【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：中档大题规范练4(含答案解析)
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：技巧篇第二篇(含答案解析)
[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．模板1 三角函数与解三角形例1 (14分)(2016·济宁模拟)已知函数f (x )＝cos x sin(x －π6)．(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．评分细则 (1)化简f (x )的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给2分． 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值．解 (1)f (x )＝32－32cos2x ＋32sin2x ＝3sin(2x －π6)＋32.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z)．(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12，∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”)． ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF.4分∵EF⊄平面P AD，AM⊂∴EF∥平面P AD.6分评分细则 1.第(1)问证出AE 綊FM ，给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面P AD ，同样给分；2．第(2)问，证明P A ⊥底面ABCD 时缺少条件扣2分；证明DE ⊥AH 时，只要指明点E ，F 分别为正方形边AB 、BC 中点，得DE ⊥AH ，不扣分；证明DE ⊥平面P AH ，只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥P A ，缺少条件不扣分．变式训练2 (2015·北京)如图，在三棱锥VABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥VABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC 且相交于AB ，又OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等， 所以三棱锥VABC 的体积为33.模板3 空间角的计算例3 (14分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，CD ＝EB ＝1，AB ＝4.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)若AC ＝BC ，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值．∴AC ＝BC ＝2 2.如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，则A (22，0,0)，D (0,0,1)，AB →＝(－22，22，0)，BE →评分细则 1.第(1)问中证明CD⊥BC和AC⊥BC各给2分；证明DE∥BC给1分；证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分．2．第(2)问中，建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．变式训练3(2016·山师大附中模拟)如图，四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD.AB＝2AF＝2，∠BAD＝60°，点G是BE的中点．(1)证明：CG∥平面BDF；(2)求二面角E－BF－D的余弦值．(1)证明设AC∩BD＝O，BF的中点为H，连结GH.∵G是BE的中点，GH∥EF∥AC，GH ＝12AC ＝OC ，∴四边形OCGH 是平行四边形． ∴CG ∥OH ，又∵CG ⊄平面BDF ，OH ⊂平面BDF ， CG ∥平面BDF .(2)解 设EF 的中点为N ，AC ∩BD ＝O ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ， 平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，ON ⊂平面ACEF ， ∴ON ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴以点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，ON 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，AF ＝1，∠BAD ＝60°，∴B (1,0,0)，C (0，3，0)，F (0，－3，1)，E (0，3，1)， D (－1,0,0)，DB →＝(2,0,0)，BF →＝(－1，－3，1)， EF →＝(0，－23，0)，设平面BEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BDF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF →＝0，n 1·BF →＝0⇒⎩⎨⎧－23y 1＝0，－x 1－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，n 1＝(1,0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DB →＝0，n 2·BF →＝0⇒⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2－3y 2＋z 2＝0令y 2＝1，n 2＝(0,1，3)， 设二面角E －BF －D 的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|32×2|＝64.∴二面角E －BF －D 的余弦值为64.模板4离散型随机变量的概率分布例4(14分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的概率分布及其均值．评分细则 1.第(1)问列出空气湿度相同的全部情况给2分；计算概率时式子正确，只有结果错误扣1分．2．第(2)问列出长势等级为一级的和不是一级的给2分；只要所列结果正确无过程不扣分；计算概率时3个式子给1分；概率分布正确给2分．变式训练4甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的概率分布及均值． 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ， 则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的概率分布为∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.模板5 数列的通项与求和例5 (14分)(2016·潍坊模拟)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分；当n 为奇数时求S n 中间过程缺一步不扣分．变式训练5 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1.∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0，不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可．∵2n －8n 随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21)．模板6 直线与圆锥曲线的位置关系例6 (16分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求OQOP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．评分细则 1.第(1)问无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分；2．第(2)问求OQOP 时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．变式训练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)． (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)， 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，PQ ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)， 所以S ＝12PQ ·d＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板7 圆锥曲线中的探索性问题例7 (16分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有F A ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．评分细则 1.第(1)问求出t 的值，得2分，列出关于t 的方程，求解结果错误只得1分；得出抛物线方程得2分．2．第(2)问写出直线l 1在y 轴上的截距得2分；得出直线AE 过定点得4分，只考虑当y 20≠4，且得出此时直线AE 过定点，只能得3分，只考虑当y 20＝4，且得出此时直线AE 过定点，只能得2分；求出AE 的长，且结论正确给2分，只给出弦长值而没有过程，不得分；正确得出B 到直线AE 的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分．变式训练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连结AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49， ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．评分细则(1)函数求导正确即给1分；分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(2)求出最大值给2分；构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；通过分类讨论得出a的取值范围给2分．变式训练8已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f (x )符合条件；当a ＝0时，对任意x ∈(0,1)，有f ′(x )＝－x e x <0， f (x )符合条件；当a <0时，因为f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x . ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0， g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)，有g ′(x )＝－2x e x <0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2， 在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a >0.a ．若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b ．若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝122e ,aa a在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板9 导数与函数零点、不等式问题例9 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．评分细则(1)求出导数给1分；讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确的一种给2分；确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(2)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；无最后结论扣1分；其他方法构造函数同样给分．变式训练9(2016·南昌二中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．(1)设b＝2－a，求f(x)的零点的个数；(2)设a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln a与－2b的大小．解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x (x >0)．①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数，又f (12)＝1－a4＋ln2， ∴当0≤a ＜4(1＋ln2)时，函数f (x )没有零点； 当a ＝4(1＋ln2)时，函数f (x )有一个零点； 当a >4(1＋ln2)时，函数f (x )有两个零点．②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上单调递减，在(12，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减， 又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点．当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (x )有一个零点． 当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上单调递减，在(－1a ，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，f (x )只有一个零点．综上，0≤a ＜4(1＋ln2)时没有零点； a <0或a ＝4(1＋ln2)时有一个零点； a >4(1＋ln2)时有两个零点．(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)， 则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx， 令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln4<0，故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，即ln a<－2b.。
步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习3.4导数的综合应用(含答案详析)
第4讲 导数的综合应用一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析 ∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x ＝9时，函数取得最大值．答案 9万件2．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx 有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 解析 因为函数y ＝e x ＋2mx 有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 3．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q的________条件．解析 ∵f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m .由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立，则Δ≤0，即16－12m≤0，解得m≥43.故为充分必要条件．答案充分必要4．若函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x ＋4的解集为________．解析令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)在R上递增．又g(－1)＝f(－1)－2·(－1)－4＝0.∴g(x)＞0⇒x＞－1.答案(－1，＋∞)5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1<a<0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案(－1,0)6．有一长为16 m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析设矩形的长为x m，则宽为：16－2x2＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案167．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．解析S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案304058．挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)， 如果截面积为20 m 2，当宽为________时，使截面周长最小．解析：如图所示，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20，截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr ＝2r ＋20－πr 22r ＋πr ＝2r ＋20r －πr 2＋πr＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r . 设C ′(r )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2－20r 2， 令C ′(r )＝0，解得r ＝2 104＋π. 故当r ＝2 104＋π时，周长C 最小，即宽为4 104＋π时，截面周长最小． 答案：4 104＋π 9．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 解析 如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝xm ，∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，又S △ADE ＝34x 2(m 2)， ∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x2(0＜x ＜1)， ∴s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2， 令s ′＝0得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′＜0，s 递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.答案 323310．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4.答案 4二、解答题11．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800.所以当x ＝15 cm 时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .解 (1)设容器为V ，则由题意，得V ＝πr 2l ＋43πr 3.又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，所以0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2. (2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，所以c －2>0，故当r 3－20c －2＝0，即r ＝ 320c －2时． 令 320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①当0<m <2即c >92时，若r ∈(0，m )，则y ′<0；若r ∈(m,2)，则y ′>0所以当r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2即3<c ≤92时，若r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调减，所以当r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2. 13．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x (x ＞0)，当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0. 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立， ∴⎩⎨⎧ g ′(1)＜0，g ′(2)＜0，g ′(3)＞0，∴－373＜m ＜－9.14． 设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于k<x＋1e x－1＋x(x>0)①令g(x)＝x＋1e x－1＋x，则g′(x)＝－x e x－1(e x－1)2＋1＝e x(e x－x－2)(e x－1)2.由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.2函数性质与分段函数(含答案解析)
第 7 练抓要点——函数性质与分段函数[ 题型剖析·高考展望 ]函数单一性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以填空题的形式考察，难度为中档偏上．二轮复习中，应当要点训练函数性质的综合应用能力，采集函数应用的不一样题型，剖析比较异同点，排查与其余知识的交汇点，找到此类问题的解决议略，经过训练提升解题能力．体验高考1 ． (2015 山·东改编 )设函数f(x)＝3x－ 1， x＜ 1，f(f(a)) ＝ 2f(a)的 a 的取值范围是则知足2x， x≥1，________ ．答案2，＋∞3分析由 f(f( a)) ＝ 2f(a)得， f(a) ≥1.2 2 当 a<1 时，有 3a－1≥1，∴ a≥，∴≤a<1.3 3 当 a≥1时，有 2a≥1，∴ a≥0，∴ a≥ 1.2综上， a≥ .32． (2015 山·东改编 )设函数 f(x)＝3x－b， x＜ 1，5＝ 4，则 b 等于 ________．x若 f f2 ， x≥1.6答案1 2分析由题意，得 f 555－ b. 6＝ 3× － b＝62535b1.当－ b≥1，即 b≤时，22＝ 4，解得 b＝222当52－ b＜ 1，即 b＞32时， 3×52－ b － b＝4，7解得 b＝8( 舍去 )．1因此 b＝ .23x －3x， x≤a，3． (2016 ·京北 )设函数 f(x)＝－2x，x＞a.(1)若 a＝ 0，则 f(x)的最大值为 ________；(2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是 ________．答案 (1)2 (2)(－∞，－ 1)3x － 3x， x≤0，分析(1)当 a＝0 时， f(x)＝－2x，x＞ 0.若 x≤0， f′(x)＝ 3x2－3＝ 3(x2－ 1)．由 f′(x)＞ 0 得 x＜－ 1，由 f′(x)＜0 得－ 1＜x≤0.因此 f( x)在 (－∞，－ 1)上单一递加；在 (－ 1,0] 上单一递减，因此 f( x)的最大值为 f(－ 1)＝ 2.若 x＞ 0， f(x)＝－ 2x 单一递减，因此f(x)＜ f(0)＝ 0.因此 f( x)的最大值为 2.(2)f(x)的两个函数在无穷制条件时的图象如图．由 (1) 知，当 a≥－ 1 时， f(x)获得最大值2.当 a＜－ 1 时， y＝－ 2x 在 x＞ a 时无最大值，且－ 2a＞ 2.因此 a＜－ 1.1－ x， x≥0，则 f(f(－ 2))等于 ________．4． (2015 陕·西改编 )设 f(x)＝x2 ， x＜ 0，答案1 2分析∵ f(－ 2)＝ 2－2＝1＞ 0，则 f(f(－ 2))＝ f1＝1－1＝ 1－1＝1.444225． (2016 四·川 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当0<x<1 时， f(x)＝ 4x，则f－5＋ f(1) ＝________.2答案－ 2分析因为 f(x)是周期为 2 的函数，因此 f( x)＝ f(x＋ 2)．而 f(x)是奇函数，因此 f( x)＝－ f(－ x)．因此 f(1) ＝ f(－ 1)， f(1)＝－ f(－ 1)，即 f(1) ＝0，又 f －5＝ f －1＝－ f1， f11＝42＝ 2，222255故 f －2＝－ 2，进而 f －2＋ f(1) ＝－ 2.高考必会题型题型一函数单一性、奇偶性的应用1．常用结论：设x1、 x2∈ [a， b]，则(x1－ x2) [f(x1)－ f(x2)]>0 ?f(x1)－ f(x2)>0 ? f(x)在[ a， b] 上x1－ x2单一递加． (x1－x2)[f( x1)－ f(x2)]<0 ?f(x1 )－ f(x2)<0? f(x)在 [a， b]上单一递减．x1－ x22．若 f(x)和 g(x)都是增函数，则 f(x)＋ g(x)也是增函数，－ f(x)是减函数，复合函数的单一性依据内函数和外函数同增异减的法例判断．3．定义域不对于原点对称的函数必定是非奇非偶函数．4．奇偶性同样的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例 1 (1) 假如函数f(x)＝ ax2＋ 2x－3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是 ________．(2 － a) x＋1， x＜ 1，(2) 已知 f(x)＝知足对随意 x1≠x2，都有f(x1)－f( x2)＞ 0 建立，那么 a 的取a x， x≥1x1－ x2值范围是 ________．答案(1)[－1， 0] (2)[3， 2) 42分析(1)当 a＝0 时， f(x)＝2x－ 3，在定义域 R 上是单一递加的，故在(－∞，4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f( x)的对称轴为x＝－1a.因为 f( x)在 (－∞，4) 上单一递加，因此 a＜ 0，且－1a≥4，解得－14≤a＜0.综合上述得，－14≤a≤0. (2)由已知条件得 f(x)为增函数，2－ a＞0，∴a＞ 1，(2 －a) ×1＋ 1≤a，解得3≤a＜ 2，∴ a 的取值范围是 [3， 2)．22评论(1) 奇偶性：拥有奇偶性的函数在对于原点对称的区间上其图象、函数值、分析式和单一性联系亲密，研究问题时可转变到只研究部分( 一半 )区间上，这是简化问题的一种途径．特别注意偶函数f(x)的性质： f(|x|)＝ f(x)．(2)单一性：能够比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的独一性．变式训练1若 f(x)＝－ x2＋ 2ax 与g( x)＝a在区间[1,2] 上都是减函数，则 a 的取值范围是x＋1________ ．答案(0,1]分析由 f(x)＝－ x2＋ 2ax 在 [1,2] 上是减函数可得[1,2] ? [a，＋∞)，∴ a≤ 1.∵y＝1在 ( －1，＋∞)上为减函数，x＋ 1a∴由 g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a＞0，故 0＜ a≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论： 1.若对于定义域内的随意x，都有 f(a－ x)＝ f(a＋ x)，则函数＝ a 对称．2．若对于随意x，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，则 f(x)为周期函数，且它的周期为例 2 (1) 已知函数f(x)是 (－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象对于直线f(x)的图象对于直线xT.x＝ 1 对称，当 x∈ [ －1,0)时， f(x)＝－ x，则 f(2015) ＋ f(2016) ＝ ________.(2) 定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x＋ 6)＝ f( x)．当－ 3≤x＜－ 1 时， f(x)＝－ (x＋ 2)2；当－ 1≤x＜3时， f(x)＝ x，则 f(1) ＋ f(2)＋ f(3) ＋＋ f(2016) ＝ ________.答案 (1)1 (2)336分析(1)由 f(x)是( －∞，＋∞)上的奇函数且f(x) 的图象对于直线x＝ 1 对称，知 f(x)的周期为4，∴f(2015) ＝f(3) ＝ f(－ 1)＝ 1，f(2016) ＝ f(4)＝ f(0) ＝ 0.∴f(2015) ＋f(2016) ＝1＋ 0＝ 1.(2) 由 f(x＋ 6)＝ f(x)可知，函数 f(x)的一个周期为 6，因此 f(－ 3)＝ f(3) ＝－ 1， f(－ 2)＝ f(4) ＝ 0，f(－1)＝ f(5)＝－ 1，f(0) ＝ f(6)＝ 0，f(1) ＝ 1，f(2)＝ 2，因此在一个周期内有 f(1) ＋f(2) ＋＋f(6)＝1＋ 2－ 1＋ 0－ 1＋0＝ 1，因此 f(1) ＋ f(2)＋＋ f(2016) ＝ [f(1) ＋f(2)＋＋f(6)] ×336＝ 336.评论利用函数的周期性、对称性能够转变函数分析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转变到已知区间上求解．变式训练2已知函数y＝ f(x)是定义在R 上的奇函数，? x∈ R，f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)建立，当f(x2)－ f(x1)x∈ (0,1)且 x1≠x2时，有＜0，给出以下命题：①f(1)＝ 0；②f(x)在 [ － 2,2] 上有 5 个零点；③点 (2014,0) 是函数 y＝ f(x)图象的一个对称中心；④直线 x＝2014 是函数 y＝ f(x)图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．答案①②③分析在 f(x－ 1)＝ f(x＋ 1)中令x＝ 0，得f(－1)＝ f(1)，又f(－ 1)＝－ f(1)，∴ 2f(1)＝ 0，∴ f(1)＝ 0，故①正确；由 f(x － 1)＝ f(x ＋ 1)，得 f(x)＝ f( x ＋2) ，∴ f(x)是周期为 2 的周期函数，∴ f(2)＝ f(0)＝ 0，又当 x ∈ (0,1)且 x 1≠x 2 时，有 f(x 2)－f(x 1)＜0，x 2－x 1 ∴函数在区间 (0,1)上单一递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确．因此正确命题的序号为①②③ .题型三 分段函数例 3(1)(2016 ·江苏 )设 f(x)是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间[ － 1,1)上， f( x)＝x ＋ a ，－ 1≤x ＜ 0，592此中 a ∈ R.若 f－ 2 ＝ f 2 ，则 f(5a)的值是 ________．5－ x ， 0≤x ＜ 1，(2)(2016 青·岛模拟 )对实数 a 和 b ，定义运算 “?”： a?b ＝a ， a －b ≤1，设函数 f(x)＝ (x 2－ 2)?b ， a －b ＞ 1.( x －x 2)， x ∈ R.若函数 y ＝ f(x)－ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是________ ．答案(1)－2(2)( － ∞，－ 2]∪ (－ 1，－ 3)54分析(1)由已知 f －5＝ f － 5＋ 2 ＝ f －12 2 21＝－ ＋ a ，f 9＝ f 9－4 ＝ f 1 ＝ 2－1＝1222 5 210.又∵ f －52 ＝f 92 ，则－ 12＋ a ＝ 101， a ＝ 35，3 2 ∴ f(5a)＝ f(3)＝ f(3 －4)＝ f(－ 1)＝－ 1＋ ＝－ .55x 2－ 2， x 2－ 2－ (x －x 2)≤1，(2) f(x)＝x － x 2， x 2－ 2－ (x － x 2)＞ 1，23x － 2，－ 1≤x ≤ ，2即 f(x)＝x － x 2， x ＜－ 1或 x ＞32.3f(x)的图象如下图，由图象可知c 的范围是 (－ ∞，－ 2]∪ (－ 1，－ 4)．评论(1) 分段函数是一个函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系的不一样而分别用几个不一样的式子来表示的． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集， 其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数．(2) 在求分段函数 f(x)的分析式时，必定要第一判断 x 属于定义域的哪个子集，而后再代入相应的关系式．变式训练 3 已知函数 f(x)＝x 2＋ 1， x ≥0，则知足不等式 f(1 －x 2)＞f(2x)的 x 的取值范围是1， x ＜0，________ ． 答案(－ 1， 2－ 1)2分析x ＋ 1， x ≥0，画出 f(x)＝的图象如图．1， x ＜ 0由图象可知，若f(1－ x 2)＞ f(2x)，1－ x 2＞ 0， 则1－ x 2＞ 2x ，－ 1＜ x ＜ 1，即－ 1－ 2＜ x ＜－ 1＋ 2，得 x ∈ (－ 1， 2－ 1)．高考题型精练1．设函数 f(x)为偶函数，对于随意的 x ＞0，都有 f(2＋ x)＝－ 2f(2－ x)，已知 f( － 1)＝ 4，那么f(－ 3)等于 ______．答案－ 8分析∵ f(x)为偶函数，∴f(1)＝ f(－ 1)＝ 4， f(－ 3)＝ f(3) ，当x＝ 1 时， f(2＋ 1)＝－ 2·f(2 － 1) ，∴f(3)＝－ 2×4＝－ 8，∴f(－ 3)＝－ 8.2．已知函数 f( x)为 R 上的减函数，则知足 f 1＜ f(1)的实数 x 的取值范围是 ________．x答案(－ 1,0)∪(0,1)分析由 f(x)为 R 上的减函数且 f 1，＜f(1)x1得x＞ 1，即 |x|＜ 1，x≠0，x≠ 0.∴－ 1＜ x＜0 或 0＜ x＜ 1.3．设函数 f(x)＝－ x2＋4x， x≤4，若函数 y＝ f(x)在区间 (a，a＋ 1)上单一递加，则实数 a 的log 2x， x＞4，取值范围是 ________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)分析如图，－ x2＋ 4x， x≤4，y＝f(x)在区间 (a， a＋ 1)上单一递加，则 a 画出 f( x)＝的图象，若使函数log 2x，x＞ 4＋ 1≤2或 a≥4，解得实数 a 的取值范围是 (－∞， 1]∪ [4，＋∞)．4． (2015 课·标全国Ⅱ改编 )设函数 f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－12，则使得 f(x) ＞f(2x－ 1)建立的 x 的1＋ x 取值范围是 ________．答案1，131分析由 f(x)＝ ln(1 ＋ |x|)－1＋x2，知 f(x) 为 R 上的偶函数，于是 f(x)＞ f(2x－ 1)即为 f(|x|)＞ f(|2x － 1|)．当 x＞ 0 时， f(x)＝ ln(1＋ x)－12，f′(x)＝ 1 ＋2x 22＞0，因此f(x)在[0，＋∞)上是增函1＋ x1＋ x(1＋ x )数，则由f(|x|)＞ f(|2x－ 1|)得 |x|＞ |2x－ 1|，平方得3x2－ 4x＋ 1＜ 0，解得1＜ x＜ 1. 35．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当数 a 的取值范围是________．答案(－ 2,1)x≥0时， f(x)＝ x2＋ 2x，若f(2－ a2)＞ f(a)，则实分析∵ f(x)是奇函数，∴当 x＜0 时， f(x) ＝－ x2＋ 2x.作出函数 f(x)的大概图象如图中实线所示，联合图象可知 f(x)是 R 上的增函数，由 f(2－ a2)＞ f( a) ，得 2－ a2＞ a，解得－ 2＜a＜ 1.6．函数 y＝ f(x－ 1)的图象对于直线 x＝ 1 对称，当x∈ (－∞， 0)时， f(x)＋ xf′(x)<0 建立，若 a＝ 20.2·f(20.2)， b＝ ln2 f(ln2)·，c (log11) f (log11) ，则a，b，c的大小关系是________．2424答案b>a>c分析因为函数 y＝ f(x－ 1)的图象对于直线x＝ 1 对称，因此 y＝ f( x)对于 y 轴对称．因此函数 y＝ xf(x)为奇函数．因为当 x∈ (－∞，0) 时， [xf(x)] ＝′f(x)＋ xf′(x)<0 ，因此函数y＝ xf(x)在 (－∞， 0)上单一递减，进而当 x∈ (0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单一递减．因为 1<2 0.2<2,0<ln2<1 ，log11＝2，24进而 0<ln2<2 0.2< log211 ，4因此 b>a>c.7．(2016 四·川改编 )某企业为激励创新，计划逐年加大研发资本投入．若该企业2015 年整年投入研发资本 130 万元．在此基础上，每年投入的研发资本比上一年增加12%，则该企业全年投入的研发资本开始超出200 万元的年份是 ________．( 参照数据： lg1.12＝ 0.05， lg1.3＝ 0.11， lg2 ＝ 0.30)答案2019分析设第 x 年的研发资本为 200 万元，则由题意可得 130×(1＋ 12%)x＝ 200，∴ 1.12x＝20，∴ x＝ log1.1220＝ log 1.1220－ log 1.1213 1313＝l g20 － lg13lg1.12 lg1.12＝(lg2 ＋lg10) － (lg1.3 ＋ lg10)lg1.120.3＋ 1－ 0.11－ 1≈＝3.8.0.05即 3 年后不到 200 万元，第 4 年超出 200 万元，即 2019 年超出 200 万元．8．已知函数 f( x)在实数集 R 上拥有以下性质：①直线 x ＝1 是函数 f(x)的一条对称轴；② f(x ＋ 2)＝－ f(x)；③当 1≤x 1＜x 2≤3时， (f( x 2)－ f(x 1 )) (x ·2－ x 1)＜ 0，则 f(2015) ， f(2016) ， f(2017) 从大到小的次序为____________________ ．答案 f(2017) ＞ f(2016) ＞ f(2015)分析由 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，得 f(x ＋ 4)＝ f(x)，因此函数 f( x)的周期是 4.因此 f(2015) ＝ f(3) ， f(2016) ＝ f(0)， f(2017) ＝ f(1) ，又直线 x ＝1 是函数 f(x)的一条对称轴，因此 f(2016) ＝ f(0) ＝ f(2)．由当 1≤x 1＜x 2≤3时， (f( x 2)－ f(x 1 )) (x ·2－ x 1)＜ 0，可知当 1≤x 1＜ x 2≤3时，函数单一递减，因此 f(1) ＞ f(2)＞ f(3) ，故 f(2017) ＞ f(2016) ＞ f(2015) ．9．已知函数 f(x)＝ x － [ x] ， x ≥0，此中 [x]表示不超出 x 的最大整数． 若直线 y ＝ k(x ＋ 1)(k>0)f(x ＋ 1)， x<0 的图象与函数 y ＝ f(x)的图象恰有三个不一样的交点，则实数 k 的取值范围是 ____________ ．答案1，14 3分析 依据 [x]表示的意义可知，当 0≤x<1 时， f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， f(x) ＝x － 1，当 2≤x<3时， f(x)＝ x － 2，以此类推，当 k ≤x<k ＋ 1 时， f(x) ＝x － k ， k ∈ Z 且 k ＞0.当－ 1≤x<0 时， f(x) ＝ x ＋ 1，作出函数 f( x)的图象如图．直线 y ＝ k(x ＋ 1)过点 (－ 1,0)，当直线经过点 (3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1) 时恰巧有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故1 1 k ∈ 4， 3 .10．已知函数y ＝ f(x)， x ∈ R ，有以下 4 个命题：①若f(1＋ 2x)＝ f(1 －2x)，则f(x)的图象对于直线x ＝ 1 对称；② y ＝ f( x －2)与y ＝ f(2－ x)的图象对于直线x ＝2 对称；③若f( x)为偶函数，且f(2＋x)＝－ f(x)，则f(x)的图象对于直线x ＝2 对称；④若 f( x)为奇函数，且f(x)＝ f(－ x－ 2)，则 f(x)的图象对于直线x＝ 1 对称．此中正确命题的序号为________．答案①②④分析1＋2x＋1－2x＝ 1，故函数 y＝ f(x)的图象对于直线 x＝1对称，故①正确；对于②，令2t ＝ x－2，则问题等价于y＝f(t)与 y＝ f( －t)图象的对称问题，明显这两个函数的图象对于直线t ＝ 0 对称，即函数 y＝ f(x－ 2)与 y＝ f(2－ x)的图象对于直线x－ 2＝ 0 即 x＝ 2 对称，故②正确；由 f(x＋ 2)＝－ f(x)，可得 f(x＋ 4)＝－ f(x＋ 2)＝ f(x)，我们只好获得函数的周期为4，即只好推得函数 y＝ f(x)的图象对于直线对称，故③错误；因为函数x＝ 4k(k∈ Z) 对称，不可以推得函数y＝ f(x)的图象对于直线x＝2f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－ x－ 2)，可得f(－ x)＝ f(x＋ 2)，因为－x＋ x＋ 2＝ 1，可得函数 y＝ f(x)的图象对于直线x＝1对称，故④正确．211．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对随意实数x，恒有 f(x＋ 2)＝－ f(x)，当 x∈ [0,2]时， f(x)＝ 2x－ x2.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x∈[2,4] 时，求 f(x)的分析式；(3)计算 f(0)＋ f(1) ＋f(2)＋＋ f(2016) ．(1)证明∵ f(x＋ 2)＝－ f( x)，∴f(x＋ 4)＝－ f(x＋ 2)＝f(x)，∴f(x)是周期为 4 的周期函数．(2) 解∵ x∈ [2,4]，∴－ x∈ [ － 4，－ 2]，∴ 4－ x∈ [0,2] ，∴f(4－x)＝2(4－ x)－ (4－ x)2＝－ x2＋ 6x－ 8，又 f(4 －x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－ x2＋6x－ 8，即 f(x)＝ x2－ 6x＋8， x∈ [2,4] ．(3)解∵ f(0) ＝ 0， f(1)＝ 1， f(2) ＝ 0， f(3)＝－ 1，又 f(x)是周期为 4 的周期函数，∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2) ＋ f(3)＝f(4)＋ f(5)＋ f(6) ＋ f(7)＝＝ f(2012) ＋ f(2013) ＋ f(2014) ＋ f(2015)＝0，∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2) ＋＋ f(2016)＝f(2016) ＝f(0) ＝ 0.a12．已知函数f(x)＝ lg(x＋x－2) ，此中 a 是大于 0 的常数．【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.2函数性质与分段函数(含答案分析)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a∈ (1,4)时，求函数 f( x)在 [2，＋∞)上的最小值；(3)若对随意 x∈ [2，＋∞)，恒有 f(x)＞ 0，试确立 a 的取值范围．解 (1)由 x＋a－2＞ 0，得x2－2x＋ a＞ 0，x x当 a＞ 1时， x2－ 2x＋ a＞ 0 恒建立，定义域为(0，＋∞)；当 a＝ 1时，定义域为 { x|x＞ 0且 x≠1}；当 0＜ a＜1 时，定义域为 { x|0＜ x＜ 1－1－ a或 x＞ 1＋ 1－ a} ．a a＝x2－ a＞ 0 恒建立，(2) 设 g(x)＝ x＋－ 2，当 a∈ (1,4)， x∈[2，＋∞)时， g′(x)＝ 1－22x x xa因此 g(x)＝ x＋－2 在 [2，＋∞)上是增函数，因此 f( x)＝ lg x＋a－ 2在 [2，＋∞)上是增函数，xa－ 2在 [2，＋∞)上的最小值为f(2) ＝ lga因此 f( x)＝ lg x＋x2.a(3) 对随意 x∈ [2，＋∞)，恒有 f(x)＞ 0，即 x＋x－2＞ 1 对 x∈[2 ，＋∞)恒建立，因此 a＞ 3x－ x2对 x∈ [2，＋∞)恒建立．令 h(x) ＝3x－ x2，2329而 h(x) ＝3x－ x＝－x－2＋4在[2，＋∞)上是减函数，因此h(x)max＝ h(2) ＝ 2，因此 a＞ 2.。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：1.2用好逻辑用语,突破充要条件(含答案解析)
第2练 用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东改编)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．答案 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”． ∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交．3．(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (2)0x ＋＜”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 12log (2)0x ＋＜ ⇔x ＋2＞1⇔x ＞－1.4．(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 既不充分也不必要解析 由|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故是既不充分也不必要条件． 5．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是________． 答案 ∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析 全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，n ≥x 2的否定是n ＜x 2.高考必会题型题型一 命题及其真假判断 常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1(1)命题p：“若ac＝b，则a、b、c成等比数列”，则命题p的否命题是________(填“真”或“假”)命题．(2)(2016·南师附中一模)有下面四个判断：①命题“设a、b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；③命题“∀a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“∃a、b∈R，a2＋b2≤2(a－b－1)”；④若函数f(x)＝ln(a＋2x＋1)的图象关于原点对称，则a＝3.其中正确的有________个．答案(1)假(2)0解析(1)命题p的否命题是：若ac≠b，则a、b、c不成等比数列，该命题为假命题，因为若ac＝－b且a、b、c都不是0，则a、b、c也是等比数列．(2)对于①：此命题的逆否命题为“设a、b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，②错误；“∀a、b∈R，a2＋b2≥2(a－b－1)”的否定是“∃a、b∈R，a2＋b2<2(a－b－1)”，③错误；对于④：若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，④错误．点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练1命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为________．答案 2解析原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假．题型二充分条件与必要条件例2(1)(2015·北京改编)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．(2)已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1＜0(m ＞－23)的解为条件q .①若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围； ②若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． 解 ①设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ， 则B ＝{x |－2m －1＜x ＜m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件， 则A 是B 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞2，－2m －1＜－1，m ＞－23，解得m ＞1.②若綈p 是綈q 的充分不必要条件， 则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m ＞－23.解得－23＜m ≤0.点评 判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．变式训练2 对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ∈N *)”是“数列{a n }为递增数列”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 因为a n ＋1>|a n |(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a n >0，即当n ≥2时，a n ＋1>a n . 若a 1≥0，有a 2>|a 1|＝a 1；若a 1<0，a 2>a 1显然成立，充分性得证． 当数列{a n }为递增数列时，设a n ＝－(12)n ，则a 2>|a 1|不成立．题型三 与命题有关的综合问题 例3 给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实数根”的逆否命题； ④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①③解析 ①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确． 点评 解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一． 变式训练3 下列命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确； 对于②，sin30°＝sin150°D30°＝150°，∴②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，∴③正确； ④显然正确．高考题型精练1．已知复数z ＝a ＋3i i (a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充要解析 z ＝a ＋3ii ＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a ＞0，反之也成立，所以“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件， 即p 是q 的充分不必要条件．3．(2016·天津改编)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 由题意得，a 2n －1＋a 2n ＜0⇔a 1(q 2n －2＋q 2n －1)＜0⇔q 2(n－1)(q ＋1)＜0⇔q ∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件．4．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．5．(2016·四川改编)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 画出可行域(如图所示)，可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内，故为必要而不充分条件．6．下列5个命题中正确命题的个数是________．①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． 答案 1解析 ①错，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；④正确，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确． 7．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<x ＋1”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是__________． 答案 ②解析 命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤x ＋1”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错． 8．在直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m)在第四象限的充要条件是____________________． 答案 －1<m <32或2<m <3解析 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>0，2m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.9．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ， 即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.10．已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由于f (x )是单调函数，在(0,1)上存在零点， 应有f (0)·f (1)＜0，解不等式求出实数a 的取值范围．由f (0)·f (1)＜0⇒(1－2a )(4|a |－2a ＋1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，(2a ＋1)(2a －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，(6a －1)(2a －1)＜0⇒a ＞12. 11．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12＞0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上) 答案 ①③解析 在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中，“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”正确．12．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x ＜a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 由4x －1≤－1，得－3≤x ＜1.由x 2－x ＜a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]＜0，当a ＞1－a ，即a ＞12时，不等式的解为1－a ＜x ＜a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a ＜1－a ，即a ＜12时，不等式的解为a ＜x ＜1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a ＞12时，由{x |1－a ＜x ＜a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12＜a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a ＜12时，由{x |a ＜x ＜1－a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a ＜12.综上，a 的取值范围是[0,1]．。
《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇专题4三角函数与.doc
第19练平面向量中的线性问题［题型分析•高考展望］平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和儿何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)(2015•课标全国I改编)设Z)为△MC所在平面内一点，BC=3CD,则下列结论正确的是________.点评平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时，才能得岀三点共线.⑶04=XOB+fiOC^，“为实数)，若力、B、C三点共线，则久+“=1.变式训练1 (1)(2015・杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，^AD=XAB+kAC,则2+k= _______________ .(2)在梯形ABCD 4*，AB//CD. AB=2CD, M, N 分别为CD 的中点，^AB=kAM+i.iAN.贝IJ 久+“= _______ .题型二平面向量的坐标运算例2 (1)(2015-江苏)已知向量a=(2,1), 6=(1, -2),若ma+nb=(9f一8)(加,用R),则加~n的值为 ________ (2)平面内给定三个向量a=(3,2), ft=(-l,2), c=(4,l),请解答下列问题:①求满足a=mb+nc的实数tn, n；②若(a+kc)//(2b~a),求实数広③若d 满足(d-c)//(a+b)f且\d~c\=yj5f求d.点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(X], pi), b=(X2,旳)，则a//b的充要条件是X"—兀少1=0;②若a〃方(aHO),则b=Xa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2 (1)(2014-湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，J(-1,O), 3(0,迈)，C(3,0),动点D满足\CD\=],则|鬲+丽+场|的最大值是______________ ⑵已知向量04=(3, -4), 08=(6,一3), 0C=(5~m,一3—加)，若点、A、B、C 能构成三角形，则实数加满足的条件是高考题型精练1. （2015-四川改编）设向量a=（2,4）与向量b=（x,6）共线，则实数.2. （2015•安徽改编）/\ABC 是边长为2的等边三角形，己知向量a, b 满足乔=2a, AC=2a+b. 则下列结论正确的是 ________ .① |^| = 1； ②a 丄@ab=l;④（4a+b ）丄記 3. （2015•常州调研）已知 /（一3,0）, 3（0,2）,。
高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做中档大题规范练3Word版含解析
中档大题规范练 3 数列1． (2016 ·标全国甲课 )S n为等差数列 { a n } 的前 n 项和，且 a1＝ 1， S7＝28.记 b n＝ [lg a n]，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如 [0.9] ＝ 0， [lg 99] ＝ 1.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 { b n} 的前 1000 项和．解(1) 设 { a n na n＝n.} 的公差为 d，据已知有7＋ 21d＝28，解得 d＝ 1.因此 { a } 的通项公式为b1＝ [lg 1] ＝ 0，b11＝ [lg 11] ＝ 1， b101＝ [lg 101] ＝ 2.0， 1≤n<10，1， 10≤ n<100 ，(2)由于 b n＝2， 100≤ n<1000，3， n＝ 1000，因此数列 { b n} 的前 1000 项和为 1× 90＋ 2× 900＋ 3× 1＝ 1893.2．在数列 { a n} 中， a1＝ 1， a4＝ 7，a n＋2－ 2a n＋1＋ a n＝ 0(n∈N* )．(1)求数列 a n的通项公式；1*(2) 若 b n＝(n∈N )，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n .解(1) ∵ a n＋2－ 2a n＋1＋ a n＝ 0(n∈N* )，∴a n＋2－ a n＋1＝ a n＋1－ a n( n∈N* )，即数列 { a n} 为等差数列，a4－ a17－ 1∵a1＝1，a4＝7，∴ 公差d＝3＝3＝2，∴a n＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1.(2)∵ a n＝ 2n－ 1，∴b n＝1＝1n 3＋ a n n 3＋ 2n－ 11111－1＝·＝·()，2n n＋12n n＋ 1∴S n＝11111－1·(1－＋－＋＋n) 2223n＋ 11 1 ＝ 2·(1－n ＋ 1 )．3．已知数列 { a n } 是递加的等比数列，知足a 1 ＝4，且 5是 a 2，a 4 的等差中项，数列 { b n } 满a 3 4足 b n ＋ 1＝ b n ＋ 1，其前 n 项和为 S n ，且 S 2＋ S 6＝ a 4. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式；nn ，若不等式 nlog 2n ＋4) －λb＋n 7≥ 3n 对全部 n ∈N *恒建立，求(2) 数列 { a } 的前 n 项和为 T (T实数 λ的取值范围．解(1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 q>1 ， a n ＝ 4qn －1，5∵ 4a 3 是 a 2， a 4 的等差中项，∴ 2× 54a 3＝ a 2＋ a 4，即 2q 2－ 5q ＋ 2＝ 0.∵ q >1， ∴ q ＝ 2， ∴ a n ＝ 4·2n －1＝ 2n ＋ 1.依题意，数列 { b n } 为等差数列，公差 d ＝ 1，又 S 2＋ S 6＝ a 4＝ 32，∴(2b 1＋1)＋ 6b 1＋6× 5 2 ＝ 32，∴b 1＝ 2， ∴ b n ＝ n ＋ 1.(2) ∵ a n ＝ 2n ＋1，∴ T n ＝ 4 2n － 1＝ 2n ＋2－4.2－ 1不等式 nlog 2(T n ＋ 4)－ λb＋n 7≥ 3n 化为 n 2－ n ＋ 7≥ λ(n ＋ 1)， ∵ n ∈ N * ， n 2－ n ＋7 *恒建立．∴λ≤ 对全部 n ∈ N n ＋ 1 n 2－ n ＋ 7 n ＋ 1 2－ 3 n ＋ 1 ＋ 9而 ＝ n ＋ 1n ＋ 1 ＝( n ＋ 1)＋ 9－ 3≥ 2n ＋ 1 × 9－ 3＝ 3，n ＋ 1n ＋ 1当且仅当 n ＋ 1＝9，即 n ＝2 时等号建立，n ＋1∴λ≤ 3.4．在各项均为正数的等比数列{ a n } 中， a 1＝ 2，且 a 3,3a 2， a 4 成等差数列．(1) 求等比数列 { a n } 的通项公式；1(2) 若数列 { b n } 知足 b n ＝ (n ＋ 2)log 2a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .解(1) 由已知 6a 2＝ a 3＋ a 4，则 6a 2＝ a 2q ＋ a 2q 2，即 q 2＋ q － 6＝0，又 q>0，因此 q ＝ 2， a n ＝ 2n .(2) b n ＝ (n ＋ 2)log 22n ＝ n(n ＋ 2)，1 1 1 1则b n ＝ 2(n － n ＋ 2)，T n ＝1＋1＋ ＋ 1b 1 b 2b n＝ 1(1－ 1)＋ 1(1－ 1)＋ ＋1( 1 － 1)＋ 23 2 2 42 n － 1 n ＋ 11 1 2(n －1) n ＋ 2＝ 1(1＋1－ 1 － 1)22n ＋ 1 n ＋ 232n ＋ 3＝ 4－2 n 2＋ 3n ＋ 2.5．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 6＋a 8＝－ 10， S 10＝－ 35.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；a n(2) 求数列 { 2n －1} 的前 n 项和 T n .a 1＋ 6d ＝－ 5，解(1) 由题设可得2a 1＋ 9d ＝－ 7，a 1＝ 1，解得d ＝－ 1，因此 a n ＝ 1－ (n － 1)＝ 2－ n.a n11(2)由于 n －1＝n － 2－n ·n －1，22211 11 1T n 2 12n － 2(1 2×3×2n · )2222n － 111S n 2 1 22n －2111n ′ 1 2×3×2S22n ·n － 12T n S n S n ′11S n 2 1 22n － 212 1n112 4(11 2n )4 2n －221 1 1S n ′ 1 2×3×2n ·2 22n －11 1 2× 111S n ′2 3× 3n ·n2222 211 1111 n ′ 123n ·n2S2 2 22n －12112n 111n ·nn ·n122 2n －121 2n ′4111Sn2 n ·n2 －2－T n S n S n ′n.2n －1。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.6以函数为背景的创新题型(含答案解析)
第11练 研创新——以函数为背景的创新题型[题型分析·高考展望] 在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现．主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题．这种题难度一般为中档，多出现在填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高．通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患．体验高考1．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R)．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))． 对于①，从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故①正确； 对于②，直线CD 的斜率可为负，即存在n ＜0的情形，故②不正确； 对于③，由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则h ′(x )＝2x ·ln2－2x －a .由h ′(x )＝0，得2x ·ln2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故③不正确； 对于④，由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2x ln2＋2x ＋a . 由F ′(x )＝0，得2x ln2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点， ∴存在x 1，x 2，使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故④正确．故①④正确．2．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 5x 6x 7＝0，x 2x 3x 6x 7＝0，x 1x 3x 5x 7＝0，00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________． 答案 5 解析 (1)x4x5x6x 7＝111＝1，(2)x2x3x6x 7＝11＝0；(3)x1x 3x 5x 7＝1011＝1.由(1)(3)知x 5，x 7有一个错误，(2)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.3．(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 ①设A 的坐标为(x ，y )， 则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′的“伴随点”横坐标为－x x 2＋y 2⎝⎛⎭⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故A ″(－x ，－y )，①错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则P 的“伴随点”的坐标为P ′(sin θ，－cos θ)，则有sin 2θ＋(－cos θ)2＝1，所以P ′也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，②正确；③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，其关于x 轴的对称点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，所以点A 的“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”为A 1′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与A 1′关于y 轴对称，③正确；④反例：例如y ＝1这条直线，则A (0,1)，B (1,1)，C (2,1)，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1,0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三个点不在同一直线上．下面给出严格证明： 设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yx 2＋y 2，y 0＝－xx 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y0x 2＋y 20，y ＝xx 20＋y 20.代入直线方程可知，A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0， 化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)是一个常数，点P ′的轨迹是一条直线； 当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，点P ′的轨迹不是一条直线．所以一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错误． 综上，真命题是②③.高考必会题型题型一 与新定义有关的创新题型例1 已知函数y ＝f (x )(x ∈R)．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． 答案 (210，＋∞)解析 由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立，显然b ＞0.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)． 点评 解答这类题目的关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法．变式训练1 若函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y ＝|x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．若函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1,1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 因为函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1,1]上的“平均值函数”，所以关于x 的方程x 2－mx －1＝f (1)－f (－1)2在区间(－1,1)内有实数根，即x 2－mx －1＝－m 在区间(－1,1)内有实数根，即x 2－mx ＋m －1＝0，解得x ＝m －1或x ＝1.又1不属于(－1,1)，所以x ＝m －1必为均值点，即－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2，所以实数m 的取值范围是(0,2)． 题型二 综合型函数创新题例2 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④解析 因为f (x )∈A ，所以函数f (x )的值域是R ，所以满足∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，同时若∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，则说明函数f (x )的值域是R ，则f (x )∈A ，所以①正确； 令f (x )＝1x ，x ∈(1,2]，取M ＝1，则f (x )⊆[－1,1]， 但是f (x )没有最大值，所以②错误；因为f (x )∈A ，g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ，n ])，所以存在区间[a ，b ]⊆[m ，n ]，使得f (x )在区间[a ，b ]上的值域与g (x )的值域相同，所以存在x 0∉[a ，b ]，使得f (x 0)的值接近无穷，所以f (x )＋g (x )∉B ，所以③正确；因为当x >－2时，函数y ＝ln(x ＋2)的值域是R ，所以函数f (x )若有最大值，则a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1. 因为对∀x ∈R ，x 2＋1≥2|x |，所以－12≤x x 2＋1≤12.即－12≤f (x )≤12，故f (x )∈B ，所以④正确．点评 此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法．解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等．变式训练2 如果y ＝f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．给出下列命题： ①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”；②若奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，且f (1)＝1，则f (2015)＝1；③若函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，图象关于点(1,0)成中心对称，且在(－1,0)上单调递减，则y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，则函数y ＝f (x )是周期函数． 其中正确的是________．(写出所有正确命题的编号) 答案 ①③④解析 ①因为sin (x ＋π)＝－sin x ＝sin (－x )， 所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”， 所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”， 所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4，因为f (1)＝1，所以f (2015)＝f (3)＝－f (1)＝－1. 所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”， 所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 即f (2－x )＝f (2＋x )．因为图象关于点(1,0)成中心对称，所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )， 所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数．因为f (x )的图象关于点(1,0)成中心对称，且在(－1,0)上单调递减， 所以f (x )的图象也关于点(－1,0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减， 根据偶函数的对称性得出f (x )在(1,2)上单调递增，故③正确； ④因为具有“P (0)性质”和“P (3)性质”， 所以f (x )＝f (－x )，f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且周期为3，故④正确．高考题型精练1．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝________. 答案 7解析 由对应法则知1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1，又a ∈N *，∴a 4≠10，∴a 2＋3a ＝10，解得a ＝2(舍去a ＝－5)，所以a 4＝16，于是3k ＋1＝16，∴k ＝5.∴a ＋k ＝7.2．设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称f (x )为“倍缩函数”．若函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，则t 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，所以存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2.因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为增函数，所以⎩⎨⎧ln(e a ＋t )＝a2，ln(e b＋t )＝b2，即⎩⎨⎧e a ＋t ＝e a2，e b＋t ＝e b2，∴a ，b 是方程2e e 0xxt －＋＝的两个根， 令2e xk ＝，则k 2－k ＋t ＝0，即方程k 2－k ＋t ＝0有两个不等的正根．即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－4t ＞0，t ＞0，解得t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. 3．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1＋x 2＝2a ，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究并利用函数f (x )＝x 3－3x 2－sinπx 的对称中心，可得f (12016)＋f (22016)＋…＋f (40302016)＋f (40312016)等于________．答案 －8062解析 如果x 1＋x 2＝2，则f (x 1)＋f (x 2)＝x 31－3x 21－sinπx 1＋x 32－3x 22－sinπx 2＝x 31－3x 21－sinπx 1＋(2－x 1)3－3(2－x 1)2－sinπ(2－x 1)＝－4.令S ＝f (12016)＋f (22016)＋…＋f (40302016)＋f (40312016)，又S ＝f (40312016)＋f (40302016)＋…＋f (12016)，两式相加得2S ＝－4×4031，所以S ＝－8062.4．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1， 3 ]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是________． 答案 ③④解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确； 令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ， 但f (x 2)＝－x 2在[1， 3 ]上不具有性质P ， 因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确； 对于③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1， 因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3， 由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，与上式矛盾． 即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故③正确． 对于④，对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，故④正确． 综上，真命题的序号是③④.5．已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ∈[0,1]．定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，n ＝2,3,4，…，满足f n (x )＝x 的点x ∈[0,1]称为f (x )的n 阶不动点．则f (x )的n 阶不动点的个数是________． 答案 2n解析 函数f (x )＝1－|2x －1|＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤12，2－2x ，12＜x ≤1，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f 1(x )＝2x ＝x ⇒x ＝0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x )＝2－2x ＝x ⇒x ＝23， ∴f 1(x )的1阶不动点的个数为2.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝4x ＝x ⇒x ＝0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤14，12时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2－4x ＝x ⇒x ＝25， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，34时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4x －2＝x ⇒x ＝23， 当x ∈⎝⎛⎦⎤34，1时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4－4x ＝x ⇒x ＝45. ∴f 2(x )的2阶不动点的个数为22，以此类推，f (x )的n 阶不动点的个数是2n . 6．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有下列四种说法： ①[－x ]＝－[x ]； ②[2x ]＝2[x ]； ③[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]； ④[x －y ]≤[x ]－[y ]． 其中正确的是________． 答案 ④解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故①错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故②错；令x ＝1.5，y ＝0.5，[x ＋y ]＝2，[x ]＋[y ]＝1＋0＝1，故③错．故正确的是④. 7．如果定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案 ②③解析 由已知x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，所以函数f (x )在R 上是增函数．对于①，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，其不是“H 函数”；对于②，y ＝e x ＋1在R 上为增函数，所以其为“H 函数”；对于③，由于y ′＝2－cos x ＞0恒成立，所以y ＝2x －sin x 是增函数，所以其为“H 函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上知，是“H 函数”的序号为②③.8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由新定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0， 且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.9．已知二次函数f (x )的两个零点分别为b 1－a ，b1＋a(0<b <a ＋1)，f (0)＝b 2.定义card(A )：集合A 中的元素个数．若“⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card(A ∩Z )＝4”是“f (x )>0”的充要条件，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1,2)解析 由条件可得f (x )＝(1－a 2)(x －b 1－a )(x －b1＋a )，结合⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card(A ∩Z )＝4知a >1，所以f (x )开口向下，所以f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫b 1－a ，b 1＋a ，且0<b 1＋a <1.结合数轴分析，知－4≤b1－a <－3，即3a －3<b ≤4a －4，又0<b <a ＋1，所以3a －3<b <a ＋1，得1<a <2.10．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )＞0，对任意a ＞0，b ＞0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x ＞0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (2)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案 (1)x (2)x解析 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c,0)，则三点共线． (1)依题意，c ＝ab ，则求得f (a )a ＝f (b )b ，故可以选择f (x )＝x (x ＞0)．(2)依题意，c ＝2ab a ＋b ，求得f (a )a ＝f (b )b ，故可以选择f (x )＝x (x ＞0)．11．对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](其中a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列4个函数： ①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|； ③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x .其中存在“稳定区间”的函数是________．(填出所有满足条件的函数序号) 答案 ①②③解析 据已知定义，所谓的“稳定区间”即函数在区间[a ，b ]内的定义域与值域相等． 问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”．数形结合依次判断，①②③均符合条件，而④不符合条件．综上可知，①②③均为存在“稳定区间”的函数．12．若函数f (x )在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )＝f (x )x 在I 上是减函数，则称y ＝f (x )在I 上是“非完美增函数”．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝2x ＋2x＋a ln x (a ∈R)．(1)判断f (x )在(0,1]上是否为“非完美增函数”；(2)若g (x )在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，求实数a 的取值范围．解 (1)易知f ′(x )＝1x ＞0在(0,1]上恒成立，所以f (x )＝ln x 在(0,1]上是增函数．F (x )＝f (x )x ＝ln x x，求导得F ′(x )＝1－ln x x 2，因为x ∈(0,1]，所以ln x ≤0，即F ′(x )＞0在(0,1]上恒成立，所以F (x )＝ln x x在(0,1]上是增函数．由题意知，f (x )在(0,1]上不是“非完美增函数”． (2)若g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x (a ∈R)在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，则g (x )＝2x ＋2x＋a ln x 在[1，＋∞)上单调递增，G (x )＝g (x )x ＝2＋2x 2＋a ln x x在[1，＋∞)上单调递减． ①若g (x )在[1，＋∞)上单调递增，则g ′(x )＝2－2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 在[1，＋∞)上恒成立．令h (x )＝2x －2x ，x ∈[1，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，所以a ≥0.②若G (x )在[1，＋∞)上单调递减，则G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立．令t (x )＝－4＋ax －ax ln x ，x ∈[1，＋∞)，因为t ′(x )＝－a ln x ，由①知a ≥0，所以t ′(x )≤0恒成立，所以t (x )＝－4＋ax －ax ln x 在[1，＋∞)上单调递减，则t (x )max ＝t (1)＝a －4.要使t (x )＝－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立，则a －4≤0，即a ≤4，此时G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立． 综合①②知，实数a 的取值范围为[0,4]．13．给出定义：若a ，b 为常数，g (x )满足g (a ＋x )＋g (a －x )＝2b ，则称函数y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称．已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x，定义域为A . (1)判断y ＝f (x )的图象是否关于点(a ，－1)成中心对称；(2)当x ∈[a －2，a －1]时，求证：f (x )∈[－12，0]； (3)对于给定的x i ∈A ，设计构造过程：x 2＝f (x 1)，x 3＝f (x 2)，…，x n ＋1＝f (x n )．如果x i ∈A (i ＝2,3,4，…)，构造过程将继续下去；如果x i ∉A ，构造过程将停止．若对任意x i ∈A ，构造过程可以无限进行下去，求a 的值．解 (1)因为f (x )＝x ＋1－a a －x ＝－1＋1a －x， 所以f (a ＋x )＋f (a －x )＝(－1＋1－x)＋(－1＋1x )＝－2. 由定义可知y ＝f (x )的图象关于点(a ，－1)成中心对称．(2)设x 1＜x 2＜a ，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －x 1－1a －x 2＝x 1－x 2(a －x 1)(a －x 2)＜0， 所以f (x )在(－∞，a )上是增函数．可知f (x )在[a －2，a －1]上是增函数，当x ∈[a －2，a －1]时，f (x )∈[f (a －2)，f (a －1)]，即f (x )∈[－12，0]． (3)因为构造过程可以无限进行下去，所以f (x )＝x ＋1－a a －x≠a 对任意x ∈A 恒成立． 则方程x ＋1－a a －x＝a 无解， 即方程(a ＋1)x ＝a 2＋a －1无解或有唯一解x ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝0，a 2＋a －1≠0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≠0，a 2＋a －1a ＋1＝a ，由此解得a ＝－1.14．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )＜x －m x有解，求实数m 的取值范围； (3)定义：对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的任意实数x 0，称|f (x 0)－g (x 0)|的值为两函数在x 0处的差值．证明：当a ＝0时，函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x ＞0)． ①当a ＝0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a， 则当x ∈(0，－1a)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )单调递增， 当x ∈(－1a，＋∞)时，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减．综上，当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在(0，－1a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减． (2)解 由题意：e x ＜x －m x有解，即e x x ＜x －m 有解，因此只需m ＜x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可．设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e x x －e x 2x ＝1－e x (x ＋12x)． ∵x ＋12x ≥212＝2＞1， 且x ∈(0，＋∞)时e x ＞1， ∴1－e x (x ＋12x)＜0，即h ′(x )＜0， 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减．∴h (x )＜h (0)＝0，故m ＜0.(3)证明 当a ＝0时，f (x )＝ln x ，f (x )与g (x )的公共定义域为(0，＋∞)，|f (x )－g (x )|＝|ln x －e x |＝e x －ln x＝e x －x －(ln x －x )．设m (x )＝e x －x ＞0，则m ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m (x )＞m (0)＝1.又设n (x )＝ln x －x ，x ∈(0，＋∞)，n ′(x )＝1x－1， 当x ∈(0,1)时，n ′(x )＞0，n (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，n ′(x )＜0，n (x )单调递减，所以x ＝1为n (x )的极大值点，即n (x )≤n (1)＝－1，故|f (x )－g (x )|＝m (x )－n (x )＞1－(－1)＝2.即公共定义域内任一点差值都大于2.。
【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练4 Word版含解析
“锁定70分”专项练41．设全集U ＝{x |x <9且x ∈Z }，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，图中阴影部分所表示的集合为________．答案 {1,2,4,5,6}2．已知i 为虚数单位，则复数2i1＋i ＝________.答案 1＋i3．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是______________________．答案 ∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论． 4． sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝________. 答案 12解析 sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方程x 2k －3＋y 2－(k ＋3)＝1表示双曲线，只需满足(k －3)(－k －3)＜0，解得k ＞3或k ＜－3.所以k ＞3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．答案 25解析 设正方体的边长为2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，M (2,1,2)，N (2,2,1)．所以AM →＝(0,1,2)，CN →＝(2,0,1)， 所以cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CN →|AM →||CN →|＝25. 7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．答案 19解析 连结B 1D 1∩A 1C 1＝F ，平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF ，连结BD ，因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线， 又根据B 1F 平行且等于12BD ，所以EF EB ＝12，所以E 是△A 1BC 1的重心，那么点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以V 1＝13SA 1B 1C 1D 1×13BB 1，而V 2＝SA 1B 1C 1D 1×BB 1，所以V 1V 2＝19.8．设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是________．答案3655解析 由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)，则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655. 9．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为________． 答案 13解析 先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13(非第一)种方法，其余三个自由排，共有A 13A 13A 33＝54(种)方法，这是总结果；学生C 第一个出场，先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13种方法，C 第一个出场，剩余2人自由排，故有A 13A 13A 22＝18(种)，故学生C 第一个出场的概率为1854＝13. 10．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值是________． 答案 －32解析 双曲线ax 2＋by 2＝1的渐近线方程可表示为ax 2＋by 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝0 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，y 1＋y 2＝2aa ＋b ，所以原点和线段AB 中点的直线的斜率为 k ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b＝－32.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则该函数的解析式是______________．答案 y ＝2sin(27x ＋π6)解析 由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，φ＝π6.∵点(－7π12，0)在函数的图象上，可得2sin(－7π12ω＋π6)＝0，∴可得－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k7，k ∈Z ，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27，∴y ＝2sin(27x ＋π6)．12．(2016·课标全国丙)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝________.答案 4解析 第一次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝6，n ＝1； 第二次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝10，n ＝2； 第三次循环a ＝6－4＝2，b ＝6－2＝4，a ＝4＋2＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环a ＝4－6＝－2，b ＝4－(－2)＝6，a ＝6－2＝4，s ＝20，n ＝4，满足题意，结束循环． 13．(x ＋1)(1x－1)3的展开式中的常数项为______． 答案 －4解析 (1x －1)3的通项公式是T r ＋1＝C r 3(1x)3－r (－1)r＝323C (1)rr r x --－，所以原式中出现常数项则－3－r 2＝－1或－3－r 2＝0，解得r ＝1或r ＝3，所以其常数项为C 13(－1)＋C 33(－1)3＝－3－1＝－4.14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AD →⊥DC →， 则AC →·BD →＝________. 答案 －8解析 因为AC →＝AD →＋DC →，BD →＝BA →＋AD →， 所以AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BA →＋AD →) ＝AD →·BA →＋AD →2＋DC →·BA →＋DC →·AD → ＝0＋4＋(－12)＋0＝－8.。
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中档大题规范练4 概率与统计
1．(2016·北京)
A ，
B ，
C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，
通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C 班的学生人数；
(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明)． 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8
＝100×820＝40.
(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝1
8，j ＝1,2， (8)
P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝1
40，i ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)
设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知， E ＝
A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5
C 3∪A 5C 4.
因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝3
8.
(3)μ1＜μ0.
2．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175cm 以上(包括175cm)定义为“合格”，成绩在175cm 以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．
(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；
(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？
(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的概率分布，并求X 的均值．
解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，
故中位数为1
2
(176＋178)＝177.
(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 24
C 212＝111
，
P (X ＝1)＝C 18C 14
C 212＝1633
，
P (X ＝2)＝C 28
C 212＝1433.
故X 的概率分布为
E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝4
3
.
3．安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的概率分布．
解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ， 则有C 25·
23＝80(种)，
∴P (M )＝80
243
.
即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80
243.
(2)由题意得：ξ＝1,2,3,
ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)， ∴P (ξ＝1)＝3243＝181
，
ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4,1或3,2有C 23·(C 45＋C 3
5)·A 22＝90(种)，
∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027
，
ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3,1,1或2,2,1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·
12！)·A 33＝150(种)，
∴P (ξ＝3)＝150243＝50
81.
∴ξ的概率分布为
4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是1
3，且在A ，B 两点处投中与否相互
独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜． (1)求甲投篮总得分ξ的概率分布和均值； (2)求甲获胜的概率．
解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ， 根据题意，ξ的可能取值为0,2,3,5，则 P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝1
3，
P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝1
3，
P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝1
6，
P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝1
6.
所以ξ的概率分布为
E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×1
6＝2.
(2)同理，乙的总得分η的概率分布为
甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥． 因此，所求事件的概率为
P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝13
36.
5．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．
(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；
(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
(3)在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的概率分布及均值． 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝2
50×10＝0.004，
y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.56
10
＝0.018.
(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45, 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为9
10，故
从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为9
10，设在该校高一学生中任选3人，至少
有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03
×(1－910)3＝999
1000
. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3, 故ξ的取值为0,1,2,3，则
P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 2
3
C 312＝27220，
P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108
220＝2755
，
P (ξ＝3)＝C 39
C 312＝84220＝2155，
所以ξ的概率分布为
E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝9
4.。