数学建模-铺路问题的最优化模型
页脚. 铺路问题的最优化模型 摘 要 本文采用了两种方法，一种是非线性规划从而得出最优解，另一种是将连续问题离散化利用计算机穷举取最优的方法。 根据A地与B地之间的不同地质有不同造价的特点，建立了非线性规划模型和穷举取最优解的模型，解决了管线铺设路线花费最小的难题。 问题一：在本问题中，我们首先利用非线性规划模型求解，我们用迭代法求出极小值（用Matlab实现），计算结果为总费用最小为748.6244万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。然后，我们又用穷举法另外建立了一个模型，采用C语言实现，所得最优解为最小花费为748.625602万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。 问题二：本问题加进了一个非线性的约束条件来使转弯处的角度至少为160度，模型二也是如此。非线性规划模型所得计算结果为最小花费为750.6084万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。遍历模型所得最优解为最小花费为750.821154万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.10km,4.30km, 2.70km,6.70km,12.20km。 问题三：因为管线一定要经过一确定点P，我们将整个区域依据P点位置分成两部分，即以A点正东30km处为界，将沙土层分成两部分。非线性规划模型最小花费为752.6432万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.2613km,3.3459km,2.2639km,3.1288km,2.4102km,7.5898km。遍历模型最小花费为752.649007万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km,7.60km。
关键词：非线性规划 逐点遍历 穷举法 页脚.
一．问题重述 准备在A地与B地之间修建一条地下管线，B地位于A地正南面26km和正东40km交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线的造价与地质特点有关，下图给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带，其宽度分别为：沙土地质带宽C1，C5；沙石地质带宽C2；沙石土地质带宽：C4；岩石地质带宽C3。
在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况如下： 地质条件 沙土 沙石土 沙石 岩石 费用(万元/千米) 12 16 18 28
试解决以下几个问题： (1) 图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜；而路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？试建立一个数学模型，确定最便宜的管线铺设路线。（若C1=6，C2=4，C3=5，C4=6，C5=5，确定最便宜的管线铺设路线。）
(2) 铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为0160，确定最便宜的管线铺设路线。 (3) 铺设管线时，如果要求管线必须通过位于沙石地质带或岩石地质带中的某一已知点P（位于A地正南面18km和正东30km交汇处）时，确定最便宜的铺设路线。
二.模型假设 1、修建费用仅与管线长度和不同地质的造价有关，不含其他费用； 2、在无特殊要求情况下，管线可以向任意方向延伸； 3、不考虑管线宽度； 4、所有管线都铺设在同一水平面上； 页脚.
三.符号说明 xf 为修建总费用
1x 为管线与沙土层1c中东西方向上的投影长度
2x 为管线与沙石层2c中东西方向上的投影长度
3x 为管线与岩石层3c中东西方向上的投影长度
4x 为管线与沙石土层4c中东西方向上的投影长度（在问题三中指在过P点的东西方向的直线上的P点以西的投影长度）
5x 为管线与沙土层5c中东西方向上的投影长度（在问题三中指在过P点的东西方向
的直线上的P点以东的投影长度） 6x 为管线与沙土层5c中东西方向上的投影长度
1p 为沙土层1c每千米的修建费用
2p 为沙石层2c每千米的修建费用
3p 为岩石层3c每千米的修建费用
4p 为沙石土层4c每千米的修建费用
5p 为沙土层5c每千米的修建费用(在问题三中指在沙石土层每千米的修建费用)
6p 为问题三中沙土层6c每千米的修建费用
4c 在问题一、二中指沙石土层的宽度，在问题三中指沙石土层P点以上的半层的宽
度
5c 在问题一、二中指沙石土层的宽度，在问题三中指沙石土层P点以下的半层的宽
度 6c 问题三中最下面的沙土层的宽度
四.问题分析 4．1 问题一: 页脚.
本问题主要围绕由A点到B点铺设管线展开，要求花费最少。根据不同地质条件的花费，确定在某一土层中铺设管线的长度。我们采用了两种方法求得最少的花费，分别为非线性规划模型和逐点遍历模型。
4．1．1 方案一 我们首先利用非线性规划求解，可以得出一个关于工程总造价的目标函数f(x)，而且可知f(x)在整个区域连续且可微，f(x)符合在某一点有局部极小点的条件。因此我们用迭代法求出极小值（用Matlab实现），我们分别选用了几组不同的初始值来保证所得到的极小值也是整个区域上的最小值。
4．1．2 方案二 我们又用穷举法另外建立了一个模型，用来确保模型一的结果是最小值，采用C语言实现，我们先在每两种不同地质间的交界线上每隔0.1km确定一个点，然后每条交界线都任取一点，连线，得出一条路径。之后将每一条可能的路径都遍历一遍，将最小值和对应的点保存，得出结果。
4．2 问题二 本问题与问题一相比，增加了约束条件“要求管线转弯时，角度至少为0160”，我们在问题一所建立的两种模型的基础上均增加相应约束条件，通过求出管线转弯处的管线角度的正切值，并利用反正切函数得出管线角度，从而对管线的铺设方向加以限制，得出最少花费的管线铺设线路。
4．3 问题三 本问题要求铺设管线一定要经过一确定点P，因此可以将此问题分为两步，即从A到P的路径为第一步，从P到B的路径为第二步。因为从A到P的路径选择及其花费与从P到B的路径选择及其花费无关，所以求出第一步从A到P的最优解，以及第二步求从P到B的最优解，这两的最优解之和便为整个管线铺设的最优解。
五.模型建立与求解 5．1 问题一 5．1．1 方案一.
根据题意，在第i个土层中的管线长度为
22iiicxd
所以，在该层中的修建花费为
iiidpS 则总花费为 页脚.
5122)(iiiicxpxf
因此得到目标函数 5122)(:miniiiicxpxf
然后所要修建的地区为A地正南面26km和正东40km所表示的区域，在每个土层中管线在东西方向的投影长度应大于0km小于40km，且所有土层中管线在东西方向上的投影长度之和小于40km，因此可确定约束条件：
400ix
4051iix 运用MATLAB软件编程，得到计算结果为总费用最小为748.6244万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。
5．1．2方案二 先在每两种不同土层的交界线上每隔0.1km确定一个点，然后在每条交界线上都任取一点，并连线，得出一条可能路径。再将每一条可能的路径按公式
5122)(iiiicxpxf
逐一计算花费，找到花费的最小值和其对应的点，确定最优路径。在此方案中，采用C语言编程进行遍历，所得最优解为最小花费为748.625602万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。
5．2 问题二 本题也为确定最便宜的管线铺设路线，所以与问题一有相同的目标函数
5122)(:miniiiicxpxf
及约束条件： 400ix;
4051iix;
根据本题中所要求的管线转弯角度大于0160，利用管线在各土层中在东西方向上的 页脚.
投影长度与相应土层宽度得出管线转弯所形成的角的正切值，即iicx，再利用反正切函数算出具体角度。由此得到新的约束条件： 0arctanarctan21807011iiiicxcx; 4,3,2,1i
0180110arctanarctan211iiii
cxc
x; 4,3,2,1i
在问题立的模型的基础上，依据本题中新增非线性约束条件，建立新的模型，利用MATLAB编程，所得计算结果为最小花费为750.6084万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。 利用相同的约束条件，利用C语言编程遍历，所得最优解为最小花费为750.821154万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.10km,4.30km, 2.70km,6.70km,12.20km。
5．3 问题三 根据本题中管线必须通过已知点P（位于A地正南面18km和正东30km交汇处）的约束条件，我们将整个区域依据P点位置分成两部分，即以A点正东30km处为界，将沙土层分成两部分，使整个修建区域变成6个土层。在问题一所建立的模型上加以改进，使目标函数变为：
6122)(:miniiiicxpxf
并将约束条件改为： 300ix; 4,3,2,1i
;100ix 6,5i
3041iix;
1065iix;
利用非线性规划模型，MATLAB编程，所得最优解为:最小花费为752.6432万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.2613km,3.3459km,2.2639km, 3.1288km,2.4102km,7.5898km 利用遍历模型，C语言编程，所得最优解为：最小花费为752.649007万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km, 7.60km。
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14
f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142， 综上得， 函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
数学建模地砖铺设
论文题目：地板铺设模型摘要：人们为了尽量美化自己的住所，绞尽脑汁的想出了许多铺设地板的方案，而铺设地板也是数学建模中经典的案例。
数学建模的核心问题是如何铺设使住户所承担的费用最小且美化程度最高。
本文对地板铺设成本问题进行数学建模并设计计算求最优解。
对于问题一，将问题定义为线性规划模型。
将题目中所给的布局划分为矩形，考虑每个矩形的成本，进行叠加，求取总成本。
列出总成本最低的目标函数以及其约束条件。
对于问题二，运用摊还分析思想解答，根据地板砖的性价比顺序和所剩条形的长度，先铺设完整地板，然后所剩区域再用300×300规格的地板砖切割。
优先使用废料，然后所剩区域用300×300规格的和废料进行切割、填报。
结合建模所求得的数据，并考虑到实际的情况，对地板铺设提出了一下意见。
关键词：线性规划摊还分析美化程度一、问题概述：随着居民生活水平的提高，房屋装潢已是入住新居和装修房屋的必须环节。
而对装潢材料的正确地选材与购买时为房主节约花费与减少浪费的重要手段。
假设每块地板只能沿平行于边长的方向进行切割，且最多只切割一次，切割费用与切割长度成正比。
1、综合考虑影响地板铺设成本的因素，建立计算地板铺设总成本。
2、当使用一种尺寸的地板进行铺设，设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板的块数，利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板铺设成本最低。
3、使用多种尺寸的地板进行混合铺设，又如何实现地板的自动铺设各种尺寸的地板，利用率和总费用。
4、根据所建模型、算法和计算结果，为地板铺设提出些许意见建议。
二、问题分析：1、对问题的分析问题一要求建设地板铺设总成本的模型，以铺设成本为函数，以寻求该函数的最小值为目标，以房间面积为约束条件，且决定变量取整数，符合线性规划的定义。
2、对问题二的分析： 当用多种地板砖进行铺设，选择分析各种规格的性价比，选出单位面积价格最低的地板进行优化整块铺设。
然后根据性价比由高及低进行整块填充，以此同时还要考虑切下废料的整块铺设，最后剩余部分，考虑切割废料和300×300的成本，来进行填充，然后进行总费用、总块数、利用率以及美观程度的计算，得出最优解。
数学建模与数学实验：第2章 补充内容 输油管布置的优化模型
•令
0
x
0
y
• 得到：
1(x x0) 2(x x2) 0
(x x0)2 (y y0)2 (x x2)2 (y y2)
1 y y0 2 y y2 0 x x0 2 y y0 2 x x2 2 y y2 2
分三种情况 0 c 3(z a)
• 条件不满足。
3(z a) c 3(z a)
z 0 (a z
2
3c) (0 m)
(l c)2 (b z)2
d 0 z 0 m 2(b z)
dz 2 2 (l c)2 (b z)2
• 得到最优解
0 7.2万元 / 千米
m 21.5万元 / 千米 a 5,b 8, c 15,l 20(单位：千米 )
第二章 补充内容
输油管布置的优化模型
问题背景
• 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油 厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运 送成品油。由于这种模式具有一定的普遍 性，油田设计院希望建立管线建设费用最省 的一般数学模型与方法 。
需要解决的问题
• 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂 间距离的各种不同情形，提出你的设计方 案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑 共用管线费用与非共用管线费用相同或不同 的情形。
• 类似以上分析得： •
min 384 .5973
• 结果不是最优的。
• 拆迁费用与距郊区的距离呈线性关系
k(x) 8x万元
不分区域
•
B
A
A’
• 可用共用管线，两厂管线同价 不分区域
A(0, a)
B(l, b)
A'(0, 2 y a)
P(x, y) Q(x, 0)
分析
最优化问题数学模型
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
数学建模最优化模型
分析各因素之间的作用 分析各因素之间的相互作
用，从而可以确定各因素是相互独立的、或是相关的。 （统计回归中的交互项的引入）
把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规 划、多目标规划等。
最优化方法的应用
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛 的模型之一,其内容包括线性规划、非线性规划、 整数线性规划、动态规划、多目标规划、决策规 划等.
一般在实际生活中，我们总是利用 最优化方 法解决两方面的问题：成本最小化和利润最大化
例：森林救火费用最小问题
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b(t烧) 毁c1单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1 c1 * b(t2 )
•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,
t
2时，
db dt
0；设当
t
Hale Waihona Puke t1时，dbdt
得其最大值 h。db
为 a设在0；a0,称t1为中火，d势t 为蔓延t的速线度性；函在数t，1,t2其 中斜，率ddbt
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v 2
一般优化模型的总结
说明：
确定目标
建立目标函数；
分析因素
对影响目标函数变化的各个因素
进行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的 因素可以假设掉。
高速公路修建的最优化问题
电子科技大学(科A208)学生姓名：学号：一、实验题目名称: 高速公路二、实验内容：A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。
公路造价与地形特点有关，下图给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。
平原每公里的造价C1＝400万元/公里；高地每公里的造价C2＝800万元/公里；高山每公里的造价C3＝1200万元/公里。
你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。
图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。
而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？1.当道路转弯是，角度至少为1400。
2.道路必须通过一个已知地点（如P，在A城南7公里，东15公里处）。
A平原R·P高地高山高地S平原B三、实验目的：（1）建立一个优化模型；（2）学会应用MA TLAB优化工具箱求解非线性规划问题。
四、问题分析和建模方向:在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。
如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。
因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。
在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。
优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。
()112223342516min ()..0301,2,3,4i f x C S C S C S C S C S C S s t x i =+++++≤≤=对于道路转弯角度的约束，可以利用两向量的夹角加以限制，例如向量m =(x3,8)-(x2,4)和n=(x4,4)-(x3,8),满足约束条件时有cos<m ,n >≥cos40°，即m n |m||n|• ≥ cos40°，共有5个类似的约束条件。
数学建模-最优化模型
8 4 x 8 3 x 32 x 24 x 1 2 1 2
因检验员错检而造成的损失为：
( 8 25 2 % x 8 15 5 % x ) 2 8 x 12 x 1 2 1 2
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
解
设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2 x) 2 x
2 建立无约束优化模型为：min y =- (3 2 x) x ， 0< x <1.5
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
线性规划 整数规划 非线性规划
动态规划
多目标规划
对策论
两个引例
问题一：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
原材料A
原材料B
4
0
0
4
16kg
12kg
该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品 II可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？
①前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件， 并确立最优化的目标。
数学建模-最优化
min cij xij Fi yi i i, j
掌握建立和分析规划模型的方法
• 例2 加工问题 m台机床，n种零件在机床加工，工时 为a1, a2, …, an。问如何分配使各机床的总 加工任务尽可能均衡。
掌握建立和分析规划模型的方法
• 设aj在机床i上加工，有xij=1； aj在机床i上加工，有xij=0 。
i 1 i 1 i 1
1000
1000
10000
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • Lindo程序 min0x1-1x2+2x3 subject to 1x1-2x2+1x3=2 0x1+1x2-3x3<1 0x1+1x2-1x3<2 end
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • • • • Lingo程序 model: sets: E/1..5/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))=b(i)); @for(E(j):x(j)>0);
掌握非线性问题线性化的技巧
• 2、会员租赁数量的约束 ： • 因为会员在一个月内的租赁DVD的数量只 能为0、3、6。 • 若用Zi表示第个会员在第i个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期中是否被 服务， 则有
掌握非线性问题线性化的技巧
x
j 1
100
ij
3(1 yi )Zi
非线性方程 引入0-1变量 pi和qi ，有
data: • c=0,-1,2,0,0; • b=2,1,2; • a=1,-2,1,0,0, • 0,1,-3,1,0, • 0,1,-1,0,1; • enddata • end
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。