信号与系统第9次课(卷积和)

即：函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
当n时， 2 0
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔定理（公式），表明： 在区间(t1,t2) 的f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函 数集中分解的各正交分量能量的总和。 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
n
设系统（2）的输入为x(n),输出为y2(n),有
y2 (n） x(n) * h2 (n) x(n) * (n) x(n) * (n 1) x(n) x(n 1)
可见，系统1为累加器，系统2为一阶差分运算器。若 将系统1和系统2级联成一系统，有
h(n) h1 ( n) * h2 (n) (n) * [ (n) (n 1)] (n) * (n) (n) * (n 1) (n) (n 1) ( n)
(2)
y(n)
已知系统（1）的h1(n)=(n),系统（2）h2(n)＝ δ(n)- δ(n-1),求
系统（1）的输出y1(n)、系统（2）的输出y2(n)以及系 统输出y(n)
• 系统（1）和系统（2）单独分开，系统（1）的输出
y1 (n) x(n) * h1 (n)
k
x(k )
• 复习：时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号， 任意输入信号可分解为一系列冲激函数的叠加；而 yzs(t) = h(t)*f(t)。
ˆ f (t )
n
f (n) p(t n)

ˆ f (t )
n
f (n) p(t n)
• 为使上式最小（系数Cj变化时），有
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0(??)，写为
即 所以系数
Ki i2 (t )dt
t1
t2
C1=？？
• 误差
1 t2 f (t )1 (t )dt k1 t1
n n t2 t2 t2 1 2 2 2 [ f (t )dt C j j (t )dt 2 C j f (t ) j (t )dt] t1 t1 t 2 t1 t1 j 1 j 1 n n t2 1 2 2 [ f (t )dt C j K j 2 C 2 K j ] j t 2 t1 t1 j 1 j 1 2
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
3. 完备正交函数集：
• 如果在正交函数集{ 1(t), 2(t),…, n(t)}之外，不存 在任何函数φ (t)(≠0）满足
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩ t)，sin(nΩ t)， n=1,2,…}
和虚指数函数集{ejnΩ t，n=0，±1，±2，…}是两组典 型的在区间(t0，t0+T)(T=2π /Ω )上的完备正交函数集。
1
1 e (k ) 1 1 e
( k 1)
二、卷积的图解法
• • • • • • • •
卷积过程可分解为： （1）换元： k换为i→得f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i),右移k →f2(k – i) （3）乘积： f1(i) f2(k – i) （4）求和： i 从–∞到∞对乘积项求和。 (5)K换一个值，重复（3），（4） 注意：k 为参变量。 下面举例说明。
i k
y (i ) x(k i ) 1 (3) ( k i ) (k i )
i


i
(3)
( k i )
(3)
k
i
3i
k
所以
(3) k (3) k 1 .5 1 1 3
x(k ) y(k ) y(k ) x(k ) 1.5
解 由卷积和定义式得
f1 (k ) f 2 (k )
i
e
i

i
(i ) (k i )
考虑到(i)的特性，可将上式表示为
f1 (k ) f 2 (k ) e (k i ) e
i 0 i 0

k
i
1 e e 1 1 e
k
解：画出f1(i),f2(i),f2(-i)
K=-1时，？？ ??
列表法求卷积和
f(k) =f1(k)*f2(k)= f1(i)f2(k-i)
i 0

k
序号：i+k-i=k
f(k)
f (3) f1 (0) f 2 (3) f1 (1) f 2 (2) f1 (2) f 2 (1) f1 (3) f 2 (0)
卷积和长度: N=L+M-1 (L+M是原序列长） 见书p104
列表法
四、卷积和的性质
• 1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. • 2. f(k)*δ (k) = f(k) ， f(k)*δ (k– k0) = f(k – k0)
•4. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k) •5. 1(k)* f2(k)] = 1(k)* f2(k) = f1(k)* 2(k) [f f f •求卷积和是本章的重点


lim
0
ˆ (t ) f (t ) f ( ) (t )d f
• 本章将以正弦信号和虚指数信号ejω t为基本 信号，任意输入信号可分解为一系列不同频 率的正弦信号或虚指数信号之和。 • 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称 为频域分析。
4.1 信号分解为正交函数
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即
• • • • •
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集 如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个 三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。 即 A= vx+ 2.5vy+ 4 vz？？ (正交分解)
系统输出为
y(n) x(n) * (n) x(n)
恒等系统
本章小结
1、LTI离散系统的响应 2、单位序列和单位序列响应 3、卷积和
• • • •
作业 3.11 （1） 3.18 熟悉并掌握例题3.3-3；3.3-4
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
本章提要 信号分解为正交函数 傅里叶级数和傅里叶级数的形式 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 抽样定理 序列的傅里叶分析
• 例2 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -∞＜k＜∞, 试验证 x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即
x(k ) y (k ) y (k ) x(k )
证: 先计算x(k)*y(k)，考虑到(k)的特性，有
x(k ) y (k )
i
与(k) 卷积和:
x(n) x(n) x(n)
h 1 (n) h 2 (n)
x1 (n) x2 (n) h 1 (n) * h 2 (n)
h 2 (n) h 1 (n)
y(n) y(n) y(n)
• 三个LTI系统响应相同
例子
• 例：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：
x(n)
(1)
3.3 卷积和
• 一、卷积和 • 二、卷积和的图示 • 三、卷积和的性质
复习:卷积和的定义
• 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和 f2(k)，则定义和
为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为
f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量i 下进行的，i 为求和变 量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。
求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -∞＜k＜∞
可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。
• 例3：求(k) *(k)
解： 例4：求ak(k) *(k 4) 解：
1 a k 3 (k 4) 1 a
例 设f1(k)=e-k( k)，f2(k)= (k), 求f1(k)*f2(k)。
三、信号的正交分解
• 设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正 交函数的线性组合来近似，可表示为 • f(t)≈C1 1+ C2 2+…+ Cn n • 问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差 在区间(t1，t2)内为最小。 • 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差 为
信号的正交分解。
矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号 空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。这就是信 号的正交分解。
二、信号正交与正交函数集
• 1. 定义： • 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(tபைடு நூலகம்,若满足
则称 1(t)和 2(t)在区间(t1，t2)内正交。若 (t)是实数，则不要 “*”号 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)和 2(t) ，…， n(t)构成一个函数集，当这些 函数在区间(t1，t2)内满足
x(i) y(k i)