贵州省贵阳市2018年高三适应性考试文科数学-含答案
贵州省贵阳市联考2018-2019学年高三上学期适应性数学(文科)试卷Word版含解析
贵州省贵阳市联考2018-2019学年高三上学期适应性数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，则P∩Q=（）A．∅B．{0} C．{﹣1} D．2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣13．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（）A．B．C．D．4．设点O在△ABC的内部，且有+2+3=，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．968．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A．B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=19．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）A．B．C．D．10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（）A．﹣3 B． C．D．311．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．212．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．∪C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．等差数列{an }中，公差d≠0，且2a4﹣a72+2a10=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5b9= ．14．函数y=的最小值是．15．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，则△ABC的面积为．16．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数f （x ）=2sin （+x ）cosx ﹣（cosx ﹣sinx ）2．（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）将f （x ）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g （x ），求g （）的值．18．（12分）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； （2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率．19．（12分）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE 中，BC ∥DE ，∠BCD=，DE=2，且直线AE 与CD 所成角为，AB ⊥CD ．（1）求证：平面ABC ⊥平面BCDE ； （2）求三棱锥C ﹣ABE 的体积．20．（12分）函数f （x ）=x 2﹣mlnx ﹣nx ．（1）当m=﹣1时，函数f （x ）在定义域内是增函数，求实数n 的取值范围； （2）当m ＞0，n=0时，关于x 的方程f （x ）=mx 有唯一解，求实数m 的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系的原点为O ，椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，直线PQ过F 交椭圆于P ，Q 两点，且|PF|max •|QF|min =．（1）求椭圆的长轴与短轴之比；（2）如图，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于D ，E 两点，求的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，A为圆O外一点，AO与圆交于B，C两点，AB=4，AD为圆O的切线，D为切点，AD=8，∠BDC的角平分线与BC和圆O分别交于E，F两点．（1）求证： =；（2）求DE•DF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y=2+4的最大值．贵州省贵阳市联考2018-2019学年高三上学期适应性数学（文科）试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，则P∩Q=（）A．∅B．{0} C．{﹣1} D．【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：P={y|y=cosθ，θ∈R}=[﹣1，1]，，∴P∩Q={﹣1}，故选C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（）A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程．【解答】解：由题意，，所以曲线过点（1，3）处的切线斜率为k=3﹣1=2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，故选C．【点评】本题考查曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程，考查导数的几何意义，比较基础．3．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点（﹣2，4）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义求出结果．【解答】解：角α的终边过点（﹣2，4），，所以，故选：B ．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．4．设点O 在△ABC 的内部，且有+2+3=，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取D ，E 分别为AC ，BC 中点，由已知得，即=﹣2，从而确定点O 的位置，进而求得△AOB 的面积与△ABC 的面积比．【解答】解：取D ，E 分别为AC ，BC 中点，由已知得，即=﹣2，即O ，D ，E 三点共线，且O 在中位线DE 上，所以S △AOB =，故选C ．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n 为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得a 1+a n =70，从而得到，由此能求出结果．【解答】解：因为 a 1+a n =a 2+a n ﹣1=a 3+a n ﹣2， 所以3（a 1+a n ）=94+116=210， 所以a 1+a n =70，所以，所以n=8．故选：D．【点评】本题考查等差数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，而反之不成立．即可判断出．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知，如果l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题考查了面面垂直的判定定理、充分必要条件，属于基础题．7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．16 B．32 C．48 D．96【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，AB=2，CD=4，AD=4，棱锥的高为VD=4，则该四棱锥的体积V==16，故选：A【点评】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．8．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A．B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=1【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C的方程．【解答】解：的焦点为（0，1），所以圆C为，所以x2+（y﹣1）2=1，故选：D．【点评】本题考查圆C的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．9．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法求出甲乙两同学分班的所有情况和符合条件的各种情况，由此能求出这两名同学被分到同一个班的概率．【解答】解：甲乙两同学分班共有以下情况：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），其中符合条件的有三种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（）A．﹣3 B． C．D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：，又复数=在复平面上对应的点在y轴上，∴解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．11．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．x（x＞0），g（x）=，12．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．∪C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】求出g（x）的范围，利用存在实数n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，存在n使得f（m）=g（n），可得﹣1≤f（|m|）≤1，|m|≤1，即﹣1≤log2，∴，故选：B．【点评】本题考查函数的值域以及对数函数的性质，分段函数的应用，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.） 13．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 4﹣a 72+2a 10=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 5b 9= 16 ．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质可把原式化简可得4a 7﹣a 72=0，从而可求a 7，再由等比数列的性质可得b 5•b 9=b 72，从而可求的答案． 【解答】解：∵{a n }是等差数列， ∴a 4+a 10=2a 7，∴2a 4﹣a 72+2a 10=4a 7﹣2a 72=0， ∴a 7=0或a 7=4． ∵{b n }为等比数列，∴．故答案是：16．【点评】本题主要考查了等差数列（若m+n=p+q ，则再等差数列中有a m +a n =a p +a q ；在等比数列中有a m •a n =a p •a q ）与等比数列的性质的综合应用，利用性质可以简化基本运算．14．函数y=的最小值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】将函数化为y=（+）+，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x 的取值要一致，即可得到所求最小值．【解答】解：函数y===+=（+）+≥2+=．当且仅当=，即有x=0，取得等号．则函数的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．15．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理．【分析】利用平面向量共线的性质及正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，结合sinB≠0可求tanA，利用特殊角的三角函数值可求A，利用正弦定理可求sinB，根据同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），∴asinB﹣bcosA=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0．又∵sinB≠0，∴．∵0＜A＜π，∴A=，∴．∵a＞b，∴A＞B，∴，∴，∴△ABC的面积为．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】要求三棱锥的体积先找出可以应用的底面和对应的高，这里选择三角形SEF做底面，得到结果．【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，且由S出发的三条棱两两垂直，补体为长方体，，，∴=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•贵州月考）设函数f（x）=2sin（+x）cosx﹣（cosx﹣sinx）2．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x），求g（）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（1）===．由，求得，故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y=2sin[2（x﹣）+]+1﹣=2sin2x+1﹣的图象；再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x）=2sin4x+1﹣的，∴g（）=0+1﹣=1﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．18．（12分）（2016秋•贵州月考）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；（2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率．【考点】几何概型．【分析】（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，则x∈[10，30]，y∈[10，30]，作出正方形区域得答案；（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即x﹣y≥5，由线性规划知识求出可行域，利用面积比得答案．【解答】解：（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，则x∈[10，30]，y∈[10，30]，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图所示．（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即x﹣y≥5，对应区域为△BEF，所求概率．【点评】本题考查几何概型，体现了数学转化思想方法，关键是由题意作出图形，是中档题．19．（12分）（2016秋•贵州月考）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE中，BC∥DE，∠BCD=，DE=2，且直线AE与CD所成角为，AB⊥CD．（1）求证：平面ABC⊥平面BCDE；（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，利用线面垂直的判定得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定得平面ABC⊥平面BCDE；（Ⅱ）过E作EF⊥BC，连接AF，由（Ⅰ）可得，EF⊥平面ABC，且EF∥CD，CF=DE=2，进一步得到∠AEF为直线AE与CD所成角，然后求解直角三角形得AF=．进一步得EF=2，然后利用等积法求得三棱锥C﹣ABE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又CD ⊂平面BCDE ， ∴平面ABC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）解：如图，过E 作EF ⊥BC ，连接AF ， 由（Ⅰ）得，EF ⊥平面ABC ， 且EF ∥CD ，CF=DE=2， ∴．在△ACF 中， =12，∴AF=．…（9分）在Rt △AEF 中，可得EF=2，∴．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质和判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）（2016秋•贵州月考）函数f （x ）=x 2﹣mlnx ﹣nx ．（1）当m=﹣1时，函数f （x ）在定义域内是增函数，求实数n 的取值范围； （2）当m ＞0，n=0时，关于x 的方程f （x ）=mx 有唯一解，求实数m 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将f （x ）在定义域内是增函数转化为f'（x ）=恒成立，再参数变量分离，根据对勾函数的性质求的最小值（2）构造新的函数g （x ）=x 2﹣mlnx ﹣mx ，利用导数求出单调区间和最小值，方程有唯一解即函数g （x ）只有一个零点，故g （x ）min =0．由，消去m ，得到关于x 2的方程，再次构造函数，利用单调性解出x 2，从而得到m 的值【解答】解：（1）当m=﹣1时，f （x ）=x 2+lnx ﹣nx ，依题意有对x ∈（0，+∞）恒成立，只需．因为，当且仅当时取等，所以．（2）设g （x ）=f （x ）﹣mx=x 2﹣mlnx ﹣mx ，依题意，g （x ）=0有唯一解．，由x ＞0，m ＞0，解得（舍），．当x ∈（0，x 2）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（0，x 2）上单调递减； 当x ∈（x 2，+∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）在（x 2，+∞）上单调递增． 所以g （x ）min =g （x 2）．因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，则有即两式相减并化简得2lnx 2+x 2﹣1=0．设h （x ）=2lnx+x ﹣1，易知h （x ）在（0，+∞）上是增函数，且h （1）=0， 则h （x ）=0恰有一解，即x 2=1， 代入g （x 2）=0得m=1．【点评】本题主要考察导数的综合应用．第1问是基础题，第2问构造函数是解题的关键，综合性很强，难度较大21．（12分）（2016秋•贵州月考）平面直角坐标系的原点为O ，椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，直线PQ 过F 交椭圆于P ，Q 两点，且|PF|max •|QF|min =．（1）求椭圆的长轴与短轴之比；（2）如图，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于D ，E 两点，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的性质可知|PF|max =a+c ，|QF|min =a ﹣c ，可知，求得a 2=4b 2，长轴与短轴之比为2a ：2b=2；（2）设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣c ），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M 点坐标，由MD ⊥PQ ，可知：，求得D 点坐标，根据三角形相似，可知：=，代入即可求得的取值范围．【解答】解：（1）设F （c ，0），则|PF|max =a+c ，|QF|min =a ﹣c ，…（2分） 则有，由b 2=a 2﹣c 2， ∴a 2=4b 2，…（3分）∴长轴与短轴之比为2a ：2b=2．…（4分）（Ⅱ）由a ：b=2，可设椭圆方程为．依题意，直线PQ 存在且斜率不为0，设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣c ），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），…联立得（4k 2+1）x 2﹣8k 2cx+4k 2c 2﹣4b 2=0，得．…（6分）∴，…（7分）∴．…（8分），0），∵MD⊥PQ，设D（x3∴，解得．…（9分）∵△DMF∽△DOE，∴，的取值范围（，+∞）．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线垂直的充要条件，韦达定理及三角形相似综合应用，考查计算能力，属于中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016秋•贵州月考）在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化，可得圆P和圆Q的极坐标方程，联立求出这两圆的交点M，N的极坐标；（2）求出M，N的直角坐标，可得这两圆的公共弦MN的参数方程．【解答】解：（1）圆P的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=3，…（1分）圆Q的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ=3．…（2分）联立解得，cosθ=0，…（3分）所以M，N的极坐标分别为，．…注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．（2）M，N的直角坐标分别为，，…（7分）所以公共弦MN的参数方程为．…（10分）【点评】本题以圆的方程为载体，考查极坐标方程，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•贵州月考）（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数y=2+4的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（1）利用作差法，即可证明不等式；（2）利用柯西不等式，可得，即可得出结论．【解答】（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2d2+b2c2﹣2adbc…（2分）=（ad﹣bc）2≥0，…（4分）当且仅当ad﹣bc=0时，等号成立．…（2）解：函数的定义域为[3，5]，且y＞0，…（6分）则…（8分）=，…（9分）当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值．…（10分）【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，属于中档题．。
贵阳市2018届高三数学上学期适应性月考试题(一)文
2018届高三上学期适应性月考（一）文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。
若集合{61}M x x =-<<，{33}N x x x =<->或，则M N =（ ）A ．{13}x x x <->或B ．{63}x x -<<-C ．{31}x x -<<D ．{13}x x <<2。
设复数z 满足243z i i -=+，则z =（ ）A ．44i +B ．44i -C ．22i -D ．22i + 3.设向量,a b 满足2a b •=，7a b -=，则a b +=（ ）AB ．11CD ．154.若1tan()3αβ-=，1tan 4β=,则tan 2α=（ )A ．7736B ．7785C. 117D ．7115.执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b k 分别为0,2，4，则输出的p =（ ）A ．32B ．5C 。
73D ．1966.已知事件“在正方形ABCD 的边CD 上随机了一点P ,使ABP ∠为三角形APB 中最大角”发生的概率为（ ）A ．12B ．14C 。
13D ．237。
若一正方体的体积为27,则其外接球的表面积为（ ） A ．9π B ．12π C 。
2732D ．27π 8.已知圆22:(1)(3)9C x y -+-=的圆心C 在直线l 上，且l 与直线20x y +-=平行,则l 的方程是（ ）A ．40x y +-=B ．40x y ++= C. 20x y --= D ．20x y -+= 9。
设函数21()ln(1)1f x x x=-++,则不等式(1)(32)f f x <+的解集是（ ） A ．1(,1)(,)3-∞--+∞ B ．1(,)3-+∞ C. (1,)-+∞ D ．1(1,)3-- 10.若变量,x y 满足条件3372x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22(3)x y +-的最小值是（ ）A ．13B ．18 C. 20 D ．2611.在等差数列{}na 中,若0na>，且52a =，则2819a a +的最小值为（ ）A ．4B ．6 C.8 D ．16 12。
2018高考适应性模拟考试数学文科答案
由 c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴
=a2+b2+ab≥3ab，
当且仅当 a=b 时取等号， ∴ab≥12， 故 ab 的最小值为 12． 18．解：（1）按分层抽样男生应抽取 80 名，女生应抽取 20 名； ∴x=80﹣（5+10+15+47）=3， y=20﹣（2+3+10+2）=3； 抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为 A，B，C； 两位女生设为 a，b；从 5 名任意选 2 名，总的基本事件有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 个； 设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件 A”； 则事件包含的基本事件有 Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb 共 6 个； ∴P（A）= = ；
∴直线 AB 的方程为
，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线 AB 上的点 P（x，y），
则 bx=ay﹣ab，x= y﹣a，
∵PF1⊥PF2，则 • =（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（ ）2+y2﹣c2，
令 f（y）=（ ）2+y2﹣c2，则 f′（y）=2（ y﹣a）× +2y，
．
由 2 = ，可得 2（ ﹣c）=
﹣c，
即为 ﹣c=
，
由 e= ，可得 ﹣1=
，
即有 e4﹣5e2+4=0，解得 e2=4 或 1（舍去）， 即为 e=2，即 c=2a，b= a， 可得渐近线方程为 y=± x， 故答案为：y=± x．
三、解答题
17．解：（1）由正弦定理可知： =
=
=2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考(一)数学(
贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意得{|}{|}{61333|}6MN x x x x x x x =<<<-><---=<或，故选B ．2．由2i 43i z -=+，得22i z =+，∴22i z =-，故选C ． 3．因为||=-a b ，所以2||7=-a b ，即2227-+=a a b b ．又因为2=a b ，∴22215+=+a a b b ，||+a b C ．4． tan tan () []ααββ=-+=tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--117341111134+==-，22tan 77tan 21tan 36ααα==-，故选A ．5．第一次循环：1412p a b n ====，，，；第二次循环：6263p a b n ====，，，；第三次循环：7712433p a b n ====，，，，终止循环，则输出73p =，故选C ．6．在正方形ABCD 中，当点P 为CD 中点时，三角形APB 为等腰三角形，故∠ABP 为最大角的概率为12，故选A ． 7．由题可知正方体的棱长为3，其体对角线即为球的直径，所以球的表面积为24ππ=27R ，故选D ．8．依题意，得直线l 过点(1，3)，斜率为1-，所以直线l 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=，故选A ．9．由21()ln(1)1||f x x x =-++，知f (x )为R 上的偶函数，当0x >时， f (x )在(0，+∞)上为减函数，则12|3|x >+，解得113x -<<-，故选D ．10．满足条件3372x y x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，，≥≤≥ 的可行域为如图1所示三角形ABC （包括边界）．22(3)x y +-是可行域上动点(x ，y )到点P (0，3)距离图1的平方，因为过P 垂直于AC 的直线与AC 的交点在线段AC 上，22(3)x y +-取最小值，为点P 到线段AC 的距离的平方为18，故选B ． 11．因为52a =，所以284a a +=，所以82282828289191191()1044a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4≥，故选A ．12．令()()f x g x x =，则2()()1()()()xf x f x f x g x f x x x x '-⎡⎤''==-⎢⎥⎣⎦，因为()()0f x f x x'->，0x >， 所以()0g x '>，则()g x 在*R 为增函数，所以(4)(3)g g >，即(4)(3)43f f >，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13． 8816853515111+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第二个数是16351．用此规律可得出1676333515515+=-=⨯=÷=； ； ； ；所以第三个数是73155．14．（1）“过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直”是真命题；（2）“如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行”是假命题；（3）“两两相交且不过同一点的三条直线不一定共面”是假命题；（4）“垂直于同一平面的两平面平行” 是假命题．15．画出2310()240x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩，，，≤的图象，如图2，由函数()f x m =有3个不等实根，结合图象得：02m <<，即)2(0m ∈，． 16．设M 坐标为(x ，y )，则222212()()3F M F M x c y x c y x c y c =+-=-+=，，①，将22222b y b x a =- 代入①式解得222222222(4)(5)c b a c a a x c c --==，又x 2∈[0，a 2]，∴221154c a ≤≤，∴12c e a ⎤=∈⎥⎣⎦，． 图2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为||6AB =， 且||AP ∶|12|PB =， 所以42||BP PA ==，||.在△PBC 中，4||120BP PC PBC ==∠=︒，. 又因为222||||||2||||cos PC PB BC PB BC PBC =+∠-， 即212816||||242BC BC ⎛⎫=+⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭-，解得||2BC =或||6BC =-(舍)，所以222||||||cos2||||BP PC BC BPC BP PC +-∠===⨯⨯ ……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos BPC ∠=所以sin 14BPC ∠=， 所以sin sin π s in ()()APD BPC CPD BPC CPD ∠=-∠-∠+∠=∠12+=所以cos APD ∠=，所以PD =． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50656+=． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人． ……（8分）（Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ，则7人中任选两人共有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种．两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种． 所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121． ……………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为平面KBC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面KBC ，又因为BF 在平面KBC 上， 所以BF ⊥AC ．又因为△KBC 是正三角形，且F 为CK 的中点， 所以BF ⊥KC ．所以BF ⊥平面KAC ． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为112EFB S ==△， 又因为AC ⊥平面KBC ，DF//AC ， 所以DF ⊥平面KBC ． 又因为1322DF AC ==，所以113||332F BDE D EFB EFB V V S DF --==⨯==△ ………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为12c e a ==，又因为12122PF F c S b bc ===△，两式联立解得2a b ==，所以P 点坐标（2 …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为22+143x y =，设Q (x 0，y 0)，则002QA y k x =+，直线QA 方程为00(+22)y y x x =+， 令x m =得M 点坐标为00(2)2m y m x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，，同理002QB y k x =-，直线QB 方程为0(2)2y y x x =--， 得N 点坐标为00(2)2m y m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，∴1122000220(2)(2)22(4)11(1)(4)MF NF m y m y x x m y k k m m m x +-+--==+++-， 又Q (x 0，y 0)在椭圆上，∴22200020314344x y y x +=⇒=--， ∴1122431(1)4MF NF m k k m -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭， 解得4m =-，所以存在实数4m =-，使得MF 1⊥NF 1． ……………………………（12分）21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：函数22ln ()xf x x +=的定义域为{x |x >0}． 因为32ln 3()(0)x f x x x --'=>． 令)0(f x '=，解得32e x -=． 当0<x<32e -时，)0(f x '>， 当32e x ->时，()0f x '<，所以332(e e )2f -=为f (x )的极大值，也是最大值，32e a -=． ………………………（6分）（Ⅱ）证明：令ln 3()x g x x --=，得22ln ()xg x x+'=，因为14(2ln 2)4(1)22f f ⎛⎫=⨯->= ⎪⎝⎭，，且由（Ⅰ）得，f (x )在112⎛⎫⎪⎝⎭，内是减函数， 所以存在唯一的x 0∈112⎛⎫⎪⎝⎭，，使得004()()g x f x =='． 所以曲线ln 3x y x --=在(+)a ∞，上存在以(x 0，g (x 0))为切点，斜率为4的切线． 由00202ln ()4x g x x +'==得0000ln 24x x x x -=-， 所以000000231()44g x x x x x x =--=--. 因为x 0∈112⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以00()54()y g x ∈--，=． ………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ=，直线l的直角坐标方程：30y +-=．曲线C：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，， (α为参数)， 消去参数可得曲线C的普通方程为：22(()29x y +-+=． …………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D(2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =， 又因为3DA =，所以MA，所以||AB =10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………………（5分）（Ⅱ）利用图象可得533a-<<-．…………………………………………………（10分）。
贵州省2018届高三下学期普通高等学校招生适应性考试数学(文)试卷(含答案)
贵州省2018年普通高等学校招生适应性考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|25}A x x =-<<，{1}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．(2,1)-B ．(0,1]C ．[1,5)D ．(1,5) 2.在复平面内，复数1iz i=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n 的值为8，则输出n 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 满足2BC BE =u u u r u u u r ，则AE AB ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．1B ．3C 10．925.已知函数(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩是R 上的偶函数，则(3)g =（ ）A ．5B ．-5C ．7D ．-76.30x y -=与抛物线212y x =的一个交点为A （不与原点重合），则直线到抛物线焦点的距离为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．127.为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕，213h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ）A ．01100B ．11010C ．10110D ．11000 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9.函数()sin 22f x x x =图象的一个对称中心是（ ） A ．7(,0)12π B ．(,0)2π C ．(,0)3π D ．(,0)12π10.在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形11.已知点F 为双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 是双曲线右支上的一点，O 为坐标原点，若2FP OF =，120OFP ∠=o ，则双曲线C 的离心率为（ ）A1 B．12 C．12D1 12.设函数()(12)xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()f x a >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．253(,)32e e B ．3(,1)2e C ．3[,1)2e D ．253[,)32e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =-+的最大值为 ．14.将一枚质地均匀的骰子（各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）连续抛掷两次，记面朝上的数字依次为a 和b ，则2b a >的概率为 ．15.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 ．16.已知数列{}n a 对任意*n N ∈，总有1221n a a a n ⋅⋅⋅=+成立，记124(1)(21)n nn n a b n +⋅=-+，则数列{}n b 前2n 项和2n T = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，D 为BC 的中点，2AD =，求ABC ∆的面积.18.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公共站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，是共享经济的一种新形态.某共享单车企业在A 城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表： 租用单车数量x （千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元）3.22.421.91.5根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数： 模型甲：$()1 4.80.8y x =+，模型乙：$()226.41.6y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注：$i ii e y y =-$，i e $称为相应于点(,)i i x y 的残差）； 租用单车数量x （千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元）3.22.421.91.5模型甲估计值$()1i y2.4 2 1.8 1.4 残差()1i e$ 0 0 0.1 0.1 模型乙估计值$()2i y 2.3 2 1.9 残差()2i e $0.1②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这家企业在A 城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润=收入-成本）19.在三棱锥S ABC -中，60SAB SAC ∠=∠=o ，SB AB ⊥，SC AC ⊥.（1）求证：BC SA ⊥； （2）如果2SA =，2BC =S ABC -的体积.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,2)P -.（1）求椭圆C 的方程；（2）1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆228x y +=于A ，B 两点，2l 交椭圆C 于另一个点D ，求ABD ∆面积取得最大值时直线1l 的方程. 21.已知函数()ln 1f x x ax =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若(0,1)a ∈，求证：()xf x e ax a <--（e 为自然对数的底数）.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1cos 2sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的方程为)3πρθ=+.（1）求1C 与2C 交点的直角坐标；（2）过原点O 作直线l ，使l 与1C ，2C 分别相交于点A ，B （A ，B 与点O 均不重合），求AB 的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数1()f x x x a a=++-. （1）若2a =，求不等式9()2f x ≥的解集； （2）若对任意的x R ∈，任意的(0,)a ∈+∞恒有()f x m >，求实数m 的取值范围.贵州省2018年普通高等学校招生适应性考试文科数学参考答案一、选择题1-5: CACAB 6-10: BDBCD 11、12：BD二、填空题13. 2 14.16 15. 254π 16. 441n n + 三、解答题17.解：（1）∵cos (2)cos a C b c A =-， ∴sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-， ∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=， ∴sin()2sin cos A C B A +=， 又A B C π++=，∴sin 2sin cos B B A =，sin 0B >， ∴1cos 2A =，()0,A π∈， ∴3A π=.（2）∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，∴221414044b c +-+-+=，∴2210b c +=， 又2222cos b c bc A a +-=，224b c bc +-=，∴6bc =，∴11sin 62222S bc A ==⨯⨯=. 18.解：（1）①经计算，可得下表：（元）模型甲估计值$()1i y 3.2 2.4 2 1.8 1.4 残差()1i e $ 0 0 0 0.1 0.1 模型乙估计值$()2i y3.2 2.3 2 1.9 1.7 残差()2ie$0.1-0.2②2210.10.10.02Q =+=，2220.1(0.2)0.05Q =+-=，因为12Q Q <，故模型甲的拟合效果更好.（2）若投放量为1万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为4.80.8 1.2810+=（元）， 这样一天获得的总利润为(7.2 1.28)1000059200-⨯=（元）， 若投放量为1.2万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为4.80.8 1.212+=（元）， 这样一天获得的总利润为(6.8 1.2)1200067200-⨯=（元）， 因为6720059200>，所以选择投放1.2万辆能获得更多利润.19.解：（1）取线段BC 的中点M ，连接AM ，SM .由平面几何知识可知SAB SAC ∆≅∆， 于是AB AC =，SB SC =，从而BC AM ⊥，BC SM ⊥， 即有BC ⊥平面SAM ，故BC SA ⊥.（2）在直角SAB ∆中，2SA =，60SAB ∠=o， 有1AB =，3SB =同理1AC =，3SC =而BC =222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥，在SAM ∆中，2SA =，2AM =，SM =， 于是，222cos 2SA AM SM SAM SA AM+-∠=⋅=，45SAM ∠=o ， 所以，1sin 452SAM S SA AM ∆=⋅⋅o 1122222=⨯⨯=， 由（1）可知BC ⊥平面SAM ， 三棱锥S ABC -的体积1113326SAM V S BC ∆=⋅⋅=⨯=. 20.解：（1）由题意得22222b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22184x y +=. （2）由题知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ，则1l ：2y kx =-.若0k =时，直线1l 的方程为2y =-，2l 的方程为0x =，易求得4AB =，4DP =，此时182ABD S AB DP ∆=⋅=. 若0k ≠时，则直线2l ：12y x k=--.圆心(0,0)到直线1l的距离为d =.直线1l 被圆228x y +=截得的弦长为AB ==由2212184y x kx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22(2)80k x kx ⇒++=， 得282D P kx x k +=-+，故DP =22k =+.所以1122ABDS AB DP ∆=⋅=2222k k ⋅=++232==+323=≤=1k =⇒=±时上式等号成立.因为8<， 所以ABD ∆面积取得最大值时直线1l 的方程应该是2y x =±-. 21.解：（1）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， 当0a ≤时，'()0f x >，函数()ln 1f x x ax =-+在()0,+∞单调递增， 当0a >时，1(0,)x a∈时'()0f x >，1(,)x a∈+∞时'()0f x <，()ln 1f x x ax =-+在1(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 只有增区间为()0,+∞. 当0a >时，()f x 的增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞.（2）()xf x e ax a <--等价于ln 10xe x a --->.令()ln 1xg x e x a =---，而1'()x g x e x=-在()0,+∞单调递增，且'(1)10g e =->，121'()202g e =-<.令'()0g t =，即1(01)t e t t=<<，ln t t =-，则()0,x t ∈时'()'()0g x g t <=，(),x t ∈+∞时'()'()0g x g t >=， 故()g x 在()0,t 单调递减，在(),t +∞单调递增，所以()()ln 1tg x g t e t a ≥=---112110t a a a t=+--≥--=->. 即()xf x e ax a <--.22.解：（1）曲线1C的直角坐标方程为220x y x +-+=， 曲线2C的直角坐标方程为2230x y x +--=.联立2222030x y x x y x ⎧+-+=⎪⎨+--=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1C 与2C 交点的直角坐标为(0,0)和3(,2. （2）曲线1C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+.设直线l 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=≤<∈. 则点A 的极坐标为(2cos(),)3παα+，点B的极坐标为),)3παα+.所以)2cos()33AB ππαα=+-+4sin()6πα=+.当3πα=时，AB 取得最大值，最大值是4.此时，A ，B 与点O 均不重合.23.解：（1）2a =，9()2f x ≥即19222x x ++-≥，则2319()(2)22x x x x ≥⎧⎪⇒≥⎨++-≥⎪⎩， 或12219()(2)22x x x x φ⎧-≤<⎪⎪⇒∈⎨⎪+--≥⎪⎩， 或132192()(2)22x x x x ⎧<-⎪⎪⇒≤-⎨⎪-+--≥⎪⎩， 所以9()2f x ≥的解集为[)33,,2⎛⎤+∞⋃-∞- ⎥⎝⎦. （2）11()f x x x a a a a =++-≥+， 又0a >，∴112a a a a +=+≥=. 当且仅当1a =时等号成立，所以2m <.。
2018年贵州省普高等学校招生适应性考试数学（文）试题（解析版）
2018届贵州省普高等学校招生适应性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|25}A x x =-<<， {|B x y ==，则A B ⋂=（ ）A. ()2,1-B. (]0,1C. [)1,5 D. ()1,5 【答案】C【解析】由题意得： {|25}A x x =-<<， {|1} B x x =≥ ∴A B ⋂= [)1,5 故选：C2．在复平面内，复数1iz i=+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】()()()111112i i i iz i i i -+===++-， ∴z 在复平面内对应的点为1122⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限，故选：A ．3．阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n 的值为8，则输出n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】第一次n =8，8不能被3整除，n=8﹣1=7，n=7≤3不成立， 第二次n =7，不能被3整除，n=7﹣1=6，n=63=2≤3成立， 输出n=2，故选：C ．点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S 的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长； （5）输出累加（乘）值．4．在矩形ABCD 中， 1AB =， 2AD =，点E 满足2BC BE = ，则AE AB ⋅的值为（ ）A. 1B. 3C.D.92【答案】A【解析】由四边形ABCD 为矩形，由数量积几何意义知：()21AE AB AB⋅== .故选：A5．已知函数()(),0{21,0g x x f x x x >=+≤是R 上的偶函数，则()3g =（ ）A. 5B. -5C. 7D. -7 【答案】B【解析】∵函数()(),0{21,0g x x f x x x >=+≤是R 上的偶函数，∴()()33615g f =-=-+=- 故选：B60y -=与抛物线212y x =的一个交点为A （不与原点重合），则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B【解析】联立方程： 20 12y y x-==，得到： 2312x x =，∴40x =或（舍）∴(4,A ，又焦点F ()3,0∴AF 7==故选：B7．为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕，213h h a =⊕， ⊕运算规则为： 000⊕=， 011⊕=， 101⊕=， 110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ） A. 01100 B. 11010 C. 10110 D. 11000 【答案】D【解析】A 选项原信息为110，则112h a a =⊕=1⊕1=0， 213h h a =⊕=0⊕0=0，所以传输信息为01100，A 选项正确；B 选项原信息为101，则112h a a =⊕=1⊕0=1， 213h h a =⊕=1⊕1=0，所以传输信息为11010，B 选项正确；C 选项原信息为011，则112h a a =⊕=0⊕1=1， 213h h a =⊕=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项正确；D 选项原信息为100，则112h a a =⊕=1⊕0=1， 213h h a =⊕=1⊕0=1，所以传输信息为11001，D 选项错误； 故选：D ．8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵111313a S ==,∴a 1+10d =13a 1+13122⨯d =13， 解得a 1=−17，d =3. 则a 9=−17+8×3=7. 故选：B.9．函数()sin2f x x x =图象的一个对称中心是（ ） A. 7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】f （x ）（12sin2x+）=2sin （2x+3π）， f （712π）732sin22sin 21232πππ=⨯+==-，A 错误；f （2π）2sin22sin 233πππ=⨯+=-=B 错误；f （3π）2sin22sin π033ππ=⨯+==，C 正确；f （12π）2sin22sin 21232πππ=⨯+==，B 错误； 故选：C10．在正方体1111ABCD A BC D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形1AEC F 一定为菱形B. 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形C. 四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD. 四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选：D11．已知点F 为双曲线C ： 22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 是双曲线右支上的一点， O 为坐标原点，若2FP OF =， 120OFP ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.1 B.C. D. 1 【答案】B【解析】设左焦点为F '由题意可得FP =| FF '|=2c ， OFP ∠ =120°， 即有|P F '|2=|P F |2+| F F '|2﹣2|P F |•| F F '|cos OFP ∠ =4c 2+4c 2﹣2•4c 2•（﹣12）=12c 2，即有|P F '，由双曲线的定义可得|P F '|﹣|PF|=2a ，即为﹣2c=2a ，即有a ，可得e=c a =．故答案为：． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．设函数()()12xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得()0f x a >，则实数a 的取值范围是（ ）A. 253,32e e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 3,12e ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】设g （x ）=e x（2x ﹣1），y=ax ﹣a ，由题意知存在唯一的负整数x 0使得g （x 0）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵g′（x ）=e x（2x ﹣1）+2e x=e x（2x+1）， ∴当x ＜﹣12时，g′（x ）＜0，当x ＞﹣12时，g′（x ）＞0， ∴当x=﹣12时，g （x ）取最小值﹣212e -，直线y=ax ﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a ，故﹣a ＞g （0）=﹣1且g （﹣1）=﹣3e ﹣1<﹣a ﹣a ，g （﹣2）= 252a a e-≥-- 解得：253e ≤a ＜32e故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．若x ， y 满足约束条件0{0 1x y x y y -≤+≥≤，则21z x y =-+的最大值为__________．【答案】2【解析】如图作出可行域：令2t x y =-，即2x t y =-当直线2x t y =-经过B 点时，纵截距最小，即t 最大，此时t 211=-= 即21z x y =-+的最大值为2 故答案为：214．将一枚质地均匀的骰子（各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）连续抛掷两次，记面朝上的数字依次为a 和b ，则2b a >的概率为__________． 【答案】16【解析】基本事件共6×6个，∵2b a >， ∴（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1、6）、（2，5）、（2，6）共6个，故概率为636=16． 故答案是: 16．15．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为__________．【答案】254π【解析】由已知中正视图，俯视图是等腰三角形,侧视图为直角三角形, 如图可得该几何体是有一个侧面PAC 垂直于底面,高为2，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，则这个几何体的外接球的球心O 在高线PD 上， 这个几何体的外接球的直径2R =AC 254sin APC 25∠==.则这个几何体的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×254⎛⎫ ⎪⎝⎭=254π.故答案为：254π. 点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 16．已知数列{}n a 对任意*n N ∈，总有1221n a a a n ⋅⋅⋅=+成立，记()()124121n nn n a b n +⋅=-+，则数列{}n b 前2n 项和2n T =__________．【答案】441nn + 【解析】1221n a a a n ⋅⋅⋅=+ ① 当n=1时，a 1=3，当n ≥2时， 121n a a a -⋅⋅⋅=2n ﹣1…② ①②两式相除得()21221n n a n n +=≥- 因为当n=1时，a 1=3适合上式，所以()*2121n n a n N n +=∈-．()()()()111244111(1)(1)2121212121n n n nn n a n b n n n n n +++⋅⎛⎫=-==-=-+ ⎪-+-+⎝⎭+,∴21211111111(1)335574141n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1414141n n n =-=++. 故答案为： 441nn +三、解答题17．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知()c o s 2c o s a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若2a =， D 为BC 的中点， 2AD =，求ABC ∆的面积.【答案】(1) 3A π=;(2). 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理及两角和正弦公式可得： 1cos 2A =，从而得到角A 的大小；（2）由A D BA D C π∠+∠=，结合余弦定理可知：221414044b c +-+-+=，得到2210b c +=，又2222cos b c bc A a +-=，求出bc 的值，即可定出ABC ∆的面积. 试题解析：（1）∵()cos 2cos a C b c A =-， ∴sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-， ∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=， ∴()sin 2sin cos A C B A +=， 又A B C π++=，∴sin 2sin cos B B A =， sin 0B >， ∴1cos 2A =， ()0,A π∈， ∴3A π=.（2）∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，∴221414044b c +-+-+=，∴2210b c +=， 又2222cos b c bc A a +-=， 224b c bc +-=， ∴6bc =，∴11sin 622S bc A ==⨯=. 18．共享单车是指企业在校园、地铁站点、公共站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，是共享经济的一种新形态.某共享单车企业在A 城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表：根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：模型甲： ()1 4.8.8ˆ0yx=+，模型乙： ()226.4.ˆ16y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注： ˆˆi i i ey y =-， ˆi e 称为相应于点(),i i x y 的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ， 2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这家企业在A 城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润=收入-成本）【答案】(1)见解析;(2)选择投放1.2万辆能获得更多利润. 【解析】试题分析：（1）①通过计算填写表中数据即可；②计算模型甲、乙的残差平方，比较即可得出结论；（2）计算该城市投放共享单车为1万辆和1.2万辆时，该公司一天获得的总利润是多少，比较得出结论． 试题解析：（1）①经计算，可得下表：②2210.10.10.02Q =+=， ()2220.10.20.05Q =+-=，因为12Q Q <，故模型甲的拟合效果更好.（2）若投放量为1万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为4.80.8 1.2810+=（元）， 这样一天获得的总利润为()7.2 1.281000059200-⨯=（元）， 若投放量为1.2万辆，由（1）模型甲可知，每辆车的成本为4.80.8 1.212+=（元）， 这样一天获得的总利润为()6.8 1.21200067200-⨯=（元）， 因为6720059200>，所以选择投放1.2万辆能获得更多利润.19．在三棱锥S ABC -中， 60SAB SAC ∠=∠= ， SB AB ⊥， SC AC ⊥.（1）求证： BC SA ⊥；（2）如果2SA =， BC =S ABC -的体积.【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析：（1）要证BC SA ⊥，即证BC ⊥平面SAM ，即证BC AM ⊥， BC SM ⊥；（2）利用割补的方式表示体积，即三棱锥S ABC -的体积13S A M V S B C ∆=⋅⋅. 试题解析：（1）取线段BC 的中点M ，连接AM ， SM .由平面几何知识可知SAB SAC ∆≅∆， 于是AB AC =， SB SC =，从而BC AM ⊥， BC SM ⊥， 即有BC ⊥平面SAM ，故BC SA ⊥.（2）在直角SAB ∆中， 2SA =， 60SAB ∠= ， 有1AB =，SB =同理1AC =，SC =而BC =222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥， 在SAM ∆中， 2SA =，2AM =，2SM =， 于是， 222cos 2SA AM SM SAM SA AM +-∠=⋅=， 45SAM ∠= ，所以， 1sin452SAM S SA AM ∆=⋅⋅11222=⨯=， 由（1）可知BC ⊥平面SAM ， 三棱锥S ABC -的体积1113326SAM V S BC ∆=⋅⋅=⨯=. 20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,2P -（1）求椭圆C 的方程；（2）1l ， 2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆228x y +=于A ， B 两点，2l 交椭圆C 于另一个点D ，求ABD ∆面积取得最大值时直线1l 的方程.【答案】(1) 22184x y +=;(2) 2y x =±-. 【解析】试题分析：(1)由条件布列关于a b ，的方程组，得到椭圆C 的方程；（2）设1l ：2y kx =-，分类0k 0k =≠和，联立方程，利用根与系数关系表示面积，ABDS ∆=. 试题解析：（1）由题意得2222{ b c a a b c ===+，解得{2 2a b c ===，所以椭圆方程为22184x y +=. （2）由题知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ，则1l ： 2y kx =-.若0k =时，直线1l 的方程为2y =-， 2l 的方程为0x =，易求得4AB =，4DP =，此时182ABD S AB DP ∆=⋅=. 若0k ≠时，则直线2l ： 12y x k=--.圆心()0,0到直线1l的距离为d =.直线1l 被圆228x y +=截得的弦长为AB ==.由2212{ 184y x kx y =--+= ()22280k x kx ⇒++=， 得282D P kx x k +=-+， 故DP ==.所以1122ABDS AB DP ∆=⋅==232==323=≤=.1k =⇒=±时上式等号成立.因为8<， 所以ABD ∆面积取得最大值时直线1l 的方程应该是2y x =±-.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 21．已知函数()ln 1f x x ax =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0,1a ∈，求证： ()xf x e ax a <--（e 为自然对数的底数）.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：(1) ()11'(0)axf x a x x x-=-=>，对a 分类讨论，得到函数()f x 的单调区间；(2) ()xf x e ax a <--等价于ln 10x e x a --->，令()ln 1xg x e x a =---，求出其最小值，并证明其大于零即可. 试题解析： （1）()11'(0)axf x a x x x-=-=>， 当0a ≤时， ()'0f x >，函数()ln 1f x x ax =-+在()0,+∞单调递增， 当0a >时， 10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0f x >， 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()'0f x <， ()ln 1f x x ax =-+在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.综上所述，当0a ≤时， ()f x 只有增区间为()0,+∞. 当0a >时， ()f x 的增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）()xf x e ax a <--等价于ln 10xe x a --->.令()ln 1xg x e x a =---，而()1'xg x e x =-在()0,+∞单调递增，且()'110g e =->， 121'202g e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.令()'0g t =，即1(01)te t t=<<， ln t t =-，则()0,x t ∈时()()''0g x g t <=， (),x t ∈+∞时()()''0g x g t >=， 故()g x 在()0,t 单调递减，在(),t +∞单调递增，所以()()ln 1tg x g t e t a ≥=--- 112110t a a a t=+--≥--=->.即()xf x e ax a <--.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12{ 2x cos y sin αα=+=-+（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为s i n 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求1C 与2C 交点的直角坐标；（2）过原点O 作直线l ，使l 与1C ， 2C 分别相交于点A ， B （A ， B 与点O 均不重合），求AB 的最大值.【答案】(1) ()0,0和3,2⎛ ⎝⎭.(2)4. 【解析】试题分析：(1)把曲线1C 的参数方程与曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，解出交点即可；(2) 设直线l 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=≤<∈.则点A 的极坐标为2c o s ,3παα⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点B 的极坐标为,3i n παα⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 4sin 6AB πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据正弦函数的有界性求最值即可.试题解析：（1）曲线1C的直角坐标方程为220x y x +-=， 曲线2C的直角坐标方程为2230x y x +-=.联立22220{30x y x x y x +-+=+--=，解得0{x y ==或32{x y ==.所以1C 与2C 交点的直角坐标为()0,0和3,2⎛⎝⎭. （2）曲线1C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 设直线l 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=≤<∈. 则点A 的极坐标为2cos ,3παα⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点B的极坐标为,3παα⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以233AB cos ππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 6πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当3πα=时， AB 取得最大值，最大值是4.此时， A ， B 与点O 均不重合.23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x x a a=++-. （1）若2a =，求不等式()92f x ≥的解集； （2）若对任意的x R ∈，任意的()0,a ∈+∞恒有()f x m >，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) [)33,,2⎛⎤+∞⋃-∞- ⎥⎝⎦;(2) 2m <.【解析】试题分析：(1)对x 分类讨论，转化为三个不等式组，分别求解，最后取并集即可；（2）()112f x x x a a a a=++-≥+≥，故2m < 试题解析：（1）2a =， ()92f x ≥即19222x x ++-≥， 则()2{ 319222x x x x ≥⇒≥⎛⎫++-≥⎪⎝⎭，或()122{19222x x x x φ-≤<⇒∈⎛⎫+--≥⎪⎝⎭， 或()123{192222x x x x <-⇒≤-⎛⎫-+--≥⎪⎝⎭，所以()92f x ≥的解集为[)33,,2⎛⎤+∞⋃-∞- ⎥⎝⎦. （2）()11f x x x a a a a=++-≥+， 又0a >，∴112a a a a +=+≥=.当且仅当1a =时等号成立，所以2m <.点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法． 2．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .。
贵州省2018届高三高考模拟考试文科数学试卷
贵州省2018届高三高考模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =>，2{|40}B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(4,)+∞B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(0,2) 2.若a 为实数，i 是虚数单位，且22a ii i+=+，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．-2 D ．-13.已知向量,a b满足||a b +=，2a b =，则||a b -=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35727a a a ++=，则9S =（ ） A ．81 B ．79 C.77 D ．755.设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值是（ ）A ．-3B ．-6 C.15 D ．126.已知1sin 24α=，则2sin ()4πα+=（ ） A ．34 B ．38 C.58 D ．237. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1 C.-2 D ．-88.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为（ ）A ．16 B ．14 C.13 D ．129.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8+．6+ C.8+．6+ 10.函数1()sin()2f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．15(2,2)2424k k ππ-++，()k Z ∈ B ．15(,)122122k k-++，()k Z ∈ C. 11(2,2)123k k ππ-++，()k Z ∈ D ．15(,)242242k k-++，()k Z ∈ 11.若函数21()1f x nx x a e=-+有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1]-∞ C.[1,)-+∞ D ．[1,)+∞12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A．2 BC.3 D第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若实数x ，y 满足116x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．14.函数2()log 2xf x x -=-的零点个数是 ．15.直线20ax by -+=(0,0)a b >>与圆C ：22220x y x y ++-=交于两点A ，B ，当AB 最大时，14a b+的最小值为 ． 16.正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ，则这个四面体的棱长为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos 20A a B a --=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a c +的值. 18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人 参加比赛. （Ⅰ）求选出的2人都是高级导游的概率；（Ⅱ）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[30,50]（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[20,40]（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率.19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求点B 到平面PDE 的距离.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A .动直线l ：10()x my m R --=∈经过点2F ，且12AF F ∆是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 交C 于M 、N 两点，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值. 21.函数()ln xf x e a x b =--在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y =. （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）1x ∀≥，ln 0xex ke -≤成立，求实数k 的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(1,0)-，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为2ρ=.（Ⅰ）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：PA PB ⋅是与α无关的定值. 23.选修4-5：不等式选讲 设()221f x x x =-++. （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）[2,1]x ∀∈-，()2f x m -≤，求实数m 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题1-5:BDCAD 6-10:CBBAD 11、12：CA二、填空题13. 11 14. 2 15.9216. 4 13. 解：本题考查线性规划，答案为11．14. 解：由2()0|log |20x f x x -=⇒-=，得21|log |()2xx =在同一坐标系中作出2|log |y x =与1()2xy =的图象，可知交点个数为2，即()f x 的零点个数为2.15. 解：由已知，圆方程化为22(1)(1)2x y ++-=,所以圆心为(1,1),C r - 当||AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+= 所以14141419()(14)(522)2222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+⨯= 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b +的最小值为92.16. 解：设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径4R =外，r =内4a +=∴=． 三、解答题17. 解：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，因为sin 0A ≠ cos 20B B --=，即sin()1,6B π-=又5(0,),(,)666B B ππππ∈∴-∈-，62B ππ∴-=，所以23B π=.（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴=，由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即217()22()2a c ac ac =+--⋅-，即27()a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：1213111213,,,,A A A A A B A B A B ;23212223,,,A A A B A B A B ; 313233,,A B A B A B ; 1213,B B B B ;23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有2323,,A A A B 33A B ，共3种 所以选出的2人都是高级导游的概率为 31155p ==. (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈， 若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献， 则x y ≥，属于几何概型问题作图，由图可知 1,DEF ABCD S S S S ∆==，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯.19. (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,CE CD DE ===，得CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥ 又PCCD C =，故DE ⊥平面PCD ．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF ===，又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，PD =设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高，由B PDE P BDE V V --=得1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅， 即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，113h =⨯⨯，所以h =所以点B 到平面PDE.20. 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =，又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=，所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． (Ⅱ) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A ，若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅， 所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--=， 化简得121212()10x x y y y y +-++=①，由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=．所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++，21212222(1)(1)2m x x my my m -=++=+代入①中得2222221210222m mm m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m =. 因此所求m 的值为1-或3.21. 解：(Ⅰ)()xaf x e x'=-，依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 00e b a ee a b e⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln x f x e e x e =--，()xe f x e x'=-， 由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=， 故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．(Ⅲ) 由ln 0x ex ke -≤得1ln 0xx ke +-≤，所以1ln xxk e +≥， 设1ln (),1xxh x x e+=≥，只须max ()|k h x ≥， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立．即ln 11x x e e +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max1()(1)h x h e==， 故k 的取值范围是1[,)e+∞．22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+，圆C 的直角坐标方程为224x y +=．(Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=．故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) ．23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤， 故实数m 的取值范围是[4,5]．黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题1．解：由已知，{1,2,3,4,5,6},(){7,8}U AB AB =∴=ð，故选B. 2. 解：由已知得21(1)2122i i iz i i ---====-+，所以共轭复数z i =，虚部为1，故选D. 3. 解：从图表中看出，选项B 明显错误．4. 解：设{}n a 的公差为d ，由124a a +=得124a d +=，由3412a a +=得12512a d +=联立解得11,2a d ==，所以5612920a a a d +=+=，故选C.5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为高为4的三角形，其面积为 A.6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．故选B. 7. 解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，由1128282818-⨯=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==n n a q a q S ；)282(7118)18(2-⨯⨯=--⨯=n n n S ；所以)28(71)282(71-⨯=-⨯⨯=n n n a S ，即278+=n n S a .故选C. 8. 解： ①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9. 解：由已知，化简得()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，又l n ()y f x =与()y f x =的单调性相同且()0f x >，所以2(2,2],(,]()4288x k k x k k k Z ππππππππ+∈+∴∈-+∈，故选A.10. 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得1)y x =-代入抛物线方程24y x =化简得212131030,,33x x x x -+=∴==，所以1(,(3,33A B -，易知四边形AMNB 为梯形，故1(||||)||2AMNB S AM BN MN =+⋅1162339=⨯⨯=，故选D 11. 解：由已知，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0),(1,1),(0,1)B C D ，又2AQ QB =，所以4(,0)3Q 所以14413(,1)(,1)13399QC QD =-⋅-=+=，故选D. 12. 解：由已知得()(()())0m n f m f n -->，所以函数()f x 为“和谐函数”等价于()f x 在R 上为增函数，由此判断①()ln 25x f x =-在R 上为增函数，符合题意；②3()43f x x x =-++得2()34f x x '=-+，所以()f x 在R 上有增有减，不合题意；③()2(sin cos )f x x x =--得()2(cos sin )sin()]04f x x x x π'=+=-+≥，所以()f x 在R 上为增函数，符合题意；④ln ||,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B. 二、填空题13. 解：本题考查线性规划，答案为11．14. 解：由2()0|log |20x f x x -=⇒-=，得21|log |()2xx =在同一坐标系中作出2|log |y x =与1()2xy =的图象，可知交点个数为2，即()f x 的零点个数为2.15. 解：由已知，圆方程化为22(1)(1)2x y ++-=,所以圆心为(1,1),C r - 当||AB 最大时，直线经过圆心，所以20a b --+=，即2a b +=，即12a b+=所以14141419()(14)(522)2222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+⨯= 当且仅当4b a a b =且2a b +=时取等号，所以14a b +的最小值为9216. 解：设这个四面体的棱长为a ，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径R =外，r =内4a +=∴=． 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，因为sin 0A ≠ cos 20B B --=，即sin()1,6B π-=又5(0,),(,)666B B ππππ∈∴-∈-62B ππ∴-= 所以23B π=…………………（6分）（Ⅱ）由已知11sin 222ABC S ac B ac ac ∆===∴= 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即217()22()2a c ac ac =+--⋅-即27()a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c += …（12分） 18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的3名导游为123,,A A A ，其中23,A A 为高级导游， 来自乙旅游协会的3名导游为123,,B B B ，其中3B 为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：1213111213,,,,A A A A A B A B A B ;23212223,,,A A A B A B A B ; 313233,,A B A B A B ; 1213,B B B B ;23B B 共15种，其中选出的2人都是高级导游的有2323,,A A A B 33A B ，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为 31155p == ………………………（6分） (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则[30,50]x ∈且[20,40]y ∈，若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x y ≥，属于几何概型问题作图，由图可知 1,DEF ABCD S S S S ∆==，所求概率为1111010721120208S S S p S S ⨯⨯-==-=-=⨯ ……………………………（12分）19. (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,CE CD DE ==，得CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥ 又PCCD C =，故DE ⊥平面PCD ． …………………（6分）(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF === 又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，PD =设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高由B PDE P BDE V V --=得 1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅113h =⨯⨯，所以h =所以点B 到平面PDE的距离为22………………………………（12分） 20. 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2(,0)F c ，所以1c =，又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……（5分） (Ⅱ) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，易知(0,1)A若点A 在以线段MN 为直径的圆上，则AM AN ⊥，即0AM AN =⋅所以1122(,1)(,1)0x y x y -⋅-=，即1212(1)(1)0x x y y +--= 化简得121212()10x x y y y y +-++= ①由221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=．所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++ …………………………………………（8分） 21212222(1)(1)2m x x my my m -=++=+代入①中得2222221210222m mm m m --++=+++化简得2230m m --=，解得1m =-，或3m = 因此所求m 的值为1-或3 ……………………………………………（12分）21. 解：(Ⅰ)()xaf x e x'=-， 依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． …………………………………………………（4分） (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln x f x e e x e =--，()xe f x e x'=-，由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=，故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．…………………………………（8分）(Ⅲ) 由ln 0x ex ke -≤得1ln 0xx ke +-≤，所以1ln xxk e +≥设1ln (),1xxh x x e +=≥，只须max ()|k h x ≥， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立．即ln 11xx e e +≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max 1()(1)h x h e==， ， 故k 的取值范围是1[,)e+∞． …………………………………………………（12分）22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+ 圆C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………………（5分） (Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-． 由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=． 故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) ． ………………………………………………（10分）23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． …………………………………………………（5分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]． …………………………………………………（10分）。
贵州省2018适应性考试文科数学
模型甲: yˆ(1) 4.8 0.8 ,模型乙: yˆ(2) 6.4 1.6 .
正确的是
A.四边形 AEC1F 一定为菱形
B.四边形 AEC1F 在底面 ABCD 内的投影不一定是正方形
C.四边形 AEC1F 所在平面不可能垂直于平面 ACC1 A1
D.四边形 AEC1F 不可能为梯形
11.已知点 F 为双曲线 C : x2 y2 1 ( a b 0 )的右焦点,点 P 是双曲线右支上的一点, O 为坐标原点,若 | FP | a2 b2
11 0 .例如:原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则
下列接收信息出错的是
A.01100
B.11010
C.10110
D.11000
8.设 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和,且 a11 S13 13 ,则 a9
A.6
A.1
B.3
C. 10
D. 9
2
5.已知函数
f
(x)
g ( x), 2x 1,
x x
0, ≤0
是
R
上的偶函数,则
g (3)
A.5
B.-5
C.7
D.-7
6.已知直线 3x y 0 与抛物线 y2 12x 的一个交点为 A (不与原点重合),则 A 到抛物线焦点的距离为
A.6
, 则 数 列 {bn} 前 2n
项和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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贵州省贵阳市2018年高三适应性考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =>，2{|40}B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(4,)+∞B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(0,2) 2.若a 为实数，i 是虚数单位，且22a ii i+=+，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．-2 D ．-13.已知向量,a b 满足||23a b +=，2a b =，则||a b -=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35727a a a ++=，则9S =（ ） A ．81 B ．79 C.77 D ．755.设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值是（ ）A ．-3B ．-6 C.15 D ．126.已知1sin 24α=，则2sin ()4πα+=（ ） A ．34 B ．38 C.58 D ．237. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．0B ．-1 C.-2 D ．-88.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为（ ）A ．16 B ．14 C.13 D ．129.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．825+B ．625+ C.823+ D ．623+ 10.函数1()sin()2f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．15(2,2)2424k k ππ-++，()k Z ∈ B ．15(,)122122k k -++，()k Z ∈C. 11(2,2)123k k ππ-++，()k Z ∈D ．15(,)242242k k -++，()k Z ∈11.若函数21()1f x nx x a e=-+有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1]-∞ C.[1,)-+∞ D ．[1,)+∞12.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>与两条平行直线1:l y x b =+与2:l y x b =-分别相交于四点,,,A B D C ，且四边形ABCD 的面积为283b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．2 B ．2 C.3 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，则B = ．14.若命题:p x R ∀∈，2210x ax ++≥是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15.正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，则该四棱锥外接球的表面积为 ． 16.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句．据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是 ．（A 莎士比亚、B 雨果、C 曹雪芹，按顺序填写字母即可．）三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若公差0d ≠，510a =，且124,,a a a 成等比数列。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(1)(1)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++，求证：12n T <． 18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60),[90,100)的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 19.如图，棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，11,3,2AB AC BC BB ====．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求点D 到平面1ABC 的距离d ．20.设椭圆2222:1(0)8x y E a a a+=>-的焦点在x 轴上，且椭圆E 的焦距为4． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆外一点(,0)()M m m a >作倾斜角为56π的直线l 与椭圆交于,C D 两点，若椭圆E 的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围． 21.已知函数()1f x x nx =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若4()f x m k m≥+-对任意的[3,5]m ∈恒成立，求实数k 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑．22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，且与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C 与直线l 的普通方程； （Ⅱ）求AOB ∆的面积． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|,(0)f x m x m =-->，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥．参考答案一、选择题1-5:BDCAD 6-10:CBBAD 11、12：CA二、填空题13.3π14.[1,1]- 15.8π 16.,,C B A 三、解答题17.解：（Ⅰ）由题知：12111410(3)()a d a a d a d +=⎧⎨+=+⎩， 解之得：12,2a d ==，故2n a n = （Ⅱ）证明：∵1(1)(1)n n n b a a =-+1(21)(21)n n =-+111()22121n n =--+，∴12n n T b b b =+++=111111(1)23352121n n -+-++--+111(1)2212n =-<+． 18.解：（Ⅰ）由茎叶图知分值为[50,60)的人数为8人，则80.01610n⨯=，解得50n =，∴21050y ⨯=，解得0.004y =，0.10.0040.0100.0160.0400.030x =----=；（Ⅱ）[80,90)有5人，记为,,,,a b c d e ，[90,100)有2人，记为,f g ， ∴随机抽取2名同学的基本事件为,,,,,ab ac ad ae af ,,,,,ag bc bd be bf ,,,,,bg cd ce cf cg ,,,,,de df dg ef eg fg 共21种，2名同学来自不同组有,,,,,,,,,af ag bf bg cf cg df dg ef eg 共10种．∴2名同学来自不同组的概率1021． 19.（Ⅰ）证明：∵在底面ABCD 中，1AB =，AC =2BC =，即222BC AC AB =+，∴AB AC ⊥，∵侧棱1AA ⊥底面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴1AA AC ⊥， 又∵1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，∴AC ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）连接1,DB DC ，由（Ⅰ）知ABC ∆为直角三角形，且131322ABC S ∆=⨯⨯=， ∴1322ABC ABCDABC S S S ∆∆===， 又∵侧棱1CC ⊥底面ABCD ， ∴111333C ABD ABD V S CC -∆=⨯⨯=， ∵AB AC ⊥，1AB CC ⊥，1AC CC C =，∴AB ⊥平面1ACC ，且1AC ⊂平面1ACC ， ∴1AB AC ⊥， 又∵22117AC AC CC =+=，∴1171722ABC S ∆=⨯⨯=， ∴1113D ABC ABC V S d -∆=⨯⨯133C ABD V -==，解得2217d =20.解：（Ⅰ）∵椭圆2222:1(0)8x y E a a a+=>-的焦点在x 轴上，222a b c =+， ∴228a a >-，即24a >，又∵22(8)4a a --=∴26a =，所以椭圆方程为22162x y +=． （Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为56π， 所以直线l的斜率5tan6k π==， 所以直线l的方程为)(y x m m =->， 设1122(,),(,)C x y D x y ，由22)36y x m x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y 得222260x mx m -+-=， 所以12x x m +=，21262m x x -=，且22(2)8(6)0m m ∆=--->，即212m <， 因为椭圆的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部， 所以0FC FD <，即1212(2)(2)0x x y y --+<，所以212124(6)()120x x m x x m -++++<，所以2264(6)1202m m m m -⨯-+⨯++<， 即230m m -<，所以03m <<，又m >212m <，所以m ∈．21.解（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，'()11f x nx =+，令'()0f x >，得1x e >；令'()0f x <，得10x e<<． 故当1(0,)x e ∈时，()f x 单调递减；当1(,)x e∈+∞时，()f x 单调递增．故当1x e=时，()f x 取得极小值， 且1111()=()1f x f n e e e e==-极小值，无极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，min 1()f x e=-．要使4()f x m k m ≥+-对[3,5]m ∀∈恒成立，只需min 4()f x m k m≥+-对[3,5]m ∀∈恒成立，即14m k e m -≥+-，即41m k m e+≤-对[3,5]m ∀∈恒成立，令4()g m m m=+，则22244'()1m g m m m -=-=， 故[3,5]m ∈时'()0g m >，所以()g m 在[3,5]上单调递增， 故max 429()(5)555g m g ==+=， 要使41m k m e +≤-对[3,5]m ∀∈恒成立， 只需max 1()k g m e-≥，所以2915k e≥+，即实数k 的取值范围是291[,)5e++∞．22.解：（Ⅰ）已知曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），消去参数得24y x =，直线l 的极坐标方程为(cos sin )4ρθθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得普通方程为40x y --=（Ⅱ）已知抛物线24y x =与直线40x y --=相交于,A B 两点，由2440y x x y ⎧=⎨--=⎩，得||AB =O 到直线l 的距离d ==所以AOB ∆的面积为12S =⨯=23.解：（Ⅰ）因为(1)||f x m x -=-， 所以(1)0f x -≥等价于||x m ≤， 由||x m ≤，得解集为[,],(0)m m m -> 又由(1)0f x -≥的解集为[3,3]-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=1111(23)()323a b c a b c ++++2111123)3323a bc a b c ≥++=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立， 所以233a b c ++≥．。