最新数学必修五数列知识点解题技巧
高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳
、等差数列与等比数列、求数列通项公式的方法1、通项公式法： 等差数列、等比数列2、涉及前n 项和 S 求通项公式，利用 a n 与S n 的基本关系式来求。
即a n例1、在数列｛ a n ｝中，S n 表示其前n 项和，且 S n n ：求通项a .. 例2、在数列｛ a n ｝中，S n 表示其前n 项和，且 S n 3、已知递推公式，求通项公式。
(1)叠加法：递推关系式形如a n 1 a n f n 型数列知识点总结S i a i ( n 1) S n S n i (n 2)2 3a n ,求通项a n例3、已知数列｛ a n ｝中，a-i 1, a n 1 a n n ，求通项a n练习1、在数列 { a n }中，a 1 3 , a n 1 a n 2r 1，求通项a n (2)叠乘法： 递推关系式形如a n1fna n型例4、在数列｛ a n }中，a 1n1, a n 1a n,求通项a nn1练习2、在数列 {a n}中，a 13, a n 1a n ?2n ，求通项a n(3)构造等比数列： 递推关系式形如a n 1 Aa nB (A ,B 均为常数，A M 1,B 丰0)例5、已知数列｛ a n ｝满足印 4 , a n 3a n 1 2，求通项a n 练习3、已知数列｛ a n ｝满足a 1 3 , a n 1 2a n3，求通项a n(4)倒数法例6、在数列｛a n ｝中，已知a 11, a n 1四、求数列的前n 项和的方法1、利用常用求和公式求和:等差数列求和公式： S nn(a 1 a n ) “ n(nna 1 1)d 2 2(q 1)等比数列求和公式：S na 1(1 q n ) a 1 a .q(q 1)1 q1 q•［例1］求数列2二，2，,甲， 前n 项的和•2 2 2 2［例 2］求和：S n 1 3x 5x 2 7x 3 (2n 1)x n 13、倒序相加法：数列｛ a n ｝的第m 项与倒数第m 项的和相等。
数列知识点与技巧总结
数列知识点与技巧总结一、数列的定义与性质1.1 数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数，其中每个数称为该数列的项，通常用下标 n 来表示。
数列可以用通项公式或递推公式来表示。
1.2 数列的基本性质（1）首项：数列中的第一个数称为首项，通常用 a1 表示。
（2）公差：如果数列中的每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个常数称为该数列的公差，通常用 d 表示。
（3）通项公式：通项公式用来表示数列中的第 n 项与 n 之间的关系，通常用 an 表示。
（4）递推公式：递推公式可以根据数列中的前几项来求出后面的项。
通常用 an = an-1 + d 表示。
1.3 常见数列（1）等差数列：相邻两项之间的差等于常数的数列称为等差数列。
通项公式为 an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列：相邻两项之间的比等于常数的数列称为等比数列。
通项公式为 an = a1 * q^(n-1)。
（3）斐波那契数列：这是一个特殊的数列，前两项是 1，以后每一项都等于其前两项的和。
通项公式为 an = an-1 + an-2。
1.4 数列的求和公式（1）等差数列求和：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列求和：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 q 不等于 1。
二、数列的常见问题与解题方法2.1 确定数列类型当遇到一个数列时，首先要确定它的类型，即是等差数列、等比数列还是其他特殊类型的数列。
2.2 确定数列的首项和公差（或公比）确定了数列类型之后，要进一步确定数列的首项和公差（或公比），这样才能利用数列的性质来解题。
2.3 求解数列的通项公式对于已知数列的前几项，可以利用数列的性质来求解其通项公式，这样可以方便计算出数列中任意一项的值。
2.4 判断数列的性质有时需要判断一个给定的数列是不是等差数列或等比数列，可以利用数列的性质进行判断。
(全面,基础)人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结
一、数列一列数叫做数列。
2、数列的通项公式
如果数列的第n项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3、通项公式的作用
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
4、数列的分类
①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列
2、等差（比）中项
由三个数 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时 叫做 的等差中项.
3、判断等差（比）数列的方法
4、等差（比）数列的通项公式
5、性质1
6、性质2
7、性质3
8、性质4
9、等差（比）数列的单调性
10、等差（比）数列的前n项和公式
11、前n项和的性质1
12、前n项和的性质2
13、前n项和的性质3
②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称 为数列的前项和，用 表示，即
二、等差数列与等比数列
三、典型题型小结
1、三（四）个数成等差（比）的设法
2、求数列最大（小）值的方法
3、求数列通项的常用方法
4、数列求和的常用方法
等差数列
等比数列
1、定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。
必修五 第二章 数列知识与方法
高中数学 知识与方法必修五 第二章 数列一、数列1、数列的概念与表示按一定顺序排列的一列数，叫做数列． (1)列举法：一般形式：123,,,,,n a a a a (2)通项公式表示法：()*,n a f n n N =∈.数列可以看成以正整数集*N (或它的有限子集{}1,2,3,,n )为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．(3)图像法：坐标平面内的点列()*,,n n a n N ∈．(4)递推公式表示法：给出数列{}n a 的第1项(或前几项)和递推公式来表示数列的方法． 注意区分{}n a 与n a ：{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ；而n a 表示其中的第n 项．2、数列的分类(1)有穷数列，无穷数列(2)按项与项之间的大小关系（单调性）类：①递增数列：1n n a a +>； ②递减数列：1n n a a +<； ③摆动数列； ④常数数列：1n n a a +=．判断或证明数列的单调性：常常作差比较1n a +与n a 的大小 (3)数列的最大项与最小项： （1）不等式组法： 最大项n a 应满足11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩；最小项n a 满足11n n n n a aa a +-≤⎧⎨≤⎩（2）利用函数性质：借助函数的最值判断数列的最值（3）图像法： 3、数列的前n 项和称123n n S a a a a =++++为数列{}n a 的前n 项和。
.n a 与n S 的关系：11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 注意验证1a ，确定通项能否合并。
二、等差数列1、定义：从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一常数．即*1()n n a a d n N +-=∈,等差中项：,,a A b 成等差数列 A 为,a b 的等差中项2a bA +⇔=． 等差数列通项公式①()11(1)n a a n d dn a d =+-=+-．{}n a 为等差数列n a kn b ⇔=+（其中1,k d b a d ==- ），即点列()*,,n n a n N ∈共线，所在直线斜率为d ； ②()*(),n m a a n m d m n N =+-∈．变形n ma a d n m-=-. 2、等差数列{}n a 的前n 项和公式 （1）已知首项1a 和末项n a 时，()12n n n a a S +=；当已知首项1a 和公差d 时，用()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭．（2）2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，{}n a 为等差数列2n S An Bn ⇔=+，其中1,22d d A B a ==-若()20n S An Bn C C =++≠，则从第二项开始成等差数列。
数列知识点和常用解题方法归纳总结
数列知识点和常用解题方法归纳总结引言数列是数学中的一个重要概念，它描述了按照一定顺序排列的一列数。
数列的知识点广泛，解题方法多样，本文旨在对数列的基本知识点和常用解题方法进行归纳和总结。
数列的基本概念数列的定义数列是一系列按照一定顺序排列的数，可以是有限的，也可以是无限的。
通项公式数列中每一项与它的位置（即序号）之间的关系，通常用 ( a_n ) 表示第 ( n ) 项。
递推关系递推关系描述了数列中某一项与其前一项或几项之间的关系，常用于递推数列。
数列的基本类型等差数列等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，即 ( a_n - a_{n-1} = d )。
等比数列等比数列的每一项与其前一项的比是一个常数，即( \frac{a_n}{a_{n-1}} = r )。
调和数列调和数列的每一项是其序号的倒数，即 ( a_n = \frac{1}{n} )。
几何数列几何数列的每一项是前一项的 ( r ) 倍，即 ( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} )。
数列的性质单调性数列的单调性指的是数列的项是单调递增、单调递减还是保持不变。
有界性有界性指的是数列的所有项都位于某个区间内。
收敛性收敛性指的是数列的项随着序号的增加无限接近于某个固定值。
数列求和等差数列求和等差数列的前 ( n ) 项和可以用公式 ( S_n = \frac{n(a_1 +a_n)}{2} ) 计算。
等比数列求和等比数列的前 ( n ) 项和可以用公式 ( S_n = a_1 \frac{1 -r^n}{1 - r} ) 计算（对于 ( r \neq 1 )）。
分组求和对于复杂的数列，可以将其分组后分别求和。
裂项求和裂项求和是一种将数列的项分解为几个部分，然后进行求和的方法。
常用解题方法定义法根据数列的定义，直接求解数列的项或和。
公式法利用等差数列、等比数列等的求和公式直接求解。
归纳法通过观察数列的前几项，归纳出数列的通项公式或求和公式。
无忧数学(必修五)数列知识点篇
无忧数学——数列（必修五）第二章：数列知识要点一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列； （3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n n S a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩ 由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m项的和仍组成等比数列，即1212,,m m m m a a a a a a ++++++++2122m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
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设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
设，
，，则有；
(9) 是等差数列的前项和，则；
其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
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①．为等差数列，公差为；
②．（即
）为等差数列，公差；
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③．（即）为等差数列，公差为.
1
q1。
；
a
）设，是等比数列，则也是等比数列。
）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数
）设是正项等比数列，则是等差数列；
）设，
，，则有；
）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为
等比数列，公比为；。
数学高中数列10种解题技巧
数学高中数列10种解题技巧数列是高中数学中一个非常重要且经常被考察的概念。
它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
但是，数列的解题方法非常多，有时候我们可能会感到困惑。
为此，本文总结了数学高中数列10种解题技巧，让我们一起来看看吧。
1. 求和公式有些数列如果求和，使用求和公式可以极大地简化计算。
例如，等差数列和等比数列的求和公式是非常常见和重要的。
2. 递推式递推式是数列的一种描述方法，是一种基于之前项和公式推导下一项的方法。
有些数列通过递推式很容易得到通项公式，进而求解问题。
3. 归纳法归纳法是数列题目解题的常用方法。
通过证明一个命题对于某个特定的数成立，以及每一个下一个数都满足这个性质，我们就可以得到它对于所有数都成立的结论。
4. 图像法有些数列的图像规律比较明显，通过观察它们的图像，我们可以得到一些结论，从而解决一些问题。
5. 交替数列交替数列是一种奇数项和偶数项分别出现不同的项的数列。
有时候，我们可以通过对它进行分割，分别计算奇数项和偶数项的和，然后再将结果相加。
6. 通项公式对于某些数列，如果能够求得它们的通项公式，那么我们就可以很方便地计算出它们的各个项。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
7. 变形技巧变形技巧是数列解题过程中常用的一种方法。
它通常用于将原有的数列问题转化为其他已知的数列问题，从而利用已有的知识来解决问题。
8. 逆推法逆推法是一种通过倒向考虑来解决数列问题的方法，通常它可以帮助我们找到某个数列的特定项。
9. 等比数列与等差数列之间的关系等比数列和等差数列是数列中最常见的两种类型，它们之间有着一些重要的关系。
通过研究它们之间的联系，我们可以更加深入的理解它们的性质和规律。
10. 特殊的数列有些数列非常特殊，它们没有通项公式，没有明显的规律，但是它们在实际应用中却有着广泛的应用。
如果我们能够了解这些特殊的数列及其应用，那么在应用数学中会有更多的灵活性和优越性。
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高考数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++=Λ21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1Λ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.一、等差数列 n 112)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即Λ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9) 是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，q qa a q q a S n n n --=--=11)1(11. 2）等比中项：b a G ⋅=2。
；3）等比数列的判定方法：⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 4）等比数列的性质：⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列； （2）),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n（3）若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；（4）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. （5）设，是等比数列，则也是等比数列。
（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设是正项等比数列，则是等差数列；（8）设，，，则有；（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则①．为等比数列，公比为；②．（即）为等比数列，公比为；三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）。
可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅1d=B 、等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔100n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小； C 、根据递推公式求通项： 1、构造法：1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解【例题】已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除1n p +或待定系数法求解 【例题】n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式. 3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，利用待定系数法求解【例题】已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.4°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -【例题】已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.【例题】数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a nnn ，求数列{}n a 的通项公式. 2、迭代法：a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----Λ【例题】已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ 【例题】已知数列{}n a 满足：111(2),21n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；3、给出关于n S 和m a 的关系【例题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n n n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式．五、典型例题：A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想）【例题】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 2）根据数列的性质求解（整体思想） 【例题】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . B 、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）C 、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差【例题】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nSb n n .求证：数列{}n b 是等差数列.2）证明数列等比【例题】数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，若a n +S n =n.设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列；D 、求数列的前n 项和【例题1】求数列n {223}n +-的前n 项和n S .（拆项求和法）【例题2】求和：S=1+n++++++++++ΛΛ32113211211（裂项相消法）【例题3】设221)(xx x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(213141f f f f f f +++++； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ΛΛ（倒序相加法）【例题4】若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .（错位相减法）【例题5】已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .E 、数列单调性最值问题【例题】数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n。