土木工程力学位移法
土木工程-结构力学-重点分析
学习目标1、理解矩阵位移法的内容2、掌握单元分析3、掌握整体分析4、掌握内力计算的原理5、掌握单元荷载处理6. 掌握桁架分析矩阵位移法矩阵位移法以传统的位移法为理论基础;以矩阵作为数学表达形式;以计算机作为计算工具三位一体解决各种杆系结构受力、变形等问题。
采用矩阵进行运算，公式紧凑，形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。
适应计算机自动化计算的要求。
矩阵位移法结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在原理上同源，在作法上有别前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的差异。
与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。
矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。
矩阵位移法1、矩阵位移法的基本思路a、方法的选择b、基本假设和基本原理线弹性、小变形。
满足叠加原理、功能原理c、正负号规定杆端内力、杆端位移、结点位移和结点力规定当与坐标轴正方向一致时为正；矩阵位移法1、矩阵位移法的基本思路原结构--离散--单元分析--整合2、离散（单元划分）为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点，但要推导相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。
矩阵位移法 {}[]{}{}ee ef F k F δ=+单元分析的目的: 建立单元刚度方程单元分析的方法:利用形常数获得刚度系数，形成刚度矩阵； 利用载常数（固端力）叠加获得等效结点力。
单元分析如何操作：按自然位置选每跨为一个单元，支座处作为结点；分别给单元和结点编号；以结点位移作为基本未知量。
l li 2 i1 M 1 M2 M 3单元分析刚度矩阵的物理意义：•单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系的转换矩阵；•矩阵的阶数与杆端位移分量数相等；•系数kij 表示第j 个单位位移分量引起的第i 个杆端力分量数值的大小；•单元刚度矩阵具有对称性kij =kji 。
土木工程力学位移法
令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 3i A 3i AB M AB
4、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA MAB P q t1˚C
A
φA QAB
βAB
EI
t2˚C
B B' MBA
l
f M AB i A M AB f M i M A BA BA
2. 基本结构 在刚结点1上加一限制转动的约束（附加刚臂）， A1与B1就成为基本形式，此时该 结构称为位移法 的基本结构。
3. 荷载在附加刚臂中产生的反力矩 R1F 基本结构在荷载作用上，B1杆发生虚线所示的变 形。但杆端1截面被刚臂制约，不发生角位移，使 得刚臂出现反力矩 R1F 。荷载引起的刚臂反力矩 R1F 规定以顺时针方向为正。
查载常数表
4. 刚臂转动引起的刚臂反力矩 R11 为使基本结构与原结构一致，需将刚臂（连同刚结 点）转动角度Z1，使得基本结构的结点1转角与原 R1F R1F 结构虚线所示的自然变形状态刚结点转角相同。刚 臂转动角度Z1所引起的刚臂反力矩用 R11 表示，并 规定顺时针方向为正。
R11 r11 Z1
解：（1）取结点B点的转角为Z1为基本未知量。 取基本结构如图b所示，当刚臂转动角度Z1时，基 本结构与原结构一致。
（2）作基本结构 M1 图，由结点平衡得：
r11 3i 4i
（3）绘 M F图，由结点平衡得： 1 2 R1F ql 8
（4）位移法基本方程：
r11Z1 R1F 0
r11Z1 R1F 0
R1F 5ql Z1 r11 144i
第7章位移法
3I0
E
4m
5m
F 4m
M CD 3iC M EB 1.5iB 1.125
M BE 3iB 1.125 MCF 2iC 0.5
M FC iC 0.5
B B EI
6m
C
3m
（1）基本未知量B （2）固端弯矩
Pl 20 6 mBA 15kN m 8 8
mAB 15kN m
mBC ql2 9kN m 8
武汉理工大学土木工程与建筑学院
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
M
M BC
B
0
C
θB
B
M AB
2m A
M BA
2m 14kN B
4m C
MB 0
B
F M BA F M BC
M
A
F AB
F M BA
B
θB
M
F BC
C
B
M AB
M BA
M BC
M BA
M BC
武汉理工大学土木工程与建筑学院
7.1.3 位移法解题的基本步骤
A 2m 14kN B 2m 4m C
M AB 2i B 15
M BA 4i B 15 M BC 3i B 9
(5) 各杆端弯矩及弯矩图
M AB 6 2i 15 16.72kN m 7i
6 B 7i 1 1 Pl 20 6 30 4 4 1 2 1 ql 2 6 2 9 8 8
结构力学(I)结构静力分析篇(位移法)@@
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院
29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院
30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程
33 / 65
4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
哈工大 土木工程学院
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3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
哈工大 土木工程学院
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Z1 1
土木工程力学(本).
土木工程力学（本）第四章静定结构的位移计算学习要求1. 理解变形体体系虚功原理的内容及其应用。
2. 理解并熟练掌握静定结构位移计算的一般公式。
3. 熟练掌握静定结构在荷载作用下的位移计算方法及图乘法。
4. 掌握支座位移和温度改变等因素作用下的位移计算方法。
5. 了解线弹性结构的互等定理。
6. 理解静定结构的基本力学特性。
学习重点1. 变形体体系的虚功原理及其应用。
2. 静定结构位移计算的一般公式和不同外因作用下的应用。
3. 图乘法计算荷载作用下静定梁和刚架等的位移。
4. 静定结构的基本力学特性。
常见问题解答1.什么是结构的变形和位移？变形，是指结构或构件的截面形状发生改变，而位移则是指结构各处位置的移动。
静定结构产生位移的原因有荷载作用、温度变化、支座位移、制造误差、材料收缩等。
荷载作用使静定结构产生内力，进而发生变形，导致结构产生位移。
温度变化时，静定结构产生位移，不产生内力。
支座位移（移动或转动）时，静定结构既无内力也无变形产生，只发生刚体位移。
2．静定结构位移计算时采用了什么假设条件？静定结构位移计算时，通常采用以下假设条件：（1）结构、构件的材料符合胡克定律，即应力应变成线性关系。
（2）结构、构件发生的变形与其几何尺寸相比极其微小，因此，可以认为结构或构件的几何形状和尺寸以及荷载的作用位置及方向在变形前后保持不变。
满足上述假设条件的结构体系称为线弹性结构。
线弹性结构中的结构体始终是连续的，位移与荷载之间成线性比例关系，卸载之后位移完全消失，所以计算位移时可以使用叠加原理。
3.什么是实功和虚功？力在其自身引起的位移上作功称为实功。
当作功所需两个因素中的力与其相应的位移彼此独立无关时，这种功称为虚功。
实功恒为正值，虚功可以是正值、负值和零。
实功不能应用叠加原理。
虚功可以应用叠加原理。
4．什么是变形体体系的虚功原理？变形体体系的虚功原理可以表述为：若变形体体系在力系作用下处于平衡状态，由其它原因产生的微小连续位移满足约束条件，则力状态中的外力在位移状态中相应位移上所作的虚功恒等于力状态中的内力在位移状态中相应变形上所做的虚功。
位移法的知识点总结
位移法的知识点总结一、基本原理1. 位移法的基本原理位移法是以位移为基本变量进行分析的一种结构分析方法。
它的基本原理是根据结构受力状态和边界条件，通过对结构各部分的变形进行分析，推导出结构的位移场。
根据结构力学的基本原理，结构的受力和变形是密切相关的，因此通过分析结构的位移场，可以获得结构的受力分布和变形情况，为结构的设计和分析提供重要参考。
2. 位移的重要性在结构力学中，位移是描述结构变形的基本形式之一，它直接反映了结构受力的情况。
在进行结构分析时，通常可以通过计算结构的位移场来获得结构的受力分布和变形情况。
因此，位移是结构分析的重要变量，在位移法中被广泛应用。
3. 位移法的实质位移法的实质是通过假设结构各部分的变形是线性的，即受到外力作用后，结构的变形与受力成线性关系。
这一假设是位移法能够简化结构分析的基础，使得结构分析更加方便和实用。
二、应用范围1. 适用范围位移法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、板、桁架、壳体等。
它可以用于解决结构在受力作用下的位移和变形问题，对于复杂结构的受力分析和设计具有广泛的适用性。
2. 适用条件位移法的应用条件包括结构受力状态和边界条件的明确，结构各部分的变形可线性假设，结构受力和变形之间存在较强的相关性等。
在满足这些条件的情况下，位移法可以有效地用于解决各种结构受力和变形问题。
三、操作步骤1. 结构建模首先需要对结构进行建模，确定结构的几何形状、受力条件和边界条件等。
通过建模可以获得结构的刚度矩阵和载荷向量，为后续的分析提供基础数据。
2. 变形分析根据结构的刚度矩阵和载荷向量，可以建立结构的位移方程。
通过对位移方程进行分析，可以获得结构的位移场，揭示结构受力和变形的关系。
3. 反演求解根据结构的位移场，可以反演求解结构的受力分布和变形情况。
通过求解可以获得结构各部分的受力情况，评估结构的受力状况和安全性。
4. 结果分析最后需要对求解结果进行分析，评估结构的受力和变形情况。
第11章 位移法
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
a、取一杆分析（拆 修改）
i
结点只有竖向 位移 ，如设 FP 法求出，各杆 FP 伸长量即知， 从而内力确定；
Δ
Δ
ui
FNi
EAi FN i ui li
杆件刚度方程
5 / 98
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
a、取一杆分析（拆 修改） b、综合成结构（搭 复原）
解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。
7 / 98
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
施加约束锁住结点，将结构变为两根超静定杆， 求荷载作用的弯矩图。 F1 q q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
i
Δ
EAi FN i ui li
Δ
FP
ui
FNi
由位移协调 由结点平衡
F
ui sin i
Ni
sin i FP
FP EAi 2 li sin/ 98i 6
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
先化整为零，再集零为整
通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个 杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆 端位移和杆端力的关系； 通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位 移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程;
29 / 98
第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
2. 直接平衡法
等截面直杆的转角位移方程：各种因素共同作用下杆 端弯矩的表达式称为转角位移方程。 ① 两端固定梁转角位移方程：
位移法典型方程根据
位移法典型方程根据（实用版）目录1.位移法的基本概念2.位移法的典型方程3.位移法的应用实例4.位移法的优缺点分析正文一、位移法的基本概念位移法是一种求解固体力学问题的数值方法，主要通过计算物体在受力作用下的位移来研究其内部应力和应变分布。
位移法基于弹性力学的基本原理，适用于求解各种复杂的固体力学问题，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。
二、位移法的典型方程位移法的典型方程是根据弹性力学原理推导得到的。
以一维简支梁为例，当梁受到均布荷载作用时，其位移法的典型方程为：挠度公式：f(x) = q(x-x0)/8EI弯矩公式：M(x) = EI*(f"(x)-qx)/2其中，f(x) 表示梁在 x 处的挠度，M(x) 表示梁在 x 处的弯矩，E 为材料的弹性模量，I 为梁的惯性矩，q 为均布荷载，x0 为梁的支点，f"(x) 为挠度的一阶导数。
三、位移法的应用实例位移法广泛应用于各种固体力学问题的求解，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。
例如，在求解简支梁在均布荷载作用下的挠度和弯矩时，可以采用位移法进行计算。
四、位移法的优缺点分析1.优点：位移法求解固体力学问题时，可以通过计算物体的位移来直接得到其内部应力和应变分布，避免了传统力学方法中的繁琐计算过程。
此外，位移法适用于各种复杂的固体力学问题，具有较强的通用性。
2.缺点：位移法的求解过程涉及到较高阶的微分方程，计算过程较为复杂。
在某些特殊情况下，位移法的求解结果可能不如其他方法准确。
总之，位移法作为一种求解固体力学问题的数值方法，具有广泛的应用前景。
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ql Z1 56i （5）绘弯矩图：
2
M M 1Z1 M F
M RB 1 2 ql 2 M 1Z1 M F ql 3iZ1 8 14
§13-3 位移法基本未知量数目的确定 基本未知量：结点位移——位移法的基本 未知量是结点位移。 位移 转 角 线位移
位移法基本未知量数——形成基本结构时 所需施加的约束（刚臂和支杆）的数目。
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B
P
ql 2 12
ql 2 12
Pl 8
A q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B B
Pl 8
ql 2 8
0
P
A
l/2 l/2
B
3Pl 16
0
§13-2 位移法的基本概念
1. 基本未知量 当不计轴向变形时，刚结点1不发生线位移，只发 生解位移Z1，且杆A1和B1端发生相同的转角Z1.只 要求出转角Z1，两杆的变形和内力就完全确定。 因此刚结点1的角位移Z1就是求解该刚架的位移法 基本未知量。
QBA l
EI EI f M 3 3 Δ M A AB AB l l2 M BA 0 3EI 3EI f Q Δ Q ab AB AB 2 3 l l Q 3EI 3EI Δ Q f AB ab BA l2 l3
或
R1 0 R11 R1F 0 r 11Z1 R 1F 0
(a)
位移法的基本方程。 物理意义：基本结构由于刚臂转角Z1及外荷载共 同作用，附加刚臂的总反力矩为零。 单位弯矩图 M 1：给刚臂结点1正向单位转角 Z1 1 由形常数表查得A1、B1的弯矩如图所示。
r11Z1 R1F 0
（5）叠加法绘制弯矩图。 1 2 129 2 M M 1Z1 M F M 1B i Z1 ql ql
例13-3计算图示排架，绘M图。
解（１）确定基本结构：
（２）绘单位弯矩图，求 r11
r11 FS 3 A FS 2 B FS1C 12i r11 2 l
查形常数表
5. 刚臂总反力矩 R1 ，位移法基本方程 荷载作用于基本结构，引起刚臂反力矩 R1F ；刚结 构转角Z1引起刚臂反力矩R11 。二者之和为总反力 矩R，即 R1 R11 R1F 在基本结构上施加原结构荷载，且令刚臂转动原结 点转角，使得受力基本结构和原结构的受力状态及 变形状态完全致。刚臂已失去约束作用。故
§13-5 用位移法计算超静定结构
例13-2 绘制下图之刚架的M图。
解（1）基本结构，图b所示
（2）作单位弯矩图 M 1
r11 8i 6i i 15i
（3）绘制荷载弯矩图。
3 2 1 2 25 2 R1F ql ql ql 16 3 48
（4）列典型方程，求未知量。
r11Z1 r12 Z 2 r13 Z 3 R1F 0 r21Z1 r22 Z 2 r23 Z 3 R2 F 0 r Z r Z r Z R 0 3F 31 1 32 2 33 3
R1F
1 2 ql1 12
R2 F 0
R3 F 1、在刚结点处加上臂2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。
（1）由两个已知不动点所引出 的不共线的两杆交点也是不动点。
（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座） 都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体 系，则使它变为几何不变体系所需添加的链 杆数目即等于原结构的独立线位移数目。
A A
A
A
正
负
2、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
B'
MBA QBA
l
EI EI EI f M 4 2 6 Δ M A B AB AB l l l2 M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
R1F
1 Fl 8
1 Fl 0 8
代入基本方程
r 11Z1 R 1F 0
1 7iZ1 ( Fl ) 0 8 Fl Fl Z1 8 7i 56i
弯矩图：根据叠加法M图为 M1Z1 M F 的叠加结果
例13-1 用位移法绘制图13-9a所示两跨连续梁的 弯矩图。EI=常量。
解出 Z1 , Z2 , Z3 后，即可用叠加法作出刚架的弯矩图：
M M 1Z1 M 2 Z2 M 3Z3 M F
对于有n个基本未知量的问题，其基本方程为：
r11Z1 r12 Z 2 r Z r Z 21 1 22 2 rn1Z1 rn 2 Z n r1n Z n R1F 0 r2 n Z n R2 F 0 rnn Z n RnF 0
解：（1）取结点B点的转角为Z1为基本未知量。 取基本结构如图b所示，当刚臂转动角度Z1时，基 本结构与原结构一致。
（2）作基本结构 M1 图，由结点平衡得：
r11 3i 4i
（3）绘 M F图，由结点平衡得： 1 2 R1F ql 8
（4）位移法基本方程：
r11Z1 R1F 0
§13-4 位移法典型方程
1 位移法基本结构 加上相应的约束后，成为位移法的基本形式时， 即为形成位移法的基本结构。 2 位移法典型方程
3 荷载作用在基本结构上
4 分别发生单位变形时：
建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的 意义：
R1 0 R2 0 R 0 3
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数
单跨超静定梁简图
MAB
MBA
QAB= QBA
θ=1
A A
θ=1
B B B B
1 θ=1 1
4i
2i
6i l
12i
l
2
6i
3i
l
6i
0
l
A A
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
A
B
－i
0
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数 单跨超静定梁简图 mBA
mAB
q A
第十三章
§13-2 位移法的基本概念
位移法
§13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
§13-3 位移法基本未知量数目的确定
§13-4 位移法典型方程
§13-5 用位移法计算超静定结构
§13-6 超静定结构的特性
§13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
单跨静定梁的三种基本形式：
1 杆端力与杆端位移的正、负号规定
6i1 ql12 0 (4i1 3i 2 ) Z1 2i2 Z 2 Z 3 li 12 3i1 2 i Z (3i 4i ) Z Z3 0 0 2 1 1 2 2 l1 6i1 3i1 15i1 ql1 Z Z Z 0 1 2 3 2 l1 l1 2 l1
M1B 4i1B
M1A 3i1A
M
1
0
M 1 A M 1B r11 0
r 11 M1 A M1B 3i1 A 4i1B
式中 i1 A iiBl EI i l
所以
r 11 7i
荷载弯矩图 M F：在基本结构上，荷载作用下的弯 矩图。
M
1
0
R1F
r11Z1 R1F 0
R1F 5ql Z1 r11 144i
2
3 432 120 2 M 1 A 8i Z1 ql 1 2 87 2 M B1 i Z1 ql ql 432 6 432 60 2 M A1 4i Z1 ql 3 2 9 M C1 6i Z1 ql ql 2 432 16 432
令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 4i A 2i B 6i AB M AB
3、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA MAB A φA P q βAB EI t1˚C t2˚C B ΔAB B'
QAB
ql1 2
r11 4i1 4i2
r21 2i2
6i1 r31 l1
r12 2i2
r22 4i2 3i1
r32
3i1 l1
6i1 r13 l1
3i1 r23 l1
12i1 3i1 15i1 r33 2 2 2 l1 l1 l1
将所有系数求出后代入基本方程：
（３）绘荷载弯矩图，求 R1F
R1F F
F S3A
ql
11ql R1F 8
（４）列典型方程，求未知量
r11Z1 R1F 0
（５）叠加法绘弯矩图
R1F 11ql Z1 r11 96i
3
M M 1Z1 M F
例１３-４试用位移法计算图所示刚架，并作弯矩图
A 杆端力正、负号规定 杆端弯矩：顺时什转向为正，逆时针转向为负。对结点 而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。 杆端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正， 有逆时针转动趋势为负。
正
负
B：杆端位移的正、负号规定