高中数学必修五第三章：不等式专题

《不等式专题》第一讲：不等式的解法知识要点：一、不等式的同解原理：原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。

二、一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。

二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根注意：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式20(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠与20(0)ax bx c a ++<≠的解集。

三、一元高次不等式的解法：解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。

数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”四、分式不等式的解法：（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。

（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：()()()()()()()()()()()()()()()()()()000;0.0000;0.0f xg x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ⋅≥⎧>⇔⋅>≥⇔⎨≠⎩⋅≤⎧<⇔⋅<≤⇔⎨≠⎩ 五、指数、对数不等式的解法：（1）()()()()()()()()()()1; 01f x g x f x g x a a a f x g x aaa f x g x >>⇔>><<⇔<（2）()()()()()()()()log log (1)0;log log (01)0a a a a f x g x a f x g x f x g x a f x g x >>⇔>>><<⇔<<六、含绝对值不等式的解法：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()220;0.;..f x a a f x a f x a f x a a a f x a f xg x f x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x >>⇔<-><>⇔-<<>⇔<-><⇔-<<>⇔>或或 对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。

典型例题：【例1】不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2<x <3}，则bx 2－ax －1>0的解集为( ){}{}23.3121.2131.32.-<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<x x D x x C x x B x x A【例2】(山东7) 不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，【例3】不等式221x x +>+的解集为__________.【例4】解不等式2123139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭。

【例5】不等式()()21133log 34log 210______.x x x -->+的解集为【例6】（四川5）不等式22x x -<的解集为( )（Ａ）()1,2- （Ｂ）()1,1- （Ｃ）()2,1- （Ｄ）()2,2-【例7】不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集为( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜1且x ≠－1}【例8】解不等式327x x -++≥【例9】若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．【例10】设a ∈(0,1)，则关于x 的不等式|x －log a x |＜|x |＋|log a x |的解集为( ) A ．(0，a ) B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)【例11】若关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －1|＞a 恒成立，则a 的取值范围是________．【例12】已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋|a －14|＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．强化训练：1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|>3}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}2.不等式11x<的解集为_________. 3．不等式5x ＋2≥1的解集为________．5.不等式22150x x -->的解集是___________.6．若不等式5－x >7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则实数a ，b 的值为________． 7.不等式3529x ≤-≤的解集是___________. 8.（江西13）不等式224122x x +-≤的解集为 ． 9.已知()log 211,1,1,______.b x a o b ax -><<>且则的取值范围是10.若关于x 的不等式21x x a ++-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是________. 11.若不等式34x x a -+-<有解，则实数a 的取值范围是________.12. 不等式11x x a -++>对于任意的实数x 总成立，则a 的范围是__________. 13. 不等式10x x a --->对于任意的实数x 总成立，则a 的范围是__________. 14. 不等式31220x x a +-+-+≤对于任意的实数x 总成立，则a 的范围是__________.答案：1.C,2.{}01x x x <>或,3.{x |2<x ≤3},4. (－1,2),5. {}55x x x <->或,6.-4、-9, 7. {}217x x x -≤≤≤≤或4，8. {x |-3≤x ≤1}，9. 112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，10.3a ≤，11. 1a >，12. 2a < 13. 1a <-，14. 2a ≥.第二讲：基本不等式知识要点：1、基本不等式： 若0a >，0b >，则2a bab +≥a b =时，等号成立． 2a b+称为正数a 、b ab a 、b 的几何平均数． 变形应用：()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．2、基本不等式推广形式：如果,a b R +∈222a b +≥2a b +ab 211a b+，当且仅当a b =时，等号成立．3、基本不等式的应用：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

4、常用不等式：()()22222,22 2a b R a b ab ab a b a b ∈+≥≥+≥+若、则；典型例题：【例1】设a 、b ∈(0，＋∞)，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4【例2】设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32C ．1 D.12【例3】已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5【例4】已知a ＞0，b ＞0，且2b ＋ab ＋a ＝30，则ab 的最大值为________．【例5】设a ＞b ＞c ，且1a －b ＋1b －c ≥ma －c 恒成立，则m 的取值范围是________．【例6】（江苏11）2*,,,230,y x y z R x y z xz∈-+=的最小值为【例7】设x ∈R ＋且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．【例8】已知0x >，0y >，且1x y +=，求 2121x y ++的最大值.强化训练：1．（浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( ) （A ）12ab ≤ （B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．3.求2212sin cos y αα=+0,2πα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值4．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．55．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________.6. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值。

7．函数4522++=x x y 的最小值为多少？8．已知0,0,1a b a b ≥≥+=12a +21+b 的范围是____________。

答案：1.C,2.(a －b )(b －c )≤a －c 2,3.322+322+52112222a b <++≤.不等式专题第三讲：简单的线性规划问题知识要点：1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域2线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题3.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案典型例题：一、线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为a z c y x b b-=-+， 则z cb-可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.【例1】设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为.A 10 .B 12 .C 13 .D 14不等式专题二、非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。