立体几何1

立体几何
1．[2014·辽宁卷] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．
2.[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )

A．8－2π B．8－π C．8－π2 D．8－π4

（2） （3）
3.[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋3 B．8＋2 C．21 D．18
4.[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能
得到的最大球的半径等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4

（4） 图1-1 (6)
5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图1-1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )

A B C D
6.[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )

A．8－2π B．8－π C．8－π2 D．8－π4
7．[2014·浙江卷] 几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2

(7) (8) (9)
8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图(8)，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，
则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A．6 2 B．6 C．4 2 D．4
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图(9)，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某
零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与

原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.13
10．[2014·天津卷] 一个儿何体的三视图如图(10)所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

(10) (11)
11.[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图(11)所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 B．60 C．66 D．72

1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.B 7.D 8.B 9.C 10.20π3 11.B
1.[2014·陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图（1）所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面
分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
(1)证明：四边形EFGH是矩形； (2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

（1） （2） （3）
2.[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，
使得平面ABD⊥平面BCD，如图（2）所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
3.[2014·北京卷] 如图1-3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P - ABCDE
中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
4.[2014·天津卷] 如图（4）所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC
＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F - AB - P的余弦值．

（4） （5） （6）
5.[2014·安徽卷] 如图（5），四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD
∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q. (1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
6.[2014·四川卷] 三棱锥A - BCD及其侧视图、俯视图如图（6）所示．设M，N分别为线段AD，AB的
中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A - NP - M的余弦值．
7.[2014·湖北卷] 如图（7），在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，
A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.
(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说
明理由．

（7） （8） （9）
8.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图（8）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD
的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．
9.[2014·山东卷] 如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，
AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．
10.[2014·湖南卷] 如图（10）所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D
1

＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．
（10） （11） （12）
11.[2014·江西卷] 如图（11）四棱锥P - ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P - ABCD的体积最大？
并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
12.[2014·辽宁卷] 如图（12）所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC
＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点． (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E-BF-C的正弦值．
13.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图（13）三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1 ­C1的余弦值．

（13） （14） （15）
14.[2014·浙江卷] 如图（14）在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，
AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B - AD - E的大小．
15.[2014·重庆卷]如图（15）所示，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB

＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A-PM-C的正弦值．
16.[2014·全国卷] 如图（16）所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠
ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 ­ AB ­ C的大小．

（16） （17） （18）
17.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图（17），四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为
PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD
的体积．

18.[2014·辽宁卷] 如图（18）所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC
＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．
(1)求证：EF⊥BC；
(2)求二面角E-BF-C的正弦值．