高考立体几何知识点总结(详细)
高中立体几何所有的定理大总结(绝对全)
高中立体几何所有定理大总结(一)异面直线所成角1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1.定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线1a和1b，我们把1a和1b所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)(二)线面角1.定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。
设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。
1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到面的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
两条平行线的距离4.线到线的距离：异面直线的距离：公垂线段PQ ⊥1l ， PQ ⊥2l ，则线段PQ 的长。
高中数学立体几何知识点总结(详细)
高中数学立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形1.3 棱柱的面积和体积公式ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
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高考立体几何学问点总结一 ，空间几何体（一） 空间几何体地类型1 多面体： 由如干个平面多边形围成地几何体；围成多面体地各个多边形叫做多面体地面，相邻两个面地公共边叫做多面体地棱，棱与棱地公共点叫做多面体地顶点；2 旋转体： 把一个平面图形绕它所在地平面内地一条定直线旋转形成了封闭几何体；其中，这条直线称为旋转体地轴；（二） 几种空间几何体地结构特点 1 ，棱柱地结构特点1.1 棱柱地定义： 有两个面相互平行， 其余各面都为四边 形，并且每相邻两个四边形地公共边都相互平行，由这些 面所围成地几何体叫做棱柱；棱柱地分类图 1-1 棱柱底面为四边形 底面为平行四边形 侧棱垂直于底面棱柱四棱柱平行六面体直平行底面为矩形底面为正方形棱长都相等六面体 性质 ：长方体 正四棱柱 正方体Ⅰ，侧面都为平行四边形，且各侧棱相互平行且相等； Ⅱ，两底面为全等多边形且相互平行； Ⅲ，平行于底面地截面与底面全等；棱柱地面积与体积公式ch （c 为底周长， h 为高） S 直棱柱S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 = S 底 ·h V 棱柱 2 ，棱锥地结构特点 棱锥地定义（1） 棱锥：有一个面为多边形，其余各面为有一个公共顶点地三角形，由这 些面所围成地几何体叫做棱锥；（2）正棱锥：假如有一个棱锥地底面为正多边形，并且顶点在底面地投影为底面地中心，这样地棱锥叫做正棱锥；正棱锥地结构特点Ⅰ，平行于底面地截面为与底面相像地正多边形，相像比等于顶点到截面地距离与顶点究竟面地距离之比；它们面积地比等于截得地棱锥地高与原棱锥地高地平方比；截得地棱锥地体积与原棱锥地体积地比等于截得地棱锥地高与原棱锥地高地立方比；Ⅱ，正棱锥地各侧棱相等，各侧面为全等地等腰三角形；1ch' 2P （c 为底周长，h' 为斜高）正棱锥侧面积：S正棱椎1Sh （S 为底面积，3D C体积：V h 为高）棱椎O HA B正四周体：22对于棱长为 a 正四周体地问题可将它补成一个边长为 a 地正方体问题；22对棱间地距离为 a （正方体地边长）6a （32 l 3正四周体地高）正方体体对角线2 3a （V12 1V正四周体地体积为）4V正方体小三棱锥正方体31 61：1: 3 （l 正方体体对角线l 正方体体对角线正四周体地中心究竟面与顶点地距离之比为）23 ，棱台地结构特点棱台地定义：用一个平行于底面地平面去截棱锥，我们把截面与底面之间地部分称为棱台；正棱台地结构特点（1）各侧棱相等，各侧面都为全等地等腰梯形；（2）正棱台地两个底面与平行于底面地截面都为正多边形；（3）正棱台地对角面也为等腰梯形；（4）各侧棱地延长线交于一点；4 ，圆柱地结构特点圆柱地定义：以矩形地一边所在地直线为旋转轴，其余各边旋转而形成地曲面所围成地几何体叫圆柱；圆柱地性质（1）上，下底及平行于底面地截面都为等圆； （2）过轴地截面 (轴截面 )为全等地矩形；圆柱地侧面绽开图：圆柱地侧面绽开图为以底面周长与母线长为邻边地矩 形；圆柱地面积与体积公式S 圆柱侧面 = 2 π· r ·h (r 为底面半径， h 为圆柱地高 ) S 圆柱全 = 2 πr h + 2 πr 2圆柱 = S 底 h = π2h r V 5，圆锥地结构特点圆锥地定义：以直角三角形地始终角边所在地直 线为旋转轴， 其余各边旋转而形成地曲面所围成地几 何体叫做圆锥； 圆锥地结构特点（ 1） 平行于底面地截面都为圆，截面直径与底面 直径之比等于顶点到截面地距离与顶点究竟面地距 离之比；（2）轴截面为等腰三角形；（3）母线地平方等于底面半径与高地平方与：l = r+ h 图 1-5 圆锥2 2 2 圆锥地侧面绽开图：圆锥地侧面绽开图为以顶点为圆心，以母线长为半径地扇形；6，圆台地结构特点圆台地定义：用一个平行于底面地平面去截圆锥，我们把截面与底面之间 地部分称为圆台； 圆台地结构特点⑴ ⑵ ⑶ 圆台地上下底面与平行于底面地截面都为圆； 圆台地截面为等腰梯形； 圆台常常补成圆锥，然后利用相像三角形进行讨论；圆台地面积与体积公式S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r ，R 为上下底面半径 ) π·r 2+ π·R 2+ π·(R + r)·l S 圆台全 = 圆台 = 1/3 ( rπ2+ πR 2+ πr R) h V (h 为圆台地高 ) 7 球地结构特点球地定义：以半圆地直径所在地直线为旋 转轴，半圆旋转一周形成地旋转体叫做球体； 间中，与定点距离等于定长地点地集合叫做球空面，球面所围成地几何体称为球体； 7-2 球地结构特点⑴ 球心与截面圆心地连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面与球心地距离地平方差： ★7-3 球与其他多面体地组合体地问题 r2 = R2 –d 2球体与其他多面体组合，包括内接与外切两种类型，解决此类问题地基本思路为：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 依据题意，确定为内接仍为外切，画出立体图形；找出多面体与球体连接地地方， 找出对球地合适地切割面， 然后做出剖面图； 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形地问题； 留意圆与正方体地两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体地边长；7-4 球地面积与体积公式S 球面 = 4 π 2R (R 为球半径 ) 球 = 4/3 π3 RV （三）空间几何体地表面积与体积 空间几何体地表面积 棱柱，棱锥地表面积：各个面面积之与r 2圆柱地表面积 ： S 2 rl 2 2S rl r圆锥地表面积： 22S 4 rlrRl R圆台地表面积：2S R球地表面积： 2n R1 1lr = 2（其中 l 表示弧长， r 表示半径，扇形地面积公式 表示弧度）S r 扇形3602 2空间几何体地体积：V S h柱体地体积 1S 锥体地体积 ： Vh 底 31 （ 台体地体积 ： VS S S S ) h上 上 下 下 34 33VR球体地体积：（四）空间几何体地三视图与直观图正视图：光线从几何体地前面对后面正投影，得到地投影图；侧视图：光线从几何体地左边向右边正投影，得到地投影图；俯视图：光线从几何体地上面对右边正投影，得到地投影图；★画三视图地原就：正俯长相等，正侧高相同，俯侧宽一样注：球地三视图都为圆；长方体地三视图都为矩形直观图：斜二测画法斜二测画法地步骤：（1）平行于坐标轴地线依旧平行于坐标轴；（2）平行于y 轴地线长度变半，平行于（3）画法要写好x，z 轴地线长度不变；用斜二测画法画出长方体地步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图二，点，直线，平面之间地关系（一），立体几何网络图：⑹⑴⑵⑶⑷⑸公理线线平行线面平行面面平行4⑾⒀⑿⒁⑺三垂线定理⑼⑽⒂⒃线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理⑻1，线线平行地判定：（1），平行于同始终线地两直线平行；（3），假如一条直线与一个平面平行，经过这条直线地平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行；（6），假如两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们地交线平行；（12），垂直于同一平面地两直线平行；2，线线垂直地判定：（7），在平面内地一条直线，假如与这个平面地一条斜线地射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；（8），在平面内地一条直线，假如与这个平面地一条斜线垂直，那么它与这条斜线地射影垂直；（10），如始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内全部直线；补充：一条直线与两条平行直线中地一条垂直，也必垂直平行线中地另一条；3，线面平行地判定：（2），假如平面外地一条直线与平面内地一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；（5），两个面内地直线判定定理：平面平行，其中一个平必平行于另一个平面；性质定理：★判定或证明线面平行地方法⑴利用定义(反证法)：l I ，就l ∥α(用于判定)；⑵⑶⑷利用判定定理：线线平行利用平面地平行：面面平行线面平行(用于证明)；线面平行(用于证明)；(用于判定)；利用垂直于同一条直线地直线与平面平行2 线面斜交与线面角：l ∩α= A2.1 直线与平面所成地角(简称线面角)：如直线与平面斜交，就平面地斜线与该斜线在平面内射影地夹角线面角地范畴：θ∈[0 °，90°]θ；留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0；°图2-3 线面角当直线垂直于平面时，4，线面垂直地判定：θ=90°⑼假如始终线与平面内地两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面；⑾假如两条平行线中地一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；⒁始终线垂直于两个平行平面中地一个平面，它也垂直于另一个平面；⒃假如两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线地直线必垂直于另—个平面；判定定理：性质定理：（1）如直线垂直于平面，就它垂直于平面内任意一条直线；即：（2）垂直于同一平面地两直线平行；即：★判定或证明线面垂直地方法⑴⑵⑶⑷⑸利用定义，用反证法证明；利用判定定理证明；一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，就另一条直线也垂直与平面；一条直线垂直于两平行平面中地一个，就也垂直于另一个；假如两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，另一平面；就该直线垂直于★三垂线定理及其逆定理⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引地全部线段中，斜线相等就射影相等，斜线越长就射影越长，垂线段最短；如图：⑵三垂线定理及其逆定理已知PO⊥α，斜线PA 在平面α内地射影为OA，a 为平面α内地一条直线；①三垂线定理：如a⊥OA ，就a⊥PA；即垂直射影就垂直斜线；② 三垂线定理逆定理：如a⊥PA，就a⊥O A；即垂直斜线就垂直射影；⑶三垂线定理及其逆定理地主要应用图2-7 斜线定理图2-8 三垂线定理①②③证明异面直线垂直；作出与证明二面角地平面角；作点到线地垂线段；5，面面平行地判定：⑷一个平面内地两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行；⒀垂直于同一条直线地两个平面平行；6，面面垂直地判定：⒂一个平面经过另一个平面地垂线，这两个平面相互垂直；判定定理：性质定理：⑴如两面垂直，就这两个平面地二面角地平面角为90 °；（2）（3）图2-10 面面垂直性质 2 （4）图2-11 面面垂直性质3（二），其他定理：（1）确定平面地条件：①不公线地三点；②直线与直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线地位置关系：相交；平行；异面；直线与平面地位置关系：在平面内；平行；相交（垂直为它地特别情形）；平面与平面地位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：假如两个角地两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；假如两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成地锐角( 或直角) 相等；（4）射影定理（斜线长，射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引地垂线段与斜线段中，射影相等地两条斜线段相等；射影较长地斜线段也较长；反之，斜线段相等地射影相等；斜线段较长地射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短；（5）最小角定理：斜线与平面内全部直线所成地角中最小地为与它在平面内射影所成地角；（6）异面直线地判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点地直线，与平面内不过该点地直线为异面直线；（7）过已知点与一条直线垂直地直线都在过这点与这条直线垂直平面内；（ 8）假如—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面地交线；（三），唯独性定理：（ 1）过已知点，有且只能作始终线与已知平面垂直；（ 2）过已知平面外一点，有且只能作一平面与已知平面平行； （ 3）过两条异面直线中地一条能且只能作一平面与另一条平行；四，空间角地求法： （全部角地问题最终都要转化为解三角形地问题，特别为直 角三角形）（1）异面直线所成地角： 通过直线地平移， 把异面直线所成地角转化为平面内相 oo90 ；交直线所成地角；异面直线所成角地范畴：0 o； ②线面（2）线面所成地角： ①线面平行或直线在平面内：线面所成地角为 90 o ； 垂直：线面所成地角为 o0 o90 ；即也就为斜线与它在平面内地射影③斜线与平面所成地角：范畴 所成地角；o90o线面所成地角范畴 （ 3）二面角： 关键为找出二面角地平面角；方法有：①定义法；②三垂线定理 法；③垂面法；0o180 o；二面角地平面角地范畴： 五，距离地求法：（ 1）点点，点线，点面距离：点与点之间地距离就为两点之间线段地长，点与 线，面间地距离为点到线， 面垂足间线段地长； 求它们第一要找到表示距离地线 段，然后再运算；留意：求点到面地距离地方法：①直接法： 直接确定点到平面地垂线段长 （垂线段一般在二面角所在地平面上） ； ②转移法：转化为另一点到该平面地距离（利用线面平行地性质） ；③体积法：利用三棱锥体积公式；（ 2）线线距离：关于异面直线地距离，常用方法有：①定义法，关键为确定出a,b 地公垂线段；②转化为线面距离，即转化为 a 与过b 而平行于 a 地平面之间地距离，关键为找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；（3）线面，面面距离：线面间距离面面间距离与线线间，点线间距离常常相互转化；六，常用地结论：（1）如直线l 在平面内地射影为直线l ，直线m 为平面内经过l 地斜足地一条直线，l 与l 所成地角为1 ，l 与m 所成地角为, l 与m 所成地角为，就2这三个角之间地关系为cos cos ；cos 12（2）如何确定点在平面地射影位置：①Ⅰ，假如一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上地射影在这个角地平分线上；Ⅱ，经过一个角地顶角引这个角所在平面地斜线，假如斜线与这个角地两边夹角相等，那么斜线上地点在平面上地射影在这个角地平分线所在地直线上；Ⅲ，假如平面外一点到平面上两点地距离相等，就这一点在平面上地射影在以这两点为端点地线段地垂直平分线上；②垂线法：假如过平面外一点地斜线与平面内地一条直线垂直，那么这一点在这平面上地射影在过斜足且垂直于平面内直线地直线上线定理与逆定理) ；③垂面法：假如两平面相互垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上地射影在这两面地交线上( 面面垂直地性质定理) ；④整体法：确定点在平面地射影，可先确定过一点地斜线这一整体在平面内地射影；( 三垂（3）在四周体ABCD 中：①如AB CD , B C AD ，就AC BD ；且A在平面BCD上地射影为BCD 地垂心；②如③如AB AC AD ，就A 在平面BCD 上地射影为BCD 地外心；A 到BC , CD, BD 边地距离相等，就 A 在平面BCD 上地射影为BCD 地内心；（4）异面直线上两点间地距离公式：如异面直线所成地角为，它aEA’们公垂线段AA' 地长为 d ，在a, b 上分别取一点E, F ，设A' E m，AF n ；E’Ab 2d2m2n F 就EF 2mn cos（假如E' AF 为锐角，公式中取负号，假如E' AF 为钝，公式中取正号）11第 11 页，共 11 页。
立体几何知识点总结(全)
立体几何知识点总结(全)重合直线：完全重合，有无数个公共点。
三．点与平面的位置关系点与平面的位置关系有以下三种情况：点在平面上；点在平面外；点在平面内。
四．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有以下三种情况：直线与平面相交，相交点为一点；直线在平面内；直线与平面平行，没有交点。
五．平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有以下三种情况：平面相交，相交线为一条直线；平面平行，没有交点；平面重合，完全重合。
1)定义：两个平面相交于一条直线，且这条直线与两个平面的法线垂直，则这两个平面垂直；2)判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
符号：a,b简记为：线面垂直，则面面垂直.符号：aba b4．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则它们的交线垂直于这两个平面。
符号：a b。
a简记为：面面垂直，则线线垂直.符号：abb定义：当两个平面所成的二面角为直角时，这两个平面互相垂直。
判定定理：如果一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
可以简记为：线面面垂直，则面面垂直。
符号表示为l，推论是如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直。
平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
可以简记为面面垂直，则线面垂直。
证明线线平行的方法包括三角形中位线、平行四边形、线面平行的性质、平行线的传递性和面面平行的性质。
证明线线垂直的方法包括定义中的两条直线所成的角为90°，线面垂直的性质，利用勾股定理证明两相交直线垂直，以及利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直。
(完整版)立体几何初步知识点(很详细的)
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =++台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)
立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,mlα方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
高中数学立体几何重要知识点(经典)
立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =+台'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π1、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）2、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线3、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. ②向量法 |||||,cos |cos b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π）（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.9.2 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P ) ★4、直线与平面垂直的判定（1）直线与平面垂直的定义的逆用 a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜9.3 两个平面的位置关系1、空间两个平面的位置关系 相交和平行2、两个平面平行的判定（1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行（3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题）3、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ） （3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,//4、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）9.4 空间角1、异面直线所成角（9.1）2、斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则 |||||,cos |sin n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论 最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题9.5 空间距离1、求距离的一般方法和步骤（1）找出或作出有关的距离；（2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）2、求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：||n d =3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解4、异面直线的距离①② 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ③④ 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 ||n d =A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量）注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++= 重点例题：51P 和55P 例2。
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收集整理：宋氏资料2016-1-12016 高考立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2棱柱的分类图1-1 棱柱底面是四边形棱柱四棱柱底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形平行六面体直平行六面体长方体棱长都相等正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧（c 是底周长，h 是ch高）S 直棱柱表面= c·h+ 2S底V 棱柱= S 底·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到1底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1S正棱椎ch （c为底周长，h'为斜高）'2P体积：1V棱椎Sh（S为底面积，h 为高）3D CO H正四面体：A B2对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为 a的正方体问题。
22对棱间的距离为 a2（正方体的边长）6 正四面体的高 a3 （23l正方体体对角线）正四面体的体积为212a 3（1V正方体4V V ）小三棱锥正方体3正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3（16l1正方体体对角线：l 2正方体体对角线）3 、棱台的结构特征1.4棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
1.5正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征2.3圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
2.4圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
2.5圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
2.6圆柱的面积和体积公式S 圆柱侧面= 2π·r·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)S 2圆柱全= 2πr h + 2 πrV 圆柱= S 2h底h = πr25、圆锥的结构特征1.6圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
1.7圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l 2 = r2 + h21.8圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征2.7圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
2.8圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
2.9圆台的面积和体积公式S 圆台侧= π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径)S 2 + π·R2 + π·(R + r)·l圆台全= π·rV 2 + πR2 + πr R) h (h 为圆台的高)圆台= 1/3 ( rπ7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离2 = R2 –d2 的平方差：r★7-3 球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：⑴根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式3S2(R 为球半径)球面= 4 π RV球 = 4/3 π3 R （三）空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积 ： S 2 rl 2 r2S rl r 圆锥的表面积：22S rl rRlR 圆台的表面积：2S 4 R 球的表面积：扇形的面积公式2n R1 12S 扇形lr r （其中 l 表示弧长， r 表示半径， 表示弧度）= 36022空间几何体的体积 柱体的体积 ：V Sh底锥体的体积 ：1VS 底 h3台体的体积 ：1V （ S 上 上S 下S下S ) h3球体的体积：4 3VR3 （四）空间几何体的三视图和直观图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形 直观图： 斜二测画法 斜二测画法的步骤：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x ，z 轴的线长度不变； （3）画法要写好用斜二测画法画出长方体的步骤： （1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：4⑹⑴⑵⑷公理 4 线线平行线面平行面面平行⑶⑸三垂线定理⑾⒀⑿⒁⑺⑼⒂线线垂直线面垂直面面垂直⑽⒃三垂线逆定理⑻1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：l I ，则l∥α(用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；5⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l ∩α= A1.9直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜角θ。
交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹1.10线面角的范围：θ∈[0 °，90°]，θ=0；°注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时图2-3 线面角，θ=90°当直线垂直于平面时4、线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明。
⑵利用判定定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★1.5 三垂线定理及其逆定理⑴斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，。
斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短如图：⑵三垂线定理及其逆定理已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为O A，a 是平面图2-7 斜线定理α内的一条直线。
①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。
即垂直射影则垂直斜线。
6②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。
即垂直斜线则垂直射影。
⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用图2-8 三垂线定理①证明异面直线垂直；②作出和证明二面角的平面角；③作点到线的垂线段。
5、面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：性质定理：⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（3）图2-10 面面垂直性质 2（4）（二）、其他定理：图2-11 面面垂直性质 3（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；直线所成的锐如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组角( 或直角) 相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段7相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。