振动力学小论文

带有集中质量矩形板的振动分析

力学C102 马海蕾（105623）、王晖（105628）

摘要：工程实际中有许多附加集中质量薄板结构，针对这类结构动

力学问题，建立了带有集中质量矩形板的力学模型，该模型可作用任何类型载荷。运用多约束分析法分析了有集中质量矩形板特征值及振型，并给出了薄板振动响应计算公式，提升了薄板振动自然频率，该结果可用于实际工程中薄板振动主动控制的研究。 关键词：薄板振动，集中质量，多约束分析，固有振型

带有集中质量矩形板振动问题在工程应用中非常普遍。矩形薄板在航空、航海、建筑、机械等结构中有着非常广泛的应用，构成了这些结构的一些关键部件。这些结构在许多情况下都经受着振动，对其振动特性进行深入的研究是非常重要的。国内研究带有集中质量薄板自由振动是有限元等方法，国外运用模态分析和数值混合边界法，研究了带有质量弹簧的夹支矩形板的振动问题。

集中质量薄板固有频率和振型数

忽略剪切变形及转动影响，根据薄板的小挠度假设理论，均质

矩形薄板的受迫振动微分方程为24

2

(,,)

(,,)(,,)w x y t D w x y t p x y t +=э∨ρ

эt -----（1），式中422222=)x y +∨（э／ээ／э是双调和算子，D=E 3h ／[12(1-2v )]是薄板的弯曲刚度，E 是杨氏模量，h 是板的厚度，v 是泊松比，ρ是薄板的单位面积质量，w(x ，y ，t)是薄板在（x ，y ）位置瞬时t 的横向变形p （x ，y ，t ）是横向外载。

根据模态叠加原理，将w(x ，y ，t)写成级数形式w(x ，y ，t)={W (x ，y)}T {q(t)}-----（2）。其中

{W (x ，y)}={ 1W (x ，y)，2W (x ，y)，… ，n W (x ，y) }T {q(t)}={1q (t),2q (t), … ,n q (t) }T

式中：i W =(x ，y)是地i 阶广义坐标，n 是模态数。其中，模态函数i W =(x ，y)必须与均匀薄板的固有频率w 一一对应。将（2）带入式（1），有

..

4{(,)}{(,)}{()}{(,)}{(,)}{()}{(,)}(,,)T

T A

A

A

W x y W x y dxdy q t W x y D W x y dxdy q t W x y x y t dxdy

ρρ+=⎰

⎰⎰∨ 运用模态函数的正交性和正则模态的特性，则有

..

{()(,...,){()}{()}q t diag w w q t P T +=-----(3)

其中(,,)(,)j j A P p x y t W x y dxdy =⎰

-----(4)

j w ==若作用载荷是集中力则p （x ，y ，t ）可表示为

p(x,y,t)=P （11,x y ）δ（x-1x ，y-1y ) 则式（3）可具体表示为

..

2

1212()()(,,)(,),(1,2,...,)j j j j q t w q t P x y t W x y J n +=------(6)

对于带有集中质量薄板的自由振动，考虑将集中质量的惯性力当做外加激力[13]，即

221111,1,11122

1

()(,,)

(,,)(,)n

i i c c i q t w x y t P x y t m m W x y t t -=-=-∑ээээ 则均匀质量板的受迫振动方程（6）可以用来确定带有集中质量薄板的固有频率及对应振型。如果薄板带有k 个集中质量，则从式（6）和式（4）可以得到

..2

..

,111111

1

()()(,)(,)()n n

j j c J i j i i q t w q t m W x y W x y q t ==+=-∑∑-----(7)

当薄板做简谐振动时，广义坐标()j q t 取为()i wt

j j q t q e -

-

=

式中：j q -是()j q t 的振幅，w -

是带有k 个集中质量薄板的固有频率。将式

（

8）

代入

式(7)得到

2

2

2

,1

11111

1(,)(,),(1,2,...,)k

n

j c j i j j i w q w q w

m

W x y W x y q j n ---

--

=+=∑∑-----(9)

令 ×122

2

2

2

12×,1121={}{}{}{,,...}(1,...,1),

(,,...,)[(,)]

T n n T

n n n k

n n c j W W W q q q q I diag w diag w w w A m W x x -

-

-

-

====∑-----(10)

则式（9）可以写成矩阵形式

2

{}(){}w q w I A q --

-

=+-----(11)

式（11）是带有k 个集中质量的薄板的特征方程。

由式（11）求得特征值j w -(j-1,2,…,n)和特征向量(){}(1,2,...,)j q j n -

=。

j w -

即为带有集中质量薄板的固有频率，与之对应的振型(,)j W x y 可以

由式（2）和式（8）得到()()1

(,)(,){(,)}()n

j T

j j i i

i W x y W x y q

W x y q -

-

===∑-----(12)

对于不同的边界条件，均匀薄板正则模态的表达式、、是不一样的，但从上面的推到可以看出，并没有涉及正则模态、、的具体形式，所以这种方法可以求解任意边界条件的带有任意集中质量的振动问题，也就是说，只要知道任意边界条件的均匀薄板的模态函数，并且具有自伴性就可以求得任意边界条件带有任意集中质量的固有频率对应的振型。