高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题

高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题题型一 三角函数的图像和性质例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值. 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图像求解. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图像的对称轴和对称中心.解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). (3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). 题型二 解三角形例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求角A 和边长c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)∵sin A ＋3cos A ＝0，∴tan A ＝－3， 又0<A <π，∴A ＝2π3，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝⎛⎭⎫－12， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4，故c ＝4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴16＝28＋4－2×27×2×cos C ， ∴cos C ＝27，∴CD ＝AC cos C ＝227＝7，∴CD ＝12BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×2×32＝23，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍. 跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积.解 (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去).所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.题型三 三角函数和解三角形的综合应用例3 如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且EB ＝EF ，AF <BE .设∠BEF ＝θ，四边形ABEF 的面积为f (θ)(单位：平方米).(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE ，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值. 解 (1)过点F 作FM ⊥BE ，垂足为M.在Rt △FME 中，MF ＝2，∠EMF ＝π2，∠FEM ＝θ，所以EF ＝2sin θ，ME ＝2tan θ，故AF ＝BM ＝EF －EM ＝2sin θ－2tan θ，所以f (θ)＝12(AF ＋BE )×AB＝12×⎝⎛⎭⎫2sin θ－2tan θ＋2sin θ×2＝4sin θ－2tan θ，由题意可知，AF <BE ， 所以θ<π2，且当点E 重合于点C 时，EF ＝EB ＝22，FM ＝2，θ＝π4，所以函数f (θ)＝4sin θ－2tan θ的定义域为⎣⎡⎭⎫π4，π2. (2)由(1)可知，f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝4⎝⎛⎭⎫sin 2θ2＋cos 2θ22sin θ2cos θ2－22tanθ21－tan 2θ2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ2＋1tan θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan θ2－tan θ2＝3tan θ2＋1tan θ2≥23tan θ2·1tan θ2＝23，当且仅当3tan θ2＝1tan θ2时，等号成立，又θ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，θ2∈⎣⎡⎭⎫π8，π4，故当tan θ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π3时，四边形ABEF 的面积最小，此时BE ＝2sin θ＝433，AF ＝2sin θ－2tan θ＝233，f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝2 3.答 当BE ，AF 的长度分别为433 米，233 米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小值为2 3 平方米.思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响.跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B . (1)判断△ABC 的形状；(2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12，求f (A )的取值范围.解 (1)因为a sin B －b cos C ＝c cos B ，由正弦定理可得sin A sin B －sin B cos C ＝sin C cos B . 即sin A sin B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以sin(C ＋B )＝sin A sin B .因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin A sin B ， 又sin A ≠0，所以sin B ＝1，B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形.(2)因为f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋12＝cos 2x －23cos x ＝⎝⎛⎭⎫cos x －132－19， 所以f (A )＝⎝⎛⎭⎫cos A －132－19， 因为△ABC 是直角三角形，所以0<A <π2，且0<cos A <1，所以当cos A ＝13时，f (A )有最小值－19.所以f (A )的取值范围是⎣⎡⎭⎫－19，13.1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图像如图.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，5π12上的最值，并求出相应的x 值. 解 (1)由题干图像可知|A |＝2， 又A >0，故A ＝2.周期T ＝43×⎝⎛⎭⎫13π12－π3＝43×3π4＝π， 又T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由题干图像知f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈[－1，2]. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (0)＝－1.2.(2018·重庆联考)设函数f (x )＝2tan x 4·cos 2x4－2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4＋π12＋1. (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )在[－π，0]上的最值. 解 (1)f (x )＝2sin x 4cos x4－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝sin x 2－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝sin x 2－32cos x 2＋12sin x2 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6. 由x 4≠π2＋k π(k ∈Z )， 得f (x )的定义域为{x |x ≠2π＋4k π(k ∈Z )}， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)∵－π≤x ≤0， ∴－2π3≤x 2－π6≤－π6.∴当x 2－π6∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－2π3时，f (x )是减少的， 当x 2－π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π6， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，0时，f (x )是增加的， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3， 又f (0)＝－32，f (－π)＝－32， ∴f (x )max ＝f (0)＝－32. 3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图像上与P 点最近的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π3，6. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )<3，求x 的取值范围.解 (1)由题意得A ＝6，T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝6sin(2x ＋φ)，又f (x )过点⎝⎛⎭⎫π3，6，∴6sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝6， ∴2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π6，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6<3， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6<12， 在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2中，要使sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6<12， 则－7π6<2x －π6<π6，所以－7π6＋2k π<2x －π6<π6＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π2<x <k π＋π6，k ∈Z .所以x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x <k π＋π6，k ∈Z . 4.已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP →. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值. 解 (1)由已知，得OP →＝(3，1)，QP →＝(3－cos x,1－sin x )， 所以f (x )＝OP →·QP →＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)因为f (A )＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝0，又0<A <π，所以π3<A ＋π3<4π3，A ＝2π3.因为BC ＝3，所以由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ， 所以△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为0<B <π3，所以π3<B ＋π3<2π3，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值，最大值为3＋2 3.5.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积.解 (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 亦即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C ， 则3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C .又sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°<A <180°，则－30°<A －30°<150°， 所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝75.设a ＝7x ，c ＝5x (x >0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17， 解得x ＝1(负值舍去)， 所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.6.已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t (ω>0)，若f (x )的图像上相邻两条对称轴的距离为π4，图像过点(0,0).(1)求f (x )的表达式和f (x )的递增区间；(2)将函数f (x )的图像向右平移π8个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图像，若函数F (x )＝g (x )＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围.解 (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋t ， f (x )的最小正周期为2π2ω＝π2，∴ω＝2，∵f (x )的图像过点(0,0)，∴2sin π6＋t ＝0，∴t ＝－1，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6－1. 令2k π－π2≤4x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，求得k π2－π6≤x ≤k π2＋π12，k ∈Z ，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π6，k π2＋π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图像向右平移π8个单位长度，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π2＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3－1的图像， 再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图像.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[]－3－1，1. 若函数F (x )＝g (x )＋k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， 由题意可知，函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－1的图像和直线y ＝－k 有且只有一个交点， 根据图像(图略)可知，k ＝－1或1－3<k ≤3＋1. 故实数k 的取值范围是{－1}∪(1－3，3＋1].。