信号与系统卷积介绍
信号与系统中卷积的作用
信号与系统中卷积的作用大家好，今天咱们聊聊“卷积”，这个在信号与系统中很重要的概念。
别被它复杂的名字吓到了，卷积其实可以用简单的例子来解释清楚。
1. 卷积是什么1.1 卷积的简单定义首先，卷积就是一种数学运算，能够帮助我们理解一个信号在经过系统后会变成什么样。
想象一下，你有一个信号（比如一段音乐），还有一个系统（比如一个音响），卷积就是用来描述这个音响如何把音乐的每个细节都加进去的过程。
1.2 举个例子你可以把卷积想象成做菜时的调料加法。
比如，你做了一道红烧肉，肉本身的味道还不够丰富，你需要加盐、糖、生抽等调料。
每一种调料的量和种类都会影响最终的味道。
这就像卷积一样，把各种不同的“调料”混合到原始信号里，得到最终的效果。
2. 卷积在信号处理中的作用2.1 信号的滤波卷积的一个主要作用就是滤波。
说白了，就是清理信号的“杂质”。
比如你听到一首音乐，但背景有很多噪音，这时你需要一个滤波器来去掉这些噪音，让音乐变得更加清晰。
卷积在这里就像是一个聪明的清洁工，把噪音“擦干净”，留下干净的音乐。
2.2 特征提取另一个重要的作用是提取信号的特征。
想象你在看一张图片，卷积操作就像是用不同的滤镜来突出图片中的某些细节。
比如你可以用卷积滤镜来找到图片中的边缘，或者突出某些颜色的区域。
这对图像处理和计算机视觉特别重要，可以帮助我们更好地分析和理解图像。
3. 卷积的实际应用3.1 音频处理在音频处理领域，卷积有着不可替代的作用。
例如，在录音的时候，我们会用卷积来模拟不同的环境效果。
比如，你在一个大教堂里录音，卷积可以帮助你模拟教堂的回声效果，让录音听起来更有现场感。
这种效果在音乐制作和电影配乐中都很常见。
3.2 图像处理在图像处理中，卷积用于锐化、模糊等各种效果。
比如，你用照片编辑软件想让一张模糊的图片变得清晰，那就是用到了卷积技术。
你可以用它来调整图片的清晰度、对比度，甚至可以做一些酷炫的特效，让你的图片看起来更棒。
信号与系统实验_卷积实验
学号： 姓名：实验四 信号卷积实验一、实验目的1、理解卷积的概念及物理意义；2、 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、预备知识1、学习卷积的基本特性三、实验原理卷积积分的物理意义是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解系统对任意激励信号的零状态响应。
设系统的激励信号为)t (x ，冲激响应为)t (h ，则系统的零状态响应为)t (h *)t (x )t (y =()()x h t d τττ∞-∞=-⎰。
对于任意两个信号)t (f 1和)t (f 2，两者做卷积运算定义为12()()()f t f f t d τττ∞-∞=-⎰=)t (f 1*)t (f 2=)t (f 2*)t (f 1。
0≤<∞-t210≤≤t 12≤≤t 41≤≤t ∞<≤t2124τ（b)(a)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)2卷积结果四、实验内容1、两信号)t(x与)t(h都为矩形脉冲信号，由图解的方法给出两个信号的卷积过程和结果，以便与实验结果进行比较。
2、用matlab软件实现门信号的自卷积，并给出结果分析；方波与三角波的卷积：3、有能力的同学可以自编辑信号实现三角波的自卷积，并给出结果分析门信号自卷积：width=3; %定义门信号高度t=0:0.001:2;f1=rectpuls(t,width);%门信号f2=rectpuls(t,width);%门信号f=(conv(f1,f2))/1000;%门信号自卷积n1=(1:length(f1))/1000;n2=(1:length(f2))/1000;%%画图subplot(3,1,1);plot(n1,f1);axis([0,4.5,0,2]);title('输入方波');subplot(3,1,2);plot(n2,f2);axis([0,4.5,0,2]);title('输入方波');n=(1:length(f))/1000;subplot(3,1,3);plot(n,f);title('卷积结果');分析：①反褶;②当t<0时，被积函数为0，则f=0;③当0<t<1时，卷积的积分上限为t，积分下限为0，被积函数为1，则得f=t；④当1<t<2时，卷积的积分上限为1，积分下限为t，被积函数为1，则得f=1-t；⑤当2<t时，被积函数为0，则f=0；门信号与三角波卷积：clc,clear;width=1;t=0:0.001:2;f1=rectpuls(t,width);%门信号f2=sawtooth(10*pi*t,width)+1;%三角信号f=(conv(f1,f2))/1000;%卷积n1=(1:length(f1))/1000;n2=(1:length(f2))/1000;subplot(3,1,1);plot(n1,f1);axis([0,2,0,2]);title('输入方波');subplot(3,1,2);plot(n2,f2);axis([0,2,0,2]);title('输入三角波');n=(1:length(f))/1000;subplot(3,1,3);plot(n,f);axis([0,2,0,2]);title('卷积结果');三角波自卷积：clc,clear;width=1;t=0:0.001:2;f1=sawtooth(10*pi*t,width)+1;%产生三角信号1 f2=sawtooth(10*pi*t,width)+1;%产生三角信号2 f=(conv(f1,f2))/1000;%三角信号自卷积n1=(1:length(f1))/1000;n2=(1:length(f2))/1000;subplot(3,1,1);plot(n1,f1);axis([0,2,0,2]);title('输入三角波1');subplot(3,1,2);plot(n2,f2);axis([0,2,0,2]);title('输入三角波2');n=(1:length(f))/1000;subplot(3,1,3);plot(n,f);axis([0,2,0,2]);title('卷积结果');。
信号与系统7-2卷积定理课件
一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
信号与系统常用卷积
信号与系统常用卷积
卷积是信号与系统领域中的一种重要运算。
它是将两个信号进行数学操作的方法，通常用符号 "*" 表示。
卷积运算可以以离散形式和连续形式进行。
离散卷积是指对离散时间信号进行卷积运算。
设有两个离散时间序列\[x[n]\]和\[h[n]\]，卷积运算的结果\[y[n]\]可以表示为：
\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]\]
连续卷积是指对连续时间信号进行卷积运算。
设有两个连续时间信号\[x(t)\]和\[h(t)\]，卷积运算的结果\[y(t)\]可以表示为：
\[y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau\]
卷积运算的物理意义是对信号的相乘后再积分求和。
它在信号处理与系统分析中有广泛应用。
例如，卷积可以用于系统的响应预测、信号的滤波和信号的特征提取等。
在实际应用中，卷积运算可以通过离散求和或积分的方式进行计算。
计算机程序中常用的卷积算法包括直接法、快速卷积法（如快速傅里叶变换法）和卷积定理等。
总之，卷积是信号与系统分析中一种常用的运算方法，通过对信号的相乘与积分求和，可以得到新的信号。
在信号处理和系统分析中有广泛应用，为进一步深入研究相关领域奠定了基础。
信号与系统3-5 卷积和与单位样值响应
和。这个概念，其实就是离散时间系统零状态响应的概念。
3-5-1 单位样值响应
将式（3-5-6）定义的卷积和作l n k 的变量代换，可以得到卷积和的
另一种表示形式：
y(n) x(n l)h(l) x(n k)h(k)
y(n) x(k)h(n k)=x(n) h(n) k
（3-5-6）
式中单位样值响应h(n)表征了一个LTI系统的时域特征。换言之，一旦h(n) 已知，这个系统对于任何输入x(n)的响应都可以求得。
注意，引入式（3-5-6）之后，它就给出了离散时间系统分析中的一个最
重要的概念：松弛系统(Relaxed systems)，即初始状态为零的（差分方程
折h(k) 经过移位运算（移位-n个单位）后的序列。因此，如果 n 0，则 由h(k) 向左移 n 个单位就可得到h(n k) ；如果 n 0 ，则 h(k) 经右
移n个单位获得 h(n k)。n从 变化到 的效果相当于首先将反折后的 单位样值响应h(k)平移到时间轴的最左端（ 远处），然后让它自左 向右平移扫描到时间轴的最右端（ 远处），期间必然平滑扫过x(k) 。
上式中由于k时刻的样本值 x(k)对于算子T而言是一个常数，因此继续 应用线性特性，将T与 x(k )交换次序可得
y(n) x(k)T (n k) k
x(k)h(n, k) k
（3-5-2）
3-5-1 单位样值响应
式（3-5-2）是LTI系统对任意输入序列 x(n)的响应表达式，这个表达式
l
k
信号与系统卷积和及几类常见题目
⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。
{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。
卷积的本质及物理意义(整理)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。
从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。
在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制.这是频率卷
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
卷积的物理意义，解释的真幽默！
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
卷积积分与卷积一、摘要：近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。
信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。
卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。
卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。
而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。
二、关键词：信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法三、正文：卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。
对连续时间信号的卷积称为卷积积分，定义式为：∞f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ≜f1(t)∗f2(t)−∞对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为：∞f(n)=∑f1(m)f2(n−m)≜f1(n)∗f2(n)m=−∞1、卷积积分的解法（1）图解法图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。
利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。
如果给定f 1(t )和f 2(t)，要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量，即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了t ，然后再经过以下四个步骤：（1）反褶，即将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)；（2）时移，即将f 2(−τ)时移t ，变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)]，当t >0时，将f 2(−τ)右移t ，而当t <0时，将f 2(−τ)左移t ；（3）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)；（4）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，积分的关键是确定积分限。
一般是将f 1(t )f 2(t −τ)不等于零的区间作为上下限，而当取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要分成不同的区间来求卷积。
例1、已知f 1(t )和f 2(t)的波形如图1-1所示，求f (t )=f 1(t)∗f 2(t)。
图1-1解：（1）变量代换，将变量f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，此时波形不变； （2）将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)，图1-2； （3）时移，即将f 2(−τ)时移t ，图1-3；（4）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)，图1-4～8；图1-3图1-2（5）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，图1-9； 当t <4时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=0； 当4<t <5时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=∫2dτ=2(t −4)t−13；当5<t <6时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=∫2dτ=243； 当6<t <7时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=∫2dτ=2(7−t)4t−3；τ图1-8τ图1-7图1-6图1-4图1-5当t >7时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=0。
（2）卷积积分的简易算法设f 1(t )的时限为x 1<t <x 2,f 2(t) 的时限为y 1<t <y 2, 且f 2(t)的时限大于f 1(t )的时限, 则首先将x 1、x 2和y 1、y 2两两相加得到4个值，按从小到大的顺序排列，正好是t 的5个取值范围，其对应的卷积积分区间分别为（−∞，x 1）,（x 1，t −y 1）,（t −y 2，t −y 1）,（t −y 2，x 2）, （x 2,+∞）。
具体积分计算如下所示：f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx1−∞=0 t <x 1+y 1f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1x1x 1+y 1<t <x 1+y 2f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1t−y 2x 1+y 2<t <x 2+y 1f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx2t−y 2x 2+y 1<t <x 2+y 2f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞x2=0 t >x 2+y 2；如例1中，f 1(t )的时限为1<t <3,f 2(t) 的时限为3<t <4，将1、3和3、4两两相加得到4个值，则t 的5个取值范围为t <4，4<t <5，5<t <6，6<t <7，t >7，其对应的积分区间分别（−∞，1）,（1，t −3）,（t −4，t −3）,（t −4，3）,（3,+∞）。
代入以上各式得：f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=0 t <4 f (t )=∫2dτ=2(t −4)t−314<t <5f (t )=∫2dτ=2t−3t−4 5<t <6图1-9f (t )=∫2dτ=2(7−t)3t−4 6<t <7 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞3=0 t >7此结果与图解法相同，当省去了画图，方便了许多。
（3）卷积性质法若ℒ[f 1(t )]=Ϝ1(s), ℒ[f 2(t )]=Ϝ2(s),则ℒ[f 1(t )∗f 2(t )]=Ϝ1(s)Ϝ2(s)然后再求拉普拉斯逆变换。
如例1中，f 1(t )=2[u (t −3)−u(t −4)], f 2(t )=u (t −1)−u(t −3) 有Ϝ1(s )=2s （e −3s −e −4s ）, Ϝ2(s )=1s （e −s −e −3s ）得ℒ[f 1(t )∗f 2(t )]=Ϝ1(s )Ϝ2(s )=2s (e −3s −e −4s)1s(e −s−e −3s )=2s2(e −4s −e −5s −e −6s +e −7s ) 再求逆变换f 1(t )∗f 2(t )= ℒ[Ϝ1(s )Ϝ2(s )]=2[(t −4)u (t −4)−(t −5)u (t −5)−(t −6)u (t −6)+(t −7)u (t −7)]=2{[(t −4)[u (t −4)−u (t −5)]+[u (t −4)−u (t −5)]+(t −7)[u (t −6)−u (t −7)]}显然，结果与上面两种相同。
2、卷积和的解法（1）图解法：卷积和与卷积积分在本质上是一样的，因为积分运算实际上也是一种求和运算，但两者在求解方法上还是有不同之处。
卷积和也可以用图解法求解，但在操作上显得比较繁锁。
例2：已知离散信号f 1(n )和f 2(n)，求卷积和f (n )=f 1(n)∗f 2(n)。
f 1(n )={1 n =0 3 n =12 n =20 else ， f 2(n )={4−n n =0,1,2,30 else解：用图解法求解，如图2-1，画出f 1(m )和f 2(n −m )，由公式f (n )=∑f 1(m )f 2(n −m )∞m=−∞=f 1(n )∗f 2(n )可以看出，当m =0时f 2(n −m ) 与f 1(m )有重叠，这时重叠值需要相乘，f (0)=1×4=4，当m =1时重叠值需要相乘与求和，f (1)=1×3+3×4=15，依此类推, 分别画出m =2，3，4时f 2(n −m )的图，再分别对f 2(n −m )与f 1(m )重叠值相乘与求和，依次得到f (2)=19，f (3)=13，f (4)=7，f (5)=2。
图2-1图2-3图2-2但如果m 的值较大，要画f 2(n −m )的图也会比较多, 而且在找f 2(n −m )与f 1(m )的重叠值时容易出错。
（2）简易算法将其中一个信号时域分解为加权的单位序列和，再利用性质f (n −n 1−n 2)=f 1(n −n 1)∗f 2(n −n 2)求解，这样可以得到一个闭式解。
例2中，f 1(n )=δ(n )+3δ(n −1)+2δ(n −2) f 2(n )=4δ(n )+3δ(n −1)+2δ(n −2)+δ(n −3)则f (n )=f 1(n )∗f 2(n )=4δ(n )+3δ(n −1)+2δ(n −2)+δ(n −3)+12δ(n −1)+9δ(n −2)+6δ(n −3)+3δ(n −4)+8δ(n −2)+6δ(n −3)+4δ(n −4)+2δ(n −5)=4δ(n )+15δ(n −1)+19δ(n −2)+13δ(n −3)+7δ(n −4)+2δ(n −5)显然，计算结果与图解法相同。
相对而言稍微简单一点，对于比较复杂的运算，计算量可能会比较大。
四、总结：当然，以上提到的只是最一般的解题方法，对于卷积运算，方法有很多。
比如连续信号，卷积性质法还可以利用傅立叶变换；对于离散信号的卷积，还可以图2-5图2-4用对位相乘求和法，解析法，列表法，等等。
通过对卷积积分与卷积和的各种计算方法和特点的归纳，使我们对卷积计算有一个更清楚的认识。
五、参考文献：[1]《信号与系统（第三版）》，徐天成，谷亚林等[2]卷积积分与卷积和解法分析，温卫, 任克强，江西理工大学信息工程学院[3]离散时间序列卷积和的求法，张正强，邢丽红，曲阜师范大学电气信息与自动化学院。