高中数学必修一函数图像变换
高中数学第10讲 函数图像及其变换(教案)新人教版必修1
函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质〔高考要求B 〕，熟悉常见的函数图像〔平移、对称、翻折〕变换〔高考要求B 〕.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折〞等手段进行函数图像变换。
教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质： 〔1〕平移变换：①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向 平移a 个单位，〔左+右—〕. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向 平移b 个单位，(上+下—)③假设将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④假设将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.〔2〕对称变换：①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于y 轴对称; 假设f (－x )=f (x ),那么函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称.③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 假设f (－x )=－f (x ),那么函数自身的图象关于原点对称.④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b )对称.假设f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))那么函数自身的图象关于直线x =a 对称.假设函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=〔3〕翻折变换主要有①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：1.假设把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 那么函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)－1B.y ＝f (x ＋1)－1C.y ＝f (x －1)＋1D.y ＝f (x ＋1)＋12.函数y =f (x )的图象如图2—3，那么以下函数所对应的图象中，不正确的选项是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x )D.y =－f (x )解：y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.3.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x 解∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,那么f (4－x )=24－x y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴 直线x =0 解： 设x －1=t ,那么f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称.5.函数y =12--x x的图象关于点(1，－1)_对称.解：y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=||x xa x(0＜a ＜1)的图象的大致形状是 〔 D 〕(2).〔2009·某某模拟〕定义运算,)()(⎩⎨⎧>≤=⊗b a bb a a b a 那么函数f(x)=x21⊗的图象是 ( A )(3).函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，那么函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图中的〔 C 〕例2. 作出以下函数的图象.〔1〕.f (x )＝x 2－2|x |＋1 〔2〕f (x )＝x 2－2|x |＋1〔3〕f (x )＝|x 2－1|〔4〕f (x )＝x 2＋2x ＋1 〔5〕y=112--x x ;〔6〕y=)21(|x|.〔7〕〔2〕y=|log 21〔1-x 〕|； (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.〔1〕定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}.[解析] 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (xy =f (x )上任一点(x ,y ),那么也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定图2—3义，对于任一x ∈R,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}. 〔2〕函数f (x )定义域为R ，那么以下命题中①y =f (x )为偶函数，那么y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ＋2)为偶函数，那么y =f (x )关于直线x =2对称.③假设f (x －2)=f (2－x ),那么y =f (x )关于直线x =2对称. ④y =f (x —2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).[解析] ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，那么对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，那么f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,那么2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位， 分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. [解] (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),那么y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).〔1〕证明：f(x)是偶函数；〔2〕画出函数的图象； 〔3〕指出函数f(x)的单调区间；〔4〕求函数的值域.〔1〕证明f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.〔2〕解 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图. 〔3〕解 函数f(x)的单调区间为［-3，-1〕，［-1，0〕，［0，1〕，［1，3］. f 〔x 〕在区间［-3，-1〕和［0，1〕上为减函数，在［-1，0〕，［1，3］上为增函数.〔4〕解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2; 当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象.扩展：y ＝a x ＋ bx〔a ＞0，b ＞0〕的图像.例7.〔1〕函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；〔2〕假设函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. 〔1〕证明 设P 〔x 0,y 0〕是y=f(x)图象上任意一点，那么y 0=f(x 0).又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，那么P ′的坐标为〔2m-x 0,y 0〕.由f(m+x)=f(m-x),得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］=f(x 0)=y 0.即),-(200y x m P '在y=f(x)图象上，∴y=f 〔x 〕的图象关于直线x=m 对称.〔2〕解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a 〔2-x 〕-1|=|a 〔2+x 〕-1|恒成立，即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.又a ≠0,∴2a-1=0,得a=21.自我检测1.〔2008·全国Ⅱ理，3〕函数f(x)=x1-x 的图象关于 坐标原点对称2.作出以下函数的图象.〔1〕y=2-2x；〔2〕y=112+-x x .〔3〕y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤112 〔5－x 〕 1＜x ≤34－x x ＞33.f(x)=[][],1,0,10,1,12⎩⎨⎧∈+-∈+x x x x 那么f(x-1)的图象是 4.假设函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，那么函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,那么函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 〔 A 〕6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,那么y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )2(-x)＜x+1成立的x 的取值X 围是.答案 〔-1，0〕8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在〔0，21〕上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出以下四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=21对称；②f(x)在(21,1)上单调递增；③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2(x -π的图象是中心对称图形，且对称中心为()0,2π.其中正确命题的序号是.答案 ①②③④9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,那么a 的取值X 围为.答案 (1,2］10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x=⋅+-的图象与x轴的交点个数有__2__个12.如假设函数(21)y f x=-是偶函数，那么函数(2)y f x=的对称轴方程是_12x=-__。
函数图像和变换解读
函数图像及其变换师大学附属外国语中学 庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。
历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。
这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。
下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。
（一）平移变换及其应用：函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。
如：例1、（2008理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标。
若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值围是 。
（图一） （图二）分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数xy 4=的图象交点的横坐标。
这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数xy 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x4=下方，要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数xy 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。
高中数学教案：掌握函数的图像变换规律
高中数学教案：掌握函数的图像变换规律1. 引言在高中数学课程中，函数是一个核心概念。
了解和熟练运用函数的图像变换规律对于学生在解决实际问题、深入理解数学概念方面至关重要。
本篇教案将详细介绍函数的图像变换规律，并提供一些实际示例来帮助学生更好地掌握这一内容。
2. 基础知识回顾在开始讲解函数的图像变换规律之前，我们先来回顾一些基础知识。
请确保学生已经掌握以下概念： - 函数的定义 - 函数的定义域和值域 - 常见的基本函数及其图像（如线性函数、二次函数等）3. 图像平移与拉伸3.1 平移在讲解平移之前，我们先引入一些新的概念：平移向量。
平移向量可以描述一个点或者一幅图像从原位置沿着某个向量方向移动所产生的新位置。
对于一个将点(x, y)平移到(x+a, y+b)的平移，我们可以用以下式子表示：f(x) -> f(x-a) + b通过这个公式，我们可以让学生探索不同平移向量对于函数图像的影响，从而理解函数的平移规律。
3.2 拉伸与压缩接下来，讲解拉伸和压缩。
当我们将函数图像在横轴方向或者纵轴方向上进行拉伸或压缩时，函数的形状会发生相应变化。
这种变化可以用以下数学表示式来描述：f(x) -> a * f(k * x)其中，a表示纵向拉伸或压缩的倍数（a > 0），k表示横向拉伸或压缩的倍数（k > 0）。
4. 图像反射与翻转4.1 反射讲解完图像平移与拉伸后，我们引入反射的概念。
对于一个函数图像进行反射时，每个点关于某个坐标轴会产生对称点。
具体来说： - 关于x轴反射：原始函数 y = f(x) 的图像关于x轴反射后得到新函数 y = -f(x) - 关于y轴反射：原始函数 y = f(x) 的图像关于y轴反射后得到新函数 y = f(-x)4.2 翻转除了反射之外，我们还可以通过翻转来改变函数图像。
主要有两种翻转方式：- 水平翻转：将原始函数 y = f(x) 的图像向左或向右进行平移得到新函数 y = f(-x) - 垂直翻转：将原始函数 y = f(x) 的图像上下翻转得到新函数 y = -f(x)5. 综合练习和实践为了帮助学生更好地理解和应用函数的图像变换规律，我们提供一些综合练习和实践的题目，涵盖了平移、拉伸、反射和翻转等各种情况。
用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题
风雨送春归，飞雪迎春到。已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。” 高中数学的函数本身很抽象，函数的图像也是重中之重，而函数图像变换令很多人苦不堪言， 本文对所有函数图像变换进行总结归纳，用动态的形式展现函数图像变换之奥妙，看到以下函 数图像动态变换过程，有助于学生理解图像变换之精髓！
去左翻右： 要得到函数y=f（|x|）的图象，可先做出y=f（x）的图象，去掉y轴左侧部分，再根据y=f（|x|） 是偶函数的特点，将y分）。
五、反函数变换
y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于y=x对称。
高中数学
一、平移变换
上+下将函数y=f（x）的图像向上平移a个单位，即可得到y=f（x）+a的图像。 将函数y=f（x）的图像向下平移a个单位，即可得到y=f（x）-a的图像。
左+右将函数y=f（x）的图像向左平移a个单位，即可得到y=f（x+a）的图像。 将函数y=f（x）的图像向右平移a个单位，即可得到y=f（x-a）的图像。
二、伸缩变换
横坐标伸缩 将函数y=f（x）的图像上各点横坐标变来原来的1/a，纵坐标不变，即可得到y=f（ax）的图像。 （a>1时缩短，0<a<1时伸长）
纵坐标伸缩 将函数y=f（x）的图像上各点纵坐标变来原来的A倍，横坐标不变，即可得到y=Af（x）的图 像。（A>1时伸长，0<A<1时缩短）
三、对称变换
将函数y=f（x）的图像关于x轴对称，得到y=-f（x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于y轴对称，得到y=f（-x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于原点对称，得到y=-f（-x）的图像。
四、翻折变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。
这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。
本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。
函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。
常见的对称性质包括轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。
这些对称性质在数学中的应用非常广泛。
例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。
另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。
图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。
常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。
平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。
这些图形变换在数学中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。
此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。
函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。
例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。
具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。
同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。
这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。
除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。
例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的对称性质。
具体而言，如果一个函数满足$f(-x)=-f(x)$，那么它是奇函数，其图像关于原点对称；如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么它是偶函数，其图像关于y轴对称。
高中数学人教A版必修1《函数的图象变换》PPT
例：作出下列函数的图象． (1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2xx－－11.
分析：作函数图象的方法有：列表描点法（列表， 描点，连线）和图象变换法(平移变换、对称变换、 翻折变换）
解析：(1)作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图象中 x≥0 部分，加上 y＝12x 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，
答案：A
课堂总结：
本节课从特殊到一般的思路学习函数图 象的三种变换（平移变换、对称变换、翻 折变换）及其应用。利用图象变换解题， 关键是理清图象变换的过程，掌握好基本 初等函数的图象及变换的实质（要通过具 体的实例作为载体来理解掌握三种变换）。 在后续的学习中我们将进一步学习它的应 用。
谢谢！！！
翻折到y轴左侧，便得到g(x) x2 2 | x | f (| x |)的图象，
（2）画函数h(x) | x2 2x |的图象，并说由函数
f (x) x2 2x的图象怎样变换而得到？
解析：h(
x)
x2
x
2
2x (x 2x (0
0或x x
2) 2)
保留f (x) x2 2x图象在x轴上方部分，把位于x轴下
5
f (x) x2
4
3
2
h(x) x2 - 2
1
又h(x) f (x) 2
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
g (x) x2 2的图象是由f (x) x2的图象向上平移2个单位得到， h(x) x2 - 2的图象是由f (x) x2的图象向下平移2个单位得到。
平移变换—竖直平移
A．向右平行移动 2 个单位长度 B．向右平行移动 1 个单位长度 C．向左平行移动 2 个单位长度 D．向左平行移动 1 个单位长度
高中数学《函数图象的变换》课件
翻折变换
y = f(x) 的图象
y =|f( x )| 的图象
将y = f(x)在 x 轴上方的图 象保留，下方的图象以 x 轴 为对称轴翻折到上方可得到 y =|f(x)|的图象.
平移变换
左上 右下 平平 移移
对称变换
关关关 于于于 x y原 轴轴点
翻折变换
上左 下右 翻翻 折折
归纳总结
平 y = f(x) 左移 h (h>0) y = f(x + h)
移 的图象 个 单 位
的图象
变 换
y = f(x) 右移 h (h>0) y = f(x - h)
的图象 个 单 位
的图象
问题与思考——复习
1、在同一坐标系中作下列函数 的图象，并说明每组两函数图象间的 关系.
(1) y = |log2x| (2) y = x2 - 2x，y = |x2 - 2x|
yy= log2 x
o
o
1
x
1
x
将 y = log2x 在 x 轴上方的图象保留， 下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到上方可
翻 的图象 折 变 换
y =f( |x| ) 的图象
？
谢 谢
翻折变换
问题与思考：
2、在同一坐标系中作下列函数 的图象，并说明每组两函数图象间的 关系.
(1) y = 2x，y = 2|x| (2) y = x2 - 2x，y = |x|2 - 2|x|
y
y
y = 2x 11
o x
y = 2|x| 1
高中数学三角函数图像的性质及变换规律
高中数学三角函数图像的性质及变换规律三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质及变换规律是我们学习和应用三角函数的基础。
在本文中，我将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质，并讨论它们的平移、伸缩和翻转变换规律。
一、正弦函数的图像性质及变换规律正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π，振幅为1。
正弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 0)，称为正弦函数的零点。
正弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程sin(x) = 0.5在区间[0, 2π]内的解。
首先，我们可以通过观察正弦函数的图像，知道sin(x) = 0.5有两个解，一个在第一象限，一个在第二象限。
我们可以通过求解sin(x) = 0.5的解析解来验证这一点。
sin(x) = 0.5的解析解为x = π/6 + 2πn和x = 5π/6 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足sin(x) = 0.5的解为x = π/6和x = 5π/6。
这个例子说明了正弦函数的图像性质，以及如何通过观察图像来快速得到方程的解。
二、余弦函数的图像性质及变换规律余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，它的周期也是2π，振幅为1。
余弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 1)，称为余弦函数的最大值点。
余弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程cos(x) = -0.5在区间[0, 2π]内的解。
根据余弦函数的图像性质，我们可以知道cos(x) = -0.5有两个解，一个在第二象限，一个在第三象限。
我们可以通过求解cos(x) = -0.5的解析解来验证这一点。
cos(x) = -0.5的解析解为x = 2π/3 + 2πn和x = 4π/3 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足cos(x) = -0.5的解为x = 2π/3和x = 4π/3。