2019-2020年整理代数模型10秋汇编

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[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10.doc

[考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0，必有( )（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。

（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。

（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。

（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

2 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。

已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )（A）P-1α。

（B）P Tα。

（C）Pα。

（D）(P-1)Tα。

3 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )（A）λ1=0。

（B）λ2=0。

（C）λ1≠0。

（D）λ2≠0。

4 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( ) （A）λE一A=λE—B。

（B）A与B有相同的特征值和特征向量。

（C）A与B都相似于一个对角矩阵。

（D）对任意常数t，tE—A与tE一B相似。

5 矩阵相似的充分必要条件为( )（A）a=0，b=2。

（B）a=0，b为任意常数。

（C）a=2，b=0。

（D）a=2，b为任意常数。

6 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( ) （A）A T与B T相似。

（B）A-1与B-1相似。

（C）A+A T与B+B T相似。

（D）A+A-1与B+B-1相似。

7 设矩阵A=，则( )（A）A与C相似，B与C相似。

（B）A与C相似，B与C不相似。

（C）A与C不相似，B与C相似。

（D）A与C不相似，B与C不相似。

二、填空题8 设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T，若矩阵αβT相似于，则k=_________。

专题10 几何作图题-2019学年-2020学年北京市七年级上学期期末试题分类汇编(解析版)

专题10 几何作图题1．（2020秋•海淀区校级期末）如图，已知P，A，B三点，按下列要求完成画图和解答．（1）作直线AB；（2）连接PA，PB，用量角器测量APB∠=90︒．（3）用刻度尺取AB中点C，连接PC；（4）过点P画PD AB⊥于点D；（5）根据图形回答：在线段PA，PB，PC，PD中，最短的是线段的长度．理由：．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求作．（2）测量可知，90∠=︒．APB故答案为：90︒．（3）如图，线段PC即为所求作．（4）如图，线段PD即为所求作．（5）根据垂线段最短可知，线段PD最短，故答案为：PD，垂线段最短．2．（2020秋•昌平区期末）如图，已知一条笔直的公路l的附近有A，B，C三个村庄．（1）画出村庄A，C间距离最短的路线；（2）加油站D在村庄B，C所在直线与公路l的交点处，画出加油站D的位置；（3）画出村庄C到公路l的最短路线CE，作图依据是垂线段最短，测量CE≈cm （精确到0.1)cm；如果示意图与实际距离的比例尺是1:200000，通过你的测量和计算，在实际中村庄C到公路l的最短路线为km．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．（3）如图，线段CE即为所求作．作图依据是垂线段最短，测量 1.6≈．CE cm设实际中村庄C到公路l的最短路线为xcm．则有1:200000 1.6:x=，解得320000() 3.2()==，x cm km答：实际中村庄C到公路l的最短路线为3.2km．故答案为：垂线段最短，1.6cm，3.2．3．（2020秋•东城区期末）作图题：（截取用圆规，并保留痕迹）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：①画直线BC；②画射线AD交直线BC于点E；③连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF BD=；④在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．【解答】解：①如图，直线BC即为所求；②如图，射线AD，点E即为所求；③如图，线段BD，线段DF即为所求；④如图，点O即为所求．4．（2020秋•海淀区校级期末）作图题：如图，A为射线OB外一点．（1）连接OA；（2）过点A画出射线OB的垂线AC，垂足为点C；（可以使用各种数学工具）（3）在线段AC的延长线上取点D，使得CD AC=；（4）画出射线OD；（5）请直接写出上述所得图形中直角有4个．【解答】解：（1）如图，OA即为所求；（2）如图，射线OB，垂线AC即为所求；（3）如图，点D即为所求；（4）如图，射线OD即为所求；（5）观察图形可知：直角有4个．故答案为：4．5．（2020秋•门头沟区期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求画图，并回答问题：（1）画直线AC，射线BA；（2）延长AB到D，使得BD AB=，连接CD；（3）过点C画CE AB⊥，垂足为E；（4）通过测量可得，点C到AB所在直线的距离约为 2.5cm（精确到0.1)cm．【解答】解：（1）如图所示，线AC，射线BA即为所求；（2）如图所示，BD，CD即为所求；（3）如图所示，CE即为所求；（4）点C到AB所在直线的距离约为2.5cm．故答案为：2.5．6．（2020秋•怀柔区期末）如图，测绘平面上有两个点A，B．应用量角器和圆规完成下列画图或测量：（1）连接AB，点C在点B北偏东30︒方向上，且2BC AB=，作出点C（保留作图痕迹）；（2）在（1）所作图中，D为BC的中点，连接AD，AC，画出ADC∠的角平分线DE交AC于点E；（3）在（1）（2）所作图中，用量角器测量BDE∠的大小（精确到度）．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求作．（2）如图，射线DE即为所求作．（3）利用量角器测量可得，115∠=︒．BDE7．（2020秋•石景山区期末）如图，点A，B，C是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器、圆规按要求画图，并回答问题：（1）画直线AB；（2）连接AC并延长到点D，使得CD CA=；（3）画CAB∠的平分线AE；（4）在射线AE上作点M，使得MB MC+最小，并写出此作图的依据是两点之间线段最短；（5）通过画图、测量，点C到直线AB的距离约为cm（精确到0.1)cm．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图，线段CD即为所求；（3）如图，AE即为所求；（4）如图，点M即为所求；作图的依据是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短；（5）通过画图、测量，点C到直线AB的距离约为1.2cm，故答案为：1.2．8．（2020秋•延庆区期末）（1）如图1，平面上有3个点A，B，C．①画直线AB；画射线BC；画线段AC；②过点C作AB的垂线，垂足为点D；③量出点C到直线AB的距离约为 1.1cm．（2）尺规作图：已知：线段a，b，如图2．求作：一条线段MN，使它等于2a b-．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图1所示：①直线AB；射线BC；线段AC，即为所求；②CD即为所求；③点C到直线AB的距离约为：1.1cm；故答案为：1.1；（2）如图2所示：MN即为所求．9．（2020秋•顺义区期末）如图，已知平面内三点A，B，C，按要求完成下列问题：（1）画直线AB，射线CA，线段BC；（2）延长线段BC到点D，使CD BC=；（3）若线段6BD=，则线段BC的长为3．【解答】解：（1）如图，直线AB ，射线CA ，线段BC 即为所求；（2）如图，线段CD 即为所求；（3）CD BC =，132BC BD ∴==，答：线段BC 的长为3．故答案为：3．10．（2020秋•海淀区校级期末）如图，已知点A 、B 、O 、M ，请按下列要求作图并解答．（1）连接AB ；（2）画射线OM ；（3）在射线OM 上取点C ，使得2OC AB =（尺规作图，保留作图痕迹）；（4）在图中确定一点P ，使点P 到A 、B 、O 、C 四个点的距离和最短，请写出作图依据．【解答】解：（1）如图，AB 为所作；（2）如图，射线OM 为所作；（3）如图，点C 为所作；（4）如图，点P 为所作，作图依据为：两点之间线段最短．11．（2020秋•海淀区校级期末）如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连接AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使2=．（要求保留作图痕迹）AE AC若4AB=，则BE=17或1．AC=，9（3）在直线AB上确定一点P，使PC PD+的和最短，并写出画图的依据．【解答】解：（1）如图，直线AB和射线CB即为所求；（2）如图，线段AE或AE'即为所求，4AC=，∴==，9AB=，AE AC28BE AE AB∴=+=+=；8917或981'=-'=-=．BE AB AE故答案为：17或1；（3）如图，点P即为所求；画图的依据是：两点之间，线段最短．12．（2020秋•海淀区期末）已知：如图，//⊥．求证：∠，CN CMAB DE，CM平分BCE∠=∠．2B DCN【解答】证明：//AB DE，∠=∠，∴∠+∠=︒，B BCD180B BCE∠，CM平分BCE∴∠=∠，12⊥，CN CM∠+∠=︒，∴∠+∠=︒，14902390∴∠=∠，3434BCD∠+∠=∠，∴∠=∠．B DCN213．（2019秋•海淀区期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求完成下列问题：（1）画射线AC，线段BC；（2）连接AB，并用圆规在线段AB的延长线上截取BD BC=，连接CD（保留画图痕迹）；（3）利用刻度尺取线段CD的中点E，连接BE．【解答】解：如图所示：（1）射线AC，线段BC即为所求作的图形；（2）线段AB及延长线，点D以及线段CD即为所求作的图形；（3）点E以及线段BE即为所求作的图形．14．（2019秋•昌平区期末）如图：A，B，C是平面上三个点，按下列要求画出图形．（1）作直线BC，射线AB，线段AC．（2）取AC中点D，连接BD，量出ACB∠的度数（精确到个位）．（3）通过度量猜想BD和AC的数量关系．【解答】解：（1）如图所示：直线BC，射线AB，线段AC即为所求；（2）如图，45ACB∠=︒；（3）BD和AC的数量关系为：12BD AC=．15．（2019秋•朝阳区期末）如图，A，B表示笔直的海岸边的两个观测点，从A地发现它的北偏东75︒方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它的北偏东60︒方向．（1）在图中画出这艘船的位置，并用点C表示；（2）若此图的比例尺为1:100000，你通过画图、测量，计算出这艘船到海岸线AB的实际距离（精确到1千米）．【解答】解：（1）如图所示；（2）通过测量3AB cm=，此图的比例尺为1:100000，AB∴的实际距离3=千米，过C 作CD AB ⊥于D ，907515CAB ∠=︒-︒=︒，906030CBD ∠=︒-︒=︒，15ACB CBD CAB ∴∠=∠-∠=︒，3BC AB ∴==，1 1.52CD BC ∴==千米，答：这艘船到海岸线AB 的实际距离为1.5千米．16．（2019秋•东城区期末）按照下列要求完成作图及问题解答：如图，已知点A 和线段BC ．（1）连接AB ；（2）作射线CA ；（3）延长BC 至点D ，使得2BD BC =；（4）通过测量可得ACD ∠的度数是 152︒ ；（5）画ACD ∠的平分线CE ．【解答】解：如图，就是按照要求完成的作图：（4）通过测量可得ACD ∠的度数是152︒．故答案为：152︒．17．（2019秋•弥勒市期末）一个角的余角比它的补角的23少40︒，求这个角的度数．【解答】解：设这个角为x ，则 29040(180)3x x ︒-+︒=︒-，解得30x =︒．答：这个角的度数为30︒．18．（2020秋•海勃湾区期末）下面是小明某次作图的过程．已知：如图，线段a，b．作法：①画射线AP；②用圆规在射线AP上截取一点B，使线段AB a=；③用圆规在射线AP上截取一点C，使线段BC b=．根据小明的作图过程．（1）补全所有符合小明作图过程的图形：（保留作图痕迹）（2）线段AC=a b+或a b-．（用含a，b的式子表示）【解答】解：（1）如图所示：线段AB和BC即为所求作的图形．（2）线段AC a b-．=+或a b故答案为：a b-．+或a b19．（2019秋•延庆区期末）已知：四点A，B，C，D的位置如图所示，（1）根据下列语句，画出图形．①画直线AB、直线CD，交点为O；②画射线AC；（2）用适当的语句表述点A与直线CD的位置关系．【解答】解：（1）如图所示：①直线AB、直线CD即为所求作的图形；②射线AC即为所求作的图形；（2）点A与直线CD的位置关系为：点A在直线CD外．20．（2019秋•延庆区期末）如图，某勘测队在一条近似笔直的河流l两边勘测（河宽忽略不计），共设置了A，B，C三个勘测点．（1）若勘测队在A点建一水池，现将河水引入到水池A中，则在河岸的什么位置开沟，才能使水沟的长度最短？请在图1中画出图形；你画图的依据是垂线段最短．（2）若勘测队在河岸某处开沟，使得该处到勘测点B，C所挖水沟的长度之和最短，请在图2中画出图形；你画图的依据是．【解答】解：（1）如图1中，作AH 直线l于H，线段AH即为所求．依据：垂线段最短．（2）如图2中，连接BC交直线l于点P，点P即为所求．依据：两点之间，线段最短．21．（2019秋•顺义区期末）按照下列要求完成画图及相应的问题解答（1）画直线AB；（2）画BAC ∠；（3）画线段BC ；（4）过C 点画直线AB 的垂线，交直线AB 于点D ；（5）请测量点C 到直线AB 的距离为 1.5 cm （精确到0.1)cm ．【解答】解：如图所示：（1）直线AB 即为所求作的图形；（2）BAC ∠即为所求作的图形；（3）线段BC 即为所求作的图形；（4）过C 点画直线AB 的垂线，交直线AB 于点D ，CD 即为所求作的图形；（5）点C 到直线AB 的距离为1.5cm ．故答案为1.5cm ．22．（2019秋•顺义区期末）已知线段AB ，延长AB 到C ，使14BC AB =，D 为AC 的中点，若3BD cm =，求AB 的长．【解答】解：设BC xcm =，则4AB x =，45AC x x x =+=，由图可得5532x x x --=，解得：2x =，则4248x =⨯=．即AB 的长为8cm ．23．（2019秋•密云区期末）如图，点O 在直线AB 上，OC 是AOD ∠的平分线．（1）若50BOD ∠=︒，则AOC ∠的度数为 65︒ ．（2）设BOD ∠的大小为α，求AOC ∠（用含α的代数式表示）．（3）作OE OC ⊥，直接写出EOD ∠与EOB ∠之间的数量关系．【解答】解：（1）点O 在直线AB 上，180AOD BOD ∴∠+∠=︒，50BOD ∠=︒，180********AOD BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OC 是AOD ∠的平分线，111306522AOC AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：65︒；（2）点O 在直线AB 上，180AOD BOD ∴∠+∠=︒，BOD α∠=，180180AOD BOD α∴∠=︒-∠=︒-， OC 是AOD ∠的平分线，111(180)90222AOC AOD αα∴∠=∠=⨯︒-=︒-；（3）①OE 在AB 的上面，如图，EOD EOB ∠=∠；OE 在AB 的下面，如图，EOD EOB ∠=∠．24．（2019秋•密云区期末）如图，已知线段OA 、OB ．（1）根据下列语句顺次画图①延长OA 至C ，使得AC OA =；②画出线段OB 的中点D ，连接CD ；③在CD 上确定点P ，使得PA PB +的和最小．（2）写出③中确定点P的依据两点之间线段最短．【解答】解：如图，（1）①延长OA至C，使得AC OA=；②线段OB的中点D，连接CD；③在CD上确定点P，使得PA PB+的和最小；（2）确定点P的依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．25．（2019秋•房山区期末）已知A，B，C三点的位置如图所示，用三角尺或直尺等按要求画图：（1）画直线AC，线段BC和射线BA；（2）画出点A到线段BC的垂线段AD；（3）用量角器测量ABC∠的度数是70︒．（精确到度）【解答】解：如图，（1）直线AC，线段BC和射线BA即为所求作的图形；（2）点A到线段BC的垂线段AD；（3）测量ABC ∠的度数为70︒．故答案为70︒．26．（2019秋•怀柔区期末）如图，86CAB ABC ∠+∠=︒，AD 平分CAB ∠，与BC 边交于点D ，BE 平分ABC ∠，与AC 边交于点E ．（1）依题意补全图形，并猜想DAB EBA ∠+∠的度数等于 43︒ ；（2）填空，补全下面的证明过程． AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，12DAB CAB ∴∠=∠，EBA ∠= ．（理由： )86CAB ABC ∠+∠=︒，DAB EBA ∴∠+∠= (⨯∠ +∠ )= ︒．【解答】解：（1）如图，线段BE 即为所求．猜想43DAB EBA ∠+∠=︒．故答案为43︒．（2）AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，12DAB CAB ∴∠=∠，12EBA CBA ∠=∠．（理由：角平分线的定义）86CAB ABC ∠+∠=︒，1()432DAB EBA CAB CBA ∴∠+∠=⨯∠+∠=︒．故答案为12CBA ∠，角平分线定义，12，CAB ，CBA ，43︒．27．（2019秋•怀柔区期末）如图，已知A ，B ，C ，D 四点，按要求画图：（1）画线段AB ，射线AD ，直线AC ；（2）连接点B，D与直线AC交于点E；（3）连接点B，C，并延长线段BC与射线AD交于点O；（4）用量角器测量AOB∠的大小（精确到度）．【解答】解：如图所示：（1）线段AB，射线AD，直线AC即为所求作的图形；（2）连接点B，D与直线AC交于点E；（3）连接点B，C，并延长线段BC与射线AD交于点O；（4）用量角器测量AOB∠的大小为42︒．28．（2019秋•石景山区期末）如图，平面上有三个点A，B，C．（1）根据下列语句按要求画图．①画射线AB，用圆规在线段AB的延长线上截取BD AB=（保留作图痕迹）；②连接CA，CD；③过点C画CE AD⊥，垂足为E．（2）在线段CA，CE，CD中，线段CE最短，依据是．【解答】解：（1）画出图形，如图所示．（2）在线段CA，CE，CD中，线段CE最短，依据是垂线段最短，故答案为：CE、垂线段最短．29．（2019秋•大兴区期末）选择合适的画图工具按要求作图并回答问题：已知：如图点A，点B，点C，（1）作直线AB；（2）作线段AC；（3）在点C的东北方向有一点D，且点D在直线AB上，画出点D；（4）作射线CE交AB于点E，使得ACE A∠=∠；（5）线段EA与线段EC的大小关系是相等．【解答】解：（1）如图所示，直线AB即为所求；（2）如图所示，线段AC嘉文四世；（3）如图所示，点D即为所求；（4）如图所示，ACE∠即为所求；（5）AE CE=，故答案为：相等．30．（2019秋•门头沟区期末）如图，在同一平面内有三点A、B、C．（1）作射线CA，连接BC；（2）延长线段BC，得到射线CD，画ACD∠平分线CE；（3）在射线CD上取一点F，使得CF AC=；（4）在射线CE上作一点P，使PF PA最小；（5）第（4）步作图的依据是两点之间，线段最短．【解答】解：（1）如图所示，射线CA，线段BC即为所求；（2）如图所示，射线CD，射线CE即为所求；（3）如图所示，点F即为所求；（4）如图所示，点P即为所求；（5）第（4）步作图的依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．。

2019-2020年高三数学总复习集合的概念和表示方法教案理

2019-2020年高三数学总复习集合的概念和表示方法教案理教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1. 在初中，我们学过哪些集合？2. 在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4. 请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5. 什么是集合？二、建立模型1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．2. 集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3. 常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4. 集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5. 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2. 用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2. 用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延伸把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．2019-2020年高三数学总复习频率与概率教案理教材分析频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本案例的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．教学目标通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．任务分析由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．教学设计一、问题情境在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如xx年2月5日《文汇报》登载的两则消息．本报讯记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最．……据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同．结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”xx015期开奖号码完全一致．本报讯记者江世亮报道：……对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零．对文中的“万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道xx年冬某地“流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？……对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？二、建立模型为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手．首先，将全班同学平均分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表．表28-1第二组做抓阄试验．写五个阄，即分别标号为1，2，3，4，5，有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好．不妨统计一下各号数所占频率．第三组做摸围棋子试验．预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率．试验结束，让各组学生回答试验结果．第一组正面向上的频率必然接近，第二组结果肯定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定位于附近．各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近．让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？（学生思考，讨论，教师投影以下表格）历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：表28-2观察上表后，引导学生总结：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性．通过三组试验，我们可以发现：虽然，，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近．同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同．我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率．（引出概率定义）定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）．学生可考虑如下问题：（1）概率P（A）的取值范围是什么？（2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？（3）频率和概率有何关系？其中重点是问题（3），应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近．事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值．这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率．概率的这种定义叫作概率的统计定义．在实践中，经常采用这种方法求事件的概率．三、解释应用［例题］1. 把第三组试验中的黑棋子减少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？学生通过多次试验，可以发现此概率约为.2. 为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：表28-3从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9．［练习］某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：表28-4（1）计算表中击中靶心的各个频率．（表中各频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91）（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）四、拓展延伸“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次．买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于.由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生．但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了．点评针对这节课以概念为主，而又抽象的特点，案例设计了以学生动手试验为主，引导学生体会概念的教学方法，同时对这节中较抽象的内容：频率和概率的关系做了形象的类比，以便学生理解．这篇案例增加了试验内容，其目的是更有力地帮助学生理解定义．另外，例题与练习的配备有利于学生加深对这节内容的理解．因此，这节课的整体设计符合学生对新知识认识的规律，符合新课程标准的精神．。

初中数学代数式难题汇编

初中数学代数式难题汇编一、选择题1．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为（）A ．7B ．12C ．13D ．25【答案】C【解析】【分析】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，根据图形列式整理得a 2＋b 2−2ab ＝1，2ab ＝12，求出a 2＋b 2即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得：a 2−b 2−2（a−b ）b ＝1，即a 2＋b 2−2ab ＝1，由图乙得：（a ＋b ）2−a 2−b 2＝12，即2ab ＝12，所以a 2＋b 2＝13，即正方形A ，B 的面积之和为13，故选：C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形列出算式．2．下列运算正确的是（）．A ．()2222x y x xy y -=--B ．224a a a +=C ．226a a a ⋅=D ．()2224xy x y =【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别化简求出答案．【详解】解：A.、()2222x y x xy y -=-+，故本选项错误；B.、2222a a a +=，故本选项错误；C.、224a a a ⋅=，故本选项错误；D 、 ()2224xy x y =，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键．3．（x 2﹣mx +6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，则m 的值是（）A ．0B ．23C ．﹣23D ．﹣32 【答案】C【解析】试题解析：（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）=3x 3﹣（2+3m ）x 2+（2m+18）x ﹣12，∵（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，∴2+3m=0，解得，m=23-，故选C ．4．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-⋅⋅⋅已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是（）A ．222a a -B ．2222a a --C ．22a a -D ．22a a +【答案】C【解析】【分析】根据题意，一组数：502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a ＋2a ＋22a ＋ (250)＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ，∵232222+=-， 23422222++=-，2345222222+++=-，…，∴2＋22＋…＋250＝251－2，∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋(2＋22＋…＋250)a＝a＋(251－2)a＝a＋(2 a－2)a＝2a2－a ，故选C.【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.5．通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积，分别计算长结果，即可得答案.【详解】∵大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故选C.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积是解题关键.6．如果(x2＋px＋q)(x2－5x＋7)的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是()A．p＝5，q＝18 B．p＝－5，q＝18C．p＝－5，q＝－18 D．p＝5，q＝－18【答案】A【解析】试题解析：∵（x 2+px+q ）（x 2-5x+7）=x 4+（p-5）x 3+（7-5p+q ）x 2+（7-5q ）x+7q ，又∵展开式中不含x 2与x 3项，∴p-5=0，7-5p+q=0，解得p=5，q=18．故选A ．7．已知a +b +c =1，22223+-+=a b c c ，则ab 的值为（）．A ．1B ．－1C ．2D ．－2 【答案】B【解析】【分析】将a +b +c =1变形为a +b =1- c ，将22223+-+=a b c c 变形为222221+=+--a b c c ，然后利用完全平方公式将两个式子联立即可求解．【详解】∵22223+-+=a b c c∴()222221=12+=--+-a b c c c∵a +b +c =1∴1+=-a b c∴()()221+=-a b c∴()2222+=+-a b a b展开得222222++=+-a b ab a b∴1ab =-故选B ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，根据等式特点构造完全平方式是解题的关键．8．下列说法正确的是（）A ．若 A 、B 表示两个不同的整式，则A B 一定是分式 B ．()2442a a a ÷=C ．若将分式xy x y+中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若35,34m n ==则2532m n -= 【答案】C【解析】根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可.【详解】A. 若 A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=，故故此选项错误.C. 若将分式xy x y+中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253332544m n m n -=÷=÷=，故此选项错误. 故选：C【点睛】本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.9．下列各式中，运算正确的是（）A ．632a a a ÷=B ．325()a a =C ．=D =【答案】D【解析】【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算．【详解】解：A 、a 6÷a 3=a 3，故不对；B 、（a 3）2=a 6，故不对；C 、和不是同类二次根式，因而不能合并；D 、符合二次根式的除法法则，正确．故选D ．10．下列运算正确的是（）A ．2352x x x +=B ．()-=g 23524x x xC ．()222x y x y +=-D ．3223x y x y xy ÷=【答案】B【解析】A不是同类项，不能合并，B、D运用单项式之间的乘法和除法计算即可，C运用了完全平方公式．【详解】A、应为x2+x3=（1+x）x2；B、（-2x）2•x3=4x5，正确；C、应为（x+y）2= x2+2xy+y2；D、应为x3y2÷x2y3=xy-1．故选：B．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．11．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab【答案】A【解析】【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【详解】图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．12．已知多项式x-a与x2+2x-1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（）A．-1 B．1 C．2 D．-2【答案】C分析：先计算（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1），然后将含x 2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a 的值．详解：（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1）=x 3+2x 2﹣x ﹣ax 2﹣2ax +a=x 3+2x 2﹣ax 2﹣x ﹣2ax +a=x 3+（2﹣a ）x 2﹣x ﹣2ax +a令2﹣a =0，∴a =2．故选C ．点睛：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．13．若3,2x y xy +==，则()()5235x xy y +--的值为（） A ．12B ．11C ．10D ．9 【答案】B【解析】【分析】项将多项式去括号化简，再将3,2x y xy +==代入计算.【详解】 ()()5235x xy y +--=235()xy x y -++，∵3,2x y xy +==，∴原式=2-6+15=11，故选：B.【点睛】此题考查整式的化简求值，正确去括号、合并同类项是解题的关键.14．已知x=2y+3，则代数式9-8y+4x 的值是（）A ．3B ．21C ．5D ．-15【答案】B【解析】【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案.【详解】解:∵x=2y+3∴x-2y=3∴98494(2y x y x -+=--⨯)=9-4(-3)=21故选：B【点睛】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键.15．下面的图形都是由同样大小的棋子按照一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形有6颗棋子，第③个图形有15颗棋子，第④个图中有28颗棋子，…，则第6个图形中棋子的颗数为（）A ．63B ．64C ．65D ．66【答案】D【解析】【分析】根据图形中棋子的个数找到规律，从而利用规律解题．【详解】解：∵通过观察可以发现：第1个图形中棋子的个数为()11211=⨯⨯-；第2个图形中棋子的个数为()62221=⨯⨯-；第3个图形中棋子的个数为()153231=⨯⨯-；第4个图形中棋子的个数为()284241=⨯⨯-；L L第n 个图形中棋子的个数为()21n n -∴第6个图形中棋子的个数为()626166⨯⨯-=．故选：D【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，能找出第n 个图形棋子的个数的表达式是解题的关键．16．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+1【答案】B【解析】【详解】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ，右边三角形的数字规律为：2，，…，，下边三角形的数字规律为：1+2，，…，， ∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n.故选B ．【点睛】考点：规律型：数字的变化类．17．在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2019时对应的指头是（）（说明：数1、2、3、4、5对应的指头名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）A ．食指B ．中指C ．小指D ．大拇指【答案】B【解析】【分析】根据题意，观察图片，可得小指、大拇指所表示的数字的规律，及其计数的顺序，进而可得答案．【详解】解：∵大拇指对的数是1+8n ，小指对的数是5+8n ．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．又∵2019是奇数，201925283=⨯+，∴数到2019时对应的指头是中指．故选：B ．【点睛】此题主要考查了数字变化类，只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可．关键规律为：大拇指对的数是1+8n ，小指对的数是5+8n ．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．18．下列运算正确的是（）A ．426x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．222()x y x y -=-【答案】C【解析】试题分析：4x与2x不是同类项，不能合并，A错误；235x x x⋅=，B错误；236=，C正确；x x()22()()-=+-，D错误．x y x y x y故选C．考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．19．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190【答案】D【解析】试题解析：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，故选 D．考点：完全平方公式．20．多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（）A．2，3 B．2，2 C．3，3 D．3，2【答案】C【解析】【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【详解】2a2b﹣ab2﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．故选：C.【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．。

2019-2020年整理新课标小学数学教材教法考试题和答案汇编

1.新课程的“三维”课程目标是指（知识与技能），（过程与方法）、（情感态度与价值观）。

2、为了体现义务教育的普及性、(基础性)和发展性，新的数学课程首先关注每一个学生的情感、(态度)、(价值观)和一般能力的发展。

3、内容标准是数学课程目标的进一步（具体化）。

4、内容标准应指关于（内容学习）的指标5、与现行教材中主要采取的“（定义）—定理—（例题）—习题”的形式不同，《标准》提倡以“（问题情境）—（建立模型）——解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容6、数学学习的主要方式应由单纯的（记忆）、模仿和（训练）转变为（自主探索）、（合作交流）与实践创新；7、改变课程内容难、（窄）、（旧）的现状，建设浅、（宽）、（新）的内容体系，是数学课程改革的主要任务之一。

8、从“标准”的角度分析内容标准，可发现以下特点：（基础性）（层次性）（发展性）（开放性）。

9、统计与概率主要研究现实生活中的（数据）和客观世界中的（随机现象）。

10、在第一学段空间与图形部分，学生将认识简单的（几何体）和（平面图形），感受（平移）、（旋转）、（对称现象），建立初步的（空间观念）。

11、课程标准中增加的内容主要包括：（统计与概率）的有关知识，（空间与图形）的有关内容（如位置与变换），（负数），（计算器）的初步应用等。

12、数学教师应由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的（组织者）、（引导者）和合作者。

13、数学教学应该是从学生的（生活经验）和（已有知识背景）出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的（数学知识与技能）、（数学思想和方法）。

14、数学学习评价应由单纯的考查学生的（学习结果）转变为关注学生学习过程中的（变化与发展），以全面了解学生的数学学习状况，促进学生更好地发展。

15、“数与代数”的内容主要包括：数与式、（方程与不等式）、（函数），它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型。

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交．考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。

2019-2020年七年级数学《代数式》教学设计(1) 新人教版

2019-2020年七年级数学《代数式》教学设计（1）新人教版一、学生起点分析本节课是教材第三章《字母表示数》的第二节，在此之前，学生对有理数及有理数的运算有了一定的基础，在第一节中对于字母表示数已具有一定的认知水平，并且学生从小学开始就已经和字母有了接触，从小学到初中的数的运算实质就是代数式的运算，在此基础上导入代数式和代数式值的内容，对学生来说无疑是一个良好的时机.学生主动参与意识增强，课堂氛围进一步浓烈，分析能力和综合思维能力都有了一定程度的提高，很多同学都已能够将数学知识与生活实际联系起来，这样将有利于学生掌握代数式和代数式值的意义，解决有关代数式的运用问题.二、教学任务分析本课时的教学内容直奔教学主题――代数式的意义，降低了教学的难度，有效地克服了学生的心里障碍，并结合上一节的内容很自然地引入了代数式值的意义，再通过具体的情境来列代数式并求其值，然后通过反问代数式还能表示哪些实际意义，将教学活动引向高潮，激发学生联想、类比，进一步拓展学生的思维，同时也进一步调动了学生学习的积极性，最后教材提供了一个刻画有趣现象的经验公式――蟋蟀叫的次数与温度的关系，既使学生感悟了数学建模的思想，又使学生在轻松愉快的环境中加深了对代数式和求代数式值的理解.教学中要充分利用实际的背景，争取学生主动参与，通过丰富有趣的活动让学生经历符号化的过程，以及运用它推断代数式所反映规律的过程，同时也可以借助多媒体辅助教学来提供更多的实际背景，从而拓展学生的思维，在进行从语言到代数式、从代数式到语言转化的过程中，要注重培养学生正确运用数学语言进行表达和交流的能力.根据以上分析,确定本节课的教学目标如下：1.进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值.（知识与技能）2.通过创设实际背景和引用符号，经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程，体会数学与现实世界的联系，增强符号感，发展运用符号解决问题和数学探究意识.（过程与方法）3.在解决问题的过程中体验类比、联想等思维，体验数学美，增强学习自信心。

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得到密文 JXCPI WEK
（希尔密码解密）用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。 (自行验证) 希尔密码是以矩阵法为基础的，明文与密文的对应由n阶矩阵A确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数与n不匹配，则最后几个分量可任意补足。
按频率大小将双字母排列如下： th,he,in,er,an,re,ed,on,es,st,en,at,to,nt,ha,nd,ou,ea,ng,a s,or,ti,is,er,it,ar,te,se,hi,of 使用最多的三字母按频率大小排列如下： The,ing,and,her,ere,ent,tha,nth,was,eth,for,dth 下面介绍一下统计观察的三个结果：统计的章节越长，统计结 a)单词the在这些统计中有重要的作用；果就越可靠。对于只有几 b)以e，s，d，t为结尾的英语单词超过了一半；个单词的密文，统计是无 c)以t，a，s，w为起始字母的英语单词约为一半。意义的。对于a) ，如果将the从明文中删除，那么t的频率将要降到第二组中其他字母之后，而h将降到第三组中，并且th和he就不再是最众多的字母了。以上对英语统计的讨论是在仅涉及26个字母的假设条件下进行的。实际上消息的构成还包括间隔、标点、数字等字符。总之，破译密码并不是件很容易的事。
该问题在理论状态下完全解决！
兔子能长生不老吗？
1）兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化的规律。 2）所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数量变化的规律。 3）所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔子数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
Hill密码的加密过程
• 选择一个n阶可逆矩阵A作为加密矩阵； • 将明文字符按顺序排列分组； • 将明文字符对应一个整数，组成一组列向量； • 用加密矩阵左乘每一列向量； • 将新向量的每个分量关于模m取余运算； • 将新向量的每个整数对应于一个字符。解密过程相反。
在具体实施时，我们很快会发现一些困 1 定理1 a {0,...,25} , 若 a {0,25}使得难： 1 1 (1) 为了使数字与字符间可以互换，必须 =1，其 aa a a 1 (mod26)，则必有gcd{a,26} 使用取自0—25之间的整数 A 1 中gcd{a,26} 为与 26 的最大公因子。 A (2)由线性Βιβλιοθήκη 数知识，，其中a证
在求A的逆矩阵时可能会出现分数。不 1 1 ，故 a ap a 解决这些困难，上述想法仍然无法实现。 q a (ap 26k) p 26a k 解决的办法是引进同余运算，并用乘法 1 1 p ，由的任意性可知必有 (a a 1)p 26a k 来代替除法，（如同线性代数中用逆矩 (mod26) 1 1 阵代替矩阵除法一样）。 k ,a a 26k 1 a a1 即上式说明必有 gcd{a,26} 1
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2月也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1对小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又生了 1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月,老兔子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6个月, 老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1 对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推,不难得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
白鼠的数量
一种实验用白鼠出生后总共存活n个月9<n<13，n为自然数)，从第7个月后就开始生小白鼠,在第7、8这两个月中每月每一对白鼠恰好生1对小白鼠，从第9个月起的m个月内每一对白鼠恰好生2对小白鼠0<m<３,m为自然数)，然后停止生育，在第n月末死亡（第n个月这些白鼠的数量还计算在内）。在这个实验室环境中可以舒适地生存100对白鼠。每一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一对，第7月2 对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对，第8月3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的一对，第9 月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8月生育的1 对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月相同，第11 月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
第6章
代数模型
应用线性代数解决一些实际问题 6.1 兔子数量增长 6.2 植物基因的分布 6.3 常染色体的隐性疾病 6.4 森林的管理 6.5 加密与解密 6.6 关灯游戏中代数问题
6.1 兔子数量增长
一地区开始时有10000对刚出生的小兔。设兔子出生以后两个月就能生小兔,如果每月每对兔子恰好生一对小兔。问出生的兔子都成活,试问一年以后共有多少对兔子,两年后有多少对兔子?
6.4 森林管理问题
6.5 加密与解密
密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及, 巴比伦、罗马和希腊，历史极为久远。古代隐藏信息的方法主要有两大类：其一为隐藏信息载体，采用隐写术等；其二为变换信息载体，使之无法为一般人所理解。
简单定义
在密码学中，信息代码被称为密码，加密前的信息被称为明文，经加密后不为常人所理解的用密码表示的信息被称为密文(ciphertext)，将明文转变成密文的过程被称为加密(enciphering)，其逆过程则被称为解密(deciphering)，而用以加密、解密的方法或算法则被称为密码体制(crytosystem)。
双亲体基因型的可能结合及其后代形成每种基因型的概率
练习
若在上述问题中，不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率将如何变化？请给出相邻两代基因转换的概率，建立数学模型分析各代之间概率变化的规律和极限。
后代具有三种基因型的概率
设一农业研究所植物园中某植物的基 AA、Aa 和 aa 研究所计划采用 AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后, 这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?
基因的继承
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A 和a控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa， aa。
6.2 植物基因的分布
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。
植物基因的分布的变化
当明文超过规定矩阵的大小时，可以另加一矩阵。当需要使用不同的顺序进行编写和选择，可以得到各种不同的路加密的字母数小于矩阵大小时，可以在矩阵中留空位或以线加密体制。对于同一明文消息矩阵，采用不同的抄写方无用的字母来填满矩阵。式，得到的密文也是不同的。
统计法是根据统计资料进行猜测的。在一段足够长且非特别专门化的文章中，字母的使用频率是比较稳定的。在某些技术性或专门化文章中的字母使用频率可能有微小变化。在上述两种加密方法中字母表中的字母是一一对应的，因此，在截获的密文中各字母出现的概率提供了重要的密钥信息。根据权威资料报道，可以将26个英文字母按其出现的频率大小较合理地分为五组： I. t,a,o,i,n,s,h,r; II. e; III. d,l; IV. c,u,m,w,f,g,y,p,b; V. v,k,j,x,q,z; 不仅单个字母以相当稳定的频率出现，相邻字母对和三字母对同样如此。
6.3 常染色体隐性疾病模型
遗传性疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病。常染色体遗传的正常基因记为A,不正常的基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常人、隐性患者、显性患者的基因型。若在开始时的一代人口中AA、 Aa、aa型基因的人所占百分比分别为a0、b0、c0,讨论在下列两种情况下第n代中三类基因型人口所占的比例： (1) 控制结合: 显性患者不能生育后代,且为了使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲,正常人、隐性患者必须与一个正常人结合生育后代; (2) 自由结合: 这三种基因的人任意结合生育后代。
常规加密简化模型
记全体明文组成的集合为U，全体密文组成的集合为V，称U 为明文空间，V为密文空间。加密常利用某一被称为密钥的东西来实现，它通常取自于一个被称为密钥空间的含有若干参数的集合K。按数学的观点来看，加密与解密均可被看成是一 k u v V ，v为明种变换：取一k∈K， u∈U，令文u在密钥K下的密文，而解码则要用到K的逆变换K-1，。由此可见，密码体系虽然可以千姿百态，但其关键还在于密钥的选取。随着计算机与网络技术的迅猛发展，大量各具特色的密码体系不断涌现。离散数学、数论、计算复杂性、混沌、……，许多相当高深的数学知识都被用上，逐步形成了（并仍在迅速发展的）具有广泛应用面的现代密码学。
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个月后就开始生小兔,在第7、8这两个月中每月每一对兔子恰好生1对小兔，从9、 10两个月月内每一对兔子恰好生2对小兔，然后停止生育，在第12月末死亡问第k月有多少对兔子？
例如，对明文：THE HISTORY OF ZJU IS MORE THAN ONE HUNDRED YEARS.以7列矩阵表示如下： THEHIST ORYOFZJ UISMORE THANONE HUNDRED YEARS 再按事先约定的方式选出密文。例如，如按列选出，得到密文：touthyhrihueeysanahomndrifoorsszrnetjeed