【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试理数试题解析(原卷版)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ）
A ．8k >
B ．8k ≥
C ．16k >
D ．16k ≥
2.复数212i
i +-的共轭复数的虚部是（ ）
A ．3
5- B ．3
5 C ．-1 D ．1
3. 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ
B ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβ
C ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l l
D ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α
4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为5
4，则5S =（
） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36
5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22
x y z x ++
=的取值范围为（ ）
A ．100,3⎡
⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10
,0,3⎡
⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）
A ．计算数列{}12n -前5项的和
B ．计算数列{}21n -前5项的和
C ．计算数列{}21n -前6项的和
D ．计算数列{}12n -前6项的和
8.ABC ∆中，“角,,A B C
成等差数列”是“)
sin sin cos C A A B =+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22
a b a b
+-的最小值为（ ） A ．1 B
．2 D
．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343
n n S n T n -=-，则()315339210
2a a a b b b b ++=++（ ） A ．1941 B ．1737
C ．715
D ．2041 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭
为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦
C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦
D ．)
22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12
y x y +++的取值范围是（ ）
A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->
，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的值为___________． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．
16.已知函数()()2lg ,064,0
x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知()2sin 2
f x x π
⎛⎫= ⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14
n T <．
18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．
19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．
（1）求证：AB BC ⊥；
（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12
，求锐二面角1A A C B --的大小． 20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．
（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；
（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．
21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()
(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1
f x
g x x =-． （1）求a 的值； （2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；
（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．
（1）求证：AB MD AD BM =；
（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．
23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为22
x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为2222
cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．
（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；
（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．
（1）求满足条件的实数t 的集合T ；
（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．。
【精编】2017年河北省衡水中学高考物理三调试卷与解析
2017年河北省衡水中学高考物理三调试卷一、选择题：共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第1-5题只有一项符合题目要求，第6-8题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分1．（6分）下列关于近代物理的说法，正确的是（）A．玻尔理论成功解释了各种原子发出的光谱B．能揭示原子具有核式结构的事件是氢原子光谱的发现C．光电效应实验现象的解释使得光的波动说遇到了巨大的困难D．质能方程E=mc2揭示了物体的能量和质量之间存在着密切的确定关系，提出这一方程的科学家是卢瑟福2．（6分）一个质点做直线运动，其位移随时间变化的规律为x=6t﹣3t2（m），其中时间t的单位s，则当质点的速度大小为9m/s时，质点运动的位移为（）A．3.75m B．﹣3.75m C．2.25m D．﹣2.25m3．（6分）如图所示，物块放在斜面体的斜面上，斜面体放在水平地面上，对物块施加一沿斜面向上的力F，现将此力沿逆时针方向缓慢转动至竖直向上，力的大小保持不变，物块和斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是（）A．斜面体对物块的作用力先减小后增大B．斜面体对物块的作用力先增大后减小C．地面对斜面体的作用力一直增大D．地面对斜面体的作用力一直减小4．（6分）如图所示，以速度v将小球沿与水平方向成θ=37°角斜向上抛出，结果球刚好能垂直打在竖直的墙面上，球反弹后的速度方向水平，速度大小为碰撞前瞬间速度的倍，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气阻力不计，则反弹后小球的速度大小再次为v时，速度与水平方向夹角的正切值为（）A．B．C．D．5．（6分）如图所示，平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两边界间距为d，边界MN上有一粒子源A，可沿纸面内各个方向向磁场中输入质量均为m，电荷量均为+q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v=，若不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN 边界射出的区域长度之比为（）A．1：1 B．2：3 C．：2 D．：36．（6分）2016年9月15日，搭载着“天宫二号”空间实验室的“长征二号F”运载火箭在酒泉卫星发射中心正式点火升空，“天空二号”顺利地进入运行圆轨道．某同学从网上查得“天宫二号”的运行轨道离地高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可得天宫二号的（）A．运行周期T=2B．运行的线速度v=C．角速度 D．向心加速度大小a=7．（6分）如图所示，两等量异种电荷在同一水平线上，它们连线的中点为O，竖直面内的半圆弧光滑绝缘轨道的直径AB水平，圆心在O点，圆弧的半径为R，C为圆弧上的一点，OC为竖直方向的夹角为37°，一电荷量为+q，质量为m的带电小球从轨道的A端由静止释放，沿轨道滚动到最低点时，速度v=2，g为重力加速度，取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是（）A．电场中A点的电势为B．电场中B点的电势为C．小球运动到B点时的动能为2mgRD．小球运动到C点时，其动能与电势能的和为1.6mgR8．（6分）在如图所示的变压器电路中，两定值电阻的阻值R1=R2=R，变压器为理想变压器，电表为理想电表，在a、b两端输入正弦交流电压，原副线圈的匝数比为1：2，则（）A．电流表的示数为B．电压表的示数为C．电路消耗的总功率为D．电阻R1、R2消耗的功率之比为2：1二、必考题9．（3分）甲、乙两同学用如图甲实验所示的装置测滑块与长木板之间的动摩擦因数，在一端装有定滑轮的长木板上固定有甲、乙两个光电门，与光电门相连的计时器能显示滑块上的遮光片通过光电门时遮光的时间，滑块通过绕过定滑轮的轻质细绳与测力计挂钩相连，测力计下吊着装有沙的沙桶，测力计能显示挂钩所受的拉力，滑块对长木板的压力大小等于滑块的重力大小，已知当地的重力加速度为g．（1）为了满足实验的要求，下列说法正确的是．A．长木板应放在水平桌面上B．长木板没有定滑轮的一端应适当垫高，以平衡摩擦力C．沙和沙桶及测力计的总质量应远小于滑块的质量D．定滑轮与滑块之间的细绳应与长木板平行（2）实验前用20分度的游标卡尺测出遮光片的宽度，如图所示，其示数d= cm．（3）甲同学测出两光电门之间的距离为L，将滑块从图示位置由静止释放，测得滑块通过甲、乙两光电门的时间分别为t1、t2，记录测力计的示数F，则滑块运动的加速度大小a=（用字母表示）．（4）多次改变沙桶里沙的质量，重复（3）的步骤，根据测得的多组F和a作出a﹣F图象如图丙所示，由图象可知，滑块的质量为，滑块与长木板间的动摩擦因数为．10．（3分）某同学要测某新型手机电池的电动势和内阻，设计了如图甲所示的电路，电路中R0为定值电阻，阻值大小为3.5Ω．（1）请按电路图完成图乙中实物图的连接．（2）闭合开关S前，应先将实物图中的滑动变阻器的滑片移到最（填“左”或“右”端），电路中定值电阻R0的作用是．（3）闭合S，调节滑动变阻器的滑片，测出多组电流表和电压表的值，作出U ﹣I图象如图丙所示，则电池的电动势E=V，电池的内阻r=Ω．（4）本实验由于存在系统误差，使得电动势的测量值比真实值（填“大”或“小”），电池内阻的测量值比真实值（填“大”或“”）．11．（3分）如图所示，固定且足够长的平行光滑金属导轨EF、PQ所在平面的倾角θ=53°，导轨的下端E、P之间接有R=1Ω的定值电阻，导轨间距L=1m，导轨的电阻不计，导轨上垂直于导轨的虚线上方有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=1T，在虚线下方的导轨上放一垂直于导轨的金属棒ab，金属棒ab的质量m=1kg，有效电阻r=0.5Ω，长度也为L=1m，将金属棒ab与绕过导轨上端的定滑轮的细线连接，定滑轮与金属棒ab间的细线与导轨平行，细线的另一端吊着一个重物，重物的质量也为m=1kg，释放重物，细线带着金属棒ab向上运动，金属棒ab运动过程中，始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，开始时金属棒ab到虚线的距离s=0.5m，重力加速度g=10/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）金属棒ab刚进入磁场时的速度；（2）金属棒ab刚进入磁场时的加速度；（3）金属棒ab在磁场中做匀速运动时的速度．12．（3分）如图所示，质量为5.0kg的小车以2.0m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，小车上AD部分是表面粗糙的水平轨道，DC部分是光滑圆弧轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小E为50N/C，磁感应强度大小B为2.0T．现有一质量为2.0kg、带负电且电荷量为0.10C的滑块以10m/s向右滑入小车，当滑块运动到D点时相对地面的速度为5m/s，计算结果保留两位有效数字，求：（1）滑块从A到D的过程中，小车、滑块组成的系统损失的机械能．（2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为76N，求圆弧轨道的半径r．（3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，求此圆弧的最大半径．三、【物理选修3-3】13．下列说法正确的是（）A．一切与热现象有关的宏观自然过程都是不可逆的B．使用钢笔难以在油纸上写字，这是因为钢笔使用的墨水与油纸不浸润C．增大气体的压强，可以使气体分子之间的斥力大于引力，使分子力表现为斥力D．对于一定量的理想气体，如果体积不变，压强减小，那么它的内能一定减小，气体对外做功E．若容器中用活塞封闭着刚好饱和的一些水汽，当保持温度不变向心缓慢压缩活塞时，水汽的质量减少，压强不变14．如图所示，粗细均匀的U形玻璃管竖直放置，A端封闭，B端开口向上，管中有一定量的水银，左侧管中水银柱高为L，右侧管中的水银柱高为L，左侧管中封闭的空气柱的长也为L，大气压强为P0，大气温度为T0，水银密度为ρ，重力加速度为g，右侧管足够长，问：①如果空气柱温度不变，在B端缓慢地倒入水银，使左侧内管中空气柱长变为L，需要在右管中倒入多长的水银柱？②若通过降温使管中空气柱的长度变为L，则需要将温度降低为多少？四、【物理选修3-4】15．下列说法正确的是（）A．弹簧振子的回复力，由弹簧的弹力提供B．单摆振动的周期，一定等于它固有周期C．机械波从一种介质进入另一种介质，如果波速变大，那么波长一定变大D．在干涉现象中，振动加强点的位移有时可能比振动减弱的点的位移小E．发生多普勒效应时，波源发出的波的频率并没有发生变化16．如图为半圆形玻璃柱的截面图，半圆形玻璃柱半径为R，平行于直径AB的单色光照射在玻璃柱的圆弧面上，其中一束光线经折射后恰好通过B点，已知玻璃柱对单色光的折射率为①求该束光线到AB的距离；②试说明，入射光线经过折射后，直接照射到CB段弧面上的折射光线，不可能在CB段弧面上发生全反射．2017年河北省衡水中学高考物理三调试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第1-5题只有一项符合题目要求，第6-8题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分1．（6分）下列关于近代物理的说法，正确的是（）A．玻尔理论成功解释了各种原子发出的光谱B．能揭示原子具有核式结构的事件是氢原子光谱的发现C．光电效应实验现象的解释使得光的波动说遇到了巨大的困难D．质能方程E=mc2揭示了物体的能量和质量之间存在着密切的确定关系，提出这一方程的科学家是卢瑟福【解答】解：A、玻尔建立了量子理论，解释了氢原子发光现象，但不能成功解释了各种原子发出的光谱，故A错误；B、α粒子的散射实验揭示原子具有核式结构，故B错误；C、光电效应实验现象的解释使得光的波动说遇到了巨大的困难，故C正确；D、质能方程E=mc2揭示了物体的能量和质量之间存在着密切的确定关系，提出这一方程的科学家是爱因斯坦，故D错误．故选：C2．（6分）一个质点做直线运动，其位移随时间变化的规律为x=6t﹣3t2（m），其中时间t的单位s，则当质点的速度大小为9m/s时，质点运动的位移为（）A．3.75m B．﹣3.75m C．2.25m D．﹣2.25m【解答】解：根据匀变速直线运动的位移时间关系，由x=6t﹣3t2（m）可得：比较可得质点运动的初速度为：v0=6m/s，加速度为；a=﹣6m/s2v=v0+at可得当速度大小为9m/s时，t=2.5s，故此时的位移为x=6×2.5﹣3×2.52=﹣3.75m，故B正确故选：B3．（6分）如图所示，物块放在斜面体的斜面上，斜面体放在水平地面上，对物块施加一沿斜面向上的力F，现将此力沿逆时针方向缓慢转动至竖直向上，力的大小保持不变，物块和斜面体始终保持静止，则下列说法正确的是（）A．斜面体对物块的作用力先减小后增大B．斜面体对物块的作用力先增大后减小C．地面对斜面体的作用力一直增大D．地面对斜面体的作用力一直减小【解答】解：AB、对物块受力分析，受重力、拉力和斜面施加力（支持力和摩擦力的合力），由于拉力和重力的合力变小，故根据平衡条件，斜面体对物块的作用力变小，故AB错误；CD、对物块和斜面体整体分析，受重力、拉力和地面施加的力（重力和支持力的合力），由于重力和拉力的合力减小，故根据平衡条件，地面对斜面体的作用力变小，故C错误，D正确；故选：D4．（6分）如图所示，以速度v将小球沿与水平方向成θ=37°角斜向上抛出，结果球刚好能垂直打在竖直的墙面上，球反弹后的速度方向水平，速度大小为碰撞前瞬间速度的倍，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气阻力不计，则反弹后小球的速度大小再次为v时，速度与水平方向夹角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：采用逆向思维，小球做斜抛运动看成是平抛运动的逆反运动，将抛出速度沿水平和竖直方向分解，有：球撞墙前瞬间的速度等于0.8V，反弹速度大小为：反弹后小球做平抛运动，当小球的速度大小再次为V时，竖直速度为：速度方向与水平方向的正切值为：，故B正确，ACD错误；故选：B5．（6分）如图所示，平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两边界间距为d，边界MN上有一粒子源A，可沿纸面内各个方向向磁场中输入质量均为m，电荷量均为+q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v=，若不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN 边界射出的区域长度之比为（）A．1：1 B．2：3 C．：2 D．：3【解答】解：粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，故有：，所以粒子运动半径巍峨：；由左手定则可得：粒子向运动方向左侧偏转做圆周运动；当粒子沿AN方向进入磁场时，粒子打在PQ上的位置为粒子能从PQ边界射出的区域的最下端，由几何关系可得：此时，落点在PQ上A点下侧距离为：；粒子进入磁场的方向逆时针旋转，粒子打在PQ上的点上移，直到运动轨迹与PQ 相切时，粒子打在PQ上的位置为粒子能从PQ边界射出的区域的最上端，由几何关系可得：此时，落点在PQ上A点上侧距离为：；所以粒子能从PQ边界射出的区域长度为：；因为R＜d，所以，粒子在MN上的落点为A到A点上方处，所以，粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为，故C正确，ABD错误；故选：C．6．（6分）2016年9月15日，搭载着“天宫二号”空间实验室的“长征二号F”运载火箭在酒泉卫星发射中心正式点火升空，“天空二号”顺利地进入运行圆轨道．某同学从网上查得“天宫二号”的运行轨道离地高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可得天宫二号的（）A．运行周期T=2B．运行的线速度v=C．角速度 D．向心加速度大小a=【解答】解：根据万有引力提供向心力，有===ma，得，，，由地球表面物体重力等于万有引力，有，得所以运行周期，运行的线速度角速度，向心加速度，故BC正确，AD错误；故选：BC7．（6分）如图所示，两等量异种电荷在同一水平线上，它们连线的中点为O，竖直面内的半圆弧光滑绝缘轨道的直径AB水平，圆心在O点，圆弧的半径为R，C为圆弧上的一点，OC为竖直方向的夹角为37°，一电荷量为+q，质量为m的带电小球从轨道的A端由静止释放，沿轨道滚动到最低点时，速度v=2，g为重力加速度，取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是（）A．电场中A点的电势为B．电场中B点的电势为C．小球运动到B点时的动能为2mgRD．小球运动到C点时，其动能与电势能的和为1.6mgR【解答】解：A、取无穷远处电势为0，则最低点处电势为0．小球从A点运动到最低点过程中，由动能定理可得：解得而U AO=φA﹣0解得：，故A正确；B、由对称性可知：U AO=U OB即为：φA﹣0=0﹣φB故有：，故B错误；C、小球从A点运动到B点过程中，由动能定理得：E k=qU AB=2mgR，故C正确；D、小球在最低点处的动能和电势能的总和为：由最低点运动到C点过程，动能、电势能、重力势能的总量守恒，而重力势能增加量为：△E p=mgR（1﹣cos37°）=0.2mgR故动能、电势能的综合减少了0.2mgR，所以小球在C点的动能和电势能的总和为：E2=E1﹣0.2mgR=1.8mgR，故D错误；故选：AC8．（6分）在如图所示的变压器电路中，两定值电阻的阻值R1=R2=R，变压器为理想变压器，电表为理想电表，在a、b两端输入正弦交流电压，原副线圈的匝数比为1：2，则（）A．电流表的示数为B．电压表的示数为C．电路消耗的总功率为D．电阻R1、R2消耗的功率之比为2：1【解答】解：A、设副线圈电流为I，根据电流与匝数成反比，得原线圈电流为：副线圈两端的电压为：根据电压与匝数成正比，得原线圈两端的电压为：正弦交流电压的有效值为：原线圈回路中有：=解得：，故A正确；B、电压表的示数为原线圈两端的电压，为：=，故B错误；C、电路消耗的总功率为：，故C正确；D、根据P=，电阻、消耗的功率之比为：，故D错误；故选：AC二、必考题9．（3分）甲、乙两同学用如图甲实验所示的装置测滑块与长木板之间的动摩擦因数，在一端装有定滑轮的长木板上固定有甲、乙两个光电门，与光电门相连的计时器能显示滑块上的遮光片通过光电门时遮光的时间，滑块通过绕过定滑轮的轻质细绳与测力计挂钩相连，测力计下吊着装有沙的沙桶，测力计能显示挂钩所受的拉力，滑块对长木板的压力大小等于滑块的重力大小，已知当地的重力加速度为g．（1）为了满足实验的要求，下列说法正确的是AD．A．长木板应放在水平桌面上B．长木板没有定滑轮的一端应适当垫高，以平衡摩擦力C．沙和沙桶及测力计的总质量应远小于滑块的质量D．定滑轮与滑块之间的细绳应与长木板平行（2）实验前用20分度的游标卡尺测出遮光片的宽度，如图所示，其示数d=0.230cm．（3）甲同学测出两光电门之间的距离为L，将滑块从图示位置由静止释放，测得滑块通过甲、乙两光电门的时间分别为t1、t2，记录测力计的示数F，则滑块运动的加速度大小a=（用字母表示）．（4）多次改变沙桶里沙的质量，重复（3）的步骤，根据测得的多组F和a作出a﹣F图象如图丙所示，由图象可知，滑块的质量为，滑块与长木板间的动摩擦因数为．【解答】解：（1）测量摩擦因数，现根据遮光板通过光电门的时间求得瞬时速度，根据速度位移公式求得加速度，根据牛顿第二定律求得摩擦因数和物块的质量，其中绳子的拉力即为物体的水平拉力，故木板需要水平放在桌面上，并且定滑轮与滑块之间的细绳应与长木板平行，拉力是根据测力计读出来的，故无需孩子到沙和沙桶的质量，故AD正确，BC错误；（2）20分度的游标卡尺精度为0.05mm；固定刻度读数为0.2cm，游标读数为0.05×6mm=0.30mm=0.030cm，所以最终读数为：0.2cm+0.030mm=0.230mm（3）通过甲乙遮光板的速度分别为，，根据速度位移公式可知，解得a=（4）根据牛顿第二定律可知F﹣μmg=ma，解得a=，故﹣a0=﹣μg，，解得，故答案为：（1）AD（2）0.230（3）（4）；10．（3分）某同学要测某新型手机电池的电动势和内阻，设计了如图甲所示的电路，电路中R0为定值电阻，阻值大小为3.5Ω．（1）请按电路图完成图乙中实物图的连接．（2）闭合开关S前，应先将实物图中的滑动变阻器的滑片移到最左（填“左”或“右”端），电路中定值电阻R0的作用是保护电路．（3）闭合S，调节滑动变阻器的滑片，测出多组电流表和电压表的值，作出U ﹣I图象如图丙所示，则电池的电动势E= 3.8V，电池的内阻r=0.5Ω．（4）本实验由于存在系统误差，使得电动势的测量值比真实值小（填“大”或“小”），电池内阻的测量值比真实值小（填“大”或“”）．【解答】解：（1）根据原理图可得出对应的实物图，如图所示；（2）为了让电流由最小值开始调节，滑动变阻器的滑片开始时应滑到最左端；电路中定值电阻的作用是保护电路，防止电源发生短路；（3）根据闭合电路欧姆定律可知，U=E﹣I（R0+r），由图可知，电源的电动势E=3.8V，图象的斜率表示内电阻与定值电阻之和：故r+R0==4Ω；则r=0.5Ω；（4）保护电阻等效到电源的内部，电压表测的电压为外电压，电流表所测的电流偏小，作出U﹣I图线的测量图线和实际图线，虚线表示实际图，从图线可以看出，电动势和内阻的测量值均小于真实值．故答案为：（1）如图所示（2）左；保护电路；（3）3.8；0.5（4）小；小11．（3分）如图所示，固定且足够长的平行光滑金属导轨EF、PQ所在平面的倾角θ=53°，导轨的下端E、P之间接有R=1Ω的定值电阻，导轨间距L=1m，导轨的电阻不计，导轨上垂直于导轨的虚线上方有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=1T，在虚线下方的导轨上放一垂直于导轨的金属棒ab，金属棒ab的质量m=1kg，有效电阻r=0.5Ω，长度也为L=1m，将金属棒ab与绕过导轨上端的定滑轮的细线连接，定滑轮与金属棒ab间的细线与导轨平行，细线的另一端吊着一个重物，重物的质量也为m=1kg，释放重物，细线带着金属棒ab向上运动，金属棒ab运动过程中，始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，开始时金属棒ab到虚线的距离s=0.5m，重力加速度g=10/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）金属棒ab刚进入磁场时的速度；（2）金属棒ab刚进入磁场时的加速度；（3）金属棒ab在磁场中做匀速运动时的速度．【解答】解：（1）根据机械能守恒，有：mgs﹣mgssinθ=，解得v1=1m/s；（2）刚进入磁场时，对于重物根据牛顿第二定律有：mg﹣T=ma，=ma，对于金属棒根据牛顿第二定律可得：T﹣mgsinθ﹣F安根据安培力的计算公式可得：F=BIL=，安联立解得加速度：a=；（3）设金属棒ab在磁场中匀速运动的速度为v2，则有：mg﹣mgsinθ﹣=0，解得v2=3m/s．答：（1）金属棒ab刚进入磁场时的速度为1m/s；（2）金属棒ab刚进入磁场时的加速度为；（3）金属棒ab在磁场中做匀速运动时的速度为3m/s．12．（3分）如图所示，质量为5.0kg的小车以2.0m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，小车上AD部分是表面粗糙的水平轨道，DC部分是光滑圆弧轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小E为50N/C，磁感应强度大小B为2.0T．现有一质量为2.0kg、带负电且电荷量为0.10C的滑块以10m/s向右滑入小车，当滑块运动到D点时相对地面的速度为5m/s，计算结果保留两位有效数字，求：（1）滑块从A到D的过程中，小车、滑块组成的系统损失的机械能．（2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为76N，求圆弧轨道的半径r．（3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，求此圆弧的最大半径．【解答】解：（1）设滑块运动到D点时的速度大小为v1，小车在此时的速度大小为v2，滑块从A运动到D的过程中系统动量守恒，以向右为正方向，有：mv0﹣Mv=mv1+Mv2代入数据解得v2=0则小车跟滑块组成的系统的初机械能小车跟滑块组成的系统的末机械能代入数据解得：E1=110J，E2=25J小车与滑块组成的系统损失的机械能△E=E1﹣E2代入数据解得：△E=85J（2）设滑块刚过D点时，受到轨道的支持力为N，则由牛顿第三定律可得N=76N 由牛顿第二定律可得代入数据解得：r=1m（3）设滑块沿圆弧轨道上升到最大高度时，滑块与小车具有共同的速度v3则由动量守恒定律可得mv1=（M+m）v3代入数据解得：设圆弧轨道的最大半径为R则由能量守恒关系，有：代入数据解得：R=0.71m答：（1）滑块从A到D的过程中，小车、滑块组成的系统损失的机械能为85J；（2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为76N，圆弧轨道的半径为1m；（3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，此圆弧的最大半径为0.71m．三、【物理选修3-3】13．下列说法正确的是（）A．一切与热现象有关的宏观自然过程都是不可逆的B．使用钢笔难以在油纸上写字，这是因为钢笔使用的墨水与油纸不浸润C．增大气体的压强，可以使气体分子之间的斥力大于引力，使分子力表现为斥力D．对于一定量的理想气体，如果体积不变，压强减小，那么它的内能一定减小，气体对外做功E．若容器中用活塞封闭着刚好饱和的一些水汽，当保持温度不变向心缓慢压缩活塞时，水汽的质量减少，压强不变【解答】解：A、根据热力学第二定律可知，一切与热现象有关的宏观自然过程都是不可逆的．故A正确；B、墨水与油纸不浸润，所以使用钢笔难以在油纸上写字．故B正确；C、气体分子之间的距离相对于分子非常大，所以增大气体的压强，气体分子之。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考(全国卷)理数(解析版)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ） A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 【答案】A. 【解析】试题分析：∵A B A = ，∴A B ⊆，故只有A 符合题意，故选A. 考点：集合的关系及其运算. 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D.考点：复数的概念及其运算.3.已知平面向量a ，b 满足()5a a b ⋅+= ，且||2a = ，||1b =，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A.23 B.23- C.21 D.21-【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，215421cos ,5cos ,2a ab a b a b +⋅=⇒+⋅⋅<>=⇒<>= ，故选C.考点：平面向量数量积.4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.考点：程序框图.5.已知数列{}n a 中，11=a ，121()n n a a n N *+=+∈，n S 为其前n 项和，则5S 的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 【答案】A. 【解析】试题分析：∵112112(1)n n n n a a a a ++=+⇒+=+，∴{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，∴1221nnn n a a +=⇒=-，∴12(21)2221n n n S n n +-=-=---，∴652757S =-=，故选A.考点：数列的通项公式.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A.32π B.3π C.92π D.916π【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴211216243239V ππ=⋅⋅⋅⋅=，故选D. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积. 7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B.1.5C.0.75D.1.75 【答案】D. 【解析】试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为11722224S =⋅⋅-=，故选D.考点：线性规划.9.焦点在x 轴上的椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换10.在四面体S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==，2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A.π68 B.π6 C.π24 D.π6 【答案】B. 【解析】考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解. 11.已知函数()52log 1,(1)()(2)2,(1)x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜，则关于x 的方程()(),f x a a R =∈实根个数不可能为（ ）A.2B.3C.4D.5 【答案】D.【解析】考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 12.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πϕϕ=+≤＞的部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数【答案】B. 【解析】考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2.求ϕ的值时最好选用最值点求：峰点：22x k πωϕπ+=+，谷点：22x k πωϕπ+=-+，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+(以上k Z ∈)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为_______. 【答案】2. 【解析】试题分析：由二项式定理可知4(1)x +中，14r r r T C x +=，令2r =，可知2x 的系数为246C =，令3r =，可知3x 的系数为344C =，故41(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为642-=，故填：2.考点：二项式定理.14.已知抛物线22(0)y px p =>上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =_______. 【答案】14. 【解析】试题分析：由题意得，2284152m pp p m ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=±+=⎩⎪⎩，又∵(1,0)A -，∴22AMm K ==±，渐近线方程为y =1124a =⇒=，故填：14. 考点：二项式定理.15.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠= ，C 点的仰角45CAB ∠= 以及75MAC ∠= ，C 点测得60MCA ∠= ，已知山高100BC =m ，则山高MN =_______m.【答案】150.考点：正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.【答案】1[,)21e +∞-. 【解析】考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）；（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）【答案】（1）10450.5,110500.99,1120n n n n a n -+≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得20S 的值，即可得出结论.试题解析：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.6320S ≈万，由204920S<，故到2035年不需要调整政策． 考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和． 18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD 平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//AE BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在， 请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，证明MN ⊥平面ABCD ，从而MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则MN ⊥平面ABCD ， ∵M 为PD 中点，N 为BD 中点，∴MN 为PDB ∆的中位线，∴//MN PB ，又∵平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD 平面ABPE AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解． 19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求a ，b 的值；（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望．（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性． 【答案】（1）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；（2）4.8；（3）详见解析.【解析】（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，据此，乙厂的产品更具可购买性.考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线0643=++y x 与圆222)(a b y x =-+相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析；（3）1625. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出a ，b 满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程同理∴222284(,)4141m mN m m --++， i) 1m ≠±时，254(1)MN m k m =-， 256:()4(1)5MNm l y x m =+-过定点6(,0)5-， ii) 1m =±时6:5MN l x =-，过点6(,0)5-， 综上所述，∴MN l 过定点6(,0)5-；（3）由（2）知32242244854414174AMNm m m m S m m m m ∆+=+=++++ 21881194()941m mm m mmm m+==+++++，令121t m m m=+≥=±且时取等号， ∴1625S ∆≤时，当1m =±取等号，即max 1625S ∆=.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题．【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(a e x a x f x --=(常数R a ∈且0≠a ). （1）证明：当0a >时，函数)(x f 有且只有一个极值点； （2）若函数)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1240()f x e <<且2240()f x e <<. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】(,0)-∞不存在极值点；②当0x ≥时，由'()(1)0x h x a x e =+>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，∵2(0)0h a =-<，2()()(1)0aah a a a e a a e =⋅-=->，∴()'()h x f x =在[0,)+∞有且只有一个零点， 又∵'()f x 的零点左侧，'()0f x <，在'()f x 的零点右侧，'()0f x >，∴函数()f x 在[0,)+∞有且只有一个极值点，综上所述，当0a >时，函数()f x 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点；（2）∵为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （不妨设12x x <）， ∴1x ，2x 是()'()h x f x =的两个零点，且由（1）知，必有0a <， 令'()(1)0xh x a x e =+=得1x =-；令'()(1)0xh x a x e =+>得1x <-；令'()(1)0x h x a x e =+<得1x >-，∴()'()h x f x =在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又∵2(0)'(0)0h f a ==-<，∴必有1210x x <-<<，令'()()0tf t a te a =-=，解得t a te =，又∵122111()(1)0x f x e x x =-->，∴1240()f x e <<， 当10t -<<时，∵210t -<，210t -<，20t e >，∴'()0g t <，则()g t 在(1,0)-(1,0)-单调递减，∵210x -<<，∴22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=， 综上可知，1240()f x e <<且2240()f x e <<． 考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考(全国卷)理数试题01(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}|0B x x =≥，且A B A = ，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A = ，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A. 考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b满足()5a a b += ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．B ． ．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>= ，所以1cos ,2a b <>= ，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D 【解析】考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ． 向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C.考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32C ．34D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C 【解析】考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是）A． B ．6π C ．24π D【答案】B 【解析】径为R ，则2221132R SO OO =+=，所以246S R ππ==，故选B.考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个 【答案】D 【解析】考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 【答案】B 【解析】故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ． 【答案】14【解析】试题分析：抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离152pd =+=,所以8p =，抛物线方程为216y x =，点(1,4)M ，点(1,0)A -，4021(1)AM k -==--，所以12=-，即14a =，故应填14.考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠= 点的仰角45CAB ∠= 以及75MAC ∠= ，从C 点测得60MCA ∠= ，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150 【解析】【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ． 【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥ ，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min 211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时， ()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max1g x k ke ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）. 【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.【解析】10500.99n n a -=⨯因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23. 【解析】试题分析：(1)由题意可知PB ⊥平面ABCD ,所以只要构造直线//MN PB 即可，连接BD ，取BD 中点N ，构造三角形PBD 的中位线即可；(2) 以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系,求出平面DPE 与平面APE 的法向量，利用空间向量相关知识求解即可. 试题解析： （1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性. 【解析】由① ② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三理数试题(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= .本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）学,科,...A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B学,科,...【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.学,科,...二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.学,科,...【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得. 试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，学,科,...所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.学,科,...由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，学,科,...同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,...【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为. 试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.学,科,...23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。
【河北省衡水中学】2017届高三下学期三调数学(理科)试卷-答案
（2）()312545339910540100,1,2,3,0,(1)48428421C C C X P X P X C C =========． ()()2134543399305412,384148421C C C P X P X C C ========． 其分布列为X 0123P542 1021 514 121∴510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （12分） 19．（1）因为,,DA AE DA AB AB AE A ⊥⊥=I ，故DA ABFE ⊥平面．故CB ABFE ⊥平面，以B 为原点，BABF BC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向． 建立如图所示的空间直角坐标系，则0,2,0F （），2,0,1D （），11,12G （，），2,1,0E （），0,0,1C（） 所以1=1,0,2EG ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知ABCD 平面的一个法向量()0,1,0n =r ． 所以()11,0,0,1,002EG n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r r g g ．所以EG n ⊥u u u r r ． 又EG ABCD ⊄平面，所以EG ABCD P 平面． （6分） （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于215．理由如下：直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于215，即直线BN 与FCD 平面所成角的正弦值等于25，因为()()2,2,1,2,0,0FD CD =-=u u u r ．设FCD 平面的法向量为()1=0,1,2n r．由110n FD n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r g ，得111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，取11y =得FCD 平面的一个法向量()10,1,2n =u u r ．假设线段FD 上存在一点N ，使得直线BN 与FCD 平面所成角的正弦值等于25． 所以sin cos ,BN n α=u u u r r()()()122221222559845222BN n BN n λλλλλ====-+⋅+-+u u u r u u r g u u u r u u r g ．所以29810λλ--=，解得11=9λλ=-或（舍去）．因此，线段DF 上存在一点N ，当点N 与点D 重合时，直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于。
河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试理数试题解析2
第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.已知会合A x N |1 x log 2 k ，会合 A 中起码有3个元素，则（）A ．k 8B．k 8C．k 16D．k 16【答案】 C【分析】试题剖析：因为会合 A 中起码有3个元素，所以log2k 4 ，所以 k 2416 ，应选C．考点： 1、会合的元素； 2、对数的性质．2.复数2i的共轭复数的虚部是（）12iA ．3B．3C．-1D．1 55【答案】 C【分析】考点：复数的观点及运算．3. 以下结论正确的选项是（）A ．若直线l平面，直线l平面，则/ /B．若直线l / /平面，直线l / /平面，则/ /C．若两直线l1、l2与平面所成的角相等，则l1/ /l2D．若直线l上两个不一样的点A、B到平面的距离相等，则l / /【答案】 A【分析】试题剖析： A 中，垂直于同向来线的两平面相互平行，所以直线直线l平面，直线 l平面，则/ /，正确；B中，若直线l / /平面，直线l / /平面，则两平面可能订交或平行，故 B 错； C 中，若两直线l1、l2与平面所成的角相等，则l1、 l 2可能订交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l上两个不一样的点A、B到平面的距离相等，则直线与平面可能订交或许平行，故 D 错，应选 A ．考点：空间直线与平面间的地点关系．【思想点睛】解答此类试题的重点是对于空间几何中的一些观点、公义、定理和推论的理解必定要联合图形，理解其实质，正确掌握其内涵，特别是定理、公义中的限制条件，如公义 3 中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列a n的前n项和为S n，已知a2a52a3，且 a4与 2a7的等差中项为5，则S54（）A ．29B．31C．33 D ．36【答案】 B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式．【一题多解】由 a2a5 2a3，得 a4 2 ．又a42a75，所以 a71，所以 q1，所以242a1 (1 q5 )31，应选 B．a1 16 ，所以 S51 qx0 2第 2页 /共 23页A ． 0,10B ． ,2 U10,C ． 2,103 33D ． ,0U10 ,3【答案】 D 【分析】试题剖析：作出不等式组不等式的平面地区如下图，z 2xy 2 2 y 2表示xx的几何意义为地区内的点到点P(0, 2)的斜率 k 加上 2．因为 A(3, 2) 、C ( 1,0) ，所以kAP4,k CP 2 ，所以由图知 k4或 k2，所以 k 210或 k 2 0 ，即 z10 或3333z 0 ，应选 D ．考点：简单的线性规划问题．6.若 a 0,b 0,lg a lg b lg a b ，则 a b 的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】 C考点： 1、对数的运算； 2、基本不等式．7.阅读如下图的程序框图，则该算法的功能是（）A ．计算数列2n 1前5项的和B．计算数列2n 1 前5项的和[ 来源:ZXXK]C．计算数列2n 1 前6项的和D．计算数列2n 1前6项的和【答案】 D【分析】试题剖析：第一次循环，得 A 1, i 2 ；第二次循环： A 1+2 1, i 3 ；第三次循环：A 1+2 1+221,i 4 ；第四次循环： A 1+2+2 2 +23 , i 5 ；第五次循环： A 1+2+2 2 +23 +2 4 , i6 ；第六次循环： A 1+2+2 2 +23 +2 4 +25，i7 6 ，不知足循环条件，退出循环，输出A 1+2+2 2 +2 3 +2425，即计算数列2n 1前6项的和，应选D．考点：循环构造流程图．【易错点睛】应用循环构造应注意的三个问题分别为：（1）确立循环变量和初始值；（2）确立算法中频频履行的部分，即循环体；（3）确立循环的停止条件．同时挨次计算出每次的循环结果，直到不知足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8. ABC中，“角A, B,C成等差数列”是“sin C 3 cos A sin A cos B ”的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】考点： 1、充足条件与必需条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b ，二次三项式ax22x b 0 对于一确实数 x 恒成立，又 x0R ，使ax02 2 x0 b 0 成立，则a2b2的最小值为（）a bA ．1B．2C．2D．2 2【答案】 D【分析】试题剖析：因为二次三项式 ax22x b 0对于一确实数 x 恒成立，所以 a 0；44ab0又 x o R ，使 ax o22x o b0成立，所以 44ab0 ，故只有 4 4ab 0 ，即a 0, a b, ab 1 ，所以a2b2＝ a b2ab a b2 2 2，应选D．a b a b a b考点： 1、存在性命题； 2、基本不等式； 3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列a n , b n的前n项和分别为S n,T n，若对于随意的自然数n ，都有S n 2n3，则a3a15a 3（） T n4n 32 b 3b 9b 2b10A ．19B ．17C ．7D ．20413715 41【答案】 A考点： 1、等差数列的性质； 2、等差数列的前 n 项和公式．11.已知函数 g xax 2 1x e,e 为自然对数的底数与 h x2ln x 的图象上存在关e于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（）A ．D ．12121, e 22B ． 1,e 2C ． e 2 2, e 2e 2 2,【答案】 B 【分析】试题剖析：由条件知，方程 a x 22ln x ，即 a2ln xx 2 在 [ 1 , e] 上有解．设ef ( x) 2ln xx 2 ，则 f (x)2 2x2(1 x)(1 x) ．因为 1x e ，所以 f ( x) 0 在 x1 有xxe独一的极值点． 因为 f (1) ＝ 212，f (e) 2 e 2 ，f ( x)极大值 f (1)1，又 f (e)f (1) ，eee所以方程 a2ln x x 2在 [ 1,e] 上有解等价于 2e 2a1，所以 a 的取值范围为e1,e 2 2 ，应选 B ．考点： 1、函数极值与导数的关系； 2、函数函数的图象与性质．uuuv uuuv uuuvx, y R ，且12.如图，在OMN中，A, B分别是OM , ON的中点，若OP xOA yOB点 P 落在四边形 ABNM 内（含界限），则y 1的取值范围是（）x y2A．1,2B．1,3C．1,3D．1,2 33344443【答案】 C【分析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若实数【答案】【分析】a、b 0,1 ，且知足 1 a b1，则a、b的大小关系是_____________．4a b试题剖析：因为 a、b 0,1，且知足 1 a b 1，所以 1 a b1，又421 a b 1 a b ，所以 1 a b 1，即 a b ．222考点：基本不等式．若 tan110 ,,，则 sin22cos cos2的值为 ___________．14.tan3 4 244【答案】 0【分析】试题剖析：由 tan110，得 (tan3)(3tan1)0 ，所以tan 3 或tan1．因tan33为,2，所以 tan 3 ，所以sin242cos4cos2＝2sin 22cos 2＋4222(1cos 2)＝2sin 2 2 cos22＝22sin cos2cos2sin 2 2 ＝2222sin2cos2sin2cos222 2 tan2 1 tan 2 2 ＝ 2232 1 3220．2 tan21tan2 1 223213212考点： 1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角．15.一个几何体的三视图如下图，则此几何体的体积是_____________．【答案】 80【分析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，第一应当知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求一定掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确立组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等” ，由此可确立几何体中各数据．16.已知函数f x lg x , x 0，若对于 x 的方程f2x bf x 1 0 有8个不一样x26x 4, x0根，则实数 b 的取值范围是______________．【答案】 2 b174【分析】考点： 1、分段函数； 2、函数的图象； 3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程 g( x) 0的实根常将参数移到一边转变为值域问题．当研究程 g( x) 0的实根个数问题，即方程 g (x) 0的实数根个数问题时，也常要进行参变分别，获得 a f ( x) 的形式，而后借助数形联合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如f (x) h( x) ，经常是一边的函数图像是确立的，另一边的图像是动的，找到切合题意的临界值，而后总结答案即可．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）[ 根源 :ZXXK]17.（本小题满分 12 分）已知f x2sin x ，会合 M x | f x2, x 0 ，把M中2的元素从小到大挨次排成一列，获得数列a n , n N *．（1）求数列a n的通项公式；（2）记b n12，设数列 b n的前n项和为T n，求证：T n 1 ．an 14【答案】（1）a n2n 1 n N *；（2）看法析．【分析】试题剖析：（1）第一依据正弦函数性质解出M 中的元素，从而获得x2k 1,k Z ，由此可求得数列{a n}的通项公式；（2）第一联合（1）求得 b n的表达式，而后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点： 1、递推数列； 2、数列的通项公式； 3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分 12 分）已知向量m3 sin x,1 , n cosx,cos 2x，记 f x mgn ．444（1）若f x 1，求cos x的值；3（2）在锐角ABC中，角A, B, C的对边分别是a,b, c，且知足2a c cosB b cosC ，求 f 2 A 的取值范围．【答案】（1）1；（2）3 1 , 3．222【分析】试题剖析：（1）第一利用向量的数目积公式求出函数f (x)的分析式，而后利用二倍角公式求值即可；（2）第一由正弦定理将边角的混淆等式化为角的等式，而后利用三角函数公式化简求出角 A 的范围，从而求出三角函数值的范围．试题分析：（1）f x uv v3sinxcosxcos2x3sinx1cosx1sinx1m n，g44422222262由 f x 1 ，得sin x61，所以 cos x12sin 2x61．．．．．．．．．．．．．622322分（2）因为2a c cosB b cosC，由正弦定理得2sin A sin C cosB sin B cosC ，所以 2sin AcosB sin C cosB sin B cosC ，所以 2sin A cosB sin B C ，因为 A B C，所以 sin B C sin A ，且 sin A0 ，所以cos B 1，又0 B，所以 B，223则 A C2, A2C，又0C，则A，得A 2 ，33262363所以3sin A61 ，又因为f 2A sin A61 ，22故函数 f 2 A 的取值范围是31,3．．．．．．．．．．．．．．．．12分22考点： 1、两角和的正弦函数； 2、倍角公式； 3、正弦定理； 4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意剖析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角 B 的值是重点，联合三角形形状获得函数 f (2 A) 的定义域，问题就简单解答了，常有的错误是许多考生由于审题不够认真，遗漏 A，实在惋惜．219.（本小题满分12 分）如下图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，平面 A1BC侧面A1B1BA ，且 AA1AB 2 ．[根源:]（1）求证：AB BC ；（2）若直线AC与平面A1BC所成角的正弦值为1，求锐二面角 A A1C B的大小．2【答案】（1）看法析；（2）．3【分析】（2）解法一：连结CD，由（ 1）可知AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影，∴ACD 即为直线 AC 与平面A1BC所成的角，因为直线AC 与平面A1BC所成的角的正弦值为1，则ACD26，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分在等腰直角 A1AB 中， AA1AB2，且点D是 A1B 中点，∴1A1B2且 ADC,ACD，226AD∴ AG2 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过点 A作AE A1C 于点E，连结DE，由（ 1）知AD平面 A1BC ，则 AD A1C ，且AE I AD A ，∴AED 即为二面角A A1C B的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分AA AC 2 2 2 2 6且直角A1AC 中，AE1g，AC 2 33又 AD2, ADE，∴ sin AED AD23，且二面角 A A1C B 为锐二面2AE 2623角，∴ AED，即二面角 A A1C B 的大小为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分3解法二（向量法）：由（ 1）知AB BC 且BB1底面 ABC ，所以以点 B 为原点，以BC、 BA、 BB1所在直线分别为x, y, z轴成立空间直角坐标系B xyz ，如下图，且设BC a ，则A 0,2,0 ,B 0,0,0 ,C a,0,0 , A10,2,2 ，uuuv uuuv uuuv uuuv．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 BC a,0,0 , BA10,2,2 , AC a, 2,0 , AA1 0,0,2分设平面 A1BC 的一个法向量n1x, y, z ，uuuv uuuv由 BC n1 , BA1 n1得：za 0，令 y1，得 x 0, z1，则n10,1, 1 ．．．．．．．．．．．．10分2 y 2z 0考点：1、空间直线与直线的地点关系；2、线段垂直的性质定理； 3、二面角． [来源:]【技巧点睛】破解此类问题的重点在于娴熟掌握空间垂直关系的判断与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵巧利用，这是证明空间垂直关系的基础．因为“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间能够相互转变，所以整个证明过程环绕着线面垂直这个中心而睁开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分 12 分）已知函数f x 2 a x 1 2ln x a R ．（1）若曲线g x f x x 上点 1,g 1处的切线过点0,2 ，求函数 g x 的单一减区间；（2）若函数y f x 在0,1上无零点，求 a 的最小值．2【答案】（1）0,2；（2）2 4ln 2．【分析】（2）因为 f x0 在区间 0,1上恒成立不行能，2故要使函数 fx 在 0,1上无零点，只需对随意的 x 0, 1, f x0 恒成立，22即对 x0,1,a 22ln x恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分2x 1令 I x2 2ln x , x0,1，x 122 x 1 2ln x2ln x2 2则 I xxx 2xx 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分11考点： 1、函数的零点； 2、导数的几何意义； 3、利用导数研究函数的单一性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（ 1）分别参数法：将原不等式分别参数，转变为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，依据要求得所求范围.一般地， f ( x) a 恒成立，只需 f (x)min a 即可；f ( x) a 恒成立，只需 f ( x)max a 即可；（2）函数思想法：将不等式转变为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），而后建立不等式求解．21.（本小题满分 12 分）已知p x, m , q x a,1 ，二次函数 f x pgq 1 ，对于x 的不等式 f x2m 1 x 1 m2的解集为, m U m 1,，此中m为非零常数，设 g x f x．x 1（1）求a的值；（2）若存在一条与y轴垂直的直线和函数x g x x ln x 的图象相切，且切点的横坐标 x0知足x0 1 x03，务实数m的取值范围；（3）当实数k取何值时，函数x g x k ln x 1 存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）a 2 ；（2）m 1；（）若m0 时， k R ，函数x 极小值点为x；232若 m 0 时，当k 2 m 时，函数x 极小值点为x2，极大值点为x1（此中x1 2 kk24m， x2 2 k k 24m ）22【分析】 [根源 :学* 科* 网]试题剖析：（1）第一用向量的数目积公式代入到 f ( x) 的表达式中，而后依据所给出的不等式解集即可求得 a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数( x) 的导数可为 0，从而对函数( x) 求导后解得切点横坐标x0与 m 的关系，依据不等式得到 x0的范围，从而求得实数m 的范围；（3）当函数x 存在极值时，其导数必为零点，所以先对函数求导，因为分析式中含实数k ，由此对导数进行分类议论，从而可求得极极值以及极值点．uv vx a,1uv v1，试题分析：（1）∵p x, m , q, f x pgq∴二次函数 f x x2ax m1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分对于 x 的不等式f x2m1x 1m2的解集为,0 U m 1,，也就是不等式 x2a12m x m2m 0 的解集为,0 U m 1,，∴ m 和m 1是方程x2a12m x m2m 0 的两个根，由韦达定理得： m m1 a 12m，∴ a 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）x g xk ln x 1x1m k ln x 1 的定义域为 1,，x 1∴x1mk x 22 k x k m 1x 1 2x 1x 1 2方程 x 22 k xk m 1 0 （* ）的鉴别式2 k 2 4 k m 1 k 24m ．①若 m 0 时，2 kk 24m1，或0 ，方程（ * ）的两个实根为 x 122 kk 2 4m 1，x 22则 x 1, x 2 时，x 0 ； xx 2 ,时，x 0 ，∴函数x 在 1,x 2 上单一递减，在 x 2 ,上单一递加，此时函数x 存在极小值，极小值点为x 2 ,k 可取随意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分综上所述，若 m 0 时， k 可取随意实数，此时函数 x 有极小值且极小值点为x2；若 m 0 时，当k 2 m时，函数 x 有极大值和极小值，此时极小值点为x2，极大值点为 x1（此中x1 2 kk24m, x2 2 k k24m）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分22考点： 1、不等式的解法； 2、方程的根； 3、导数的几何意义； 4、函数极值与导数的关系．请从下边所给的22 , 23 ,24 三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，且 BC CD ，其对角线 AC 与 BD 订交于点M ，过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延伸线于点 P ．（ 1）求证： ABgMD AD gBM ；（2）若 CPgMD CBgBM ，求证： AB BC ．【答案】（1）看法析；（2）看法析．【分析】考点： 1、圆周角定理； 2、相像三角形； 3、弦切角定理．23.本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x m 2t 已知直线 l 的参数方程为2 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正 2 y t2 半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos 23 2 sin 2 12 ，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上．（ 1）若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 FA gFB 的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16．【分析】考点：24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知x0R 使不等式x 1 x 2 t 成立．（1）求知足条件的实数t 的会合 T ；（2）若m 1,n 1 ，对t T ，不等式log2mglog3n t 恒成立，求m n 的最小值．【答案】（1）T t |t 1；（2）6．【分析】试题剖析：（1）由条件可知对于x的不等式| x 1| | x 2 |t 有解即可，所以只需x 1 x 2 max t ，从而可求出实数t 的会合T；（2）依据条件知道应有log3 m log3 n t max，再联合（1）的结论以及基本不等式，从而可求出m n 的最小值．1, x1试题分析：（1）令f x x 1 x 22x 3,1 x 2 ，则 1 f x 1，1,x 2因为x0R 使不等式x 1 x 2 t 成立，有 t T t |t 1 ．．．．．．．．．．．．．．5分考点： 1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。
河北省衡水中学2017届高三下学期三调考试数学试题
河北衡水中学 2016~2017 学年度高三放学期数学第三次调研（理科）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1. 已知复数 z 知足 iz 43i，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）1 2iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知会合 A { x | log 3 (2x 1)0} ，B { x | y 3x 22x} ，全集 U R ，则 A (C U B) 等于（）A ． 1 ,1]B ． (0, 2． 2D1 2( ,1]． ( ,23C32 33.若( , ) ,且 3 cos2 sin() ，则 sin 2的值为（）1 2 B ．14C ．17D ．17A ．181818184. 已知 f ( x)x , g( x) x，则以下结论正确的选项是（）2x 12A ． h(x) f (x)g( x) 是偶函数B ． h(x) f ( x) g( x) 是奇函数C. h( x)f ( x) g(x) 是奇函数D ． h(x)f ( x)g (x) 是偶函数x 2y 2，若矩形 ABCD 的四个极点在 E 上，AB, CD 的5.已知双曲线 E ：a 2b 21(a 0,b 0)中点为双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率是 2，直线 AC 的斜率为 k ，则 | k |等于（ ）A ． 2B ．3C.5D ．3226.在 ABC 中， AN1NC ，P 是直线 BN 上的一点，若 APm AB2AC ，则实数 m 的45值为（ ）A ． 4B ． 1 C. 1D ．4第 1页 /共 20页点的横坐分是2,4,8， f ( x)的减区是（）A．[ 6k ,6k3]( k Z )B．[6k3,6k ]( k Z )C. [ 6k,6k3]( k Z )D．[6k3,6k]( k Z )8.某旅行景点了今年 5 月 1 号至 10 号每日的票收入（位：万元），分a1， a2，⋯， a10（如： a3表示5月3号的票收入），下表是5月1号到5月 10 号每日的票收入，依据表中数据，下边程序框出的果（）A． 3B．4 C. 5D．69.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，好碰在一同，他除懂本国言外，每日会其余三国言的一种，有一种言是三人都会的，但没有一种言人人都懂，知道：①甲是日自己，丁不会日，但他都能自由交；②四人中没有一个人既能用日交，又能用法交；③甲、乙、丙、丁交，找不到共同言交流；④乙不会英，当甲与丙交，他都能做翻 .他懂的言，正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英10.如图，已知正方体ABCD A' B' C' D' 的外接球的体积为3，将正方体割去部分2后，节余几何体的三视图以下图，则节余几何体的表面积为（）A．93B．3 3或93 C. 23D．93 222222或 2311.如图，已知抛物线的方程为x2 2 py ( p0) ，过点 A( 0,1) 作直线l与抛物线订交于 P,Q 两点，点B的坐标为 (0,1) ，连结 BP, BQ ，设 QB, BP 与 x 轴分别订交与 M , N 两点.假如QB的斜率与PB的斜率之积为 3 ，则MBN 的大小等于（）A．B．4C.2D．23312.已知a, b R ，且 e x a( x 1) b 对x R 恒成立，则 ab 的最大值是（）A．1e3B．2e3 C. 3 e3D．e3 222第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 (1 xx 20171)9 的睁开式中，含 x 3 项的系数为．14. 在公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在《几何本来》里提出： “球的体积（ V ）与它的直径（ D ）的立方成正比”，此即 V kD 3 ，欧几里得未给出 k 的值 .17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不认识，他们将体积公式VkD 3 中的常数 k称为“立圆率”或“玉积率” .近似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱） 、正方体也可利用公式 V kD 3 求体积（在等边圆柱中， D 表示底面圆的直径；在正方体中， D 表示棱长） .假定运用此体积公式求得球（直径为 a ）、等边圆柱（底面圆的直径为 a ）、正方体（棱长为 a ）的“玉积率”分别为 k 1 ， k 2 ， k 3 ，那么k 1 : k 2 : k 3．x, y2的圆面完整覆盖， 则实15.由拘束条件 y3x 3 ，确立的可行域 D 能被半径为2y kx 1数 k 的取值范围是．16.如图，已知 O 为 ABC 的重心， BOC 90 ，若 4BC 2AB AC ，则 A 的大小为．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 0 ，常数0 ，且 a 1 a n S 1 S n 对全部正整数 n 都成立 .（1）求数列 { a n } 的通项公式；（2）设a10,100 ，当 n 为什么值时，数列{lg1} 的前 n 项和最大？a n18.某同学在研究性学习中，采集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据以下表所示：x （月份） 1 2 3 4 5y （万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出y对于x的线性回归方程y? b ?x a?，依据表中数据已经正确计算出 b ?0.6 ，试求出 a 的值，并预计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购置了 3 盒甲胶囊，后经认识发现该制药厂今年二月份生产的全部甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购置的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 X ，求 X 的散布列和数学希望.19.已知多面体ABCDEF以下图，此中ABCD为矩形，DAE 为等腰等腰三角形，DA AE ，四边形 AEFB 为梯形，且 AE // BF ，ABF 90 ，AB BF 2AE 2.（1）若G为线段DF的中点，求证：EG //平面ABCD；（2）线段DF上能否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于21？若存在，请指出点 N 的地点；若不存在，请说明原因.520.如图，椭圆E：x2y2b 0) 左、右极点为A、B，左、右焦点为 F1、 F2，221(aa b椭圆短轴分别交于M , N 两点（ M , N 不重合），且 | CM | | DN |.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线AD，BC的斜率分别为k1, k2，求k1k2的取值范围 .21.设函数f ( x)bx ax ， e 为自然对数的底数.ln x（1）若函数f ( x)的图象在点(e2, f (e2))处的切线方程为3x 4 y e20 ，务实数 a, b 的值；（2）当b 1 时，若存在x1, x2[ e, e2 ] ，使 f ( x1) f ' ( x2 ) a 成立，务实数 a 的最小值.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，斜率为1的直线l过定点 ( 2,4) .以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系 .已知曲线C的极坐标方程为sin 2 4 cos0 .（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线订交于M , N两点，若P( 2,4)，求|PM | |PN |的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) | 2x 1 | | 3x 2 |，且不等式 f ( x) 54a3b}a,b R.的解集为 { x |x55，（1）求a, b的值；（2）对随意实数x，都有| x a | | x b | m23m 5成立，务实数m的最大值 .试卷答案一、选择题1-5: CDCAB6-10: BDAAB11、12：DA二、填空题13. 8414.: : 1 15. (, 1]16.36 43三、解答题17.解：（ 1）令 n 1，得a 122S 1 2a 1 , a 1 ( a 1 2) 0 ，由于 a 1 0 ，所以 a 12，当 n 22S n ， 2S n 1 ，两式相减得 2a n 2a n 1 a n (n 2) ，时， 2a n2a n 1所以所以a n 2a n 1 (n 2) ，进而数列 { a n } 为等比数列， a n a 1 2n 1 2n .（2）当 a 10 ， 100 时，由（1）知，a n2n,b n lg1lg 2nlg100 lg 2n2 n lg 2 ，100a n100所以数列 {b n }是单一递减的等差数列，公差为lg 2 ，所以b 1 b 2b 6lg100100lg 1 026lg64当 n 7 时， b n b 7lg 100lg 1 0，所以数列 {lg1}的前 6项和最大 .27a n18.解：（1）x 1，y 1，因线性回归方程 y?a (12 345)3(445 66)5bx55??过点 (x, y) ，∴ ay b x5 0.66 3.2?∴6 月份的生产胶囊的产量数：y 0.6 6 3.2 6.8 .?（2） X0,1,2,3 ， P( X0)C 5310 5 ， P(X1) C 41C 52 40 10 ，33P( X2) C 42C 51305，P(X 3) C 43 41，其散布列为C 9384 14C 93 84 21X 0123P5105 142 211421∴ E(X)5 0 10 1 52 134 .42 211421 319.（1）由于 DA AE ，DA AB ， AB AE A ，故 DA 平面 ABFE ，故 CB 平面 ABFE ，以 B 为原点， BA, BF , BC 分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，成立以下图的空间直角坐标系，则F (0,2,0) ， D (2,0,1) ， G(1,1, 1) ， E(2,1,0) ， C(0,0,1) ，2所以 EG(1,0, 1) ，易知平面 ABCD 的一个法向量 n (0,1,0) ，所以1,0, 1) 2EG n( (0,1,0) 0 ，所以 EGn ，又 EG 平面 ABCD ，所以 EG // 平面 ABCD .2（2）当点 N 与点 D 重合时，直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于21原因如5 .下：直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值为21，即直线 BN 与平面 FCD 所成角的正弦5值为 2，由于 FD(2, 2,1), CD (2,0,0) ，设平面 FCD 的法向量为 n 1 ( x 1 , y 1, z 1 ) ，5由 n 1 FD0，得 2x 1 2 y 1 z 1，取 y 1 1 得平面 FCD 的一个法向量 n 1(0,1,2)n 1 CD 02x 1 0假定线段 FD 上存在一点 N ，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的正弦值等于2 ，5设 FN FD(01) ，则 FN(2, 2,1) (2 , 2 , )，BNBFFN (2 ,2 2 , ) ，所以 sincosBN , n 1| BN n 1 | 5 (2)2252842 ，| BN || n 1 |(2 2)229 2 5所以 9 2 81 0 ，解得1或1（舍去）9所以，线段 DF 上存在一点 N ，当 N 点与 D 点重合时，直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值为21 .520.解：（1）由于 2a 4,2c 2 3 ，所以 b2a2c21，所以椭圆的方程为x 2y 2 1.4（2）将直线 y kxm 代入椭圆x 2y 2 1，得 (1 4k 2 ) x 28mkx 4m 24 0 .4设 D ( x 1 , y 1), C ( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 x 21 8km2 , x 1 x 24m 224，4k1 4k又 M ( m ,0), N (0, m) ，由 |CM | | DN | 得 x 1 x 2x Mx N ，即8km m ，由于 m 0, k 0 ，k 2k14k得 k1，此时 x 1 x 22m, x 1 x 22m 22 ，2由于直线 l 与线段 F 1F 2 、椭圆短轴分别交于不一样两点，所以32m3 且 m 0 ，即3 m 3且 m 0 .2 2由于 k 1y 1 , k 2 y 2，所以k1y 1( x 2 2)，两边平方得x 1 2x 2 2 k 2y 2 ( x 12)k 122) 2(1x 12)( x 22)2( 2 x 2 )( 2 x 1) 42(x 1 x 2 ) x 1 x 2) 2y 1( x24(y 22 ( x 12)2x 22k 2(1 )( x 12)2( 2 x 2 )( 2 x 1) 42(x 1 x 2 ) x 1 x 2422，又由于k 14 2( 2m) 2m 2 2 (m 1) 2 ，所以 k 11 m12 12 在 4 2( 2m)2m 2(m 1)k 2 1 mm 1k 2m 13133,0), (0, 311m3，且1m[] 上单一递加，所以 7 4 322 7 4 1 ，2 231 m131 m122即 74 3k 1 7 4 3 ，且 k1 1 ，所以 k1 [ 7 4 3,1)(1,7 4 3] .k 2 k 2k 221.解：（1）由已知得 x 0, x 1， f ' ( x)b(ln x 1) a ，则 f (e 2 ) be2ae 2e 2，且(ln x)222 f ' (e 2 ) b a3 ，解之得 a 1,b 1.44（2）当时， f ' ( x) ln x 1 a ，又b 1(ln x) 2ln x 112111 2 11 1即2f ' ( x) (ln x) 2a(ln x)ln xa(ln x 2 )4 a +故当 ln x2 x e 时，f ' (x)max1 a .4“存在 x 1, x 2 [e, e 2 ] ，使 f (x 1 ) f ' ( x 2 ) a 成立”等价于“当 x [e,e 2 ] 时，有f ( x)min f ' ( x)max a ”又当 x [ e, e 2 ] 时， f ' ( x)max 1 a ，∴ f ' (x)maxa1 ，44问题等价于“当 x[ e, e 2] 时，有 f ( x) min1”.4①当 a1时， f ( x) 在 [e,e 2] 上为减函数，则 f ( x)minf ( e 2 ) e 2 ax1，故 a 112；42 42 4e②当 a1时， f ' ( x)(11 )2 1a 在[ e, e 2] 上的值域为 [ a,1a] ，4ln x2 44（i ）当 a 0 ，即 a 0 时， f ' ( x) 0 在 [e,e 2 ] 上恒成立，故 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数，于是 f (x)minf (e)e ae e1，不合题意；4（ii ）当 a0，即 0a1时，由 f ' (x) 的单一性和值域知，存在独一x 0 ( e, e 2 ) ，4使 f ' ( x) 0 ，且知足当 x 0( e, x 0 ) 时， f ' ( x) 0 ， f (x) 为减函数；当 x 0( x 0 ,e 2 ) 时，f ' (x) 0 ， f ( x) 为增函数 .所以 f (x)minf (x 0 )x 0 ax 01 , x 0 (,2)，所以 ax 01 12 1 2 1 1 ，ln x 04 e e4x 0ln e2 4ln x 04e与 0 a1矛盾.4综上，得 a 的最小值为1124e 2.22.解：（1）由 sin 24 cos0 得 2 sin 24 cos0，所以曲线 C 的直角坐标方x22 t 程为 y 2 4x 0 ，即 y 2 4x ，所以直线 l 的参数方程为是2 （ t 为参数） .y422 t（2）将直线 l 的参数方程代入 y 24x 中，获得 t 2122t 480 ，设 M ,N 对应的参数分别为 t1 ,t2，则 t 1 t 212 2，t1t2480，故| PM||PN|| t1 || t 2 |t1t212 2 .23.解：（1）若x 1，原不等式可化为2x 13x25，解得 x4，即4x 1 ；2552若1x2，原不等式可化为 2x 13x2 5 ，解得 x 2 ，即1x 2 ；2323若 x 2，原不等式可化为 2x 1 3x25，解得x6，即 2x 6 ；34 , 6535综上所述，不等式 | 2x1|| 3x2| 5的解集为 [] ，所以 a 1,b2.55（2）由（ 1）知a1,b2，所以 | x a || x b | | x1|| x 2 || x1x2 | 3，故 m23m53，m23m 2 0，所以1m 2 ，即实数m的最大值为2.河北省衡水中学2017届高三放学期三调考试数学试题河北省衡水中学2017届高三放学期三调考试数学试题河北省衡水中学2017届高三放学期三调考试数学试题河北省衡水中学2017届高三放学期三调考试数学试题河北省衡水中学2017届高三放学期三调考试数学试题第20页/共20页21 / 21。
河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试理数试题解析2
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ． 考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件． 4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式．【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ． 5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{}12n-前5项的和B．计算数列{}n-前5项的和[来21源:ZXXK]C．计算数列{}n-前6项的和D．计算数列{}12n-前6项的和21【答案】D【解析】试题分析：第一次循环，得1,2=⨯=；第三次循环：A i==；第二次循环：1+21,3A i21+2+2+2+2,6A i1+21+21,4==；第五次循环：234==；A iA i=⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5第六次循环：2345i=>，不满足循环条件，退出循环，输出A=，761+2+2+2+2+22345A=+，即计算数列{}12n-前6项的和，故选D．1+2+2+2+22考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“()sin 3cos sin cos C A A B =+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220o o ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b +-＝a b -+2aba b-=222a b a b -+≥-，故选D ． 考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n Sn T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式．11.已知函数()21,g x a x x e e e⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e ＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e<，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈u u u v u u u v u u u v，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->()112a b ->，又()()112a b a b -+≥-()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】 试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22sin 2cos 2αα+＋2(1cos 2)2α+＝22sin 22cos 222αα++＝22222222sin cos cos sin 222sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+⋅+++＝22222tan 1tan 222tan 1tan 12αααα-⋅+⋅+++＝22222313220231312⨯-⨯+⨯+=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） [来源:ZXXK]17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分12分）已知向量23,1,cos ,cos 444xxxm n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 【答案】（1）12；（2）313,2⎛⎤- ⎥ ⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围． 试题解析：（1）()231113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭u v vg ，由()1f x =，得1sin 262xπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262xx ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则22,33A C A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<， 3sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是3132⎤-⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．[来源:]（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影，∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点， ∴1122AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴22AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AE AD A =I ，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，112226323A A AC AE AC ===g ，又2,2AD ADE π=∠=，∴23sin 226AD AED AE ∠===，且二面角1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=u u u v u u u v u u u v u u u v．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥u u u v u u u v得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．[来源:]【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性． 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+g ，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞U ，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122k x +=，222k x ++=）【解析】[来源:学*科*网]试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+u v v u v v g ，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞U ， 也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞U ， ∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为212412k k mx ++=<，或222412k k m x ++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =g g ；（2）若CP MD CB BM =g g ，求证：AB BC =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理．23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB g 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16．【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥g 恒成立，求m n +的最小值．【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6．【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max 12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,1 1223,121,2xf x x x x xx-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x-≤≤，由于x R∃∈使不等式12x x t---≥成立，有{}|1t T t t∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。
河北省衡水中学2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1}B．{2}C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B．C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2] C．（，2]D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1}B．（﹣∞，1]C．（0，1]D．[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．16．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1}B．{2}C．1 D．2【考点】交集及其运算．【分析】求出T中不等式的解集确定出T，找出S与T的交集即可．【解答】解：由T中不等式变形得：x2﹣4x+3＜0，即（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即T=（1，3），∵S={1，2}，∴S∩T={2}，故选：B．2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B．C．1 D．3【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算法则，进行计算即可．【解答】解：根据题意，∵|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，∴﹣2z1z2+=3，∴2z1z2=2﹣3=﹣1；∴|z1+z2|===1．故选：C．3．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4【考点】基本不等式．【分析】由题意知，所以，由此可知答案．【解答】解：若不等式对任意的x，y成立，只要4，因为，即，以∴a≥1；故选C．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选D5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A6．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2] C．（，2]D．（2，4]【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】由已知条件推导出，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前DE=AC=，翻折后AE=，AD=，从而求出0＜x＜．翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×，由此能求出x的取值范围为（0，]．【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．【考点】数列的求和．=2n﹣1﹣1，因此a n=2n﹣1，当n=1【分析】当n≥2时，由a1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1时也成立．再利用等比数列的前n项和公式可得a12+a22+…+a n2．=2n﹣1﹣1，【解答】解：当n≥2时，由a1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1∴a n=2n﹣1，当n=1时也成立．∴=4n﹣1．∴a12+a22+…+a n2==．故选：D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，∴SO⊥底面ABCD，SO=2×，底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积V=×2×2×=．故选：B．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据条件求出函数的周期和对称轴，利用函数周期性，对称性和单调性的关系进行转化比较即可．【解答】解：由图象知=，则T=π，则函数=，=，则函数在[，]上是增函数，且函数关于x=和x=对称，则f（）=f（﹣π）=f（），f（﹣）=f（﹣+π）=f（）=f（），f（）=f（）=f（π），∵＜＜π，∴f（）＜f（）＜f（π），即f（）＜f（﹣）＜f（），故选：D．10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】圆的切线方程；关于点、直线对称的圆的方程．【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6﹣a2）内，依此构造不等式．即可求解实数a的值．【解答】解：由题意f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故x=﹣1是函数f（x）的极大值点，f（﹣1）=﹣1+3=2．，x3﹣3x=2，解得x=2，所以由题意应有：，解得﹣＜a≤2．故选：D．12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1}B．（﹣∞，1]C．（0，1]D．[1，+∞）【考点】导数的运算．【分析】先根据导数的运算法则求出f（x），再求出g（x），根据方程g（﹣x）﹣x=0，转化为﹣x=lnx．利用数形结合的思想即可求出答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，∴f（0）=f′（1）e﹣1，∴f′（x）=x﹣f（0）+f′（1）e x﹣1，∴f′（1）=1﹣f′（1）e﹣1+f′（1）e1﹣1，∴f′（1）=e，∴f（0）=f′（1）e﹣1=1，∴f（x）=x2﹣x+e x，∴g（x）=f（x）﹣x2+x=x2﹣x+e x﹣x2+x=e x，∵g（﹣x）﹣x=0，∴g（﹣x）=x=g（lnx），∴﹣x=lnx．∴=x+lnx，分别画出y=和y=x+lnx的图象，由图象可知，a=1或a＜0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．【考点】简单线性规划．【分析】作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8【解答】解：变量x ，y 满足约束条件所对应的平面区域为△ABC 如图，化目标函数z=x ﹣3y为将直线l ：平移，因为直线l 在y 轴上的截距为﹣，所以直线l 越向上移，直线l 在y 轴上的截距越大，目标函数z 的值就越小，故当直线经过区域上顶点A 时， 将x=﹣2代入，直线x +2y=2，得y=2，得A （﹣2，2）将A （﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min =﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣814．设数列{a n }的n 项和为S n ，且a 1=a 2=1，{nS n +（n +2）a n }为等差数列，则{a n }的通项公式a n =．【考点】等差数列的性质．【分析】令b n =nS n +（n +2）a n ，由已知得b 1=4，b 2=8，从而b n =nS n +（n +2）a n =4n ，进一步得到{}是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出{a n }的通项公式．【解答】解：设b n =nS n +（n +2）a n ，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a 2=1， ∴b 1=4，b 2=8，∴b n =b 1+（n ﹣1）×（8﹣4）=4n ， 即b n =nS n +（n +2）a n =4n当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1+（1+）a n ﹣（1+）a n ﹣1=0∴=，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴=，∴．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围【解答】解：由导函数的图形知，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1，∴﹣2＜2a+b＜4；又a＞0，b＞0，∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（﹣3，﹣3）连线的斜率的2倍，如图所示；由图知当点为（2，0）时斜率最小，为=；当点为（0，4）时斜率最大，为=；所以的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．【解答】解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．【考点】解三角形；两角和与差的正切函数．【分析】（1）由已知中，变形可得，由两角和的正切公式，我们易得到A+B的值，进而求出∠C的大小；（2）由c=2，且△ABC是锐角三角形，再由正弦定理，我们可以将a2+b2转化为一个只含A 的三角函数式，根据正弦型函数的性质，我们易求出a2+b2的取值范围．【解答】解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n}的前n项和…19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C 的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可；（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值．【解答】解：（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x2+y2=﹣4y，∴曲线C1：x2+y2+y=0，∴直线AB的普通方程为：（x2+y2﹣4x）﹣（x2+y2+4y）=0，∴y=﹣x，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣，∴直线AB极坐标方程为：θ=﹣．（2）根据（1）知，直线AB的直角坐标方程为y=﹣x，根据题意可以令D（x1，y1），则，又点D在直线AB上，所以t1=﹣（2+t1），解得t1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t1|=，同理，令交点E（x2，y2），则有，又点E在直线x=0上，令2+t2=0，∴t2=﹣，∴|CE|=|t2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（1）问题转化为5﹣m＜x＜m+1，从而得到5﹣m=2且m+1=4，基础即可；（2）问题转化为|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0．2016年12月15日。
【高考模拟】河北省2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}22,|30,|log 1,U R A x x x B y y x x A ==->==+∈，则()U A C B 为 （ ）A ．[)2,3B ．()2,3C ．()0,2D ．∅ 2. 若不等式2162a bx x b a+<+对任意(),0,a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是 （ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-+∞ C ．()4,2- D ．()(),42,-∞-+∞ 3. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和为425S S = ，则3825a a a 的值为 （ ） A ．2-或1- B ．1或2 C ．2±或1- D ．1±或2 4. 已知函数()sin cos f x x x λ=+的图象的一个对称中心是点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()2sin cos sin g x x x x λ=+的图象的一个对称轴是直线 （ ）A ．56x π=B ．43x π= C. 3x π= D ．3x π=- 5. 下列命题正确的个数是（ ）①命题“2000,13x R x x ∃∈+>” 的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π，是“1a =”的必要不充分条件；③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立()()2max min2x xax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“0a b <”. A ．1 B ．2 C.3 D ． 46. 设不等式组4010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，表示平面区域为D ，若圆()()()222:110C x y r r +++=>经过区域D 上的点，则r 的取值范围是 （ ）A．⎡⎣B．(C.(D．(()0,+∞7. ()021nn a x dx =+⎰,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,数列{}n b 的通项公式为8n b n =-,则n n b S 的最小值为（ ）A ．3-B ．4- C.3 D ．48. 若对[),0,x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++，恒成立，则实数a 的最大值是 （ ） A ．14 B ．1 C. 2 D ．129. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A．(,-∞ B．()C. ()),0-∞⋃+∞ D．(),-∞⋃+∞10. 在ABC ∆中，,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD =（ ）AC.5 D．11. 已知函数()()2cos ,43f x x x g x x x =+=-+-，对于[],1a m m ∀∈+，若,03b π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，满足()()g a f b =，则m 的取值范围是（ ）A．22⎡-+⎣ B．1⎡-⎣C.2⎡⎣ D．12⎡-+⎣12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()'f x ,若 ()()'f x f x <，且()()()13,20152f x f x f +=-=，则不等式()12x f x e -<的解集为 （ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞ C. (),0-∞ D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()()()2200x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()1g -= __________. 14.若向量,a b是两个互相垂直的单位向量，则向量a 在向量b 方向上的投影为__________.15. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4(从左至右) 出现在第3行; 数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为_________.16. 对于数列{}n a ，定义1122...2n n a a a Hn n-+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n Hn +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的 n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.2,3：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知{}n a 是单调递增的等差数列，首项13a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，其中11b =，且223212,20a b S b =+=. （1）求 {}n a 和{}n b 的通项公式;（2） 令()cos 3n n n a c S n N π*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求 {}n c 前20项和20T . 18. （本小题满分12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值; （2） 当0a <时，求函数()f x 的单调增区间.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列. （1） 求{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n aT +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若nTm ≥恒成立，求m 的最大值.20. （本小题满分12分）如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120 ,,AB AC 的长度均大于200米，现在边界,AP AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.（1）若围墙,AP AQ 总 长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ （2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元. 若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省？21.（本小题满分12分）已知函数()22cos 3sin cos 3f x x x x x =--+.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域; （2）若ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()()sin222cossinA CbA Ca A+==++,求()f B的值.22. （本小题满分12分）已知函数()(),xf x eg x mx n==+.（1）设()()()h x f x g x=-;①若函数()h x在0x=处的切线过点()1,0，求m n+的值;②当0n=时，若函数()h x在()1,-+∞上没有零点，求m的取值范围.（2）设函数()()()1nxr xf xg x=+，且()40n m m=>，求证:当0x≥时，()1r x≥.河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.ACCDB 6-10.ABDAA 11-12. CA二、填空题（每小题5分，共20分）13.3-14. 3-15. 19416.712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）设公差为d,公比为q，则()()223222312,33320a b d q S b a b d q=+=+=+=++=,()(){}232210,3730,nd d d d a∴--=+-= 是单调递增的等差数列，()10,3,2,3133,2nn nd d q a n n b-∴>∴==∴=+-⨯==.（2）,cos,nn nnS nc S nS nπ⎧⎪==⎨-⎪⎩是偶数是奇数,2012341920...T S S S S S S∴=-+-+--+ 24620......61218 (60330)a a a a=++++=++++=.18.解：（1）函数()f x的定义域为()()210,,'4f xx+∞=-+，令()21'40f xx=-+=，得1211;22x x ==-(舍去). 当x 变化时，()()',f x f x 的取值情况如下:所以，函数()f x 的极小值为142f ⎛⎫=⎪⎝⎭，无极大值. （2）()()()2221121'2x ax a f x a x x x -+-=-+=,令()'0f x =，得1211,2x x a==-,当2a =-时，即314a a =,于是12311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭.（2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++ , ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++ ,②∴①- ②得:()2112122 (2)2212112nn nn n n T n n n ---=++++-=-=--- ,()112n n T n ∴=+-,n T m ≥ 恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+> ,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.20.解：设AP x =米，AQ y =米.（1）则200,x y APQ +=∆的面积21sin120,22x y S xy xy S +⎫==∴≤=⎪⎭.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩,即100x y ==时，取“=”.（2）由题意得()1001 1.520000x y ⨯+= ，即 1.5200x y +=，要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以()()22222222cos120200 1.5200 1.5PQ x y xy x y xy y y y y =+-=++=-++-21.7540040000y y =-+28001200004001.750773y y ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当8007y =时,PQ ,此时200,7x =∴当2007AP =米,8007AQ =米时, 可使篱笆最省. 21.解：（1）()221cos 21cos 2cos 3sin cos 323322x xf x x x x x x -+=--+=--+72cos 212sin 21,0,,2,62666x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=++∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()(]1sin 2,1,2sin 210,3626x f x x ππ⎛⎫⎛⎤⎛⎫∴+∈-∴=++∈ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎭.（2）()()()()sin 222cos ,sin 22sin 2sin cos sin A C A C A C A A A C A+=++∴+=++, ()()()sin cos cos sin 2sin 2sin cos A A C A A C A A A C ∴+++=++,()()sin cos cos sin 2sin A A C A A C A ∴-+++=即sin 2sin C A =，由正弦定理可得2c a =，又由ba=b =，由余弦定理可得222cos302b c aA Abc+-===∴= .由正弦定理可得sin2sin1,90C A C=== ,由三角形的内角和可得()()60,602B f B f=∴==.22.解：（1）由题意，得()()()()()'''x xh x f x g x e mx n e m=-=--=-,所以函数()h x 在0x=处的切线斜率1k m=-,又()01h n=-，所以函数()h x在0x=处的切线方程()()11y n m x--=-，将点()1,0代入，得2m n+=.（2）当0n=，可得()()''x xh x e mx e m=-=-，因为11,xx ee>-∴>.①当1me≤时，()'0xh x e m=->，函数()h x在()1,-+∞上单调递增，而()01h=，所以只需()110h me-=+≥，解得1me≥-，从而11me e-≤≤.②当1me>时，由()'0xh x e m=-=，解得()ln1,x m=∈-+∞,当()1,lnx m∈-时，()()'0,h x h x<单调递减;当()ln,x m∈+∞时，()()'0,h x h x>单调递增,所以函数()h x在()1,-+∞上有最小值为()ln lnh m m m m=-，令ln0m m m->，解得1,m e m ee<∴<<.综上所述，1,m ee⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.（3）由题意，()()()11144x xnxnx xmr xnf xg x e e xxm=+=+=+++,而()1414xxr xe x=+≥+,等价于()()()3440,344x xe x x F x e x x-++≥=-++，则()00F=，且()()()'311,'00xF x e x F=-+=，令()()'G x F x=，则()()'32xG x e x=+，因为()0,'0x G x≥∴>，所以导数()'F x在[)0,+∞上单调递增，于是()()''00F x F≥=，从而函数()F x在[)0,+∞上单调递增，即()()00≥=.F x F。