【金版教程】2019高考数学文二轮复习讲义 第一编 数学思想方法 第四讲转化与化归思想

第四讲 转化与化归思想思想方法解读考点特殊与一般的转化典例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4aD.4a[解析] 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为 x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .[答案] C(2)[2016·厦门模拟]如图，P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于点D ，E ，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积S 2，则S 1∶S 2＝( )A ．1B ．2 C.12D.13[解析] 由点P 为椭圆第一象限内的任意一点，则可设点P 为特殊点，易求得S 1＝S 2，故选A.[答案] A特殊与一般的转化步骤特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步，确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步，寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步，确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”，明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步，解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．第五步，回归目标问题．第六步，回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【针对训练1】 (1)[2016·成都模拟]在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列的前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176答案 B解析 解法一：由a 4＋a 8＝16，可令a 4＝a 8＝8，即数列{a n }为常数列，易得S 11＝88，故选B.解法二：a 4＋a 8＝16＝2a 6，得a 6＝8，又S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝88，故选B.(2)已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2015)＋f (－2014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)＝________.答案 2016解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x＝3x ＋33x ＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2015)＋f (2016)＝1，∴f (－2015)＋f (－2014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f(2016)＝2016.考点函数、方程与不等式之间的转化典例2 已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a >0.(1)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值1e ，试求函数f (x )的解析式及单调区间；(2)设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )，g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x 0∈(1，＋∞)，使g (x 0)＋g ′(x 0)＝0成立，求ba 的取值范围．[解] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f ′(x )＝ax 2＋bx －b x 2e x ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝1e ，即⎩⎪⎨⎪⎧(a －2b )e －1＝0，－a ＋b－1e－1＝1e ，解得a ＝2，b ＝1，所以函数f (x )＝2x ＋1xe x (x ≠0)．此时f ′(x )＝ax 2＋bx －b x 2e x ＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x， 令f ′(x )>0得x <－1或x >12，令f ′(x )<0得－1<x <0或0<x <12.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是(－1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，12.(2)因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ，所以g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b x 2＋ax －b x －a e x . 由g (x )＋g ′(x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x －2a e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bx 2＋ax －b x －a e x ＝0， 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x 0∈(1，＋∞)，使g (x 0)＋g ′(x 0)＝0成立，等价于存在x 0∈(1，＋∞)，使2ax 30－3ax 20－2bx 0＋b ＝0成立．设u (x )＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b (x >1)．则u ′(x )＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax (x －1)－2b >－2b ，当b ≤0时，u ′(x )>0，此时u (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此u (x )>u (1)＝－a －b .因为存在x 0∈(1，＋∞)，使2ax 30－3ax 20－2bx 0＋b ＝0成立，所以只要－a －b <0即可，此时－1<b a ≤0. 当b >0时，令u (x )＝b ，解得x 1＝3a ＋9a 2＋16ab 4a>3a ＋9a 24a ＝32>1，x 2＝3a －9a 2＋16ab4a(舍去)，x 3＝0(舍去)，得u (x 1)＝b >0， 又u (1)＝－a －b <0，于是u (x )在(1，x 1)上必有零点， 即存在x 0>1，使2ax 30－3ax 20－2bx 0＋b ＝0成立，此时b a >0.综上有ba 的取值范围为(－1，＋∞)．函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【针对训练2】 已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，则m 的最大值为________．答案 3解析 因为当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， 所以f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .所以原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立．令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)． 因为h ′(x )＝1x －1≤0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .所以要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.因为h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，且函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m 的值为3.考点正难则反的转化典例3 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 当x ∈(t,3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.[答案] －373<m <－5正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【针对训练3】 若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 答案 D解析 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x－3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k，－6k ＋12. 由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D.考点常量与变量的转化典例4 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．若对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．[解析] 由题意知，g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎨⎧φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎨⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 和a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．【针对训练4】 设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x 的取值范围．解 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*)(*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎨⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．考点以换元为主题的转化典例5 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．[解] y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增，∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)； 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，t ＝a2函数有最大值， y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)； 当a2<0，即a <0时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减， ∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32使得函数有最大值．换元法的主要应用换元法的特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式．高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等．换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用．解题过程中要注意换元后新变量的取值范围．【针对训练5】 求函数f (x )＝2－4a sin x －cos2x 的最大值和最小值．解 f (x )＝2－4a sin x －(1－2sin 2x )＝2sin 2x －4a sin x ＋1＝2(sin x －a )2＋1－2a 2.设sin x＝t，则－1≤t≤1，并且y＝g(t)＝2(t－a)2＋1－2a2. 当a<－1时，如图，有y最大＝g(1)＝3－4a，y最小＝g(－1)＝3＋4a；当－1≤a≤1时，有y最小＝g(a)＝1－2a2，y最大为g(－1)和g(1)中的较大者，即y最大＝3－4a(－1≤a≤0)，或y最大＝3＋4a(0<a≤1)；当a>1时，有y最大＝g(－1)＝3＋4a，y最小＝g(1)＝3－4a.。