信号与系统 2.3 卷积积分
信号与系统教案第2章
bm f
( m)
(t ) bm1 f
( m1)
ai 、 bj为常数。
2.1 LTI连续系统的响应
经典时域分析方法 y(t ) yh (t ) yp (t ) 卷积法
y(t) = yzi (t) + yzs (t)
一、经典时域分析方法(微分方程经典解)
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
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2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2
冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
h t T 0 , t
def
h t
t
信号与系统 电子教案
第二章 连续系统的时域分析
《信号与系统》
授课教师：吕晓丽
第2-1页
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长春工程学院电子信息教研室
信号与系统 电子教案
第二节总结
总
结
1、LTI系统的判定方法 线性性质 时不变性质 2、 LTI系统的分类 因果系统 稳定系统 3、系统的描述 系统框图与系统方程
第2-2页
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长春工程学院电子信息教研室
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et ε(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y (t ) yh (t ) yp (t ) C1e
信号与系统_2_微分方程求解
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©三峡大学 电气信息学院 电子工程系
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说明
•对于一个具体的电网络，系统的 0状 态就是系统中
储能元件的储能情况;
将初始条件代入，得
y(0) = (C1+P0) + C2=1， y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 , C2= –1 最后得微分方程的全解 为
y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t, t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因 而也不能区分自由响应和强迫响应。
微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根 确定。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P41表2-1、 2-2
第2-4页
2.2 冲激响应和阶跃响应 一、卷积代数
一、冲激响应
二、奇异函数的卷积特性
二、阶跃响应
三、卷积的微积分性质
四、卷积的时移特性
第2-3页
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2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
总复习(信号与线性系统必过知识点)(课堂)-2022年学习资料
1.了连续时门素统的橇念-线性附不变系统-1齐次性et→rt-aet→art-2叠加性-e t+e2t-> t+rt-3线性-e,t→r,t-ae t+be2 t->ar t+br t-0-4时不变性et→rt-e -to→rt-to-drt-5微分性-de→-dt-6积分性-∫exlr→∫rxdx-●-7因果性tຫໍສະໝຸດ 0: t=0→t<0:rt=0
例1：一连续时间系统输入-输出关系为-r=Te以=eehr-0-试确定该系统是否为线性时不变系统。-解：⊙ 、积分系统是线性系统-.所以该系统是线性系统-o7e-=je-dr,令x=r--则贴：7-》cwa=edr ●-而u-=aodr=7-}-所以该系统是线性时不变系统。
例2：已知某线性时不变系统：-当激励et=,初始状态x10=1,X20-=2时，-响应rt=6e-2t-5 -3tt;-当激励et=3,初始状态保持不变时，响应-r2t=8e-2t-7e-3t。-求：（1激励e=0 初始状态x10=1,X20=2时的响应-r3t=?-2激励e①=2（①），初始状态为零时的响应r4=?-●
2.4本零状态响定的一般步骤-a求传输算子Hp;-b求单位冲激响应h;-c计算卷积；-0-●
3、连续时间系统的频域分析-完备正交函数集的概念-周期信号的傅立叶级数展开-非周期信号的傅立叶变换-傅立叶 换的性质-0-●
3.1常用完备正交岛数集-0-1三角正交函数集-cos nt,sinnt-n=0,1,2,Λ，00-to, o+T-2指数函数集-eine-n=0,±1，±2，Λ，±o0-●
内容回顾-2、系统分析-系统的描述：线性常系数微分方程-oooooOoooOO-连续系统-时域：-yt=e *ht-系统响应-的求解-频域：-Yjo=EjoHjo-复频域：-Y s=EsHs-系统的描述：线性常系数 分方程-离散系统-yk=ek*hk-不作要求-复频域：Y,（z=EzHz
信号与系统第二章
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
信号与系统笔记
信号与系统第一章1。
1 连续时间与离散时间信号确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数连续时间信号在［t1，t2］区间的能量定义为：连续时间信号在［t1,t2］区间的平均功率定义为：离散时间信号在［n1,n2］区间的能量定义为离散时间信号在[n1，n2]区间的平均功率为在无限区间上也可以定义信号的总能量：连续时间情况下:离散时间情况下:在无限区间内的平均功率可定义为： 21lim 2()TTT P dtTx t ∞-→∞=⎰能量信号——信号具有有限的总能量，即：功率信号—-信号有无限的总能量,但平均功率有限。
即：信号的总能量和平均功率都是无限的。
即:如果信号是周期信号，则或这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征或或如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。
1.2 自变量的变换1.时移变换当时，信号向右平移时，信号向左平移当时，信号向右平移 时，信号向左平移,0E P ∞∞<∞=,E P ∞∞=∞=∞2。
反转变换信号以t=0为轴呈镜像对称。
与连续时间的情况相同。
3. 尺度变换时，是将在时间上压缩a倍,时,是将在时间上扩展1/a倍。
由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。
周期信号与非周期信号：周期信号：满足此关系的正实数（正整数)中最小的一个，称为信号的基波周期（）。
可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。
可以视为周期信号,其基波周期。
奇信号与偶信号：对实信号而言：如果有和则称该信号是偶信号。
（镜像偶对称）如果有和则称该信号为奇信号。
(镜像奇对称）对复信号而言：如果有和则称该信号为共轭偶信号.如果有和则称为共轭奇信号。
任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。
对实信号有：其中其中对复信号有：其中：其中：1。
3 复指数信号与正弦信号一. 连续时间复指数信号与正弦信号其中C, a 为复数1. 实指数信号：C,a 为实数呈单调指数上升呈单调指数下降。
信号与系统卷积和及几类常见题目
⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。
{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。
信号与系统
x(n) ∗ h1 (n) ∗ h2 (n) = x(n) ∗ h2 (n) ∗ h1 (n) x(t ) ∗ h1 (t ) ∗ h2 (t ) = x(t ) ∗ h2 (t ) ∗ h1 (t )
x[ n ] h1[ n ] x (t ) h1 (t ) y[ n ] h2 [ n ] y (t ) h2 (t )
x(t )
x(t )
例如：延时器是可逆的LTI系统，h(t ) = δ (t − t0 ) ，其逆系 例如：延时器是可逆的 系统， 系统 显然有： 统是 g (t ) = δ (t + t0 ) ，显然有：
1
2.分配律 2.分配律(the distributive property) 分配律
x[n] ∗ [h1[n] + h2 [n]] = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2 [n] x(t ) ∗ [h1 (t ) + h2 (t )] = x(t ) ∗ h1 (t ) + x(t ) ∗ h2 (t )
∞
t −ι
t
6
微分性质： ② 微分性质：若y(t)=x(t)*h(t)，则 ，
y′(t ) = x(t ) * h′(t ) = x′(t ) * h(t )
两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积。 两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积。
d Proof: y ′(t ) = dt
h2 (t )
y(t ) = [ x(t ) ∗ h1 (t )] ∗ h2 (t )
y[n] = ( x[n] ∗ h1[n]) ∗ h2[n]
⇒
结论： 结论： 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲 响应等于各 系统级联时， 脉冲)响应等于各 ①两个 系统级联时 系统总的单位冲激 脉冲 子系统单位冲激(脉冲 响应的卷积。 脉冲)响应的卷积 子系统单位冲激 脉冲 响应的卷积。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
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2 .任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 由时不变性：
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
δ(t)
δ(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
由叠加性：
f ( ) (t ) d
‖ f (t)
例：
f1(-τ) 图解法一般比较繁琐，确 定积分的上下限是关键。 但若只求某一时刻卷积值 时还是比较方便的。 例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ 解： f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d
f 1( τt ) 2
•任意信号分解
将信号f(t)分解为许多宽度为△的窄脉冲，如图所示： “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△， 用p(t)表示为：f(0) △ p(t) “1”号脉冲高度f(△) ,宽度为 △，用p(t - △)表示为： f(△) △ p(t - △)
f ()
f(t)
f ()
fˆ (t )
f(0)
f ( )h(t ) d
y zs (t )
f ( )h(t ) d
‖ yzs(t)
卷积积分
即LTI系统的零状态响应yzs(t)是激励f(t)与冲激响应 h(t)的卷积积分。
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t) 和f2(t)，则定义积分
…
…
-1
2
0 1
0
2
2
3 2
t
“-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为： f ( - △) △ p(t + △)
ˆ f (t )
n
f (n)p(t n)
•任意信号分解
ˆ f (t )
n
f(t)
f (n)p(t n)
y (t ) f 1 (t ) * f 2 (t ) 0
t3
t2 t 1 + + 4 2 4 t y (t ) 2 t + t + 2 4 2 0 1 t 1 1 t 2 2t4 其它 t
t
求某一时刻卷积值
f1(-τ) 图解法一般比较繁琐，确 定积分的上下限是关键。 但若只求某一时刻卷积值 时还是比较方便的。 例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ 解： f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d
例、图解法求卷积。
1 f1 (t ) 0
f 1 (t ) 1 1 0 1
t 1 t 1
,
t f 2 (t ) , 2
f1 ( ) 1
(0 t 3)
t
t Leabharlann 1 01ff22((t ) )
3 2
0 3
f 2 ( ) 3 2
t
3
0
当t<-1
f 2 (t )
§2.3 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 • 卷积的图解法
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解
• 预备知识 p(t)
1
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
f1(t)
A
2
2
2
0 (a)
t
0 (b)
2
t
通过式子可以说明，对于任意一个矩形脉冲，只要宽度为 △，都可以用p(t)表示。
f (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
t
1
t2
t
1
t3
t
f 2 (t )
当1<t<2
y (t )
1
1
. .(t )d t 2
1
t3
t
当2<t<4
f 2 (t )
y (t ) t2 4
1
t 3
1 . .( t ) d 2 +2
1
+
t 2
t3
t
f 2 (t )
当t>4
^
f ()
f ()
ˆ (t ) f
…
f(0)
f (t ) lim f (t )
△->0
…
-1
2
0 1
0
2
2
3 2
在△->0的极限情况下，将 △写作d ，n△写作 ,得：
t
lim
0
ˆ f (t ) f (t )
f ( ) (t ) d
f1(2-τ)
2 f 2( τt )
τ t
-2
1 -1 -1 1 3
τ t
（1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
f 1 (2-τ ) f 2(τ ) 2 2 -2 τ
f 1 ( ) f 2 (t ) 0
y (t ) f 1 (t ) * f 2 (t ) 0
t3
t
当-1<t<1
f 2 (t )
y (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
1
t
11. 2 .(t )d 4 + 2 + 4
4 .卷积积分的计算方法
1、直接公式计算 2、图解法
直接计算法 例：
二、卷积的图解法
f1 (t ) * f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
f 1( τt ) 2
f1(2-τ)
2 f 2( τt )
τ t
-2
1 -1 -1 1 3
τ t
（1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
f 1 (2-τ ) f 2(τ ) 2 2 -2 τ