浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.cos30°的值是( )A. 12B. √32C. √33D. √32.将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线( )A. y=3(x−1)2+1B. y=3(x+1)2+1C. y=3(x−1)2−1D. y=3(x+1)2+13.在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 234.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，若BD=2AD，则( )A. ADAB =12B. AEEC =12C. ADEC =12D. DEBC =125.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为( )A. 3.71cmB. 4.14cmC. 4.32cmD. 4.86cm6.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是( )A. CDAC B. BDCBC. CBABD. CDCB8.如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD.若CD=8，BM=2，则AD的长为( )A. 10B. 5√3C. 4√5D. 3√109.如图，AB=AC=25cm，DB=DE=5cm，点B，E，C三点共线，AB⊥BD.若BE=6，则BC的长为( )A. 45cmB. 42cmC. 40cmD. 5√26cm10.已知A，B两点的坐标分别为(−2,−2)，(1,2)，线段AB上有一动点M(m,n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y=−(x+1)2+b于点P(x1,y2)，Q(x2,y2)两点(点P在Q的左侧).若x1<m≤x2恒成立，则b的取值范围为( )A. b≤1B. b≥6C. −1<b≤6D. −2<b≤5二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知2m−7n=0，则mn的值为______．12.某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如表：移植总数/棵50270400750150035007000900014000成活的频率0.9400.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.900若要有18000棵树苗成活，估计需要移植______棵树苗较为合适．13.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的面积比为______．14.如图，直线y=kx+b与抛物线y=−x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式−x2+2x+3>kx+b的解集为．15.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连结AO、CO.若BC=6，sin∠BAC=35，则⊙O的半径为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM.以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM=30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F.若△MDF的面积是△MEF面积的√3倍，则CM的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。
专练08 方程与函数类应用题(20题)2020~2021学年九年级数学上期末考点必杀题(试题解析)
专练08 方程与函数类应用题（20题）1．（2019·山东九年级期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如下表格所示：（1）求每月的利润W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）221321600W x x =-+-；（2）26元或40元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．（1）由表格可知，y 与x 之间的函数关系是一次函数， 设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 将(30,40)和(40,20)代入得：30404020k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为2100y x =-+， 因此，(16)(16)(2100)W x y x x =-=--+， 即221321600W x x =-+-；（2）由题意得：221321600480x x -+-=， 整理得：26610400x x -+=， 解得26x =或40x =，答：当销售单价为26元或40元时，厂商每月获得的总利润为480万元； （3）由题意得：48003016y ≤≤=， 则0210030x ≤-+≤， 解得3550x ≤≤，将二次函数221321600W x x =-+-化成顶点式为22(33)578W x =--+， 由二次函数的性质可知，在3550x ≤≤范围内，W 随x 的增大而减小， 则当35x =时，W 取得最大值，最大值为22(3533)578570-⨯-+=（万元）， 答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，较难的是题（3），熟练掌握二次函数的性质是解题关键．2．（2020·迁安市迁安镇第一初级中学九年级期末）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表．（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少； （3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．【答案】（1）52；52+x ；180；180-10x ；（2）60元；（3）2240元 解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表：故答案为：52；52+x ；180；180-10x（2）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，根据题意得： （52-40）×180+（52+x-40）（180-10x ）=4160， 解得：x 1=-2（舍去），x 2=8， 当x=-2时，52+x=50（舍去），当x=8时，52+x=60．答：第二个月销售定价每套应为60元． （3）设第二个月利润为y 元． 由题意得到：y=（52+x-40）（180-10x ） =-10x 2+60x+2160 =-10（x-3）2+2250 ∵-10＜0∴当4≤x≤6时，y 随x 的增大而减小， ∴当x=4时，y 取最大值，此时y=2240， ∴52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为56元，此时第二个月的最大利润是2240元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 3．（2019·山东九年级期末）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点B 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】（1）2724y x x =-++，74米；（2）114米；（3）至少要1⎛+ ⎝⎭米．（1）由题意，将点157,,2,224B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得：1154227424b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则抛物线的函数关系式为2724y x x =-++， 当0x =时，74y =， 故喷水装置OA 的高度74米； （2）将2724y x x =-++化成顶点式为211(1)4y x =--+，则当1x =时，y 取得最大值，最大值为114，故喷出的水流距水面的最大高度是114米；（3）当0y =时，211(1)04x --+=，解得12x =+或102x =-<（不符题意，舍去），故水池的半径至少要12⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．4．（2020·保定市第二十一中学九年级期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x （元）()40x >，请你分别用含x 的代数式来表示销售量y （件）和销售该品牌玩具获得利润w （元），并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？【答案】（1）1000-10x ，-10x 2+1300x-30000；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 解：（1）∵根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， ∵销售量y （件）为：600-10（x-40）=1000-10x ；销售玩具获得利润w （元）为： [600-10(x-40）]（x-30） =-10x 2+1300x-30000 故答案为：1000-10x ，-10x 2+1300x-30000；（2）令-10x 2+1300x-30000=10000，解得：x=50 或x=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； （3）根据题意得：10001054044x x -≥⎧⎨≥⎩解得：44≤x≤46由w=-10x 2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250 ∵-10<0，对称轴是直线x=65. ∵当44≤x≤46时，w 随增大而增大 ∵当x=46时，W 最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、不等式组的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质以及二次函数求最大值是解答本题的关键．5．（2020·河北九年级期末）某种蔬菜的售价1y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示，成本2y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价-成本） （2）设每千克该蔬菜销售利润为P ，请列出P 与x 之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）P=2110633x x -+-，5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大为73元；（3）4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． （1）当x=6时，y 1=3，y 2=1， ∵y 1-y 2=3-1=2，∵6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元； （2）设y 1=mx+n ，y 2=a(x-6)2+1，将（3，5）、（6，3）分别代入y 1=mx+n ，得3563m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴1273=-+y x ； 将（3，4）代入y 2=a(x-6)2+1，得， 4=a （3-6）2+1， 解得：a=13， ∵()222116141333y x x x =-+=-+，∵P=12y y -=()2222111017741365333333x x x x x x ⎛⎫-+--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∵当x=5时，P 取最大值，最大值为73， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大值为73元； （3）当x=4时，P=2110633x x -+-=2， 设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克， 根据题意得：()72200002200003t t ++=， 解得：t=40000， ∴t+20000=60000，答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，综合性较强，弄清题意，读懂图象，灵活运用相关知识是解题的关键．6．（2020·福建九年级期末）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗.公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元. （1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款； （2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗.【答案】（1）这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元；（2）这所中学购买了80棵树苗. 解：（1）∵50<60， ∵120506000⨯=（元），∵答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.（2）∵购买60棵树苗时所需支付的树苗款为120607200⨯=元8800<元， ∵该中学购买的树苗超过60棵. 又∵120100601000.5-+=，∵购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好降至100元.∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价仍为100元， 此时所需支付的树苗款超过10000元，而100008800>， ∵该中学购买的树苗不超过100棵. 设购买了()60100x x <≤棵树苗， 依题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦， 化简，得2300176000x x -+=， 解得1220100x =>（舍去），280x =. 答：这所中学购买了80棵树苗. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意弄清题目中的等量关系是本题的解题关键.7．（2020·四川九年级期末）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣， 解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米． （2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析．8．（2018·河北新河中学九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点 P 以 2cm /s 的速度从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1cm /s 的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，设 P 、Q 两点移动 ts （0＜t ＜5）后，△CQP 的面积为 Scm 2．在 P 、Q 两点移动的过程中，△CQP 的面积能否等于 3.6cm 2？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．【答案】2 或 3 解：在矩形 ABCD 中， ∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10cm ，AP ＝2tcm ，PC ＝（10﹣2t ）cm ， CQ ＝tcm ，过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，易知：PH PC AB AC ==10210t-，∴PH ＝35（10﹣2t ）cm ， 根据题意，得12t •35（10﹣2t ）＝3.6， 解得：t 1＝2，t 2＝3．答：△CQP 的面积等于 3.6cm 2 时，t 的值为 2 或 3．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用.9．（2021·安徽九年级月考）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C ︒，待加热到100C ︒，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温()C y ︒和通电时间()min x 成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20C ︒，接通电源后，水温()C y ︒和通电时间()min x 之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当08x ≤≤和8x a <≤时，y 和x 之间的函数关系式； （2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7:30将饮水机电源打开，若他想在8:10上课前喝到不低于40C ︒的开水，则他需要在什么时间段内接水？【答案】（1）08x ≤≤时，1020y x =+；8x a <≤时，800y x=；（2）40；（3）7:38到7:50之间 解：（1）当08x ≤≤时，设1y k x b =+，将(0,20)，(8,100)的坐标分别代入1y k x b =+得1208100b k b =⎧⎨+=⎩， 解得110k =，20b =．∴当08x ≤≤时，1020y x =+． 当8x a <≤时，设2k y x=， 将(8,100)的坐标代入2k y x =， 得2800k =．∴当8x a <≤时，800y x=． 综上，当08x ≤≤时，1020y x =+；当8x a <≤时，800y x =； （2）将20y =代入800y x=，解得40x =， 即40a =； （3）当40y =时，8002040x ==． ∴要想喝到不低于40C ︒的开水，x 需满足820x ≤≤， 即李老师要在7:38到7:50之间接水．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．10．（2020·内蒙古和林格尔县第三中学九年级月考）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）成反比例函数关系缓慢减弱．（1）这场沙尘暴的最高风速是__________千米/小时，最高风速维持了__________小时；（2）当20x ≥时，求出风速y （千米/小时）与时间x （小时）的函数关系式；（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．【答案】（1）32，10；（2）640y x=；（3）共有59.5小时 解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20-10=10小时；故答案为：32，10．（2）设k y x=，将()20,32代入，得：3220k =， 解得：640k =． 所以当20x ≥时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）之间的函数关系为：640y x =． （3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，∴4.5时风速为10千米/时．将10y =代入640y x =， 得64010x=，解得64x =， 64 4.559.5-=（小时）故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时．【点睛】 本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键．11．（2020·浙江九年级一模）2020年4月，学校复学后，为确保学生的安全，某校对各教室进行“84”消毒液消毒，如下左图描述了防疫人员消毒阶段室内每立方米空气中含药量()mg y 与时间()min x 的关系：表格记录了消毒结束后室内每立方米空气中含药量()mg y 与时间()min x 的部分数据．（1）求前3分钟消毒阶段y 关于x 的函数表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，根据表中数据画出消毒后y 关于x 的函数图象，并求出该函数表达式；（3）研究表明，当每立方米空气中含药量低于1.2mg 时，对人体无毒害作用，那么在哪个时段学生不能停留在教室里？【答案】（1）y=83x （0≤x≤3）；（2）图像见详解，y=24x （x ＞3）；（3）在920分钟到20分钟内不能停留在教室解：（1）设前3分钟消毒阶段的解析式为y=kx ，将（3，8）代入得8=3k ，解得k=83， ∴解析式为：y=83x （0≤x≤3）；（2）图像如下：设函数表达式为y=k x， 将（6，4）代入得k=24，∴解析式为：y=24x（x ＞3）； （3）当y=1.2时，在前三分钟内：得1.2=83x （0≤x≤3）， 解得x=920， 在后期1.2=24x （x ＞3）， 解得x=20， ∴920＜x ＜20 ∴在920＜x ＜20这段时间内不能回教室． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，求出解析式是解题关键．12．（2020·河南九年级其他模拟）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强()P Pa 与木板面积()2S m的对应值如下表：（1）求P 与S 之间满足的函数关系式；（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图形，如果要求压强不超过4000Pa ，木板的面积至少要多大?【答案】（1）600Sp =；（2）见解析；（3）当压强不超过4000Pa 时，木板面积至少20.15m 解：（1）1600154002300600⨯=⨯=⨯=．，600Sp ∴=； （2）如图所示，（3）当4000p =时，20.15s m =．答：当压强不超过4000Pa 时，木板面积至少20.15m ．【点睛】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，要认真观察图象得出正确的结果．13．（2020·广东深圳实验学校九年级期中）如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图，现测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离B C 为4米，两拉索底端距离AD 为20米，试求立柱BE 的长．（结果精确到0.1 1.732≈）【答案】立柱BE 的长约为15.3米如图2，设BE=x 米，由BC=4米得CE=(x-4)米，在Rt △ABE 中 ∵tan BE A AE=，∠A=30°∴tan tan 30BE x AE A ===︒米； 在Rt △DCE 中 ∵tan CDE CE DE∠=，∠CDE=60°∴4D 4)tan tan 60CE x E x CDE -===-∠︒米 由AE-DE=20米，得4)20x -=解之得215.3x =≈．答：立柱BE 的长为15.3米．【点睛】此题考查三角函数的实际应用．此题关键是要分别在两个直角形内运用三角函数列关系式，再据题意例方程求解．14．（2020·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）数学爱好小组要测量5G 信号基站高度，一名同学站在距离5G 信号基站30m 的点E 处，测得基站项部的仰角52ACD ∠=°，已知测角仪的高度15m CE =.．求这个5G 信号基站的高AB （精确到1m ）．（参考数据：sin520.79,cos520.62,tan52 1.28===）【答案】40解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则四边形CEBD 是矩形，15m BD CE ==.，在Rt ACD △中，30m,52CD EB ACD ==∠=︒ ∵tan AD ACE CD∠=， ∴tan 30 1.2838.4(m)AD CD ACD ∠=⋅≈⨯=．∴38.4 1.540(m)AB AD BD =+=+≈．答：这个5G 信号基站的高AB 约为40m ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用．通过做辅助线，分割图形，构建直角三角形，并解直角三角形是解答本题的关键．15．（2020·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度，小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45︒，小明从A 点出发沿斜坡走D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为31︒，且斜坡AF 的坡比为1:2．（1）求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度；（2）依据他们测量的数据能否求出大树BC 的高度？若能，请计算：若不能，请说明理由．（参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈）【答案】（1）4米 （2）能；22米解：（1）作DH AE ⊥于H ，如图所示：在Rt ADH ∆中， ∵12DH AH =， ∴2AH DH =，∵222AH DH AD +=，∴()(2222DH DH +=， ∴4DH =．答：小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为4米．（2）如图所示：过点D 作DG BC ⊥于点G ，设BC xm =，在Rt ABC ∆中，45BAC ∠=︒，∴AC BC x ==，由（1）得28AH DH ==，在矩形DGCH 中，4DH CG ==，8DG CH AH AC x ==+=+，在Rt BDG ∆中，由4tan 0.68BG x BAG DG x ∠-==≈+， 解得：22x =答：大树的高度约为22米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．16．（2020·浙江九年级一模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．【答案】（1）点D′到BC 的距离为（）厘米；（2）E∵E′两点的距离是 解：（1）过点D′作D′H ⊥BC ，垂足为点H ，交AD 于点F ，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt △AD′F 中，D′F=AD′•sin ∠DAD′=90×sin60°=453厘米．又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=（453+70）厘米．答：点D′到BC 的距离为（453+70）厘米．（2）连接AE ，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE ，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt △ADE 中，AD=90厘米，DE=30厘米， ∴223010AE AD DE =+=厘米，∴EE′=3010厘米．答：E 、E′两点的距离是3010厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F 的长度；（2）利用勾股定理求出AE 的长度．17．（2019·甘州中学九年级月考）如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32º，底部C 的俯角为45º，观测点与楼的水平距离AD 为31m ，则楼BC 的高度大约为多少米？（结果取整数）．（参考数据：sin 320.5︒≈，cos320.8︒≈，tan 320.6︒≈）【答案】50．解：在Rt △ABD 中， ∵AD =31,∠BAD =32°， ∴BD =AD ⋅tan32°=31×0.6=18.6， 在Rt △ACD 中， ∵∠DAC =45°， ∴CD =AD =31，∴BC =BD +CD =18.6+31≈50m ． 答：楼BC 的高度大约为50米． 【点睛】本题考查了仰角与俯角的知识，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 18．（2020·浙江九年级一模）如图，小区内有一条南北方向的小路MN ，快递员从小路旁的A 处出发沿南偏东53°方向行走200m 将快递送至B 楼，又继续从B 楼沿南偏西30°方向行走120m 将快递送至C 楼，求此时快递员到小路MN 的距离．（计算结果精确到1m ．参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈）【答案】120m如图，过B 作BD ⊥MN 于D ，过C 作CE ⊥MN 于E ，过B 作BF ⊥EC 于F ， 则四边形DEFB 是矩形， ∴BD =EF ，在Rt △ABD 中,ADB 90∠=︒ ,53DAB ∠=︒，AB =200m ， ∴sin532000.8160BD AB =︒=⨯=m ，在Rt △BCF 中,90BFC ∠=︒ ,3CBF 0∠=︒，BC =120m ， ∴1602CF BC ==m ， ∴16060100CE EF CF =-=-=m ， 答：快递员到小路MN 的距离是100m .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确把握定义是解题关键.19．（2020·浙江省临海市回浦实验中学九年级期中）在我市开展的创建文明城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长18m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示)．若设花园的BC 边长为()x m ，花园的面积为2()y m（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到2200m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）2240(1120)y x x x =-+≤<；（2）不能，理由见解析；（3）当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m ． 解：（1）由题意可得，()2402240y x x x x =⋅-=-+，0040218x x >⎧⎨<-≤⎩解不等式得11≤x ＜20即2240(1120)y x x x =-+≤<； （2）不能，理由：将200y =代入2240y x x =-+， 得2200240x x =-+， 解得，121011x x ==<，答：花园面积不能达到2200m ；（3）∵222402(10)200y x x x =-+=--+，∴函数图象的顶点为()10,200，开口向下，当10x <时，y 随x 的增大而增大，当10x >时，y 随x 的增大而减小，由题意可知，1120x ≤<，∴当11x =时，y 最大，此时198y =，答：当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，结合实际问题并从中抽象出函数模型，借助二次函数解决实际问题是解决本题的关键．20．（2020·浙江九年级其他模拟）如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径和爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h （米）随飞行时间t （秒）变化的规律如下表：（1）根据这些数据在图2的直角坐标系中画出相应的点，选择适当的函数表示h （米）与t （秒）之间的关系，并求出相应的函数表达式；（2）当第一发花弹发射2秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于18米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？【答案】（1）h=-2（t-3）2+19.8；（2）6.28米；（3）花弹的爆炸高度符合安全要求，理由见详解解：（1）描点如下图所示，其图象近似为抛物线，故可设其解析式为：h=a（t-3）2+19.8，把点（0，1.8）代入得：1.8=a（0-3）2+19.8，∴a=-2，∴h=-2（t-3）2+19.8，故相应的函数解析式为：h=-2（t-3）2+19.8，（2）∵花每隔1.6秒发射一发花弹∴当第一发花弹发射2秒后，第二发已经飞行了0.4秒，∴把t=0.4代入关系式h=-2（t-3）2+19.8即h=-2（0.4-3）2+19.8=6.28米，∴当第一发花弹发射2秒后，第二发花弹达到的高度为6.28米（3）∵这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为：h=-2（t-3）2+19.8，∴第二发花弹的函数解析式为：h′=-2（t-4.6）2+19.8，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令h=h′得-2（t-3）2+19.8=-2（t-4.6）2+19.8∴t=3.8秒，此时h=h′=18.52米＞18米，答：花弹的爆炸高度不符合安全要求．【点睛】本题是二次函数的应用题，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．。
江北2021学年第一学期九年级数学期末试题
2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝28．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．69．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题（每小题5分，共30分）11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只） 50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ．12．已知圆锥的高为4cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为 cm 2． 13．二次函数y ＝（x ﹣1）2+3图象的顶点坐标是 ．14．如图，A 是⊙O 外一点，AB ，AC 分别与⊙O 切于点B ，C ．点P 是上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），过点P 作⊙O 的切线，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若AO ＝13，BO ＝5，则△AMN的周长为．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O ，其半径为12cm ，在距离圆心8cm 的点A 处发生虫蛀，现需沿过点A 的直线PQ 将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ 进行粘贴，则美化材料（即弦PQ 的长）最少需要 cm ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 在BC 上，结AD ，AE ．记CD ＝a ，DE ＝EB ＝b ，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝．三、解答题（本题有8小题，共80分） 18．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt △ABC ）从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC 为1.8cm ，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC 为3cm ，那么木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm ）20．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表： “病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表 级别成绩（分）频数A95＜x ≤10022B 90＜x ≤9518C 85＜x ≤90D 80＜x ≤853（1）本次共随机抽取了 名学生，在频数分布统计表中，成绩是C 级的频数是 ；（2）在扇形统计图中，成绩是B 级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A 级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．21．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC 相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．22．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？23．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．24．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？25．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用比例的性质变形得出答案．【解答】解：∵3a＝2b，∴＝．故选：C．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念解答．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．【解答】解：从正面看所得的图形为，故选：C．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛【分析】根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”只能说明九年级（1）班获胜的可能性很大，∴九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛，故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．【分析】直接利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，则tan B＝＝＝．故选：A．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】连接OB，根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题．【解答】解：如图，连接OB，∵∠C＝50°，∴∠AOB＝2∠C＝100°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝40°，则∠BAD的度数是40°．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B、C进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝1和x＝2的函数值相等，则可对D进行判断．【解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，a＜0，故A错误；∵抛物线过点（0，1）和（3，1），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴x＝对应的y的值最大，故C错误；∵抛物线开口向下，∴x＞时y随x的增大而减小，故B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线经过点（1，3），∴点（1，3）关于对称轴的对称点为（2，3），∴关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2，故D正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由题意可得△BOC的面积为4，通过证明△DOE∽△BOC，可求S△DOE＝1，即可求解．【解答】解：∵，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴＝（）2＝，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜【分析】由勾股定理可求AB＝10，求出⊙O与△ABC的边恰有3个交点时，OA的长，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当⊙O'过点B时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，此时O'B＝2，则O'A＝8；如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，连接OE，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴AO＝，当⊙O'与BC相切于点F时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，同理可求O'B＝2.5，∴O'A＝7.5，∴当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围为7.5＜OA＜8或2＜OA＜．故选：D．10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．12【分析】延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．∵AB是直径，∴∠ATB＝90°，∵∠APB＝120°，∴∠BPT＝60°，∴PT＝PB•cos60°＝PB，∵P A•PB＝2P A•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，∵﹣2＜0，∴x＝2时，P A•PB的最大值为8，故选：C．二．填空题（共6小题）11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：50100150500100020001000050000抽取只数（只）合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．【解答】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．故答案为：0.84．12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为3cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面圆的半径＝＝3（cm），所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故答案为15π．13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（1，3）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，3）．14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为24．【分析】先利用切线的性质得到OB⊥AB，则利用勾股定理可计算出AB＝12，再根据切线长定理得到AB＝AC，MB＝MP，NC＝NP，然后利用等线段代换得到△AMN的周长＝2AB．【解答】解：∵AB，AC分别与⊙O切于点B，C，∴AB＝AC，OB⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝＝＝12，∵MN与⊙O相切于P，∴MB＝MP，NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MP+NP+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB＝2×12＝24．故答案为24．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要8cm．【分析】如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．利用勾股定理以及垂径定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．在Rt△OAQ′中，AQ′＝＝＝4（cm），∵OA⊥P′Q′，∴AQ′＝AP′，∴P′Q′＝2AQ′＝8（cm），故答案为：8．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE＝EB＝b，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝或．【分析】根据分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵恰好存在两对相似三角形，∴其中一对一定为△ADE∽△BDA，∴，∴AD2＝DE•BD＝b•2b＝2b2，第二对：①若△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•CB＝a（a+2b），∵a2+AC2＝AD2，∴a2+a2+2ab＝2b2，即a2+2b﹣b2＝0，两边同除以b2，可得：，令m＝＞0，∴m2+m﹣1＝0，解得：（舍去），∴，②若△ACD∽△ECA，∴，∴AC2＝CE•CD＝a（a+b），∴AC2+a2＝AD2，∴a2+ab+a2＝2b2，∴，两边同除以b2，可得：，令n＝，∴，解得：（舍去），∴，综上所述，的值为或．故答案为：或．三．解答题17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣2×＝1+﹣＝1．18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm）【分析】根据正切的定义求出BC，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（cm），∴BH＝BC﹣HC＝7（cm），在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），答：木桩上升了大约1.3厘米19．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表频数级别成绩（分）22A95＜x≤100B90＜x≤1895C85＜x≤90D80＜x≤385（1）本次共随机抽取了50名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．【分析】（1）由D级的人数和所占百分比求出抽取的人数，减去A、B、D的人数得出成绩是C级的频数即可；（2）由360°乘以B级所占的比例即可；（3）画树状图，共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次共随机抽取了学生的人数为：3÷6%＝50（名），成绩是C级的频数是50﹣22﹣18﹣3＝7，故答案为：50，7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数为：360°×＝129.6°；（3）把小江、小北分别记为A、B，其他2名学生记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，∴小江、小北两人同时被选中的概率为＝．20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可完成画图．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．【解答】解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（1，9），∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE＝∠DEC，∠A＝∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO＝90°，则可得出结论．（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB＝5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，可求出AE，证明△DFC∽△ACB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据题意，可以写出每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以得到利润与x的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元．【解答】解：（1）由题意可得，y＝80+×10＝﹣20x+720，∵销售单价不低于批发价，∴24≤x≤32，即每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式是y＝﹣20x+720（24≤x≤32）；（2）设销售利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣24）（﹣20x+720）＝﹣20（x﹣30）2+720，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝720，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．【分析】（1）先判断出∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，即可得出结论；（2）先判断出△CFG是等边三角形，过点C作CH⊥FG于H，设FH＝a，得出FG＝2a，CH＝a，进而得出DH＝3+a，再用三角函数建立方程求出a，即可得出结论；（3）先设出MF＝m，利用含30度角的直角三角形表示出DF，DM，进而表示出CF，CP，再利用三角形的面积，表示出AN，再判断出AD∥BE，进而得出△ADE与△ABE的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点D是的中点，∴，∴∠ACD＝∠CED，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．。
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）.1．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A 固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．154．对于函数y＝﹣x2﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≥0C．x≤0D．x≤﹣15．将抛物线y＝x2+4x+1通过平移得到y＝x2，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是（）A．1B．2C．0D．不能确定7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）8．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A．2米B．3米C．4米D．5米9．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD10．如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 11．已知，则＝．12．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时 公交车用时的频数线路 30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐 （填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．13．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点，OC ⊥AB 于点E ．若∠CDB ＝30°，OA ＝2，则AB 的长为 ．14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为cm．16．如图，直线l：经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…B n （n，y n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，A n+1（x n+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（1）求它的对称轴；（2）求它与x轴，y轴的交点坐标．18．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．20．如图，已知点A、B的坐标分别是（0，0）（4，0），将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′．（1）画出△A′B′C′（不要求写出作法）；（2）写出点C′的坐标；（3）求旋转过程中点B所经过的路径长．21．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）40+x销售量y（件）销售玩具获得利润W（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？23．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（﹣4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC ＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．（1）求证：△ABC是半直角三角形；（2）求证：∠DEC＝∠DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S；△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．试题解析一．选择题（共10小题）.1．解：二次函数y＝（x﹣1）2+5的图象开口向上，顶点坐标为（1，对称轴为直线x＝1．故选：C．2．解：∵AB＝2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．3．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．4．解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣7＝﹣（x+1）2﹣7，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴当x≤﹣6时，y随x的增大而增大，故选：D．5．解：∵抛物线y＝x2+4x+7可化为y＝（x+2）2﹣3，∴把抛物线y＝（x+2）2﹣7先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到抛物线y＝x2．故选：D．6．解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点，△＝（﹣m）2﹣3×1×（﹣5）＝m7+20，∵m2一定为非负数，∴m2+20＞7，∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是3．故选：B．7．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1），故选：B．8．解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣2（舍去），x2＝3．∴OB＝5米．故选：B．9．解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴7CD＞MN，故D选项错误；故选：D．10．解：把y＝2x代入y＝ax2+bx+c可得ax6+（b﹣2）x+c＝0，由图象可知方程ax4+（b﹣2）x+c＝0有两个大于2的解，故而y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象与x轴正半轴交于两点，故选：A．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）11．解：∵，∴＝＝．12．解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝2.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．13．解：∵∠CDB＝30°，∴∠COA＝60°，∴A＝30°，∴OE＝OA＝2，在Rt△AEO中，AE＝，∵OC⊥AB∴AB＝2AE＝8．故答案为：214．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+6，将（﹣12，0）代入得出2+7，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）6+4．故答案为：y＝﹣（x+6）2+5．15．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF6即：（4﹣x）2+72＝x2解得：x＝2.5故答案为：2.716．解：直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），当x＝2时，y＝，即：B2（5，），∵A1（d，0），A3（2﹣d，0），若B4为直角顶点，则A1A2的中点（8，0）到B1的距离与到A5和A2的距离相等，即：1﹣d＝，解得：d＝；同理：若B2为直角顶点，则A4A3的中点（2，4）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B4为直角顶点，求出的d为负数3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是或．故答案为：或．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即该抛物线的对称轴为直线x＝7；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣1或x＝7，即该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），6），9）．18．解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从3个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，6），﹣1）和C（4，∴，∴a＝，b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣5；（2）当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0；解得x2＝2，x2＝﹣2，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣8＜x＜4．20．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；（2）点C′（﹣2，5）；（3）点B所经过的路径长＝＝2π．21．解：（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，2）和点B（16，∴0＝256a+8，a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣16≤x≤16）；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，延长CD经过O点，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB8∴R2＝（R﹣8）8+162，解得R＝20；（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，EF＝y＝3.2米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH＝D ，O F′＝R＝20，在Rt△OH F′中，H ，∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）∴在离桥的一端7米处，抛物线型桥墩高3.5米； ．22．解：（1）由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，销售玩具获得利润为：W＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000；故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000；（2）列方程得：﹣10x7+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40．∴该玩具销售单价应定为50元或80元；答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）销售单价为在40元的基础上上涨x，根据题意得，解得：3≤x≤6，W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，∴当4≤x≤8时，y随x增大而增大，＝8640（元），∴当x＝6时，W最大值答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．23．（1）证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝45°，∵∠ABE＝∠ADE＝45°，∴△ABC是半直角三角形；（2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠DEB＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DEB，∵D、B、A、E四点共圆，∴∠DBA+∠DEA＝180°，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∴∠DEA＝∠DEC；（3）解：如图1，连接AM，设⊙M的半径为r，∵点D的坐标为（0，2），∴OM＝8﹣r，由OM2+OA5＝MA2得：（8﹣r）8+42＝r6，解得r＝5，∴⊙M 的半径为5，∵∠ABE＝45°，∴∠EMA＝7∠ABE＝90°，∴EA2＝MA2+ME7＝52+42＝50，∴AE＝5．24．解：（1）∵点A（﹣1，0），7），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝4，∴B（4，5），把A（﹣8，0）和B（43+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，B（8，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+6，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），t2﹣6t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t4﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），＝＝＝．∴S△ABF（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣5，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB4＝PA2，∴（4﹣5）2+（m﹣5）8+（4+1）7+52＝（8+1）2+m8，解得：m＝8，∴P（1，7）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，∴（1+1）8+m2+（4+4）2+52＝（4﹣1）8+（m﹣5）2，解得：m＝﹣6，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB6+PA2＝BA2，∴（8+1）2+m3+（4﹣1）4+（m﹣5）2＝（5+1）2+42，解得：m＝6或﹣5，∴P（1，6）或（2；综上，点P的坐标为（1，﹣2）或（7，﹣1）．。
浙江省绍兴市柯桥区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(word版含答案)
2020 学年第一学期八年级期终学业评价调测试卷（2021.1）数学（满分：100 分 考试时间：120 分钟 考试中不允许使用计算器 命题人：姚志敏）一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ▲ ）A ．B ． bC ．D ．2．如果 a ＞b ，那么下列各式中正确的是（ ▲ ） A ．a +1＜b +1 B ．－a+3＜－b+3 C ．－a ＞－b D ．22a b 3. 如图，点 C ，D 在线段 AB 的同侧，如果∠CAB =∠DBA ，那么下列条件中不能．．判定△ABD ≌△BAC 的是（ ▲ ）A ．∠D =∠CB ．∠CAD =∠DBC C ．AD =BC D ．BD =AC4．下列选项中，可以用来证明命题“若 a > 0 ，则 a > 0 ”是假命题的反例的是（ ▲ ） A ．a=－1 B ．a=0 C ．a=1 D ．a=2 5．关于一次函数 y ＝5x ﹣3 的描述，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．图象经过第一、二、三象限 B ．向下平移 3个单位长度，可得到 y ＝5x C ．函数的图象与 x 轴的交点坐标是（0，﹣3） D ．图象经过点（1，2）6．等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数分别是（ ▲ ） A ．55°，55° B ．70°，40°或 70°，55° C ．70°，40° D ．55°，55°或 70°，40°7．如图，直线 y 1=x +b 与 y 2=kx -1 相交于点 P ，点 P 的横坐标为-1，则关于 x 的不等式 x +b ＞kx -1 的解集在数轴上表示正确的是（▲）A. B. C. D.8．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P 从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O 的路线匀速运动，设动点P 的运动路程为t，△OAP 的面积为S，则下列能大致反映S 与t 之间关系的图象是（▲）A．B．C．D．9. 如图，在△ABC 中，已知点D，E，F 分别是BC，AD，CE 的中点，且SΔABC＝8，则SΔBEF的值是（▲）A.2B. 3C.4D. 510. 已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB=∠APC=∠BPC=1200 时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF=（▲）A ．6B + 3C ．D ．9 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11．“对顶角相等”的逆命题是 ▲ ．12．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ▲ ． 13．若点 B (7a ＋14，a －3)在第四象限，则 a 的取值范围是 ▲ ．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （1，1），B （- 1，1），C （-1，-2），D （1，-2）.现把一条长为 2021 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按A －B －C －D －A － …的顺序紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ▲ ．15. 如果三角形三边长分别为12，k ，7225k -的结果是 ▲ ． 16．2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1），且大正方形的面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为 a ，较长直角边为 b ．如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为 ▲ ．17．如图，等边三角形纸片 ABC ，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿 EF 折叠，使点A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 ED ⊥BC ，则∠EFD ＝ ▲ ．18．已知点 P 是直线 y = −2x + 4 上的一个动点，若点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 ▲ ． 19．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与 AC 的垂直平分线相交于点 D ，过点 D 作DF ⊥BC ，DG ⊥AB ，垂足分别为 F 、G ．若 BG ＝5，AC ＝6，则△ABC 的周长是 ▲ ．20．如图，在 Rt △ABC 中，CA ＝CB ，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为 E ，F ，连接 EM ．则下列结论中：①BF ＝CE ； ②∠AEM ＝∠DEM ；③AE ﹣CE= 2 ME ；④DE 2+DF 2＝2DM 2； ⑤若 AE 平分∠BAC ，则 EF ：BF=：1； 正确的有 ▲ ．（只填序号）三、解答题（本大题共 7 小题 , 共 50 分） 21．（本小题满分 6 分） （1）化简：)11（2）解不等式组 363104x x ⎧<⎪⎨-+≥⎪⎩①②22. （本小题满分 6 分）如图，是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1 中画出以AC 为底边的等腰直角三角形ABC，点B 在小正方形顶点上；（2）在图2 中画出以AC 为腰的等腰三角形ACD，点D 在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．23．（本小题满分7 分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为▲L，机器工作的过程中每分钟耗油量为▲L．（2）求机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．24．（本小题满分5 分）如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE．且E，F，C，D 在同一直线上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠B=30°，∠BAC=100°，点F 是CE 的中点，连结AF，求∠F AE 的度数．25．（本小题满分8 分）某商店销售A 型和B 型两种型号的平板，销售一台A 型平板可获利120 元，销售一台 B 型平板可获利140 元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100 台，其中 B 型平板的进货量不超过A 型平板的3 倍．设购进 A 型平板x 台，这100 台平板的销售总利润为y 元．（1）求 A 型平板至少多少台？（2）该商店购进A 型、B 型平板各多少台，才能使销售利润最大？（3）若限定商店最多购进A 型平板60 台，则这100 台平板的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A 型平板的台数；若不能，请求出这100 台平板销售总利润的范围．26．（本小题满分8 分）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点.（1）如图①，已知△ABC 为勾股高三角形，其中 A 为勾股顶点，AD 是BC 边上的高.若BD=1，CD=2，求高AD 的长；（2）如图②，△ABC 中，AB=AC=3，BC=3 3 -3，求证：△ABC 是勾股高三角形.①②27．（本小题满分10 分）如图，平面直角坐标系中，直线m 交x 轴于点A，交y 轴于点B.且点 A ()，∠BAO = 60° .点C 为AB 中点，过点C 作直线n 垂直于m，交x轴于点D.（1）请直接写出B、C、D 的坐标.（2）在x 轴上找一点E, 使得S△BCE=6，求点E 的坐标.（3）直线m 上有一点M, y 轴上有一点N, 若△DMN 是等腰直角三角形，求出点M 的坐标.第27 题备用图1 备用图22020学年第一学期期末学业评价调测试卷八年级数学参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）二、填空题（每小题3分，共30分）11、 相等的角是对顶角 12、 5 13、 -2<a <3 14、 (0,1) 15、 11-3k 16、 27 17、 45° 18、()444,433⎛⎫- ⎪⎝⎭,, 19、16 20、①②③④⑤ 三、解答题（本大题共7小题 , 共50分）21、 (1)31=--2=(2) 解①得2x <，….1’，解②得：1x ≥- ….1’，∴12x -≤<22、（1）作AC 的垂直平分线，作以AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B ； （2）以C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点D ；23、解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L ），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L ）， 故答案为：3，0.5；（2）当10＜x ≤60时，设y 关于x 的函数解析式为y ＝ax +b ，1030605a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得，0.535a b =-⎧⎨=⎩， 即机器工作时y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣0.5x +35（10＜x ≤60）； （3）当3x ＝30÷2时，得x ＝5， 当﹣0.5x +35＝30÷2时，得x ＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40． 24、（1）∵∠BAD=∠CAE ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC 即∠BAC=∠DAE ∵AB=AD ，AC=AE∴△ABC ≌△ADE （SAS ） （2）∵∠B +∠ACB +∠BAC=180° ∴∠ACB=180°－∠B －∠BAC=50° ∵△ABC ≌△ADE∴∠ACB=∠AED=50° ∵点F 是CE 的中点 ∴AF ⊥CE∴∠F AE=90°－∠E=40°25、解：（1）100﹣x ≤3x ，解得x ≥25 ∴A 型平板至少25台。
浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年九年级上学期期末学业成绩调测英语试题(含答案)
嵊州市2023学年第一学期期末学业成绩调测九年级英语试卷考生须知：1. 全卷分试卷Ⅰ（选择题）、试卷Ⅱ（非选择题）和答题卷。
满分120分，考试时间100分钟。
2. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号。
3. 答题时，把试卷的答案在答题卷上对应的选项位置用2B铅笔涂黑涂满，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
把试卷Ⅱ的答案写在答题卷相应区域内；答错区域、超出答题区域、答在试题卷和草稿纸上的答案均无效。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！试卷Ⅰ（选择题共65分）（一）听力部分（共20分）一、听力（本题有15小题，第一、二节每小题1分，第三节每小题2分，共计20分）第一节：听小对话，回答问题。
1. Whose book is this?A. David’s.B. Alan’s.C. Jenny’s.2. How does Jerry feel about the movie?A. Boring.B. Serious.C. Exciting3. When will the taxi arrive?A. At 8:45.B. At 9:00.C. At 9:15.4. Why does the woman make the call?A. To ask for help.B. To offer a suggestion.C. To make an invitation.5. What does the man probably mean?A. The waiter is friendly.B. The dinner is expensive.C. The food is delicious.第二节：听较长对话，回答问题。
听下面一段对话，回答第6-7小题。
6. What are the speakers talking about?A. Fire.B. Water.C. Electricity.7. Where does the conversation probably take place?A. In a classroom.B. In a shop.C. In a museum.听下面一段对话，回答第8-10小题。
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市八年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是( )A. 1cm，2cm，3cmB. 5cm，5cm，5cmC. 2cm，5cm，8cmD. 1.5cm，1.4cm，2.9cm2.下列交通标志是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短4.如果m>n，那么下列结论错误的是( )A. m+2>n+2B. m−2>n−2C. 2m>2nD. −2m>−2n5.如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )A. AB=DEB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC//FD6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是( )A. 9B. 16C. 8D. 47.如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，则点C的坐标是( )A. (2,2)B. (1,2)C. (1,1)D. (2,1)8.已知点A(2,y1)和点B(a,y2)在一次函数y=−3x−b的图象上，且y1>y2，则a的值可能是( )A. 3B. 0C. −1D. −29.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°.过点A作AF⊥CE，垂足为F.若AF=√5，则AB的长为( )A. √10B. 2√5C. 4D. 610.如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BC//x轴，直线y=1x−3沿2 x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m.图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为( )A. 2√5B. 6C. 8D. 12二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.平面直角坐标系中，点(1,−2)在第______象限．12.命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是______命题(填“真”或“假”)．13.如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，量得∠CAB=33°，∠CDB=21°，则∠ABD的度数为______．14. 已知：等腰三角形的两边长分别为6和4，则此等腰三角形的周长是______．15. 如图，由图象得方程组{3x +y =0y =x +4的解为______．16. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD 与BE 相交于点F ，且AC =BF ，DF =DC.若∠ABE =15°，则∠DBF 的度数为______．17. 在平面直角坐标系中，A(2,3)，B(−2,1)，在x 轴上求一点C ，使CA +CB 最小，则点C 的坐标为______ ．18. 关于x 的不等式组{3x −a ≥02x −b ≤0只有一个解，则a 与b 的关系是______． 19. 如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，E.作直线DE ，交BC 于点M.分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧交于点F ，G.作直线FG ，交BC 于点N.连接AM ，AN.若∠BAC =α，则∠MAN = ______ ．20. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，D 是线段AB 的中点，P 为直线BC 上的一动点，连结DP.过点D 作ED ⊥DP ，交直线AC 于点E ，连结EP.若CP =3，则AE 的长为______．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分。
2022-2023学年人教版九年级上册数学期末必刷常考题-旋转
2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之旋转一．选择题（共5小题）1．（2021春•万山区期末）如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．（2021春•金台区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）3．（2021春•榆阳区期末）如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（）A．∠ABC+∠ADC＝180°B．∠BCD＝120°C．AC＝BC+CD D．AE＝BD4．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°5．（2021春•西山区期末）如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（）A．（3038，1）B．（3032，1）C．（2021，0）D．（2021，1）二．填空题（共5小题）6．（2021春•锦州期末）如图，这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到，则∠ABC＝．7．（2020秋•綦江区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为．8．（2021春•靖边县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB 交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是°．9．（2021春•广陵区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．10．（2020秋•兰陵县期末）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是．三．解答题（共5小题）11．（2021春•武陵区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．（1）证明：△CFD≌△ABC；（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．12．（2021春•曹县期末）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在FG的延长线上，BG与CD相交于点H，求证：DH＝BH．13．（2020秋•铁西区期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D；（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）写出所画图形围成的面积．（结果保留π）14．（2020秋•斗门区期末）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．（1）求证：DF＝DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．15．（2020秋•铁西区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°，点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B 旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之旋转参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021春•万山区期末）如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°是解题关键．2．（2021春•金台区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；模型思想；应用意识．【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即纵横坐标均互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（﹣3，1），故选：C．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的两个点坐标之间的关系是得出正确答案的前提．3．（2021春•榆阳区期末）如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（）A．∠ABC+∠ADC＝180°B．∠BCD＝120°C．AC＝BC+CD D．AE＝BD【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由旋转的性质可得出∠ADC＝∠ABE，AC＝AE，AD＝AB，∠ACD＝∠AEB，∠CAE＝∠DAB＝60°，得出△CAE和△DAB都是等边三角形，可判断A，B，C选项正确，则可得出结论．【解答】解：∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，故选项正确，不符合题意，∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，∴AC＝AE，AD＝AB，∠ACD＝∠AEB，∠CAE＝∠DAB＝60°，∴△CAE和△DAB都是等边三角形，∴∠ACD＝∠AEB＝60°，∠ACE＝60°，∴∠BCD＝120°，故B选项正确，不符合题意；∵△ACE为等边三角形，∴AC＝CE＝BE+BC，又∵BE＝CD，∴AC＝CD+BC，故C选项正确，不符合题意，∵BD＝AB，AB≠AE，∴AE≠BD，故D选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】根据图形的旋转性质，得AB＝AB′，已知AB′＝CB′，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得∠B、∠C的关系为解决问题的关键．【解答】解：∵AB′＝CB′，∴∠C＝CAB′，∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴C＝24°，∴∠C′＝∠C＝24°，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及图形的旋转性质．5．（2021春•西山区期末）如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（）A．（3038，1）B．（3032，1）C．（2021，0）D．（2021，1）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】规律型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】分析A1，A2，A3，A4，A5点坐标，找到规律求解．【解答】解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，0），当A2021时，即4n+1＝2021，解得n＝505，∴横坐标为6n+2＝6×505+2＝3032，纵坐标为1，则A2021的坐标（3032，1），故选：B．【点评】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．二．填空题（共5小题）6．（2021春•锦州期末）如图，这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到，则∠ABC＝30°．【考点】多边形内角与外角；旋转对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】依据多边形内角和公式求得正六边形每个角的度数，再根据角的和差关系进行计算即可．【解答】解：由旋转可得，该多边形是正六边形，∴该正六边形每个角为＝120°，∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．7．（2020秋•綦江区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为2．【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】连接FH，由正方形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，由旋转的性质得出EF＝EH，证明Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），得出∠EFB＝∠HEC，证出∠FEH＝90°，由勾股定理可得出答案．【解答】解：连接FH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，∵AF＝2，BF＝4，∴AB＝6，∵BE＝2，∴CE＝4，∴BF＝CE，∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，∴EF＝EH，在Rt△EBF和Rt△HCE中，，∴Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），∴∠EFB＝∠HEC，∵∠EFB+∠BEF＝90°，∴∠BEF+∠CEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∵BF＝4，BE＝2，∴EF＝＝＝2，∴FH＝EF＝2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质，勾股定理．8．（2021春•靖边县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB 交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是40°．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质得到∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，进而推出∠CAC′＝40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC＝∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，∴△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，∵∠BAB'＝40°，∴∠CAC′＝40°，∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，∠C′DC＝∠CAC′＝40°，故答案为：40．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．9．（2021春•广陵区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是4．【考点】正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；旋转的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明∴△AED≌△GFE （AAS），确定F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上，当D，F，C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，求出DC'＝4即可．【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED与△GFE中，，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC'的角平分线，即F点在∠CBC'的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'＝＝＝4，故答案为4．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．10．（2020秋•兰陵县期末）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是2．【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】过点F作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA＝CD，∠D＝90°，再根据旋转的性质得EA＝EF，∠AEF＝90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE＝FH＝2，AD＝EH，所以EH＝DC，则DE＝CH＝2，然后利用勾股定理计算FC的长．【解答】解：过点F作FH⊥CD于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝CD，∠D＝90°，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴EA＝EF，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠FEH+∠AED＝90°，∴∠EAD＝∠FEH，在△ADE和△EHF中，，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴DE＝FH＝2，AD＝EH，∴EH＝DC，即DE+CE＝CH+EC，∴DE＝CH＝2，在Rt△CFH中，FC＝＝＝2，【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三．解答题（共5小题）11．（2021春•武陵区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．（1）证明：△CFD≌△ABC；（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定；旋转的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．【分析】（1）由旋转的性质可得CB＝CE，AB＝DE＝BF，由“SSS”可证△ABC≌△CFD；（2）延长BF交CE于点G，可证BF∥ED，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS）；（2）延长BF交CE于点G，由（1）得，FC＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．12．（2021春•曹县期末）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在FG的延长线上，BG与CD相交于点H，求证：DH＝BH．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】证明Rt△BDA≌Rt△BDG，得到∠ABD＝∠GBD，再利用矩形性质求解．【解答】证明：∵旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，∴AB＝BG，∠A＝∠DGB＝90°，在Rt△BDA和Rt△BDG中，，∴Rt△BDA≌Rt△BDG（HL），∴∠ABD＝∠GBD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD＝∠BDH，∴∠BDH＝∠HBD，∴DH＝BH．【点评】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明Rt△BDA≌Rt△BGA，得到∠ABD＝∠GBD，再利用矩形性质求解．13．（2020秋•铁西区期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D；（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是轴对称图形；（3）写出所画图形围成的面积．（结果保留π）【考点】作图﹣旋转变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据轴对称图形的定义判断即可．（3）根据所画图形的面积＝S半圆+S+S﹣S矩形，利用扇形的面积公式计算可得．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示．（2）所画图形是轴对称图形；故答案为：轴．（3）所画图形的面积＝S半圆+S+S﹣S矩形＝•π•42+×2﹣4×8＝8π+4π+4π﹣32＝16π﹣32．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2020秋•斗门区期末）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．（1）求证：DF＝DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）先根据∠DBE＝∠ABC可知∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，故可得出∠DBF＝∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠F AB＝∠BCE＝45°，所以∠DAF＝90°，由（1）证DE＝DF，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABF由△CBE旋转而成，∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，∴∠DBF＝∠DBE，在△DBE与△DBF中，，∴△DBE≌△DBF（SAS），∴DF＝DE；（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，∴AF＝EC，∴∠F AB＝∠BCE＝45°，∴∠DAF＝90°，在Rt△ADF中，DF2＝AF2+AD2，∵AF＝EC，∴DF2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DF，∴DE2＝AD2+EC2．【点评】本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．15．（2020秋•铁西区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°，点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B 旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．【考点】含30度角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】（1）①根据旋转的性质得到OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，推出△OAA'是等边三角形，于是得到α＝∠AOA'＝60°；②如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，根据三角形的内角和定理得到∠OBA＝30，根据勾股定理得到，求得，得到，于是得到答案；（2）如图2，等腰三角形的性质得到，推出∠BP A'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，由垂直的定义得到结论．【解答】解：（1）①由旋转得：OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，∴△OAA'是等边三角形，∴α＝∠AOA'＝60°；②如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，∵∠BAO＝60°，∴∠OBA＝30°，在Rt△OAB中，∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝4，∴，∴，又∵∠AOA'＝60°，∴∠B'OC＝90°﹣∠AOA'＝30°，∵∠B'CO＝90°，∴，∴，∴；（2）AA'⊥BB'，理由：如图2，∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，∴，∵∠BOA'＝90°﹣α，四边形OBP A'的内角和为360°，∴∠BP A'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，即AA'⊥BB'．【点评】主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质．考点卡片1．规律型：点的坐标规律型：点的坐标．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．5．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．8．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．9．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．11．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．12．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．13．旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．14．关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．15．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．16．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等。
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②当△ACD与抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象有交点时，求m的取值范围（直接答案即可）
23．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC（点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．
14．小红沿坡比为1： 的斜坡上走了100米，则她实际上升了_____米．
15．已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是_____．
A． B．2C． D．4
二、填空题
11．请写出一个二次函数，使它的图象经过点（1，2），你写出的函数表达式是_____
12．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．
13．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点，若△CMN的面积为3，则四边形ABNM的面积是_____．
16．已知：如图，△ABC是边长为12的正三角形，点D，E分别在AB，BC上，且BE＝BD＝10，点P是线段DE上的一个动点，分别作点P关于AB，AC，BC的对称点P1，P2，P3，若连接P1，P2，P3所得的三角形是等腰三角形，则DP＝_____．
三、解答题
17．（1）计算： sin30°+2cos45°﹣ tan60°．
3．在一个不透明的布袋中有2个红球和6个白球，这些球除颜色外其他都相同，若随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）
A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是△ABC的子三角形．
（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB=AC，∠A=90°，若BE= ，求CF和AD的长．
24．已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ，则EC的长是
A．4.5B．8C．10.5D．14
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上， ，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（ ）
A．100°B．50°C．130°D．65°
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（ ，0），1＜ ＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0，其中正确的结论是（ ）
（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标．
（2）连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．如图2，若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与 的值．
（1）从中随机抽取一张，求刚好抽到“共享服务”的概率．
（2）从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）
19．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．销售价为每千克60元时，一天能销售80千克，经市场调查，该商品每涨价1元，一天销售量就减少2千克，设该商品的售价涨了x元，每天销售该商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时每天总利润y最大，最大利润是多少？
20．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.
21．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
A．①③B．②③C．①②D．①②③
9．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）
A．5B．6C．7D．8
10．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH, △CFG分别沿EH,FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
（2）已知c是a、b的比例中项，若a＝ ，b＝ ，求c的值．
18．从共享单车、共享汽车等共享出行到共享充电宝、共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者，小宇上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式．
（2）在第二象限内取一点C，作CD⊥x轴于点D，连接AC，且AD＝1，CD＝5，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位．
浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若3a＝4b，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．(-3，4)B．(-3，-4)C．(3，-4)D．(3，4)