线性规划的对偶问习题
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第二章线性规划的对偶问题第二章线性规划的对偶问题习题2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3 ＝－4x j ≥0 （j＝1,2,3）x1 －x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4 无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束x1≤0，x2≥0，x3 无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b ，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k 个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k 个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r 个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；（4）模型中全部x1用3 x' 代换。
12.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2 ＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）*=4；y2* =1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最其对偶问题的最优解y1优解。
运筹学习题答案(第二章)
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第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
min Z = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 ≥ 2 st . − 2 x1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 ≤ − 3 x j ≥ 0 , ( j = 1, L , 4 )
page 14 30 December 2010
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是原问题的可行解。 解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 是原问题的可行解 偶问题为： 偶问题为：
min W = 2 y1 + y 2 − y1 − 2 y 2 ≥ 1 (1) y + y ≥1 (2) 1 2 st . ( 3) y1 − y 2 ≥ 0 y1 , y 2 ≥ 0 (4)
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第二章习题解答
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z = 2 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≥ 2 2 x + x + 3x ≤ 3 2 3 st 1 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 5 x1 , x 2 , ≥ 0 , x 3 无约束
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第二章习题解答
max Z = 5 x1 + 6 x2 + 3 x3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 − x + 5 x − 3 x ≥ 3 2 3 st 1 4 x1 + 7 x2 + 3 x3 ≤ 8 x1无约束 , x2 , ≥ 0, x3 ≤ 0
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
线性规划问题及其数学模型(最新整理)
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。
7. 给出线性规划问题
2
max z 2x1 4x2 x3 x4
2xx12x13xxx322xx64 468
x1
x2
x3
9
x j 0 ( j 1,,4)
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为 X*=(2,2,4,0)，试根据
每捆原稿纸用白坯纸 3 1 kg, 每打日记本用白坯纸 13 1 kg, 每箱练习本用白坯纸
3
3
26 2 kg。 已知生产各种产品的赢利为：每捆原稿纸 1 元，每打日记本 2 元，每箱练 3
习本 3 元。试决定：（1）在现有生产条件下使该厂赢利最大的方案；（2）如白坯纸
供应量不变，而工人数量不足时可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天 15
(4)
n
aij x j
bi
(i 1,, m1 m)
j1
n
aij x j
bi
(i m1 1, m2 2,, m)
j1
x
j
0无约束
( j 1,, n1,, n)
2. 判断下列说法是否正确，为什么?
(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；
(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；
变；
（3）约束条件右端项由
13
变为
2 3
；
（4）增加一个新的变量 x6 , P6 11, c6 7 ；
4
(5)增添一个新的约束 x1+2x2+x3≤4。 13. 分析下列线性规划问题中，当且变化时最优解的变化，并画出 z(λ)对 λ 的 变化关系图。
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
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运筹学_第2章_对偶理论习题第⼆章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3⽆限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2⽆限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试⽤互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代⼊上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
⼜因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4⽤对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，⾮基变量在⽬标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij m i ijnj ij2(4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j nj i j ij nj i j ij nj jj 无约束2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
3 2 2 0 0 03C B 基 B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 60 x 4 (b) 11 1 1 0 02 x 5 15 (a) 1 2 0 1 0 1 x 6 202 (c )1 0 01jj z c -0 2 0 0 00 x 4 5/4 0 0(d ) (l ) -1/4 -1/4 3 x 125/410 (e ) 0 3/4 (i ) 2 x 2 5/2 01 (f ) 0 (h ) 1/2 jj z c --1(k) (g)-5/4(j)4. 给出线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶4问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
运筹学第四章习题答案
即:4y1+6y2=﹣8 ① 又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的 约束必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2 y1+ky2=﹣2 ∴由①②解得y1*=﹣2 Y*=(﹣2,0)
② ③ y2*=0,即对偶问题的最优解为
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
s、t
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t
2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t
2x1+x2+3x3+2x4≤20
xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问题的 最优解。
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3
X1+2x2+3x3≥2
2x1+x2－x3≤4
s.t
3x1+2x2பைடு நூலகம்4x3≤6
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第二章线性规划的对偶问题
习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4
st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5
4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4
x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1
x j≥0（j＝1,2,3,4）
其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3
st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60
2x1＋x2＋2x3≤40
x1＋3x2＋2x3≤80
x j≥0 （j＝1,2,3）
（1）写出其对偶问题
（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
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（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；
（4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6 已知线性规划问题max z＝10x1＋5x2
st. 3x1＋4x2≤9
5x1＋2x2≤8
x j≥0（j＝1,2）
（1）给出a，b，c，d，e，f，g的值或表达式；
（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
（3）用a+?a，b+?b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a，?b满足的范围。
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2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。
已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。
已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸340千克，每箱练习本用白坯纸3
80千克。
又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。
试确定：
（1）现有生产条件下获利最大的方案；
（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？
2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中
2.12 试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。
2.13 根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以及检验数之间的对应关系。
2.14 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。
2.15 试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。
2.16 将a ij ，b ，c 的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。
2.17 判断下列说法是否正确
(a)任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；
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(b)对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c)根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d)若某种资源的影子价格等于k，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；
(e)应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i<0，又x i所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；
(f)若线性规划问题中的bi，c,值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；
(g)在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j或在各约束中的相应系数a ij，反映到最终单纯形表中，除该列数。