重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)A卷(考试)
第 1 页 共 13 页
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） 下列命题正确的是（ ）
A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B . “a＞0，b＞0”是“ ≥2”的充要条件
C . 命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D . 命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2＋x－1≥0
2. （2分） 给出下列五个命题：
①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、
33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③一组数据为a，0,1,2,3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，则a=1；
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重
小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90.
其中真命题为（ ）
A . ①②④
B . ②④⑤
C . ②③④
第 2 页 共 13 页
D . ③④⑤
3. （2分） 在下列命题中：①若向量共线，则向量所在直线平行 ②若三个向量两两共面，
则共面；③已知空间的三个向量 ， 则对空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得
。其中正确的命题个数是（ ）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
4. （2分） 某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，
已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）
A . 28
B . 23
C . 18
D . 13
5. （2分） 已知B（﹣2，0），C（2，0），A为动点，△ABC的周长为10，则动点A的满足的方程为（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 已知 ， 则“”是“”的（ ）
A . 充分不必要条件
第 3 页 共 13 页
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
7. （2分） 在△ABC中，A（x，y），B（﹣2，0），C（2，0），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹
方程，如表给出了一些条件及方程：
条件 方程
①△ABC周长为10；
②△ABC面积为10；
③△ABC中，∠A=90°
E1：y2=25；
E2：x2+y2=4（y≠0）；
E3：（y0）
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为（ ）
A . E3 ， E1 ， E2
B . E1 ， E2 ， E3
C . E3 ， E2 ， E1
D . E1 ， E3 ， E2
8. （2分） 已知向量 ， 是两个不共线的向量，若=2﹣与=+λ共线，则λ=（ ）
A . 2
B . -2
C . -
D .
9. （2分） (2018高二上·白城月考) 在正三棱柱 中，若 ，点 是 的中
点，则点 到平面 的距离是（ ）
第 4 页 共 13 页
A . 1
B .
C .
D . 2
10. （2分） (2018·南宁模拟) 抛物线 的焦点F已知点A和B分别为抛物线上的两个动点.
且满足 ，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 的最大值为（ ）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） 如图，二面角的棱上有C、D两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
CD ， 已知AC=2，BD=3， AB=6，CD= ， 则这个二面角的大小为（ ）
第 5 页 共 13 页
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2017高二下·温州期中) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1
内一动点，且满足|PD|+|PB1|=6，则点P的轨迹所形成的图形的面积是（ ）
A . 2π
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015·三门峡模拟) 过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为 的直线交抛物线于A，B两点，||FB|
﹣|FA||=________．
14. （1分） 设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①m⊥α，m⊥n，则n∥α；②m⊥n，n∥α，
则m⊥α；③m⊥α，n∥α，则m⊥n；④m∥α，n∥α，则m∥n．请将正确命题的序号填在横线上________．
15. （1分） (2017·辽宁模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦点为F1 ， F2 ， 若点P在椭圆
上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|（其中O为坐标原点），则称点P为“*”点，则椭圆上的“*”点有________个．
第 6 页 共 13 页
16. （1分） 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请
你补充一个条件________，使平面MBD⊥平面PCD．①DM⊥PC ②DM⊥BM③BM⊥PC ④PM=MC（填写你认为是正确的条
件对应的序号）．
三、 解答题 (共6题；共46分)
17. （1分） (2018·新疆模拟) 在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他
们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学
说的是真话，据此，判断考满分的同学是________．
18. （10分） (2019高二上·鹤岗期末) 2017年10月18日至24日，中国共产党第十九次全国人民代表大
会在北京顺利召开．大会期间，北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年
级和高二年级随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图．
（1） 分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；
（2） 完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高一、高二两个年级
学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异．
附：
第 7 页 共 13 页
19. （10分） (2014·辽宁理) 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，
E、F分别为AC、DC的中点．
（1） 求证：EF⊥BC；
（2） 求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
20. （5分） (2018高二上·南京月考) 已知中心在原点，焦点在 轴上的等轴双曲线与抛物线 的
准线交于 两点，且 ，求双曲线的实轴的长.
21. （10分） (2018高二上·大连期末) 在长方体 中， ， ， E为
中点．
（1） 证明： ．
（2） 求DE与平面 所成角的正弦值．
第 8 页 共 13 页
22. （10分） (2017·成都模拟) 如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：
的右焦点F2 ， F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e= ，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上
方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．
（1）
当 取最小值时，求C1和C2的方程；
（2）
若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．
第 9 页 共 13 页
参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
第 10 页 共 13 页
16-1、
三、 解答题 (共6题；共46分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
第 11 页 共 13 页
20-1、
21-1、
第 12 页 共 13 页
21-2、
22-1、
第 13 页 共 13 页
22-2、
重庆市高二上学期期中数学试卷
重庆市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ________．2. （1分）已知矩阵A=， B=，则A+B=________ ．3. （1分）已知点A（1，3）、B（4，1），则与向量同方向的单位向量为________4. （1分）已知向量 =（2，3）， =（﹣1，2），若m +n 与﹣3 共线，则 =________．5. （1分）(2017·金山模拟) 若an是（2+x）n（n∈N* ，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=________．6. （1分）函数y=sin2x﹣ cos2x的最大值是________．7. （1分）(2017·抚顺模拟) 在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为________．8. （1分） (201920高三上·长宁期末) 计算 ________.9. （1分）(2016·桂林模拟) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于________．10. （1分） (2016高三上·崇礼期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，满足Sn=﹣n2+7n（n∈N*）．则数列{an}的通项公式是an=________．11. （1分） (2016高一下·宁波期中) 若等差数列{4n+1}与等比数列{3n}的公共项按照原来的顺序排成数列为{an}，则a8=________．12. （1分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣， 2]时，|﹣t|的取值范围为________13. （1分） (2018高三上·大连期末) 意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被整除后的余数构成一个新数列， ________．14. （1分） (2017高三上·九江开学考) 半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________．二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）在用数学归纳法证明不等式“当时”时，第2步由n=k(k≥2)不等式成立，推证n=k+1时左边的表达式为（）A .B .C .D .16. （2分）已知符号函数sgn(x)＝，则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 417. （2分）在各项均为实数的等比数列{an}中，，则=（）A . 2B . 8C . 16D . 3218. （2分）在△ABC中，D为BC边上的点，=+，则的最大值为（）A . 1B .C .D .三、解答题 (共4题；共35分)19. （10分） (2018高一下·宁夏期末) 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点都在坐标原点，始边都与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点.（1）若，两点的纵坐标分别为，，求的值；（2）已知点是单位圆上的一点，且，求和的夹角的值.20. （5分）(2013·上海理) 已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足，求．21. （5分） (2016高二上·延安期中) 数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项an；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn ．22. （15分）已知ABCD四点的坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2）（1）判断四边形ABCD的形状，并给出证明；（2）求cos∠DAB；（3）设实数t满足，求t的值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。
重庆市高二数学上学期期中试题新人教A版
重庆市江北中学校2012---2013学年（上）半期考试高2014级数学试题一、选择题：（每题5分，共计50分）1.直线x－2y＋7＝0的斜率是（）A.2,B.-2, C,12， D.1-2，2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. 3B. 23C. 33D. 433、垂直于同一平面的两条直线一定（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能4、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④5．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限6.若直线1l：y＝k(x－4)与直线2l关于点(2,1)对称，则直线2l恒过定点( )A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)7、如果直线l将圆：06422=-++yxyx平分，且不通过第三象限，那么l的斜率取值范围是（）A、]0,23[- B、)23,(--∞ C、),0[+∞ D、),0[]23,(+∞--∞Y8、（原创）如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C对面的字母分别为（）A) D ,E ,F B) F ,D ,E C) E, F ,D D) E, D,F（1）正②圆锥③三棱台④正四棱锥9.n 是正数，园222+-(4+2)-2+4+4+1=0x y n x ny n n ，当n 变化时得到不同的圆，这些圆的公切线是（ ）A.y=0,B.4x-3y-4=0,C.都不是，D. y=0和4x-3y-4=0,10.（原创）正方体1111A B C D -ABCD 中，E 是1A A 的中点、F 是1C C 的中点，与直线11A D ，EF ，DC 都相交的空间直线有多少条？ （ ）A.1条,B.无数条.C.3条.D.2条.二、填空题：（每题5分，共计25分）11.若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l 的方程为________．12.（原创）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是13.已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 距离的最小值为________．14.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是15.（原创）半径为R 与r 的⊙A 与⊙B 都经过同一个点D(4,5)且与两坐标轴都相切，把R表为r 的函数，其函数关系式是 。
2022-2023学年重庆市外国语学校(四川外国语大学附属外国语学校)高二上学期期中数学试题(解析)
2022-2023学年重庆市外国语学校（四川外国语大学附属外国语学校）高二上学期期中数学试题一、单选题1．设1F 、2F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则△2AF B 的周长是（ ）．A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【分析】直接利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知12210AF AF a +==，12210BF BF a +==，则△2AF B 的周长为121220AF AF BF BF +++=， 故选：C .2．已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ） A ．1 B ．3或5 C ．5 D ．1或3【答案】B【分析】通过直线平行公式111222A B C A B C =≠，得到()()()232340k k k -----=且()342k -≠-，从而求出k 的值. 【详解】12l l //，∴()()()232340k k k -----=且()342k -≠-∴3k =或5故选：B3．在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为AD ，11C D 的中点，O 为11BCC B 侧面的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的正弦值为（ ） A ．16BCD【答案】A【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出MN ，1OD 的坐标，由数量积求夹角公式求解．【详解】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则(1M ，0，0)，(0N ，1，2)，(1O ，2，1)，1(0D ，0，2)， ∴1(1,1,2),(1,2,1)MN OD =-=--．则1(1,1,2)(1,2,1)1cos cos ,666MN OD α-⋅--=〈〉==⨯， ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16，故选：A ．4．已知两点31)M ，(4,2)N -，直线l ：10mx y m +--=与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3tan 4C ．π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【分析】注意到直线l 过定点()11，，后结合图形可得到直线l 与线段MN 相交时的斜率范围，即可得倾斜角范围.【详解】因10mx y m +--=，得()110m x y -+-=，故直线l 过定点()11，. 如图设定点()11，为A ，过A 点且与x 轴平行的直线为1l . 当直线位于AN 与1l 之间时，斜率为负值，斜率最小值为()12114AN k --==--， 则直线斜率范围是)1,0⎡-⎣，又α∈)0,π⎡⎣，3tan 4π=-1. 故此时l 的倾斜角α的范围是3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.当直线位于AM 与1l 之间时，斜率为正值，斜率最大值为()131312ANk-+==-则直线斜率范围是(0,3⎤⎦，又πtan 33=，故此时l 的倾斜角α的范围是π0,3⎛⎤ ⎥⎦⎝. 注意到当直线l 位于1l 时，斜率为0，对应倾斜角为0. 综上，l 的倾斜角α的范围是π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：D5．已知直线1l ，2l 的斜率是方程220x mx +-=的两个根，则（ ） A ．12l l ∥B ．12l l ⊥C ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定【答案】C【分析】设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，根据判别式以及韦达定理可得到结果. 【详解】设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为280m ∆=+>，所以方程220x mx +-=有两个不相等的实数根，所以1l 与2l 相交．又1221k k =-≠-，所以1l 与2l 不垂直． 故选：C6．圆C ：22(1)(1)4x y -++=上到直线l ：20x y +=的距离为12的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】先求出圆心到直线的距离，利用几何法进行判断. 【详解】圆C ：22(1)(1)4x y -++=的圆心()1,1C -，半径2r =，则圆心()1,1C -到直线l ：20x y +-=的距离为22112111d --==+，∵3122d r <=-，则圆C 上到直线l 的距离为12的点有,,,A B D E ，共4个.故选：D.7．已知点P 在直线l ：34200x y +-=上，过点P 的两条直线与圆O ：224x y +=分别相切于,A B 两点，则圆心O 到直线AB 的距离的最大值为（ ） A 3B 45C 3D ．1【答案】D【分析】得到,,,P A O B 四点共圆，且圆的直径为OP ，从而设出(),P m n ，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与224x y +=相减后得到直线AB 的方程为40mx ny --=，利用点到直线距离公式得到圆心O 到直线AB 的距离22d m n=+，配方求出22m n +的最小值，从而得到d 的最大值.【详解】由题意得：,,,P A O B 四点共圆，且圆的直径为OP ， 设(),P m n ，则34200m n +-=，则OP 的中点为圆心，圆心坐标为,22m n ⎛⎫⎪⎝⎭2212m n + 所以圆的方程为：2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：220x mx y ny -+-=，将224x y +=与220x mx y ny -+-=相减得：40mx ny --=， 故直线AB 的方程为40mx ny --=， 圆心O 到直线AB 的距离22224d m nm n=++因为34200m n +-=，所以22222232515251252516164162165m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当125m =时，等号成立， 故224414d m n =≤=+. 故选：D8．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB ＝8，32BD CD ==，∠BCD ＝45°．若E ，F 是四面体ABCD 外接球表面上的两点，且221EF =，则AE AF ⋅的最大值为（ ） A ．32 B ．28C ．21D ．16【答案】B【分析】分析出球心的位置，结合球的几何性质、向量运算求得AE AF ⋅的最大值. 【详解】由于AB ⊥平面BCD ，,,BD BC CD ⊂平面BCD ， 所以,,AB BD AB BC AB CD ⊥⊥⊥， 由于32BD CD ==，45BCD ∠=︒，所以三角形BCD 是等腰直角三角形，且BD CD ⊥， 由于,,ABBD B AB BD =⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，由于AD ⊂平面ABD ，所以CD AD ⊥，设O 是AC 的中点，根据直角三角形的性质可知OA OB OC OD ===， 所以O 是四面体ABCD 外接球的球心.()()222232326,6810BC AC =+==+=，所以外接球的半径为5R =.设G 是EF 的中点，则OG EF ⊥，21,21EF GE ==所以()225212OG =-=，25258417cos 25525EOF +-∠==-⨯⨯，设,0πAOG θθ∠=≤≤，所以()()AE AF AO OE AO OF ⋅=+⋅+ ()2AO AO OE OF OE OF =+⋅++⋅ 22AO AO OG OE OF =+⋅+⋅2175252cos 55820cos 25θθ⎛⎫=+⋅⋅⋅+⋅⋅-=+ ⎪⎝⎭，所以当0θ=时，AE AF ⋅取得最大值为82028+=. 故选：B二、多选题9．下列说法不正确的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线210x y --=的一个方向向量(1,2)-C ．经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D ．直线l ：3250x y -+=，(,)P m n 为直线l 上动点，则22(1)m n ++的最小值为413【答案】ABC【分析】根据直线与直线垂直的充要条件判断A 选项；根据直线方向向量与斜率的关系判断B 选项；根据直线倾斜角与斜率的关系判断C 选项；根据22(1)m n ++的最小值即转化为点(1,0)-到直线l 距离的平方，即可判断D 选项．【详解】解：对于A 选项，由直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直可得：()()2110a a ⨯+-⨯-=，解得0a =或1a =-，所以“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件，故A 不正确；对于B 选项，直线210x y --=的斜率为2，则该直线的一个方向向量(1,2)，故B 不正确； 对于C 选项，经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线有可能斜率不存在，即π2θ=时，tan θ无意义，故C 不正确；对于D 选项，直线l ：3250x y -+=，(,)P m n 为直线l 上动点，则22(1)m n ++表示(,)P m n 到(1,0)-的距离的平方，故22(1)m n ++的最小值即为(1,0)-到直线:3250l x y -+=距离的平方，即2413=，故D 正确. 故选：ABC .10．对于曲线C ：22193x y k k +=--，下列说法正确的是（ ）A ．曲线C 不可能是圆B ．“39k <<”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件 C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“67k”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“36k <<”的充要条件 【答案】CD【分析】由圆的方程的定义可判断A ，由椭圆的定义可判断BCD. 【详解】当93k k -=-，即6k =时， 方程22193x y k k +=--为223x y +=， 曲线C 表示圆心是(0,0)A 错误；若曲线C 是椭圆，则903093k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得39k <<且6k ≠，所以“39k <<”是“曲线C 是椭圆”的必要不充分条件，B 错误； 若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则90309339k k k k k k->⎧⎪->⎪⎨-≠-⎪⎪->-⎩，解得69k ，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“67k ”的必要不充分条件，C 正确；若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则90309339k k k k k k->⎧⎪->⎪⎨-≠-⎪⎪-<-⎩，解得36k <<，“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“36k <<”的充要条件，D 正确. 故选：CD.11．已知圆C ：22430x y y +-+=，一条光线从点(2,1)P 射出经x 轴反射，下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线与圆C相切，则反射光线的斜率一定为6-B ．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3240x y --= C ．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则||||2PB BA += D ．若反射光线与圆C 交于,M N 两点，则△CNM 面积的最大值为12【答案】BD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，求出点P 关于x 轴对称的点P '，设反射光线方程，根据点到直线的距离公式计算求出斜率即可判断A ；根据反射光线过圆心()0,2C 可知入射光线过点()0,2C '-，由此可求得入射光线所在直线方程，知B 正确；由反射光线经过点()2,1P '-，可将PB BA +转化为P A '，由P A '=C 错误；设02CMN πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，可求得11sin 222CNMSMN d θ=⋅=，由正弦型函数的最值可知D 正确. 【详解】对于A ，由圆C 方程知：圆心()0,2C，半径112r =，点(2,1)P 关于x 轴对称的点为(2,1)P '-，设反射光线的斜率为k , 则反射光线的方程为1(2)y k x +=-，即210kx y k ---=， 点()0,2C 到直线210kx y k ---=的距离为1d ==，解得2k =-A 错误；对于B ，反射光线平分圆C 的周长，∴反射光线经过圆心()0,2C ， ∴入射光线所在直线经过点()0,2C '-，12322C P k '+∴==， ∴入射光线所在直线方程为：322y x =-，即3240x y --=，B 正确；对于C ，反射光线经过点()2,1P 关于x 轴的对称点()2,1P '-，PB BA P B BA P A ''∴+=+=，又2123P A P C ''=-=，则23PB BA +=，C 错误；对于D ，设02CMN πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则圆心()0,2C 到直线()12y k x +=-的距离1sin sin d r θθ==，221sin 2cos MN θθ∴=-=， 111sin cos sin 222CNMSMN d θθθ∴=⋅==， 则当4πθ=时，()max 12CNM S=，D 正确. 故选：BD.12．如图，在棱长为33的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足15213DP PB +=+，则下列正确的是（ ）（参考数据：4sin 535=，3sin 375=）A ．1PB B D ⊥B ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为53C ．点P 的轨迹是一个圆D ．设直线1B P 与直线1AD 所成角为θ，则3790θ≤≤ 【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法说明A ，连接1B D ，交平面11A BC 于点O ，求出O 点坐标，即可确定1OB ，OD 的值，再根据15213DP PB +=+求出OP ，即可判断C ，由锐角三角函数判断B ，再以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法确定D ；【详解】解：如图，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直接坐标系，连接1B D ，交平面11A BC 于点O ，则(0,0.0)D ，(133,33,33B ，(133,0,33A ，()33,33,0B ，(10,33,33C ，1(33,33,33)DB =，(10,33,33A B =-，()1133,33,0AC =-，1110DB AC ⋅=，110DB BC ⋅=，111DB AC ∴⊥，11DB BC ⊥， 11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂平面11A BC ，1DB ∴⊥平面11A BC ，点P 是平面11A BC 内一个动点，PB ∴⊂平面11A BC ， 1PB B D ∴⊥，故A 正确；由1DB 与平面11A BC 的交点为O ，设(),,O x y z ，由于O 在1DB 上，设1DO DB λ=， 得33x y z λ=== ，(133,,33AO x y z =-- ， 由空间向量基本定理可知：()111133,3333,33AO mA B nAC n m n m =+=-+- ，得方程：333333333333333333n m n m n λλλ⎧=-+⎪⎪=+⎨⎪=-+⎪⎩解得：12,33m n λ=== ，故()23,23,23O ，()()()22213333339DB ∴=++= ，所以1263DO DB == ，1OB 3= ，所以1PD PB >，将平面11A BC 的直观图分离出来如下：依题意：15213DP PB +=+， 1OB 3=，6OD =，1DB OP ⊥，∴22211222OB OP PB OD OP PD ⎧+=⎨+=⎩ ，解得4OP = ，所以213DP =15PB =，故P 点的轨迹是以O 为圆心，半径为4的圆， 故C 正确；1B P 与平面11A BC 的夹角就是1B PO ∠，1113sin 5OB B PO PB ∠==， ∴直线1B P 与平面11A BC 所成角为37︒，故B 错误；由于11//AD BC ，1B P 与1AD 的夹角就是1B P 与1BC 的夹角，由于(23,23,23O ，取1A B 的中点M ，则333333,M ⎛ ⎝⎭，所以10MO A B ⋅=， ∴1MO A B ⊥， 322MO = ，113MO MC = ，即点O 是11A BC 的重心，11A BC 23336=，∴以O 为原点，1C M 为x 轴，过O 点垂直于1C M 的直线为y 轴，建立坐标系如下图：各点坐标为：()()()113236,32,0,0,0,0,3,,,0B C B P x y ⎫-⎪⎪⎝⎭，()119236,,0,,,322BC B P x y ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭，1136,5BC B P == ，设1BC 与1B P 的夹角为θ ，则11113·cos ·x y BC B P BC B Pθ+==，2216x y +=，038x y ∴≤+≤，40cos 5θ∴≤≤，即3790θ︒︒≤≤，故D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．直线3430x y ++=与直线68110x y ++=间的距离是__________． 【答案】12【详解】两直线可化为3430x y ++=与113402x y ++-， 直线间距离2211312234d -==+． 点睛：利用两平行直线距离公式求距离时，注意系数的关系，当系数不一致时，先要统一系数，然后再利用公式求距离.14．已知圆C 关于直线10x y -+=对称的圆的方程22(2)(2)1x y -+-=，则圆C 的方程为_____________.【答案】()221(3)1x y -+-=【分析】设圆心(1,1)A 关于直线10x y -+=对称的点C 的坐标为(,)a b ，则直线10x y -+=为线段AC 的垂直平分线，则得2112221022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，求得a ，b 的值，可得对称圆的方程．【详解】解：圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为(2,2)A则圆心(2,2)A 关于直线10x y -+=对称的点为圆心C ，设C 的坐标为(,)a b ， 故直线10x y -+=为线段AC 的垂直平分线，可得2112221022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，求得1a =，3b =，故对称圆C 的方程为()221(3)1x y -+-=.故答案为：()221(3)1x y -+-=.15．在平面直角坐标系中，已知圆1C ：22(4)(2)9x y ++-=和圆2C ：22(5)(6)9x y -+-=，设P 为平面上的点，若满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，则所有满足条件的点P 的坐标是______________ .【答案】317,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设出过点P 的直线1l 和2l 的方程，根据圆1C 和圆2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，可得1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的呀离相等，故可得到一个关于直线斜率k 的方程，即可求出所有满足条件的点P 的坐标.【详解】圆1C ：22(4)(2)9x y ++-=的圆心为1(4,2)C -，半径为3，圆2C ：22(5)(6)9x y -+-=的圆心为2(5,6)C ，半径为3， 设点(,)P a b 满足条件，因为过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，所以不妨设直线1l 的方程为()(0)y b k x a k -=-≠，则直线2l 的方程为1()y b x a k-=--，因为圆1C 和圆2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 所以1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的呀离相等，=所以4256k b ka k kb a --+-=+--，所以4256k b ka k kb a --+-=+--或42560k b ka k kb a --+-++--=， 所以(10)(7)0k a b a b +-+--=或(2)(3)0k a b a b --+-+=， 因为k 的取值有无穷多个，所以10070a b a b +-=⎧⎨--=⎩或2030a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得32172a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以所有满足条件的点P 的坐标为317,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：317,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.四、双空题16．已知直线l ：(22)(14)270m x m y m ++---=，则直线l 恒过定点__________；若O 为坐标原点，直线l 与,x y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，则△OAB 面积的最小值为___________. 【答案】 ()3,1 6【分析】将直线l 方程变形为(242)(27)0m x y x y --++-=，令2420270x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得,x y 的值即可得直线l 的定点；设出直线的截距式方程，可得311a b+=，再利用基本不等式可得12ab ，进而求得OAB 面积的最小值．【详解】解：直线:(22)(14)270l m x m y m ++---=，可转化为(242)(27)0m x y x y --++-=，令2420270x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,1；由题可知直线l 恒过定点(3,1)，直线l 与,x y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，，不妨设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则311a b+=，由基本不等式可得，31312a b ab =+，即314ab ，则12ab ，当且仅当31a b =，即6a =，2b =时等号成立， 则1112622OABSab =⨯=，即OAB ∆面积的最小值为6． 故答案为：()3,1；6.五、解答题17．已知直线l 过点(2,2)P .(1)若直线l 与360x y -+=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 【答案】(1)380x y +-=； (2)y x =或40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线l 的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为0x y m ++=，代入点P ，即可求得参数m【详解】（1）直线360x y -+=的斜率为3，则直线l 的斜率为13-，则直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=；（2）当截距为0时，直线l 的方程为y x =；当截距不为0时，直线l 设为0x y m ++=，代入(2,2)P 解得4m =-，故直线l 的方程为40x y +-=. 综上，直线l 的方程为y x =或40x y +-=18．已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上. (1)求圆C 的标准方程；(2)过点(6,7)P 引圆的一条切线，切点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】(1)22(3)(2)25x y +++=【分析】（1）设出圆的圆心坐标，利用圆的半径相等，列出方程求解即可； （2）画出图形，结合图形，利用直角三角形的勾股定理，求解线段PQ 的长. 【详解】（1）解：圆心在直线10x y -+=上，∴设圆心坐标为(,1)+C a a ， 根据点(1,1)A 和(2,2)B -在圆上，可得2222(1)(11)(2)(12)a a a a -++-=-+++，解得3a =-，∴圆心坐标为(3,2)C --，半径222(31)(311)25r =--+-+-=，=5r ， ∴此圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=；（2）解：画出图形，如图所示：连接PCPQ CQ ⊥，5CQ r ==，()()22362792PC =--+--=()2222925137PQ PC CQ ∴=-=-=所以线段PQ 的长为137.19．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ， ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，,D E 分别为AB ，BC 的中点.(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ；(2)求直线BC 与平面1AB E 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析. 310【分析】(1)利用线面垂直的性质可得1AA CD ⊥,再由CD AD ⊥,根据线面垂直的判定定理即可证出. (2)以D 为原点，以,,DA DF DC 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -,求出平面1AB E 的一个法向量，直线BC 的方向向量，利用空间向量的数量积，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C 中，因为1AA ⊥底面ABC ,CD ⊂平面ABC , 所以1AA CD ⊥.又ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AD ⊥. 因为1AB AA A ⋂=,所以CD ⊥平面11.AA B B（2）解：取11A B 中点F ,连结DF ,则因为,D F 分别为11,AB A B 的中点， 所以DF AB ⊥.由()1知,,CD AB CD DF ⊥⊥如图建立空间直角坐标系D xyz -,由题意得()()1,0,0,1,0,0,0,0,()3A B C -，()()()()1111,3,0,1,3,0,0,3,3,0,0,0A B C D =-,13,0,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面1AB E 的法向量(),,n x y z =,33,0,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()12,3,0AB =-,则133022230n AE x z n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ,令1x =,则21,,3.3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭4021093n ==. ()1,0,3BC =,2BC =.310sin cos 10n BC n BC n BC n BC⋅〈⋅〉=〈⋅〉==⋅. 所以直线BC 与平面1AB E 所成角的正弦值为31010.20．在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-. (1)求角B 的值；(2)若3b =2a c -的取值范围. 【答案】(1)π3B = (2)(3,23-.【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2cos sin sin()B A B C =+，由三角形内角和定理即sin 0A ≠，可得1cos 2B =，又B 为三角形的内角，即可解得B 的值． （2）由b =π3B =，结合正弦定理得2sin ,2sin a A cC ==，且2π3C A =-，将2a c -转化为关于角A 的正弦型函数，利用正弦型函数求取值范围即可. 【详解】（1）解：由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得：cos sin cos 2sin sin B B C A C=-， 可得2cos sin cos sin sin cos B A B C B C -=，即2cos sin sin()B A B C =+，πA B C ++=，()sin()sin πsin B C A A ∴+=-= 2cos sin sin B A A ∴=，又()0,πA ∈，则sin 0A ≠1cos 2B ∴=， ()0,πB ∈，π3B ∴=. （2）解：b =π3B =，正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C==== ∴2sin ,2sin a A c C ==，其中2ππ3A C B +=-=，∴2π3C A =-，且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则2ππ24sin 2sin 4sin 2sin 3sin 36a c A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2a c -的取值范围是(.21．已知点E 是圆C ：22(3)4x y -+=上的动点，点(3,0)F -，M 是线段EF 的中点，(,0)P m （0m ≠）是x 轴上的一个动点. (1)求点M 的轨迹方程；(2)当点M 的轨迹上存在点Q ，使60OPQ ∠=︒，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)221x y +=(2)230,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【分析】（1）设(,)M x y ，1(E x ,1)y ，利用M 为EF 中点，表示出11232x x y y=+⎧⎨=⎩，代入圆C 方程即可；（2）点M 的轨迹上存在点Q ，使60OPQ ∠=︒，等价于直线)y x m =-或)y x m =-与圆M有交点，利用直线与圆的位置关系列式即可实数m 的取值范围.【详解】（1）解：设(,)M x y ，1(E x ,1)y ，则2211(3)4x y -+=①，因为M 是EF 的中点，所以11322x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则11232x x y y =+⎧⎨=⎩，代入①式，得221x y +=，所以点M 的轨迹方程为221x y +=；（2）解：由（1）知点M 的轨迹方程为221x y += 由题意知点M 的轨迹上存在点Q ，使60OPQ ∠=︒， 等价于直线()3y x m =-或()3y x m =--与圆M 有交点由对称性可知圆心()0,0M 到直线()3y x m =-与()3y x m =--距离相等 ∴圆心()0,0M 到直线330x y m ±-=的距离小于等于半径1，即3113m ≤+解得232333m -≤≤，又0m ≠ 所以实数m 的取值范围是：2323,00,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 22．如图①所示，长方形ABCD 中，2AD =，3AB =，点M 是边CD 靠近点C 的三等分点，将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -.(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.【答案】42(2)平面PAM 和平面PBC 6【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出122PG AM ==，从而得到体积最大值； （3）作出辅助线，得到PGD ∠为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面PAM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式及π2cos 1,0,2t θθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，得到21cos 15112433t α=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，结合t 的取值范围求出余弦值的最小值． 【详解】（1）解：取AM 的中点G ，连接PG ，因为2PA PM ==，则PGAM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值， 此时PG ⊥平面ABCM ，且122PG AM ==， 底面ABCM 为梯形，面积为1(13)242S =+⨯⨯=， 则四棱锥P ABCM -的体积最大值为max 1424233V =⨯⨯=；（2）解：连接DG ，因为DA DM =，所以DG AM ⊥，所以PGD ∠为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作Dz ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0M ，()0,3,0C ，()2,3,0B过P 作PH DG ⊥于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设0(P x ,0y ,0)z ，所以000cos )1cos ,x y z θθθ==-=-=，所以(1cos ,1cos )P θθθ--，所以(2,2,0),(1cos ,cos 1,)AM PA θθθ=-=+-，设平面PAM 的法向量为1111(,,)n x y z =，则()()111112201cos cos 10x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，令1z1(sin ,sin )n θθθ=，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，因为(2,0,0),(cos 1,cos 2,)CB PC θθθ==-+，则()()22220cos 1cos 2sin 0x x y θθθ=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2y θ，可得：2(0,,2cos )n θθ=+， 设两平面夹角为α，则1212cos 2sin n n n n α⋅===⋅令π2cos 1,0,2t θθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以(]1,3t ∈，则1cos 2t θ-=所以cosα=，所以当1t =时，cos α 所以平面PAM 和平面PBC 【点睛】关键点点睛：利用二面角的平面角θ来表示折叠过程中形成的动点P 的横、纵、竖坐标，从而减少题中的变量，并且求解平面与平面夹角α的余弦值时，两个平面法向量都含参数θ的正弦或余弦值，利用空间向量的坐标运算求解cos α时，还需应用sin θ与cos θ的关系进行变形处理，从而使得cos α只含cos θ或者sin θ的式子，转换成单变量的函数关系从而可以利用函数思想求解cos α的最值，属于较难题目．。
2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l 1：y =3x +1与l 2：ax−y +1=0互相垂直，则实数a =( )A. −3 B.3 C. −33D.332.已知空间中，点A(1,2,−1)，B(−2,1,−1)，C(−1,2,0)，则平面ABC 的一个法向量为( )A. (2,1,3)B. (1,−3,2)C. (1,3,2)D. (−1,2,2)3.若直线l ：x + 2y =0与圆C ：(x−2)2+y 2=113交于A ，B 两点，则|AB|=( )A. 1B.3 C. 2 D. 234.抛物线y =12x 2上一点P 到Q(0,2)的距离的最小值为( )A. 1B.2C.3D. 25.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=100和C 2：(x−3)2+y 2=4，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为( )A. x 236+y 227=1 B. x 236+y 29=1 C. x 225+y 216=1 D. x 225+y 29=16.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，AB =AD =AA 1=2，则异面直线B 1D 与A 1C 1所成角的余弦值为( )A.66 B. −66C.63D. −637.如图，曲线C 由三部分构成：半圆F 1：(x +1)2+y 2=1(y ≥0)，半圆F 2：(x−1)2+y 2=1(y ≥0)，半椭圆Γ：x 24+y 23=1(y <0)，直线AB ：y =34(x−1)交C 于A 、B ，动点P 在曲线C 上，则△PAB 面积的最大值为( )A. 2110B. 7720C. 114D. 48.如图，已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 与C 的左、右支分别交于P 、Q ，△PF 1F 2的内切圆半径为r 1，△PQF 2的内切圆半径为r 2，则r 1r 2的取值范围为( )A. (0,13)B. (0,38)C. (13,12)D. (13,38)二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市外国语学校(四川外国语大学附属外国语学校)2022-2023学年高二上学期期中数学试题
8.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8， ，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且 ，则 的最大值为（）
A.32B.28C.21D.16
二、多选题
9.下列说法不正确的是（）
A.“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B.直线 的一个方向向量
A.
B.直线 与平面 所成角为
C.点 的轨迹是一个圆
D.设直线 与直线 所成角为 ，则
三、填空题
13.直线 与直线 间的距离是__________．
14.已知圆 关于直线 对称的圆的方程 ，则圆 的方程为_____________.
15.已知直线 ： ，则直线 恒过定点__________；若 为坐标原点，直线 与 轴的正半轴分别交于 两点，则△ 面积的最小值为___________.
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.在 中 为角 所对的边，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
21.已知点 是圆 ： 上的动点，点 ， 是线段 的中点， （ ）是 轴上的一个动点.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）当点 的轨迹上存在点 ，使 ，求实数 的取值范围.
22.如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折到△ ，连接 ， ，得到图②的四棱锥 .
（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程.
18.已知圆心为 的圆经过 ， 两点，且圆心 在直线 ： 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 引圆的一条切线，切点为 ，求线段 的长.
19.如图，在三棱柱 中， ⊥平面 ， 是边长为2的正三角形， ， 分别为 ， 的中点.
重庆市第一中学2022_2022学年高二数学上学期期中试题理含解析
重庆市第一中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理〔含解析〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题1．抛物线方程，那么该抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是A．假设，，那么 B．假设，那么C．假设，，那么 D．假设,，，那么4．某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，那么圆锥的全面积为A． B． C． D．5．椭圆上的点到直线的最大距离是A．3 B．C．D．6．三棱锥，过点作面为中的一点，，，那么点为的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心7．是以为焦点的双曲线上的动点，那么的重心的轨迹方程为A． B．C． D．8．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为A． B． C． D．9．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，其中分别为的中点，那么三棱锥的体积为A． B． C． D．10．抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，那么实数取值范围是A． B．C． D．11．点，假设圆上存在点(不同于)，使得，那么实数的取值范围是A． B． C． D．12．如图在正方体1111ABCD A B C D-中，点O为线段BD的中点. 设点P在线段1CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为α，那么sinα的取值范围是A．3,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．6,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．622,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、解答题13．数列满足：，且对任意的，都有成等差数列.〔1〕证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；〔2〕求数列的前项和.14．在直三棱柱中， ,点是的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕求异面直线与所成角的余弦值．15．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.(1)求椭圆的焦距；(2)如果，求椭圆的方程16．在直三棱柱中，分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点．〔1〕证明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值．17．如图，椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>3x轴被曲线22:C y x b=-截得的线段长等于1C的长半轴长。
2023—2024学年重庆市部分学校高二上学期期中数学试卷
2023—2024学年重庆市部分学校高二上学期期中数学试卷一、单选题1. 过两点的直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（）A．6B．5C．4D．33. 过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4. 三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．或D．或6. 已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．7. 已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（）A．B．C．4D．68. 如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．D．二、多选题9. 已知直线，，，以下结论正确的是（）.A．不论a为何值时，与都互相垂直；B．当，与x轴的交点A到原点的距离为C．不论a为何值时，与都关于直线对称D．如果与交于点M，则的最大值是10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8B．椭圆上不存在点，使得C．直线与椭圆恒有公共点D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为311. 如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（）A．点为的中点B．三棱锥的体积为C．直线与平面所成的角的正弦值为D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是12. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为B．C．D．三、填空题13. 在线段上运动，已知，则的取值范围是_______ .14. 已知圆：，圆：，、分别是圆，上动点是轴上动点，则的最大值是 _________ . 15. 已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则 ______ ．16. 如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围 _________ .四、解答题17. 已知圆M的圆心在直线上，圆M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为．(1)求圆M的标准方程；(2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点，当的面积为，求直线l的方程．18. 直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．19. 已知抛物线上的点到焦点的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．20. 已知椭圆C：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且的周长为. P是椭圆上一动点，M是直线上一点，且直线轴.(1)求椭圆C的方程：(2)记直线与椭圆另一交点为Q，直线是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.21. 如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.22. 已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.。
重庆市2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析
荣昌高24级高二上期半期考试数学试题（答案在最后）试题总分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0x =的倾斜角为（）A.0°B.90°C.180°D.不存在【答案】B 【解析】【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.【详解】因为直线0x =与x 轴垂直，所以直线0x =的倾斜角为90°.故选：B2.已知O 为原点，点()2,2A -，以OA 为直径的圆的方程为()A.()()22112x y -++= B.()()22118x y -++=C.()()22112x y ++-= D.()()22118x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()11-，，半径12r OA ＝，∴圆的方程为22(1)(1)2x y -＋＋＝﹒故选：A ﹒3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C 【解析】【分析】将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB 与CD 所成角的大小.【详解】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D ()1,1,0AB =- ，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ所以11cos 222AB CD AB CDθ⋅===⋅⋅，故60θ= 故选：C4.求空间中点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '与()1,1,5B -的长度为A.6 B.26C.3D.214【答案】D 【解析】【分析】先求出点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '的坐标，再利用空间两点的距离公式可得结果.【详解】点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '的坐标为()3,3,1-，所以，A '与()1,1,5B -的长度为()()()222'31311514A B =++-+--=，故选D.【点睛】本题主要考查空间两点的距离公式的应用，属于基础题.5.已知直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离d 的取值范围为（）A.(0，5]B.(0，5)C.(0，+∞)D.(0]【答案】A 【解析】【分析】先判断当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.【详解】当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大，最大距离为5PQ ==所以l 1，l 2之间的距离的取值范围是(]0,5.故选：A6.三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4SA =，3AB =，D 为AB 的中点，90ABC ∠=︒，则点D 到面SBC 的距离等于（）A.125 B.95C.65D.35【答案】C 【解析】【分析】在三角形SAB 内作AE ⊥SB 交SB 于E ，进而根据条件证明AE ⊥面SBC ，算出AE 的长度，再根据D 为AB 的中点得到答案.【详解】如图，在三角形SAB 中，过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，因为SA ⊥面ABC ，所以SA BC ⊥，又AB BC ⊥，SA AB A ⋂=，所以BC ⊥面SAB ，因为AE ⊂面SAB ，所以BC AE ⊥，而AE ⊥SB ，且BC SB B = ，所以AE ⊥面SBC .在三角形SAB 中，由勾股定理易得5SB =，则由等面积法可得：125AE =，因为D 为AB 的中点，所以D 到平面SBC 的距离为：65.故选：C.7.已知点(2,0)A -，点(4,0)B ，点P 在圆22(3)(4)20x y -+-=上，则使得PA PB ⊥的点P 的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】利用PA PB ⊥求出点P 的轨迹方程为22(1)9x y -+=，再根据圆心距与两圆的半径的和的大小关系可得两圆相交，从而可得结果.【详解】因为点(2,0)A -，点(4,0)B ，且PA PB ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心(1,0)C ，半径为3，其方程为22(1)9x y -+=，==，两圆的半径和为3+，因为3+>，所以两圆相交，所以满足条件的点P 的个数为2，故选：C8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,E F G M N 分别是111,,,,AB BC BB AA CC 的中点，过,M N 的平面α与平面EFG 平行，以平面α截该正方体得到的截面为底面，1D 为顶点的棱锥记为棱锥Ω，则棱锥Ω的外接球的表面积为（）A.25π12B.25π3C.π D.25π9【答案】B【解析】【分析】求出平面α与正方体的截面，利用棱锥外接球的性质求出球半径，即可得出球表面积.【详解】分别取1111,,,AD DC A B B C 的中点,,,P Q S R ，依次连接,,,,,M P Q N R S 得到正六边形,如图，由//,EF PQ EF ⊄平面MPQNRS ，PQ ⊂平面MPQNRS ，可知//EF 平面MPQNRS ，同理//EG 平面MPQNRS ，又EF EG G = ，,EF EG ⊂平面EFG ，所以平面MPQNRS 与平面EFG 平行，所以该正六边形就是平面α与正方体的截面，设该棱锥的外接球球心为O ，半径为R '，如图，连接,,MN SQ PR 相交于点K ，连接1D K ，则球心O 在线段1D K 上，连接RO ，因为12KR MK PQ AC ====，1D M ==，所以1D K ==，所以在Rt ORK △中可得)222'R R =+'-，解得6R '=，所以外接球的表面积为225π4π3S R '==,故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l 的方程为3260x y -+=，则（）A.直线l 在x 轴上的截距为2B.直线l 在y 轴上的截距为3C.直线l 的倾斜角为锐角D.过原点O 且与l 垂直的直线方程为230x y +=【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线方程，分别令0,0x y ==即可判断AB ，由直线斜率可判断C ，求出原点O 且与l 垂直的直线方程即可判断D.【详解】在3260x y -+=中，令0y =，得2x =-，所以A 不正确；令0x =，得3y =，所以B 正确；因为直线l 的斜率为302k =>，所以直线l 的倾斜角为锐角，故C 正确；因为与l 垂直的直线方程可设为230x y m ++=，又直线过原点，所以0m =，故D 正确.故选：BCD10.已知直线1:230l ax y a ++=和直线()2:3170l x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当3a =时，12l l //B.当2a =-时，12l l //C.当25a =时，12l l ⊥ D.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()2,1-【答案】ACD 【解析】【分析】根据两直线垂直和平行的判定，以及将直线一般式换成斜截式、点斜式判断过定点问题，上述过程中注意区分a 等于1和不等于1的情况.【详解】对A 和B ，如果12l l //，则1l 和2l 的斜率相等，1a ≠时321a a -=--，26a a -=，解得3a =或2a =-.当1a =时，1:230l x y ++=，2:2l x =-，两直线既不平行也不垂直.当3a =时，1:3290l x y ++=，2:3240l x y ++=，，A 对.当2a =-时，1:30l x y -+-=，2:30l x y -+-=，，B 错.对C ，当25a =时，121525k =-=-，235215k =-=-，221k k ⋅=-，所以12l l ⊥，C 对.对D ，1:230l ax y a ++=转化为斜截式为()32a y x =--，即()032ay x -=--，所以1l 过定点()3,0-.同理，()2:3170l x a y a +-+-=，1a ≠时转化为斜截式为()3211y x a =--+-，即()3121y x a -=---，2l 过定点()2,1-；1a =时，2l 为2x =-，也过定点()2,1-，D 对.故选：ACD.11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B .点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A.C 的方程为()22416x y ++= B.在C 上存在点D ，使得D 到点（1，1）的距离为10C.在C 上存在点M ，使得2MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为9【答案】AD 【解析】【分析】由题意可设点(),P x y ，由两点的距离公式代入化简可判断A 选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B 选项.设00(,)M x y，由已知得=C 选项；由点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此可判断D 选项.【详解】解：由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，12PA PB=12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 正确；点（1，1410<，故不存在点D 符合题意，故B 错误.设00(,)M x y ，由2MO MA ==，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，故C 错误；C 的圆心（-4，0）到直线34130x y --=的距离为()341355d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最大距离549d r +=+=，故D 正确；故选：AD.12.若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且1AP mAD nAA =+，其中[0,1],[0,1]m n ∈∈，则下列结论正确的是（）A.当12m =时，三棱锥1P BDB -的体积为定值B.当12n =时，三棱锥1P BDB -的体积为定值C.当1m n +=时，PA PB +的最小值为2+D.若111PD B B D B ∠∠=，点P 的轨迹为一段圆弧【答案】AC 【解析】【分析】当12m =时，可得点P 的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P 到平面1BDB 的距离不变，即可判断A 的正误；当12n =时，可得点P 的轨迹，利用反证法可证，P 到平面1BDB 的距离在变化，即可判断B 的正误；当1m n +=时，可得1A P D 、、三点共线，利用翻折法，可判断C 的正误；如图建系，求得各点坐标，分别求得1PD B ∠和11B D B ∠的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】因为1AP mAD nAA =+，其中[0,1],[0,1]m n ∈∈，所以点P 在平面11ADD A 内运动，对于A ：取AD 中点E 、11A D 中点F ，连接EF ，所以11EF AA BB ∕∕∕∕，因为EF ⊄平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，所以EF ∕∕平面1BDB ，当12m =时，则112AP AD nAA =+ ，所以点P 在线段EF 上运动，因为EF ∕∕平面1BDB ，所以无论点P 在EF 任何位置，P 到平面1BDB 的距离不变，即高不变，所以三棱锥1P BDB -的体积为定值，故A 正确；对于B ：取1AA 中点G ，1DD 中点H ，连接GH ，当12n =时，112AP mAD AA =+ ，所以点P 在GH 上运动，假设GH ∕∕平面1BDB ，又1GA BB ∕∕，GA ⊄平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，所以GA ∕∕平面1BDB ，因为,,GA GH G GH GA ⋂=⊂平面GHDA ，所以平面GHDA ∕∕平面1BDB ，与已知矛盾，故假设不成立，所以GH 不平行平面1BDB ，所以P 在GH 上运动时，P 到平面1BDB 的距离在变化，所以三棱锥1P BDB -的体积不是定值，故B 错误；对于C ：连接1A D ，1A B ，BD ，当1m n +=时，可得1A P D 、、三点共线，将11AA D 沿1A D 翻折至与平面1A BD 共面，如下图所示连接AB ，当P 为AB 与1A D 交点时，PA PB +最小，即为AB ，因为11,,A B A D BD 均为面对角线，所以112A B A D BD ==，即1A BD 为等边三角形，又1=90A AD ∠︒，1=1A A AD =，所以1105ADB AA B ∠=∠=︒，1ADB AA B ≌，所以30ABD ∠=︒在ADB 中，由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，所以()126sin1052sin 45cos 60cos 45sin 60sin 302AB =⨯︒=︒︒+︒︒=︒，故C 正确；对于D ：分别以DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴正方向建系，如图所示，则1(1,1,0),(0,0,1)B D ，设(,0,)P x z ，所以11(,0,1),(1,1,1)D P x z D B =-=- ，所以1112211cos (1)3D P D B PD B D P D B x z ⋅∠==+-⋅ 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111BB B D ⊥，又111=2,3B D BD =，所以111116cos 3B D B D B BD ∠==，2263(1)3x z =+-⋅，整理得2222210x xz z x z ++--+=，所以2(1)0x z +-=，即10x z +-=，[0,1],[0,1]x z ∈∈所以P 点轨迹为线段，故D错误故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设直线12,l l 的方向向量分别为()()1,2,2,2,3,a b m =-=- ，若12l l ⊥，则实数m 等于___________.【答案】2【解析】【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，120l l a b ⊥⇔⋅=r r，计算即可.【详解】因为12l l ⊥，则其方向向量a b ⊥ ，1(2)23(2)0a b m ⋅=⨯-+⨯+-=r r ，解得2m =.故答案为：2.14.若直线1l 的倾斜角为30°，直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为______.【答案】120°【解析】【分析】由直线垂直及直线倾斜角的定义确定直线2l 的倾斜角大小.【详解】由21l l ⊥，即直线21,l l 夹角为90°，又直线倾斜角θ范围为0θ︒≤<180°，而直线1l 的倾斜角为30°，所以直线2l 的倾斜角为120°.故答案为：120°15.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为144π，则圆台的体积为___________.【答案】【解析】【分析】设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h ，进而并根据轴截面中的几何关系得h =，再计算体积即可得答案.【详解】解：设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h .所以，作出轴截面，如图，因为半球的体积为144π，所以312π144π23V R ==球，解得6R =，由题意知222R r h =+，代入解得33h =，所以，圆台体积11(33(9π36π9π36π)633π33V h S S S S =++=⨯+⨯=下下圆台上上.故答案为：633π16.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠相交于点P ，则PM 的取值范围是______________.【答案】[21,321]-【解析】【分析】根据直线系求出定点，再由垂直确定动点轨迹为圆，根据圆心距离判断圆的位置关系，利用圆的几何性质求出PM 取值范围即可.【详解】依题意，直线1:(3)(1)0l m x n y ---=恒过定点(3,1)A ，直线2:(1)(3)0l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，因为()0mn n m +-=，所以直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心(2,2)N ，半径22r =而圆C 的圆心(0,0)C ，半径11r =，如图：12||2NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：min 12||||21PM NC r r =--=，max 12||||21PM NC r r =++=，所以PM 的取值范围是：[21,321]-+.故答案为：[21,321]-四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l 经过点(4,3)P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）若OAB 面积为24，求直线l 的方程．【答案】（1）7241000x y +-=（2）34240x y +-=【解析】【分析】（1）设直线方程，利用点到直线的距离求出斜率即可得解；（2）设出直线方程，求出截距，利用面积求出斜率即可得解.【小问1详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即430kx y k --+=，则点O 到直线l 的距离241d k ==+，解得724k =-.故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=.【小问2详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即430kx y k --+=，令0x =，可得43y k =-+，令0y =，可得34x k=-，所以13(34)(4)242ABC S k k =⨯--=△，即2162490k k ++=，解得34k =-，故所求直线方程为34240x y +-=.18.如图，已知圆锥的底面半径2r =，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，点Q 为半圆弧»AB的中点，点P 为母线SA 的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ 与SO 所成角的余弦值．【答案】（1）12π（2）4【解析】【分析】（1）根据圆锥轴截面及表面积公式计算即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角的余弦即可.【小问1详解】∵圆锥的底面半径2r =，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，可得4SA =，∴圆锥的表面积21π24π412π2S =⨯+⨯⨯=．【小问2详解】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意可得23SO =(()()()0,0,3,0,0,0,0,2,0,2,0,0S O A Q ，(3P ，则((3,,,2,01,032SO PQ =-=-- ，设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ，则||66cos 4||||46SO PO SO PQ θ⋅=== ，故异面直线PQ 与SO 所成角的余弦值为64.19.已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心()0,15，l 与圆相交；（217﹒【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C 和半径r ，求出直线l 经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l 与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d ，根据222AB r d =-【小问1详解】由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 5又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．【小问2详解】由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m=tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l10y +=的距离2d ==，∴||AB ===．20.如图，已知在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起到1A DE △（1A ∉平面ABCD ）的位置，M 为线段1AC 的中点.（1）求证：BM ∥平面1A DE ；（2）已知2AB AD ==1A DE ⊥平面ABCD 时，求直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ，根据中位线证明1BM A P ，得到证明.（2）证明1A O ON ⊥，以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，计算平面1A DC 的一个法向量为()1,1,1m = ，根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ,∵E 为AB 边的中点，四边形ABCD 为矩形，∴BE CD ∥,12BE CD =,∴BE 为PCD 的中位线，∴B 为线段CP 的中点，∵M 为线段1AC 的中点，∴1BM A P ∵BM ⊄平面1A DE ，1A P ⊆平面1A DE ,∴BM ∥平面1A DE.（2）∵2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴AD AE =,即11A D A E =,取线段DE 的中点O ,连接1AO ,ON ,则由平面几何知识可得1AODE ⊥,ON CE ,又∵四边形ABCD 为矩形，2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴DE CE ⊥,DE ON ⊥,∵平面1A DE ⊥平面ABCD ，平面1A DE 平面ABCD DE =,1AO DE ⊥,∴1A O ⊥平面ABCD ，∵ON ⊆平面ABCD ，∴1A O ON ⊥,∴以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,2,0B -,()2,1,0C -,1(0,0,1)A ,111,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(0,1,0)D ,310,,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(2,1,1)A C =-- ,()2,2,0DC =- ,设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则100m A C m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x y z x y --=⎧⎨-=⎩，不妨取1x =，则1y =，1z =，即()1,1,1m = ，设直线BM 与平面1A DC 所成角为θ，则sin |cos ,|15||||m BM m BM m BM θ⋅===⋅ ，∴直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值为15.【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21.已知圆22:20C x y y +-=，点(4,2)G .（1）求过点G 并与圆C 相切的直线方程；（2）设P 为圆C 上任意一点，线段AB 在x 轴上运动（A 在B 左边），且1=AB ，求+PA BG 的最小值.【答案】（1）81520x y --=或2y =（2）1【解析】【分析】（1）设切线方程为()24-=-y k x ，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；（2）AP 的最小值可转化为A 到圆心C 的距离减去半径的最小值，所求+PA BG 的最小值即求1+-AC BG的最小值，设(),0A a ，则()1,0+B a ，由11+-=AC BG ，转化为(),0D a 到()0,1N 和()3,2M 的距离的最小值减去1，结合图象可得答案.【小问1详解】圆()22:11+-=C x y ，由已知过点(4,2)G 的切线的斜率存在，设其切线方程为()24-=-y k x ，1=，解得815k =或0k =，所以切线方程为()82415-=-y x 或20y -=，即81520x y --=或2y =.【小问2详解】AP 的最小值可转化为A 到圆心C 的距离减去半径的最小值，所以求+PA BG 即求1+-AC BG 的最小值，设(),0A a ，则()1,0+B a ，所以11+-=AC BG1=+，可看作(),0D a 到()0,1N 和()3,2M 的距离的最小值减去1，取点N 关于原点对称的点()0,1E -，连接ME ，此时ME 的长度最小即+ACBG最小，且==ME 所以1+-AC BG 的最小值为1-，此时直线ME 的方程为1y x =-，即1a =.22.如图，三棱锥-P ABC 中，点P 在底面的射影O 在ABC 的高CD 上，Q 是侧棱PC 上一点，截面QAB与底面ABC 所成的二面角的大小等于OPC ∠的大小.（1）求证：PC ⊥平面QAB ；（2）若4,2DQ PQ DA DB ====，求平面ABP 与平面BPC 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）15【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量处理面面夹角问题.【小问1详解】连接DQ∵PO ⊥平面ABC ，,CD AB ⊂平面ABC ，则,PO AB PO CD⊥⊥又∵CD AB ⊥，PO CD O = ，,PO CD ⊂平面PCD∴AB ⊥平面PCD,PC DQ ⊂平面PCD ，则,AB PC AB DQ⊥⊥∴截面QAB 与底面ABC 所成二面角的平面角为CDQ ∠，则CDQ OPC∠∠=∴90DQC POC ∠∠==︒，即DQ PC⊥AB DQ D = ，,AB DQ ⊂平面QAB∴PC ⊥平面QAB【小问2详解】如图，以Q 为坐标原点，,,QD DB QP所在的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有：()()()()0,0,0,0,0,2,4,2,0,4,2,0Q P A B -()()0,0,2,4,2,0QP QB == 设平面BPC 的法向量为(),,n x y z = ，则20420n QP z n QB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =，则2,0y z =-=∴()1,2,0n =- 同理可得：平面ABP 的法向量为()1,0,2m = ∵1cos ,5n m n m n m ⋅== ∴平面ABP 与平面BPC 所成夹角的余弦值为15.。