初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
最新初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]
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最新初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方. 222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小. 6、正切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角. 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义.(注意：尽量避免使用中间数据和除法))90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角.仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即hil=.坡度一般写成1:m的形式,如1:5i=等.把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tanhilα==.3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角.如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°.4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角.如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） , 南偏东45°（东南方向）, 南偏西45°（西南方向）, 北偏西45°（西北方向）.类型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中,,12,43tan,90==︒=∠BCAC求AC、AB和cos B．例2．已知：如图,⊙O的半径OA＝16cm,OC⊥AB于C点,⋅=∠43sin AOC求：AB及OC的长．:i h l=hlα例3.已知A∠是锐角,178sin=A,求Acos,Atan的值对应训练：1．在Rt△ABC中,∠ C＝90°,若BC＝1,AB=5,则tan A的值为A．55B．255C．12D．22．在△ABC中,∠C=90°,sin A=53,那么tan A的值等于（）.A．35B.45C.34D.43类型二. 利用角度转化求值：例1．已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cos B、tan B．例2．如图,直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，,与x轴的正半轴交于点D,B是y 轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45对应训练:3.如图,O⊙是ABC△的外接圆,AD是O⊙的直径,若O⊙的半径为32,2AC=,则sin B的值是（）DCBAOyx第8题图A．23B．32C．34D．434. 如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处．已知8AB=,10BC=,AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A DECBF类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．例2．已知：如图,在△ABC中,∠BAC＝120°,AB＝10,AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图,△ABC中,AB＝9,BC＝6,△ABC的面积等于9,求sin B．3. △ABC中,∠A=60°,AB=6 cm,AC=4 cm,则△ABC的面积是A.23 cm2B.43 cm2C.63 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练：1．如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.2．正方形网格中,AOB∠如图放置,则tan AOB∠的值是（）A．55B.2 55C.12D. 2类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算：︒-︒+︒60tan45sin230cos2．2）计算：︒-︒+︒30cos245sin60tan2.3)计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4)．计算：30tan2345sin60cos221⎪⎪⎭⎫⎝⎛︒-︒+︒+．5)．计算：tan45sin301cos60︒+︒-︒；CBAABO类型六：解直角三角形的实际应用例1．如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°,∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m 23=DE,求点B到地面的垂直距离BC．例3如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°,测得山顶B的仰角∠DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长．对应训练:1..如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.2．如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为（）ABCDEA ． 10米B ． 10米C ． 20米D ．米类型七:三角函数与圆：例1． 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32 C ．35D ．45例2. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径.对应训练:1.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点F,使EF=BF.（1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若54C cos , DE =9,求BF 的长．DB OACD C B A Oyx第8题图CFDOBECB A作业： 1．已知21sin =A ,则锐角A 的度数是( ) A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒ 2．在Rt△ABC 中,∠ C ＝90°,若BC ＝1,AB =5,则tan A 的值为( )A ．55 B ．255 C ．12D ．2 3．在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 434. 若sin α=32,则锐角α＝ . 5．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是A ．21B ．2C ．25D ．5526．如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10,3cos 5BOD ∠=, 则AB 的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在Rt△ABC 中,∠C=90°,如果cosA=54,那么tanA 的值是( ) A ．53 B ．35 C ．43 D ．348． 如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =35,则cos∠BCD 的值为 ．9.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 210．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.αDCBA11．计算：22sin 604cos 30+sin 45tan 60-⋅oooo．12．已知在Rt△ABC 中,∠C＝90°,a=64,b=212.解这个直角三角形13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证：∠AOD=2∠C (4) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径.14．如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号）15．如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A 处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.（1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险,并说明理由．DBOAC。
最新初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法) )90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
锐角三角函数知识点③坡面的铅直高度h和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示,2、如下图，在Rt △ ABC 中，/ C 为直角， 则/ A 的锐角三角函数为（Z A 可换成/ B ）:定义 表达式取值范围 关 系正弦A 的对边si nA ———— --斜边 asin A —c 0 sin A 1 （Z A为锐角）sin A cosB cosA sin B sin 2 Acos 2 A 1余弦AA 的邻边cos A ------ - -------斜边 .b cos A —c0 cosA 1 （Z A为锐角）正切A 的对边tan A -------- 厶…,A 的邻边atan Abtan A 0 （Z A 为锐角）3 cos （90 A ） sin A sin （90 A ）cos A4三角函数 0° 30°45° 60° 90° sin 0 122逅21 cos1 逅2212 0 tan逅31<3不存在5当0°w <90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。
6、正切的增减性：当0 ° < <90°时，tan 随 的增大而增大。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边所有未知的边和角。
依据：①边的关系： 2 . 2 2a bC ；②角的关系：A+B=90°;③边角关系：三角函数的定义。
2、应用举例：① 仰角：视线在水平线上方的角; ② 俯角：视线在水平线下方的角。
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方a 2b 2sin A cosBcosA sin B由 A B 90 得 B 90 A6、计算 tan60o 「2 sin45o 2cos30o 的结果是)i ——即 l 。
坡度一般写成1:m 的形式，女口 i 1:5等。
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习47903
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习47903三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)A90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻 C B8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。
人教版九年级下册数学28章-锐角三角函数知识点总结及练习【实用版】
锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边A4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。
(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
人教版九年级数学下册锐角三角函数知识点及例题整理
28. 锐角三角函数知识点一： 正弦的定义及其表示方法1. 在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，如：∠A 的正弦记作sinA ，即sinA = ∠A 的对边斜边 = a c.2. 求锐角的正弦值，要以正弦的概念为依据，在直角三角形中求解。
若题目中给出的角不是在直角三角形中，应先构造直角三角形再求解。
3. 画出符合题意的图形，弄清所求角的对边与斜边。
4. 没有直接给出对边与斜边的题目，一般先根据勾股定理，求出所需的边长再求解。
例1：判断：在Rt△ABC 中，∠A 的正弦，记作cosA.______（填”对”或“错”） 例2：判断：在Rt△ABC 中，∠A 的正弦都等于∠A 的邻边与对边的比.______（填”对”或“错”）例3：Rt△ABC 中，∠C＝90°，a 、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，下列式子中，正确的是( )A. a=b ⋅sinA ；B. a=c ⋅sinA ；C. b=a ⋅sinA ；D. c=b ⋅sinA ； 例4：下列说法中，不正确的有______个.①直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边②直角三角形中，锐角的正弦为斜边比对边③直角三角形中，锐角的正弦为一条直角边比另一条直角边④直角三角形中，锐角的正弦为任意一条直角边比斜边例5：下列说法中，正确的有______个.①一个锐角的正弦值是一个无单位的量②某一锐角的正弦值与这个锐角所在的三角形的大小无关③sinA 既是一个完整的符号，同时也可以表示为sin×A 的乘积关系④在所有的ΔABC中，都可以计算出sinA= BC AB【答案】1.错； 2.错； 3.B； 4. 3； 5. 2；知识点二：余弦的定义及其表示方法1.如图，在直角三角形中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A =∠A的邻边斜边=bc.2.注意：（1）余弦也是建立在直角三角形中的，当锐角度数一定时，不论直角三角形的大小，它的邻边与斜边的比是一个固定值，换句话说，余弦值只与锐角的大小有关。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题
c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练.doc
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边C的平方。
a2+h2 =c22、如下图，在RtAABC中,ZC为直角,则ZA的锐角三角函数为（ZA叮换成ZB）:定义表达式取值范围关系正弦.A 的对边sin A =————斜边人asin A =—c0 < sin A < 1（ZA为锐角）sin A = cos B cos A = sin Bsin2 A + cos2A = 1余弦4乙4的邻边cos A=———T—斜边A b cos A=—c0<cosA< 1（ZA为锐角）正切人,4的对边曲“ZA的邻边tan A =—btan A > 0 （ZA为锐角）3sin A - cos B由ZA + ZB = 90。
、sin A = cos（90° - A） cos A = sin B 得ZB = 90° - ZA>cos A - sin（90°一A）4三角函数0°30°45°60°90°sin a01T VI2迴21COSO1迴2VT ~2~10tana0迥31不存在5、正弦、余弦的增减性:当0。
W Q W90°时，sina随。
的增大而增大，cos 6^随Q的增大而减小。
6、正切的增减性：当0。
<«<90°时，tan（7随Q的增大而增大。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其屮必有一边）一所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a2+h2=c2.②角的关系：A+B二90。
；③边角关系：三角函数的定义。
2、应用举例：①仰角：视线在水平线上方的角;②俯角：视线在水平线下方的角。
③ 坡面的铅直高度h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）o 用字母：表示,,=h即 7。
坡度一般写成1：加的形式，如，=1：5等。
把坡面与水平面 ・h ,i = — = tana的夹角记作Q （叫做坡角），那么 I 。
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锐角三角函数知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、特殊角的三角函数值
5、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：2
22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
2、应用举例：
①仰角：视线在水平线上方的角； ②俯角：视线在水平线下方的角。
对边
邻边
③坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。
用字母i表示，
即
h
i
l
=。
坡度一般写成1:m的形式，如1:5
i=等。
把坡面与水平面
的夹角记作α(叫做坡角)，那么
tan
h
i
l
α==。
④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
⑤指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫
做方向角。
如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），
南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°
（西北方向）。
锐角三角函数练习
一、选择题
1、把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA的值是（）
A．3
5
B．
4
5
C．
3
4
D．
4
3
3、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC等于（）
A．
2
3B．
5
5C．
10
5 D．
1
3
4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则COSα的值是（）
Ａ．1
2Ｂ．
2
2Ｃ．1Ｄ．2
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若
56
AC=，65
AB=，则tan∠ACD的值为（）
:
i h l
=
h
l
α
D C
B
A
Ａ．5
Ｂ．5
5 Ｃ．30
6 Ｄ．6
6、计算tan 602sin 452cos30+-的结果是（ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．
23
13-
．
7、如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（ ） A ． 25 B ． 26 C ． 27 D ． 28． 8、如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）
A ．（81035+
）m B ．21.6m C ． 103m D ．
103835⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭m 9、如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CD
AB 等于（ ）
A ．sin α
B ．COS α
C ．tan α
D ．1
tan α
二、填空题
10． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= ．
11． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3
4，c ＝4，则a ＝_______．
12． 如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α=______ ． 13．已知：α是锐角，tan α=
7
24
，则cos α=_______． 14．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为 15．tan 230°+2sin60°-tan45°·sin90°-tan60°+cos 230°=____________．
16．如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5
55
4C A A C 三、解答题
17、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求tan α的值．
E D
C B A 第8题图 αP
D C
B A O 第9题图 αy
x
P(2,3)O A
18、先化简，再求值:
+1，其中，tan 60x = ．
19、如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，AC=b （b ＞a ），若tan ∠DCE=1
2，
求a
b 的值．
20、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，
tanA 的值．
21、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30 的斜坡前进400米到D 处（即
︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度AB 。
22、 如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处．
(1) 说明本次台风会影响B 市；
（2）求这次台风影响B 市的时间． b
a
E D C
B
A
C B
A D P
北
()
2
22
1x x x x +-÷。