§1.1 空间几何体的结构

9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________． 三、解答题 10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．
11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转 360° 得到？画出平面图形和旋转轴．
能力提升 12． 一个三棱锥的各棱长均相等， 其内部有一个内切球， 即球与三棱锥的各面均相切(球 在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥 的截面，所得截面图形是( )
13．已知圆锥的底面半径为 r，高为 h，且正方体 ABCD－A1B1C1D1 内接于圆锥，求这 个正方体的棱长．
组合体的结构特征有两种组成： (1)是由简单几何体拼接而成； (2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最 基本的几何体．
1． 1． 2
简单组合体的结构特征
A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥组合体 D．不能确定 6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点 的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5) 二、填空题 7．下列叙述中错误的是________．(填序号) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是 __________________．
能力提升
12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边 折叠围成一个正方体的图形的是( )
13．如图，在底面半径为 1，高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由 A 点 爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动 态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系． 2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维 图形化归为二维图形求解． 在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋 转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来． 轴截面是将旋转体问题转化为平面问 题的关键． 3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最 小值是连接两点的线段长求解．
第一章
空间几何体
§ 1．1 空间几何体的结构 1．1．1 柱、锥、台、球的结构特征 答案
知识梳理 1．互相平行 2．有一个公共顶点的三角形 3．圆柱 4．直角边 5．(1)平行于棱锥底面 (2)平行 6．直径 作业设计 1．C [用棱台的定义去判断．] 2．C [A、B 的反例图形如图所示，D 显然不正确．]
3．C [圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A 不正 确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故 B 不正确，通过圆台侧面 上一点，有且只有一条母线，故 D 不正确．] 4．D [两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故 A 错误．半圆以直径所在直 线为轴旋转形成球体，故 B 不正确，C 不符合棱台的定义，所以应选 D．] 5．C 6．B 7．4 8．圆锥 9．①② 10．解 截面 BCFE 右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． 它是三棱柱 BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面． EF，B′C′，BC 是侧棱， 截面 BCFE 左侧部分也是棱柱． 它是四棱柱 ABEA′—DCFD′． 其中四边形 ABEA′和四边形 DCFD′是底面． A′D′，EF，BC，AD 为侧棱． 11．解
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且 AA′＝2π×1＝2π， ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， 即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2．
1． 1． 2
简单组合体的结构特征
【课时目标】 1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运 用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．
圆台的轴截面如图所示， 设圆台上、 下底面半径分别为 x cm 和 3x cm， 延长 AA1 交 OO1 的延长线于点 S．在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45° ， 则∠SAO＝45° ． 1 ∴SO＝AO＝3x cm，OO1＝2x cm．∴ (6x＋2x)· 2x＝392，解得 x＝7，∴圆台的高 OO1 2 ＝14 cm，母线长 l＝ 2OO1＝14 2 cm，底面半径分别为 7 cm 和 21 cm． 12．C 13．解 把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接 AB′，则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．组合形式
一、选择题 1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将 它绕轴 l 旋转 180° 后形成一个组合体，下面说法不正确的是( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于轴 l 对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的(
三、解答题 10．如图所示为长方体 ABCD—A′B′C′D′，当用平面 BCFE 把这个长方体分成两 部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧 棱．
11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 cm2，母线 与轴的夹角是 45° ，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
12．B 13．
解 如图所示， 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面， 设圆锥内接正方体的棱长为 x，则在轴截面中，正方体的对角面 A1ACC1 的一组邻边的长分别为 x 和 2x． 因为△VA1C1∽△VMN， 2x h－x 解得 ＝ ， 2r h 所以 2hx＝2rh－2rx， 2rh 解得 x＝ ． 2r＋ 2h 2rh 即圆锥内接正方体的棱长为 ． 2r＋ 2h
答案
知识梳理 1．简单几何体 2．截去或挖去一部分 作业设计 1．A 2．A 3．D 4．D 5．A 6．D [一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮 廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．] 7．①②③④ 8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体 10．解 将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台 组合而成． 11．解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
)
3． 以钝角三角形的较小边所在的直线为轴， 其他两边旋转一周所得到的几何体是( A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台
)
C．一个圆锥 D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 4． 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周， 所得的几何体是由( ) A．一个圆台、两个圆锥构成 B．两个圆台、一个圆锥构成 C．两个圆柱、一个圆锥构成 D．一个圆柱、两个圆锥构成 5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的 水形成的几何体是( )
一、选择题 1．棱台不具备的性质是( ) A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 2．下列命题中正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 3．下列说法正确的是( ) A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 4．下列说法正确的是( ) A．直线绕定直线旋转形成柱面 B．半圆绕定直线旋转形成球体 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
构特征
【课时目标】 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构．
1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． 2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________， 由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 3 ．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 ________． 4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋 转体叫做圆锥． 5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做 棱台． (2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简 称球．
A．①是棱台
B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱 6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该 正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方 位是( )
A． 南
B．北
C．西
D．下
二、填空题 7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面． 8．将等边三角形绕它的一条中线旋转 180° ，形成的几何体是________． 9 ．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是 ________．