高一数学 必修一 2.1.2 指数函数及其性质【习题课】 教学课件PPT
法2：化为
1 2
x28
1 2
2x
练习2、若a5x ax7(a 0,且a 1)，求x的取值范围.
解：(1)若a 1，
综上所述，
则函数y ax在R上是增函数，当a>1时，x的取值范围
a5x ax7 5x>x+7，解得x< 7
是( , 7 ) 6
6 当0<a<1时，x的取值范围
的单调性.
P39 【课堂演练】1.函数 y＝121－x 的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【解析】定义域为 R.设 u＝1－x，y＝12u.
∵u＝1－x 在(－∞，＋∞)上为减函数，
y＝12u 在(－∞，＋∞)为减函数， 故 y＝121－x 在(－∞，＋∞)是增函数.故选 A．
2.1.2 指数函数及其性质 【习题课】
化成同底 指数幂
利用指数函数 的单调性化成 熟悉的不等式
解不等式
练习1: ( 1 )x28 22x的解集是 2
解：原不等式可化为 28 x2 22 x
原不等式等价于 8 x2 2x，即x2 2x 8>0 解得 x< 2，或x>4 ∴原不等式的解集为 { x | x 2或x 4}
【解析】作出 y＝|2x－1|的图象，
如图，要使直线 y＝a 与图象的交点只有一个， 则 a≥1 或 a＝0.
三、定义域、值域问题 P36 【例 3】求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝23－|x|；(2)y＝ 1－12x.
【解析】(1)定义域为 x∈R.
∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1. 故 y＝23－|x|的值域为{y|y≥1}. (2)∵1－12x≥0，∴12x≤1. 由 y＝12x，可知 x≥0，即定义域为[0，＋∞).
所以原函数图象关于 y 轴对称. 由图象可知值域是(0,1]， 递增区间是(－∞，0)，递减区间是[0，＋∞).
P80 9.函数 y＝5－|x|的图象是( )
【解析】当 x＞0 时，y＝5－|x|＝5－x＝15x，
又原函数为偶函数，故选 D．
二、图像的应用 P80 11. 方 程 |2x － 1| ＝ a 有 唯 一 实 数 解 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ____________.
y=13 (1+1%)x =131.01x (亿)
当x=20时，y=13 (1+1%)20 16(亿)
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
形如f ( x) k a x (k R，且k 0；a 0,a 1)
的函数称为指数型函数.
一、图像问题
P80 3.函数 y＝x|xa|x(0<a<1)的图象的大致形状是(
五、指数函数性质的综合应用 P38 【例 3】已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明； (3)求 f(x)的值域. 【解析】(1)证明：由题知 f(x)的定义域为 R， f(－x)＝33－－xx＋－11＝33－ －xx－ ＋11··33xx＝11－ ＋33xx＝－f(x)，
(2)若0<a<1，
是( 7 ,+)
则函数y ax在R上是减函数， 6
a5x ax7
5x<x+7，解得x> 7 6
指数函数的应用
例8 截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后， 能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后我 国人口数最多为多少（精确到亿）？
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后 我国人口数为y亿，则
又∵0<12x≤1， ∴0≤1－12x<1，即 0≤y<1. ∴y＝ 1－12x的值域为[0,1).
1
P80 12.(2015 年江苏南京高一检测)设 0≤x≤2，y＝4x－2－3×2x＋5， 试求该函数的最值. 【解析】令 t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4. 则 y＝22x－1－3·2x＋5＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12，t∈[1,4]. ∴y＝12(t－3)2＋12在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数. ∴当 t＝3 时，ymin＝12；当 t＝1 时，ymax＝52.
∴f(x2)＞f(x1).
∴f(x)为 R 上的增函数.
(3)f(x)＝33xx－ ＋11＝1－3x＋2 1， ∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜3x＋2 1＜2⇒－2＜－3x＋2 1＜0， ∴－1＜1－3x＋2 1＜1，即 f(x)的值域为(－1,1).
所以 f(x)为奇函数.
(2)f(x)在定义域上是增函数. 证明如下：任取 x1，x2∈R，且 x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝
3x2 3x2
1 1
－
3x1 3x1
1 1
＝
(1
2 3x2
) 1
－
(1
2 3x1
) 1
＝
2(3x2 3x1 (3x1 1)(3x2
)
1)
.
∵x1＜x2，∴3x2－3x1＞0,3x1＋1＞0,3x2＋1＞0.
)
【解析】当 x>0 时，y＝ax(0<a<1)，故去掉 A，B；
当 x<0 时，y＝－ax，与 y＝ax(0<a<1，x<0)的图象关于 x 轴对称， 故选 D．
P80 7.函数 y＝12|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和
单调区间吗？
【解析】因为|x|＝x－，x，x≥x0<，0，
所以当 x≥0 时，函数为 y＝12x；当 x<0 时，函数为 y＝12－x＝2x， 其图象由 y＝12x(x≥0)和 y＝2x(x<0)的图象合并而成. 而 y＝12x(x≥0)和 y＝2x(x<0)的图象关于 y 轴对称，
故函数的最大值为52，最小值为12.
P81 11.若函数 f(x)＝ 2x22axa 1 的定义域为 R，则实数 a 的取值范
围是________.
【解析】依题意， 2x2 2axa 1≥0 对 x∈R 恒成立，
即 x2＋2ax－a≥0 恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.
四、复合函数单调性 P37 5.y＝f(u)，u＝g(x)，函数 y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：
u＝g(x)
y＝f(u)
y＝f[g(x)]
增
增
____增____
增
减
____减____
减
增
____减____
减
减பைடு நூலகம்
____增____
口诀：同增异减
6.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解
成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查 f(u)和φ(x)的单调性，求出 y＝f[φ(x)]
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2.1.2 指数函数及其性质 精品课件(人教A版必修1)(1).ppt
解：由 y＝(a－3)·(a－2)x 是指数函数，得
a－3＝1 a－2>0 a－2≠1
，∴a＝4.
类型二 指数函数的图象问题 [例 2] 已知函数 y＝(13)|x＋1|. (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值．
[分析] 先化去绝对值符号，将函数写成分 段函数的形式，再作图象，也可作出 y＝(13)|x| 的图象后平移，得 y＝(13)|x＋1|的图象，进而得单 调区间与最值．
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
课时作业（15）
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八月五日2020年8月5 日星期三
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的概念、图象及性质
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
高一数学必修一2.1.2指数函数及其性质 第二课时 教学课件PPT
单调性逆用：比较 自变量大小
例2. 2.51.7
二。指数相同,底数
31.7
不同
法一: 图象法
法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 31.7
(2.5)1.7, 3
根据函数y (5)x的性质，当x 0时,0 y 1
6
0 (5)1.7 1,即2.51.7 31.7 6
单调性逆用：比较 自变量大小
例2. 2.51.7
二。指数相同,底数
31.7
不同
法一: 图象法
法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 31.7
(2.5)1.7, 3
根据函数y (5)x的性质，当x 0时,0 y 1
6
0 (5)1.7 1,即2.51.7 31.7 6
30.2 与2.50.2以及20.1与（1）0.2的大小 3
引导探究 一.底数相同,指数不同
比较下列函数值的大小
例1：1.7 2.5 与1.7 3
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
0
-0.5
1
2
3
4
5
6
2.Байду номын сангаас 3
（1）
0.3 > 0.5 （2）0.80.1 <
____
__
< （3） ( 2 )0.3
( 2 )0.6
2
2
0.80.2
底数相同，指数不同的函数值的大小比较方 法是什么呢？
构造出相应的指数函数，利用指数函数的单 调性比较函数值的大小。
例2. 2.51.7
二。指数相同,底数
31.7
不同
法一: 图象法
法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 31.7
(2.5)1.7, 3
根据函数y (5)x的性质，当x 0时,0 y 1
6
0 (5)1.7 1,即2.51.7 31.7 6
单调性逆用：比较 自变量大小
例2. 2.51.7
二。指数相同,底数
31.7
不同
法一: 图象法
法二: 作商法 (两个指数式的商与1比较)
2.51.7 31.7
(2.5)1.7, 3
根据函数y (5)x的性质，当x 0时,0 y 1
6
0 (5)1.7 1,即2.51.7 31.7 6
30.2 与2.50.2以及20.1与（1）0.2的大小 3
引导探究 一.底数相同,指数不同
比较下列函数值的大小
例1：1.7 2.5 与1.7 3
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
0
-0.5
1
2
3
4
5
6
2.Байду номын сангаас 3
（1）
0.3 > 0.5 （2）0.80.1 <
____
__
< （3） ( 2 )0.3
( 2 )0.6
2
2
0.80.2
底数相同，指数不同的函数值的大小比较方 法是什么呢？
构造出相应的指数函数，利用指数函数的单 调性比较函数值的大小。
高一数学必修一2.1.2指数函数及其性质(二) 教学课件PPT
4
＜
＞
＜
＞
2. 比较大小：
练习： 3. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
练习： 3. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
练习： 3. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
练习： 3. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
4. 比较下列各数的大小：
一、运用指数函数单调性比较大小：
一、运用指数函数单调性比较大小： 5. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
y
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
性 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
质 在R上是增函数
在R上是减函数
x＞0时，ax＞1; x＞0时，0＜ax＜1;
x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
例1 比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5，1.73； ② 0.8－0.1，0.8－0.2； ③ 1.70.3，0.93.1.
a＞1
0＜a＜1
图
y
y＝ax y＝ax
y
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
性 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
质 在R上是增函数
x＞0时，ax＞1;
在R上是减函数
x＜0时，0＜ax＜1
指数函数的图象和性质：
a＞1
0＜a＜1
图
y
y＝ax y＝ax
y＝ax y＝ax
y
(a＞1) (0＜a＜1)
人教版高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(第一课时)ppt课件
6
x
… -2.5 -2
-1
y 3x … 0.06 0.1
0.3
y 1 x …
15.6
9
3
3
1x gx = 3
- 10
-5
-0.5 0
16
0.6
1
114.7
1
0.5
1
2
1.7
3
9
2.5
…
15.6 …
0.6
0.3 0.1
0.06 …
12
10
8
fx = 3x
6
4
2
5
10
1x qx = 3 6 hx = 3x
y
4x3 ,
y
1
2x
,
y
bx,
y
2x
1.
2
例2、 函数y (a2 3a 3)a x是指数函数 , 求a的值
解：依题意，可知
a 2 3a 3 1 a 0 ，解得 a 1
a 1或a 2 a 0 a 1
a 2
fx = 0.5x
5
hx = 0.6x
4
3
2
1
-4
-2
2
例4、 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出他们的 图象: ⑴ y=2x+1 ⑵ y=2x-2
将y=2x的图象向左平移一个单位，就得到y=2x+1的图象 将y=2x的图象向右平移两个单位，就得到y=2x-2的图象
y
函 1.定义域： ,
数 性
2.值域：
0,
质 3.过点 0，,1即 x= 时，y0=
新人教A版必修1：2.1.2指数函数及其性质课件(共18张PPT)
(3) 21.5 和 0.53
(4) 1.70.3 和 0.93.1
(3) 0.53 23
底数2 1，函数 y 2x 在R上是增函数，
3 1.5， 23<21.5，即0.53<21.5
(4) 函数y 1.7x 在R上是增函数，y 0.93.1在R上是减函数，
1.70.3>1.70=1， 0.93.1<0.90 =1 1.70.3 >0.93.1
1、指数函数的图象分布在第一、二象限；
2、无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过 定点（0，1）；
3、函数图象向下逐渐接近 x轴，但不能和x轴相交。
例6 已知指数函数f(x) 的图象过点(3, )，
求解析式及f(0)，f(1)，f(－3)的值.
分析：利用函数图象过点(3, )这个条件可求得a.
解：设指数函数f ( x) ax (a 0，且a 1)
y
图象
1
1
O
x
O
x
定义域
R
值域 (0,+)
性 恒过定点(0,1) 即x=0时，恒有y a0 1
质
在R上是增函数 在R上是减函数 当x 0时，0 y 1 当x 0时，y>1
当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1
2、指数函数的图象与性质
思考：如何快速地画出指数函数的简图？ 分布区域、特殊点、变化趋势
2.1.2 指数函数及其性质
y 2x
y (1)x 2
y 1.0175x
思考: 以上三个函数形式上有何共同特征?
(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3)自变量x都在指数位置.
y ax
人教版高一数学必修一课件：2.1.2指数函数及其性质 (共34张PPT)
同底指数幂比大 小，构造指数函数， 利用函数单调性
5 12
4
8 7
3 7
7 与 8
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
0.3
不同底数幂比大小， 利用指数函数图象与底 的关系比较
不同底但同指数
6
1.7 0.3 与0.93.1
底不同，指数也不同
两个关系式的共同特征是什么？
y2
x x
1 y 2
a
x
它们都是函数
一般地：形如 y a (a 0且a 1) 的函数 叫做指数函数.其中 x 是自变量,函数的 定义域是R。
x
形成概念
一般地，形如 y a (a 0且a 1) 叫做指数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是R。
左右无限上冲天， 永与横轴不沾边.
大 1 增，小 1 减， 图象恒过(0,1)点.
（四）知识应用 巩固提高
例2
比较下列各题中两值的大小：
1 1.7 2.5 与1.73 ;
3
1 4
0.8
2 0.80.1与0.80.2
1.8
同底比较大小
1 与 2 ;
分类 a>1 0<a<1
图像
定义域 单调性 值域
性质
奇偶性
是否过定点 x，y取值情况 当x>0时, 当x<0时, 当x>0时, 当x<0时,
图象 由图象得性质 指数函数
1. 定义域: 2. 值 域: 3. 过 定点: 4. 单调性: 5. 函数值的变化情况: 0
的图象和性质
y
· (0,1)
人教A版数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》课件ppt新课标人教版必修1.pptx
分别在同一坐标系中作出下列各组函数
的图象,并说明它们之间有什么关系？
(4) y 2x 与 y 2|x|
y
o
x
由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|)的图象：保留 y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称 的图形.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1
(10x 10 x
1) 1
2
1
1
2 10x
.
10x 0,1 10x 1.
0
1 1 10x
1.
2
1
2 10x
0.
1
1
2 1 10x
1.
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
y
y 2x
y 2x1
y 2x2
y1
o
x
①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位
长度,就得到函数y=2x+1的图象;
f
(
x)
10 10
x x
1 1
10 x 10 x
(10 (10
x x
1) 1)
1 1
10 x 10 x
f ( x).
所以f(x)在R上是奇函数.
1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)
例2.求证函数 值域.
f (x)
10 x 10 x
1 1
是奇函数,并求其
解：
f
(
x)
10 x 10 x
2 2x 1
2 2x 2 1 2x
2.
∴ a = 1.
利用 f(0)= 0
【1】已知定义域为R的函数
为奇函数,则a=_2_, b=__1___.
f
(x)
人教A版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》说课课件(共24张PPT)
x轴渐近线
是增是减底数观
五、知识应用 巩固提高
例1、已知指数函数f(x)的图象过点（3， ），
求f(0)， f(1)， f(-3)的值。
同底指数幂比大 小，构造指数函数，
例2、 比较下列各题中两值的大小 利用函数单调性
（1） 30.8 , 30.7
（2）量进利0行.用7比函50较数.1图，像0或.7中5同间-0底变.1比较大小
▪
补充：（1）已知
2 2 x
1.3
，则x的取值范围为
；
▪
（2）已知
1 3
x
1 27
，则x的取值范围为
；
▪ （3）已知 25x0.2 ，则x的取值范围为 ；.
▪ 选做题：比较 a1a和1aa 的大小。
板书设计与评价
x函>数0y时=，ax0(<ay <01，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .
在（形3）式在上不一影模响一图样像才的行情，况进下而，得取出点只要有保（证1什）么是呢指？数函数。
知例识2、的比逆较用下，列建各立题函中数两思值想的和大分小类讨论思想
例7 1、已（知2指）数0.函数f(x)的图象过点（3，），
试
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)y x4
、 (3)y4x
巩 固
(4)y 4x1
概
念 教师指导：提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须
在形式上一模一样才行，进而得出只有（1）是指数函数。
四、合作互动、探求新知
学生思考：要 新研 函究 数一 ，种 光定 的义 ，是 还不 研究什么，如 ？何研究呢
研究函数教的师一指般导思：路：
其中x是自变量 .函数的定义域是R . 函数值的变化情况:
必修一：2-1-2指数函数及其性质 PPT教学课件
（ 1） 1.72.5和 1.73 （ 2 ） 0.8 0.1和 0.8 0.2
（ 3） 1.70.<3和 0.93.1 （5） (1)13和 >（1）23
（4） (2)13和 < （1）13 3> 2
2> 5
(1)若 (2)m (2)n , 则m与n的大小如何?
33
m>n
(2)求不 ax 等 a1x(a式 0,且 a1)中
例如：2010年某镇工业总产值为100亿 元，计划今后每年平均增长率为8%, 则经 过x年后的总产值为原来的多少倍？
答案：
思考： 曲线C1,C2,C3,C4 分别是指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx,和的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是
b<a<1<d<c
小结：1.指数函数的定义：函数 yax(a0 且 a1 )
例1 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
例2.
（1）函数y=ax+1-3(a>0且a≠1)的图象恒过
定点
。
变式：若函数y=a2x+b +1(a>0且a≠1,b为实 数)的图象恒过定点(1，y)，则
b=_____y=_____.
例3.比较下列各题中两个值的大小：
作出下列函数的图像。
y 2x
y 5x
y (1)x 2
y (1)x 5
通过观察指数函数图像，你会发现底 数a（a>0,且a≠1），对指数函数的图像有 何影响？该如何将其分类？
1 x y ( 1 )x 10
q x 3 6 h x 3 x = = 5
4