0或3C ．－2或6D ．－1或 3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝ .解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案：4±157．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为 ．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是 ．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4. ∴r ＝16＋4－162＝1.答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27， 则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r . ∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，① 且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2＝244. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关 解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1＜1＝r ，故选A.2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.3．若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 解析：选C 由题意得|2k －3＋2|k 2＋1<1，解得0<k <43.4．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：选A 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时， |AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx＋3的距离d ≤1.∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1.由二次函数的图象可得－34≤k ≤0.5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为 ．解析：圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 答案：25556．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则实数b 的取值范围是 ．解析：如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)即直线l 2，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切即直线l 1，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，直线l 2中b ＝1；直线l 1中b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．答案：[1，2)7．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为 ．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝ 5.切线长|OP |＝|OO ′|2－|O ′P |2＝2 5.∴|PQ |＝2·|OP |·|O ′P ||OO ′|＝2×25×55＝4.答案：48．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程； (2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值．解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b |2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2－1，b ＝－ 2.。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 43 431 432 含解析
第四章4．3空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系4．3．2空间两点间的距离公式课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x 轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2解析：选D∵|AB|＝(x－2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝(x－2)2＋8＝26，∴x＝6或－2.6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14.|AC|＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝6，|BC|＝(7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝6，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为．解析：由两点间距离公式可得|AB |＝ (1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355. 答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为 ．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4189．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.10.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)． ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内． 2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 与点C 的距离为( )A.132B.534C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.5．已知点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为 ．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101. 答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是 ．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．对于任意实数x，y，z则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2的最小值为．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－1)2＋x2＋y2＋z2＝|PM|＋|PO|.由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.答案： 68．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．解：(1)设P(x,0,0)．由题意，得|P0P|＝(x－4)2＋1＋4＝30，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．则|MN|＝(x0－6)2＋(1－x0－5)2＋(0－1)2＝2(x0－1)2＋51.所以当x0＝1时，|MN|min＝51.此时点M的坐标为(1,0,0)．。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评25 Word版含答案.doc
学业分层测评（二十五）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A ．(－1,3，－5)B ．(1,3,5)C ．(1，－3,5)D ．(－1，－3,5)【解析】 P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)． 【答案】 B2．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点O 的距离是( )A.306 B ．1 C.336 D.356【解析】 |PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 【答案】 B3．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0【解析】 由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A.【答案】 A4．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．3 3 B ．3 6 C ．2 3D ．2 6【解析】 |AB |＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB |min ＝54＝3 6. 【答案】 B5．如图4-3-3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )图4-3-3A.2aB.22a C ．aD.12a【解析】 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 【答案】 B 二、填空题6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________.【导学号：09960148】【解析】 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)， ∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0. 【答案】 07．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】S△AOC ＝S△BOC＝S△AOB＝12×2×2 ＝2，S△ABC＝34×|AB|2＝34×8＝23，故三棱锥的表面积S＝6＋2 3.【答案】6＋2 3三、解答题8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状．【解】|AB|＝(－4＋10)2＋(－1－1)2＋(－9＋6)2＝49，|BC|＝(－10＋2)2＋(1＋4)2＋(－6＋3)2＝98，|AC|＝(－4＋2)2＋(－1＋4)2＋(－9＋3)2＝49.因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图4-3-4所示的空间直角坐标系．图4-3-4(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．【解】(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．(2)|MD|＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN |＝(2－1)2＋(1－2)2＋(0－3)2＝11. (3)在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，y ∈[0,1]， 则|MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545. 因为y ∈[0,1]，所以当y ＝45时， |MP |取最小值545，即3305.[自我挑战]10．在平面直角坐标系Oxyz 中，M 与N 关于xOy 面对称，OM 与平面xOy 所成的角是60°，若|MN |＝4，则|OM |＝( )A ．4B ．1 C.433D ．2【解析】 由题意知MN ⊥平面xOy ，设垂足为H ， 则|MH |＝|NH |＝12|MN |＝2，又OM 与平面xOy 所成的角为60°， 则|OM |sin 60°＝|MH |. ∴|OM |＝232＝433.【答案】 C11．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点．如图4-3-5所示，建立空间直角坐标系．图4-3-5(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．【解】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，由|P A|＝|AB|得(1－2)2＋(2－0)2＋(m－0)2＝20.所以m2＝15.因为m∈[0,4]，所以m＝15，故平面ABB1A1内的点P(1,2，15)，使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝12|AB|，又F(1,2,0)，则(0－1)2＋(2－2)2＋(n－0)2＝12(0－2)2＋(4－0)2＋(0－0)2，整理得n2＋1＝ 5.所以n2＝4.因为n∈[0,4]，所以n＝2.故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．。
高中数学第四章圆与方程检测试题含解析新人教A版必修2
第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。
2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 4-1 4-1-1
[小组合作型]
(1)(2016·咸阳高一检测)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆
的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
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(2)(2016·南昌高一检测)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点
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【自主解答】 因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，圆心 C(0， －4)，半径 r＝2，
因此 x＋12＋y＋12表示点 A(－1，－1)与该圆上点的距离． 因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点 A(－1，－1)在圆外．如图所示．
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2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
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[再练一题] 2．求圆心在 x 轴上，且过点 A(5,2)和 B(3，－2)的圆的标准方程．
【解】 法一 设圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2，
高一数学人教a版必修二_习题_第四章_圆与方程_4_章末高效整合_word版有答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切D ．相交解析： 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫－12，0，而点⎝⎛⎭⎫－12，0在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．答案： D2．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心到y 轴的距离为1，则a ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．－2D ．±2解析： ∵圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，0，∴⎪⎪⎪⎪－a2＝1， ∴a ＝±2. 答案： D3．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( ) A.32 B.34C ．2 5 D.655解析： 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为29－5＝4，原点到直线的距离为|0＋0＋3|1＋4＝355，所以S ＝12×4×355＝655.答案： D4．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析： ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k ，又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0. 答案： D5．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析： 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故|a －2|2＝2，解得a ＝4，或a ＝0.答案： D6．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋2＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1－2＋2|2＝22，故满足条件的点有4个． 答案： D7．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点，则点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上皆有可能解析： 由题意，得1a 2＋b2＜1，即a 2＋b 2＞1，所以点P 在圆x 2＋y 2＝1外． 答案： B8．设点P (a ，b ，c )关于原点对称的点为P ′，则|PP ′|＝( ) A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2 C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c | 解析： P (a ，b ，c )关于原点对称的点为P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝[a －(－a )]2＋[b －(－b )]2＋[c －(－c )]2＝2a 2＋b 2＋c 2. 答案： B9．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．0解析： 由题意知直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，故AB 的中点⎝⎛⎭⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 答案： B10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]解析： 曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析： 由题意可知，直线x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2， 所以－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，a ＝－2. 答案： －212．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析： 令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 设圆C 的半径为r ， 则有r ＝|－1＋0＋3|2＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案： (x ＋1)2＋y 2＝213．(2015·陕西府谷三中月考)过点P (2,1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析： 当且仅当CP ⊥l 时，∠ACB 最小， 又CP 的斜率为1，所以直线l 的斜率为－1， 故l 的方程为x ＋y －3＝0. 答案： x ＋y －3＝014．(2015·江西广昌一中月考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于________．解析： 由题可得|a －2＋3|12＋(－1)2＝4－(3)2，得a ＝2－1或a ＝－2－1(舍)． 答案：2－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P (－1，－2)的圆的方程．解析： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A (1，－1)和点B (－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y ＝x ＋4上，半径为22的圆C 经过原点O .(1)求圆C 的方程；(2)求经过点(0,2)，且被圆C 所截得弦长为4的直线方程． 解析： (1)设圆心C (a ，a ＋4)，则圆的方程为： (x －a )2＋(y －a －4)2＝8，代入原点得a ＝－2， 故圆的方程为：(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0，经检验符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2， 圆心(－2,2)到直线y ＝kx ＋2的距离为 d ＝|－2k －2＋2|1＋k 2＝|2k |1＋k 2圆的半径r ＝2 2.∴22＋d 2＝r 2，即4＋4k 21＋k 2＝8，∴1＋k 2＝k 2，可知k 无解， 综上可知直线方程为x ＝0.17．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a ，过B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A ，E 两点之间的距离． 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中， |BB 1|＝a ，|B 1D 1|＝2a ，|BD 1|＝3a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3.所以在Rt △BEB 1中，|BE |＝33a . 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3， 所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，0， 则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a 3. 由两点间的距离公式，得|AE |＝⎝⎛⎭⎫a －2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＝63a ， 所以A ，E 两点之间的距离是63a . 18．(本小题满分14分)如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系， 则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 方程为x 2＋y 2＝252， 直线AB 方程：x 40＋y30＝1， 即3x ＋4y －120＝0， 设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24＜25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)．答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 章末综合测评4 Word版含答案
章末分层突破①(－)＋(－)＝②＋＋＋＋＝(＋－＞)③＞＋④＝＋⑤－＜＜＋(教师用书独具)一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆＋＋＋＋＝和＋＋＋＋＝的交点的圆系方程为＋＋＋＋＋λ(＋＋＋＋)＝(λ≠－)．求圆心在直线＋－＝上，且经过两圆＋－＋－＝与＋＝的交点的圆的方程.【精彩点拨】解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．【规范解答】法一：设所求圆为＋－＋－＋λ(＋－)＝，化为一般式，得＋－＋－＝.故圆心坐标为，代入直线＋－＝，得λ＝－.再把λ代入所设方程，得＋＋－－＝，故所求圆的方程为＋＋－－＝.法二：解方程组(\\(＋－＋－＝，＋＝，))得两圆的交点为(，－)和(，－)．设所求圆的方程为＋＋＋＋＝.∵，在圆上，且圆心在直线＋－＝上，∴错误!解得(\\(＝，＝－，＝－.))∴所求圆的方程是＋＋－－＝.．圆心在直线－＝上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．【解】设所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝(＞)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足－＝或＋＝.又圆心在直线－＝上，所以－＝.由(\\(－＝，－＝，))得(\\(＝，＝，))由(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝－，))所以圆心坐标为()或(，－)，相应的半径为＝或＝，故所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝或(－)＋(＋)＝..置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．已知圆：(－)＋(－)＝，直线过点()且与圆交于，两点，且＝，求直线的方程．【精彩点拨】分斜率存在与不存在两种情况：()⇒⇒⇒⇒()⇒。
高中数学 第四章 圆与方程单元检测试题 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
【红对勾】2016-2017学年高中数学 第四章 圆与方程单元检测试题新人教A 版必修2时间：90分钟 分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB|＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.答案：D2．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A(0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB|＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．答案：C3．点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．－2解析：因为空间一点到平面xOz 的距离等于|y|，所以点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为2.故选B.答案：B4．要使圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有( ) A ．D 2＋E 2－4F>0，且F<0B ．D<0，F>0C ．D≠0，F≠0D ．F<0解析：令y ＝0，则x 2＋Dx ＋F ＝0.设两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝F<0，且x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时D 2＋E 2－4F>0.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －2y －20＝0的斜率为－43的切线方程是( )A ．4x ＋3y －36＝0B ．4x ＋3y ＋14＝0C ．4x ＋3y －36＝0或4x ＋3y ＋14＝0D ．不能确定解析：由直线与圆的位置关系可知，一定有两条斜率都为－43的平行直线与圆相切．答案：C6．如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为2和14，腰长为10，则这个等腰梯形的外接圆E 的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝53 B ．x 2＋(y －2)2＝64 C ．x 2＋(y －1)2＝50 D ．x 2＋(y －1)2＝64解析：由题图易知，等腰梯形的高为102－62＝8，显然，外接圆的圆心E 一定在y 轴上，设圆心E 到下底边的距离为a ，则72＋a 2＝12＋(8－a)2，解得a ＝1.故外接圆E 的圆心为(0,1)，半径为72＋12＝52，故所求外接圆E 的方程为x 2＋(y －1)2＝50.答案：C7．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a 等于( )A ．±12B ．±22C.12或－22D ．－12或22解析：将(y ，x)代入曲线方程，得 y 2＋x 2＋a 2y ＋(1－a 2)x －4＝0. 于是1－a 2＝a 2，解得a ＝±22. 答案：B8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设圆C 2的圆心为(a ，b)．因为圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.又因为圆C 2的半径与圆C 1的半径长相等， 所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|＝23，则k 的值是( )A ．－34B ．0C ．0或－34D.34解析：圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN|＝24－3k ＋12k 2＋1＝23，解得k ＝0或k ＝－34.答案：C10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值X 围是( )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13) D．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d<r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m|5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．答案：C11．设点M(x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN＝45°，则x 0的取值X 围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22解析：点M(x 0,1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N(0,1)，如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan∠OMN＝|ON||MN|≥tan45°，得0<|MN|≤|ON|＝1，即0<|x 0|≤1.当M 位于点(0,1)时，显然在圆上存在点N 满足要求．综上可知，－1≤x 0≤1.答案：A12．已知线段AB 的端点B 的坐标为(m ，n)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，且线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．7C ．1D ．－7解析：设点M ，A 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，因为点M 是线段AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －m ，y 0＝2y －n ，又点A 在圆C 上，所以(2x －m ＋1)2＋(2y －n)2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －n 22＝1，即为中点M 的轨迹方程，又中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，比较得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝－32，－n 2＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3.所以m ＋n ＝7.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．点M(4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________. 解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39. 答案：3914．若P(2,1)是圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以k PO ＝12－1＝1.则直线AB 的斜率为k ＝－1，由点斜式方程得x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝015．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：将圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋(y －4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为直径，所以AC ＝10，最短弦为与AC 垂直的弦，所以BD ＝46，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD＝20 6.答案：20 616．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B(B 在A 的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：(1)过点C 作CM⊥AB 于M ，连接AC ，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝12|AB|＝1，所以圆的半径r ＝|AC|＝|CM|2＋|AM|2＝2，从而圆心C(1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B(0，2＋1)， 所以直线BC 的斜率为k ＝2＋1－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x－0)，即y ＝x ＋2＋1，令y ＝0得x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)已知一圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心C 在直线l ：x －2y －3＝0上，(1)求此圆的标准方程；(2)判断点M 1(0,1)，M 2(2，－5)与该圆的位置关系．解：(1)如图，因为点A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(0，－4)．又k AB ＝－5－－3－2－2＝12，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝－2x －4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，y ＝－2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径 r ＝|CA|＝2＋12＋－3＋22＝10.所以此圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(2)将点M 1(0,1)，M 2(2，－5)分别代入(x ＋1)2＋(y ＋2)2中，得值分别为10,18， 故点M 1(0,1)在圆上，点M 2(2，－5)在圆外．18．(10分)自点A(－3,3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线L 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1， 它关于x 轴对称的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 设光线L 所在直线方程是y －3＝k(x ＋3)．由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1. 整理得12k 2＋25k ＋12＝0， 解得k ＝－34或k ＝－43.故所求的直线方程是y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y＋3＝0.19．(10分)已知点P(2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0. 又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3， 由|3k ＋2－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．(2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，解得a<0. 则实数a 的取值X 围是(－∞，0)．设符合条件的实数a 存在．由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2. 而k AB ＝a ＝－1k PC ，所以a ＝12.由于12(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB.20．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A(4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k＝0，所以圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝4－2322＝1，由点到直线的距离公式得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝ －724.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 的坐标为(m ，n)，直线l 1，l 2的方程分别为y －n ＝k 1(x －m)，y －n ＝－1k 1(x －m)，即k 1x －y ＋n －k 1m ＝0，－1k 1x －y ＋n ＋1k 1m ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得：圆心C 1(－3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等，故|－3k 1－1＋n －k 1m|k 21＋1＝|－4k 1－5＋n ＋1k 1m|1k 21＋1，化简得(2－m －n)k 1＝m －n －3或(m －n ＋8)k 1＝m＋n －5，关于k 1的方程有无穷多解，有⎩⎪⎨⎪⎧2－m －n ＝0m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0m ＋n －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－32n ＝132，故点P 的坐标为(52，－12)或(－32，132)．。
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学业分层测评（二十三）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
【答案】 C
2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故
其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
【答案】 B
3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的
值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
【解析】 法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，
解得b＝2或12.
法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以
|3×1＋4×1－b|
32＋4
2
＝1，解得b＝2或12.
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【答案】 D
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为
( )
A．－1或3 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
【解析】 由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即
|a－2|
12＋－1
2
＝2，解得a＝0或4.
【答案】 D
5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则
m－n＝( )
A．10－27 B．5－7
C．10－33 D．5－322
【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距
离为0＋32＋－1－22＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－
1,0)为中点的弦，
即n＝225－322＝27.
∴m－n＝10－27.
【答案】 A
二、填空题
6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.
【导学号：09960140】
【解析】 圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝
22.
【答案】 22
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7．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离
为2的点有________个．
【解析】 圆的方程可化为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝2.
又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．
【答案】 3
三、解答题
8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置
关系？若相交，试求出弦长．
【解】 因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，
所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝
2＜r＝22，所以直线与圆相交．
弦长为2r2－d2＝28－2＝26.
9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)
的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．
【解】 (1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
- 4 -
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，
又∵|MN|＝219，r＝25，
∴|AQ|＝20－19＝1，
解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，
∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
[自我挑战]
10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范
围是( )
A．b＝2 B．－1＜b≤1或b＝－2
C．－1≤b≤1 D．以上都不正确
【解析】 如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，
当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．
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∵l1与半圆相切，∴b＝－2；
当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；
当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－2.
【答案】 B
11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，
求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的
弦长为27，求圆C的方程.
【导学号：09960141】
【解】 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，
∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10， ①
|2a＋b－5|
22＋1
＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10， ②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴b－1a－2＝12， ③
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由①②③解得 a＝－2，b＝－1.
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m
2
＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.