【精准解析】湖南省怀化市麻阳一中2020届高三下学期3月第七次月考数学(文)试题
【精准解析】湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第七次月考数学(文)试题
2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题（共12小题）1.若集合{||2|2}A x x x =+=+，{}2|9=<B x x ，则A B =（ ）A. ()3,3-B. (2,3)-C. (3,2]-D. [2,3)-【答案】D 【解析】 【分析】首先确定集合,A B 中的元素，再由交集定义求解．【详解】由题意{|2}A x x =-，{|33}B x x =-<<，∴[2,3)A B ⋂=-， 故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．2.已知实数a ，b 满足11abi i=+-（i 为虚数单位）则复数z a bi =+的共轭复数为（ ） A. 12i -B. 2i -C. 2i +D. 12i +【答案】B 【解析】 【分析】已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出,a b ，得z 后可得其共轭复数． 【详解】由题意,a b ∈R ，且(1)(1)(1)(1)a i bi b b i =-+=++-，则11a b b =+⎧⎨=⎩，21a b =⎧⎨=⎩，∴2z i =+，2z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础． 3.设曲线C 为双曲线，则“C 的方程为221x y -=”是“C 的渐近线方程为y x =±”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，而渐近线为y x =±时，C 方程不一定为221x y -=，故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键．4.如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则2(4)f x x -的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞ B. (2,)+∞ C. (0,2) D. (2,4)【答案】C 【解析】 【分析】根据反函数知识求出()f x ，得复合函数2(4)f x x -，由对数型复合函数的性质可求得增区间．【详解】由題知，()ln f x x =，故()()224ln 4f x xx x -=-，定义域为(0,4)，(0,4)x ∈时，24y x x =-在(0,2)是递增，∴2(4)f x x -的单调递增区间为(0,2)．故选：C ．【点睛】本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A. 0，0B. 0，5C. 5，0D. 5，5【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论【详解】两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合．故选：B ．【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键．6.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（ ） A. 528π B.6336πC. 704πD.2112π【答案】B 【解析】 【分析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算， 【详解】设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =，∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得． 7.已知向量(1,1)a =-，OA a b =-，OB a b =+，若OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB 的面积为（ ）．A. 1B. 2C. 2D. 22【答案】B 【解析】 【分析】OAB 为等腰直角三角形，则有||||OA OB =及OA OB ⋅，【详解】由题知，||||0OA OB a b a b a b =⇒+=-⇒⋅=，220||||OA OB a b a b ⋅=-=⇒=，故||||2==OA OB ，则2OAB S =△， 故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键． 8.如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（ ）343- B.3310+ 433- D.43310+ 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数定义得cos ,sin αα，由诱导公式得cos ,sin ββ，再由两角差的余弦公式可求值．【详解】由题知，3cos 5α=，4sin 5α，cos 3β=-，1sin 2β=，则334cos()cos cos sin sin 10βαβαβα-=+=-+433-=， 故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D 【解析】 【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可． 【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．10.为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（ ）A.25B.710C.815D.715【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．11.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A 【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++++=++≥+=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=.12.如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，25PM =，则A 的值为（ ）1633833C. 8D. 16【答案】A【解析】 【分析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M点坐标，根据PM =离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ． 【详解】解：设(2,0),0Q a a >，函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足4PQR π∠=，∴(0,2a)R -，M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，）， 18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω． 函数经过(20)(08)P R -，，，， ∴sin 206 sin086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，||2πϕ≤，,3πϕ∴=-，解得A =， 故选A ．【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题． 二、填空题13.已知数列{}n a 满足1(1)n n na n a +=+，且612a =，则12a =__________． 【答案】24 【解析】 【分析】已知式变形为11n na a n n +=+，得一常数列{}n a n ，从而易得n a ，得12a 【详解】由题知11n n a a n n +=+，故626n a an ==，故1224a =．故答案为：24．【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是已知等式变形后构造出一个常数列． 14.已知直线3450x y ++=与圆222:()0O x y r r +=>相交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒，则r =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出圆心到弦的距离，在等腰三角形中易求得半径． 【详解】直线到圆心距离1d ==，由120AOB ∠=︒，故22r d ==．故答案为：2．【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理．15.在平行四边形ABCD 中，BD CD ⊥，AB BD ⊥，2AB CD ==，BD =BD 把ABD △翻折起来，形成三棱锥A BCD -，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】323π【解析】 【分析】由于题中的垂直及折叠后的平面垂直，因此把三棱锥可补形为长、宽、高分别为22，2，2的长方体，其外接圆直径易得，即半径易得．由此可求得体积．【详解】该三棱锥可补形为长、宽、高分别为22，2，2的长方体，故其外接圆直径为24484R =++=，2R =，故体积为343233V R ππ==． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是把几何体补成一个长方体，长方体的对角线就是外接球直径．16.设函数eln ,0()2020,0xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-⎩，函数2()[()]()2g x f x mf x =-+，若函数()g x 恰有4个零点，则整数m 的最小取值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】作出()f x 的图象，结合已知条件得方程2()20g t t mt =-+=有两正根1t ，2t ，且1(0,1)t ∈，212(2,)t t =∈+∞，可得m 的取值范围． 【详解】作出()f x 的图象，易知要使()0g t =有两正根1t ，2t ，且1(0,1)t ∈，212(2,)t t =∈+∞，故112(3,)m t t =+∈+∞，故m 的最小整数值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查函数零点个数，考查转化思想，通过作出函数图象，问题转化二次方程根的分布问题，由此可得m 的取值范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足37a =，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设(),k k A k a ，(,0)k B k ，*k N ∈，记以k A ，k 1A +，k B ，1k B +四点为顶点的四边形面积为k S ，求1321n S S S -+++…．【答案】（1）21n a n =+（2）()213212n S S S n n -+++=+…【解析】 【分析】（1）由11a -，21a -，41a -成等比数列求得公差d ，可得通项公式； （2）求出四边形面积k S ，可得()132112212n n S S S a a a -+++=+++…，由等差数列前n项和公式可得．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则1312162a a d d -=--=-，216a d -=-，416a d -=+，依题意，()()()2214111a a a -=--， 即2(6)(62)(6)d d d -=-+，化简得：220d d -=，又0d ≠，故2d =．3(3)21n a a n d n =+-=+．（2）由题知，四边形11k k k k A A B B ++为直角梯形， 故()111122k k k k k a aS a a +++=+⋅=， 故()()2132112211(341)22222n n n nS S S a a a n n -++⋅+++=+++=⋅=+…．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，及等比数列的性质．掌握等差数列通项公式和前n 项和公式是解题基础．18.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1236AB AA BC CD ====．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面11DAA D ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）32）存在，113DM DB = 【解析】 【分析】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ，由面面垂直求出棱柱的高，然后由体积公式计算体积； （2）连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ．可证得DNMC 是平行四边形，从而得线线平行后得线面平行．【详解】（1）过1A作1A H AB⊥于点H,由平面ABCD⊥平面1ABB A知，1A H⊥平面ABCD，133A H=故1111-=ABCD A B DCV S梯形11(26)3333632⋅=⨯+⨯⨯=ABCDA H（2）当113DMDB=时，CM∥平面11DAA D，证明：连结1DA，在1DB上取113DMDB=，在1DA上取113DNDA=，连接MN．则11MN A B∥，且2MN=．则MN DC=∥，故四边形CMND为平行四边形．故CM DN∥，CM⊄平面11AA D D，DN⊂平面11AA D D ．故CM∥平面11AA D D．【点睛】本题考查求棱柱的体积，考查线面平行和证明．求体积时，利用面面垂直得线面垂直，从而得棱柱的高．19.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tan2tanCB=-．（1）证明：2223a c b=-；（2）若53cos9A=，且ABC2，求c．【答案】（1）见解析（2）23c=或32【解析】【分析】（1）已知等式切化弦后应用正弦定理和余弦定理化角为边，进行翴的恒等变形可得；（2）由余弦定理及（1）的结论得b =或b =，由面积可得bc ，然后可求得c ． 【详解】（1）证明：由题知，tan 2tan C B =-， 即sin cos 2sin cos C B B C ⋅=-⋅， 由正弦定理和余弦定理知，222222222a c b a b c c b ac ba+-+-⋅=-⋅， 即222222222a c b a b c +-=--+， 即2223a c b =-．（2）由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=，又2223a c b =-，代入消去a 得，22203b c -+=，即(2)03b b ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭．即b =或3b =．又sin (0,))9A A π=∈，且1sin 2ABC S bc A ==△，ⅰ．当2b c =时，则2182⋅=c =；ⅱ．当3b =时，2183⋅=c =．故c =或【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式．属于中档题． 20.已知函数21()2x f x ax e b =-+．（1）若该函数在(1,(1))f 处的切线为y ex =，求,a b 的值； （2）若该函数在1x ，2x 处取得极值()120x x <<，且213x x ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2a e =，b e =．（2）ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出导函数，由导数几何意义可得,a b ；（2）由极值点得1212x x e e a x x ==，研究()xe h x x=的性质得1201x x <<<，结合213x x ． 分类：1103x <≤和1113x <<．前者由()h x 的单调性可得a 的最小值，后者转化为1213x x <<，则由单调性121(3)()()h x h x h x <=，这样可得1x 的取值范围，然后 可求得a 的范围．最后总结可得结论．【详解】（1）由题知：()x f x ax e '=-，故()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：()(1)2ay a e x e b =--+-+， 即()2ay a e x b =--+． 易知：2a e =，b e =．（2）由题知：1x ，2x 为()f x 的极值点， 则12120xx ax e ax e-=-=．即1212x x e e a x x ==． 令()x e h x x=，2(1)()x e x h x x '-=． 故()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．则1201x x <<<，且213x x ． ⅰ．若1103x <，由2(1,)x ∈+∞，故123x x >， ()h x 在(0,1)单调递减，故13a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭ⅱ．若1113x <<，此时1213x x <，()h x 在(1,)+∞单调递增， 故()1213112133x x x e e e h x x x x ==，即123x e ，11ln32x ． 此时，ln 32ln 3ln 32ln 32ea h ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 故实数a 的取值范围为ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性、函数的极值．由不等式恒成立转化为求函数的最小值．解题时注意极值点到a 的关系．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，121PP =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线11A P 与直线22A P 交于点P ，是否存在定点M 和N ，使||PM PN ||-||为定值．若存在，求M 、N 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214xy +=（2）存在，M 为(0)，N ．【解析】 【分析】（1）12PP 是椭圆的通径，由此已知条件可表示为,,a b c 的两个等式，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ．P 在直线11A P 可得00,,,P P x y x y 的关系，同理由P 在直线22A P 又得一关系式，消去00,x y 可得P 点轨迹方程，轨迹是双曲线，由双曲线定义可作答．【详解】（1）由题知：2221c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ． 则P ，1P ，1A 三点共线，022P P y y x x =++，①同理：0022P P y y x x -=--，②⨯①②得：22022044P P y y x x -=--， 又1P 在椭圆上，()2200144y x =-， 代入整理得：2214P P x y -=．即P 点的轨迹为双曲线2214x y -=，取M 、N 为该双曲线的左、右焦点．即(M，N ．此时||||||4PM PN -=为定值，故M为(0)，N ．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的定值问题．本题解法是求出动点P 的轨迹方程，由轨迹方程确定图形为双曲线，由双曲线定义可得结论．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知过点()0,0P x 的直线l 的倾斜角为6π，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos p θ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程并写出直线l 的一个参数方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数0x 的值．【答案】（1）2220x x y -+=．0212x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）01x =【解析】 【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得C 的直角坐标方程，由一点的坐标及倾斜角可得直线的参数方程；（2）由（1）中参数方程几何意义，把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得12t t ，12t t PA PB =，由此再求得0x【详解】（1）由2cos ρθ=，22cos ρρθ=．得曲线C 的方程为：222x y x +=，即2220x x y -+=．直线l的参数方程可为：012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （2）把直线l 的参数方程代入2220x x y -+=得：2200020t t x x +-+-=．由>0∆，得013x -<<．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12||||2t t PA PB =⋅=． 即20022x x -=，即20022x x -=±．解得：01x =．又0(1,3)x ∈-，故01x =±【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程．掌握直线的标准参数方程中参数t 的几何意义是解题关键． 选修4-5：不等式选讲 23.设函数()|21|f x x =-．（1）若函数()()F x f x ax =+有最小值，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()|21|||f x x x m +-+的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[2,2]a ∈-（2）11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值符号得()F x ，分析其有最小值的条件是左减右增，于是可得a 的范围．（2）由不等式在3[,2]4上恒成立得||2x m +在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．转化为22x m -+．max min (2)(2)x m x ---+，即可得结论．【详解】（1）1(2)1,2()()1(2)1,2a x x F x f x ax a x x ⎧+-⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，使()F x 有最小值的充要条件为2020a a +⎧⎨-⎩．即[2,2]a ∈-．（2）由题知：|21||21|||x x x m -+-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立． 即||21(21)x m x x ++--．即||2x m +3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． 则22x m -+．故max min (2)(2)x m x ---+． 得1104m -． 故实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查含绝对值的函数与不等式，解题时可根据绝对值的定义分类去绝对值符号后再分析求解．。
湖南省怀化市麻阳一中2020届高三下学期高考适应性考试文科数学试卷
绝密★启用前湖南省怀化市麻阳一中2020届高三毕业班下学期高考适应性考试数学(文)试题2020年5月注意事项：1. 答题前，请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核对试卷有无缺页、漏页等现象。
2. 本试卷共6页。
试卷满分150分。
考试时量120分钟。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}3813x A x =>,{}2N 12110B x x x =∈-+<,则A B =I A. {}2,3,4B. {}2,3,4,5C. {}5,6,7,8,9,10D. {}6,7,8,9,102. 已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位）,则复数i z b a =-的共轭复数为 A. 131i 55-+ B. 131i 55-- C. 131i 55+ D. 131i 55- 3. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作,书中有一道题为：“今有女善织,日益功疾（注：从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布）,第一天织5尺布,现一月（按30天计）共织390尺布”,则第30天织布A. 7尺B. 14尺C. 21尺D. 28尺 4. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为2 A. 2πB. 4πC. 2+4πD. 3+4π 5. 2016里约奥运会期间,小赵常看的4个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛,若小赵这时打开电视,随机打开其中两个频道试看,那么,小赵所看到的第一个电视台恰好没有转播奥运比赛,而第二个电视台恰好在转播奥运比赛的概率为 A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 6. 已知公差为()0d d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且18a d =,则5775S S = A. 57 B. 79 C. 1011 D. 11237. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是A. 1B. 2C. 4D. 88. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2a －c b ＝cos C cos B,b ＝4,则△ABC 的面积的最大值为 A. 43 B. 23 C. 33 D. 39. 已知定义在R 上的奇函数f ()x 满足(2)()f x e f x +=- (其中 2.7182?e =⋯),且在区间[,2]e e 上是减函数,令ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则(),(),()f a f b f c 的大小关系(用不等号连接)为A. ()()()f b f a f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f a f b f c >>D. ()()()f a f c f b >> 10. 若实数,x y 满足不等式组2{21x y y x y +≤-≤≥,则22(+2)+(3)x y -的最大值和最小值之和为 A. 192 B. 352 C. 14 D. 18。
湖南省怀化市麻阳一中2020届高三5月高考模拟考试文数试题(含答案)
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图： （1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取 6 个班级，再从这 6 个班级中随机抽取 2 个班级进行抽样复核，求所抽取的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和不少 于 3 的概率.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。写在本试卷上无效。
13. 曲线 f (x) ex ln x 在点（1,0）处的切线方程为
.
14. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 3a2 3n1an n ，则 S4
.
15. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实
…
…//////
…//////
…//////
…//////
… … … … 装 …
/ / / / / / /
/ / / / / / /
/ / / / / / /
/ / / / / / /
/ / / / / / /
/ / / / / / /
…//////
…//////
…//////
… / / /考 / / /
/ / /意 / / / …
/ / /清 / / / …
/ / /点 / / / …
/ / / / / / / / / / / / / / /
2020届高三下学期第三次月考试数学文科试卷
n(ad bc)2
，
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2…K )
0.050
0.010
0.001
精品 文档 欢迎下载
K
3.841
6.635
10.828
18．（ 12 分）在 V ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 2ccosB 2a b ． （ I）求角 C 的大小；
因为四边形 ABCD 是菱形， BAD 120 ，且 PC PB ， 所以 BC AM , BC PM ，又 AM I PM M ，
所以 BC ⊥ 平面 APM，又 AP 平面 APM，
所以 BC PA．
同理可证： DC PA ，又 BC I DC C ，
所以 PA 平面 ABCD ，所以平面 PAF 平面 ABCD ，
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，点 P x0, y0 是直线 bx ay 4a 0 上任意一点，若
2
圆 x x0
y y0 1 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是
A ． 1,2
B． 1,4
C． 2,
D ． 4,
2
第 II 卷 非选择题（ 90 分）
精品 文档 欢迎下载
17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分） 23．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地 改良玉米品种， 为农民提供技术支援， 现对已选出的一组玉米的茎高进行统计， 获得茎叶图如图 （单
2020年湖南省怀化三中高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
率为 0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据 =2.0946）（ ）
A. 3.1419
B. 3.1417
C. 3.1415
D. 3.1413
9. 已知函数 f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0）的最小正周期为 π，且对 x∈R，
恒成立，
若函数 y＝f（x）在[0，a]上单调递减，则 a 的最大值是（ ）
11.答案：D
解析：【分析】 本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算 能力，属于中档题． 由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，再由三 角形的余弦定理，可得 3c=5a，4c=5b，即可得到所求方程． 【解答】
直线 y=mx-e 恒过点（0，-e）．当直线 y=mx-e 与曲线 y=|f（x）|相切时，
第 10 页，共 16 页
切点为（x0，y0），此时
，解得
．
结合图象可知，关于 x 的方程|f（x）|=mx-e 无实数解，此时 m∈（-2e，0]． 故选 A．
8.答案：A
解析：【分析】 本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题．
由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得： =0.8269，所以
=0.8269，又
=2.0946，所以 π≈3.1419，得解． 【解答】 解：由几何概型中的面积型可得：
=0.8269，
所以 =0.8269，
，
又对任意的 x，都有
，
第 8 页，共 16 页
所以函数 f（x）在 上取得最小值，
则
，k∈Z，
2020年湖南省怀化市高考数学三模试卷(文科)含答案解析
2020年湖南省怀化市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4，5}B．{4，5，6}C．{x|4≤x≤5}D．{x|4≤x≤6}2．已知复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．若平面向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，且，则=（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（﹣6，3）4．函数y=f（x）和x=2的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或1个5．从2020名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2020人中剔除16人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2020人每人入选的概率是（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等且为D．都相等且为6．已知x，y满足，则z=2x﹣y+6的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．87．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺8．已知F1、F2为双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P为双曲线上一点且满足PF1⊥x轴，则|PF2|为（）A．6 B．2 C．4 D．59．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．3 B．13 C．8 D．1010．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．12πC．18πD．24π12．设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f′（x），且，当x∈（0，π）时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），则函数f（3﹣x）的定义域为．14．在等比数列{a n}中，a2•a3•a7=8，则a4=．15．已知A船在灯塔C的北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C的北偏西40°处，且B船到灯塔C的距离为1km，则A、B两船间的距离为km．16．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限内的交点，F1，F2分别是双曲线的左右焦点且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．18．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯）得到如下数据日期11日12日13日14日15日平均气温x（℃）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（1）若先从这5组数据中抽取2组，列出所有可能的结果并求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给的5组数据求出y关于x的线性回归方程=x+，并根据线性回归方程预测当气象台预报1月16日的白天气温为7℃时奶茶店这种饮料的销量（结果四舍五入）．附：线性回归方程=x+中，其中，为样本平均值．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（0，）在椭圆上，A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作BD⊥x轴交AP的延长线于点D，F为椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|；（2）求证：以BD为直径的圆与直径PF相切．21．已知函数，（其中a∈R，e为自然对数的底数（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是圆O的直径，C为AB的延长线上一点，切线CD交圆O于点D，∠ACD 的平分线分别交DB，DA于点E，F．（1）求证：DE=DF；（2）若DA=DC，AC=4，求CD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l的方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）（1）把曲线C的方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为2，求实数m的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|（a＞0），g（x）=x+2（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）当x∈（﹣，）时f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．2020年湖南省怀化市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{4，5}B．{4，5，6}C．{x|4≤x≤5}D．{x|4≤x≤6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可．【解答】解：A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为：A∩（C U B）={4，5}．故选：A．2．已知复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘除运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（1﹣i）=1+i，可得z====i．则z的共轭复数为：﹣i．故选：B．3．若平面向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，且，则=（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（﹣6，3）【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】由向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，得向量与向量反向，我们可令=λ（其中λ＜0），又由，我们可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ，代入即可得到向量的坐标．【解答】解∵向量与向量=（1，﹣2）的夹角是180°，∴向量与向量反向，令=λ=（λ，﹣2λ）（则λ＜0），又∵，∴=3解得λ=﹣3故=（﹣3，6）故选A4．函数y=f（x）和x=2的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或1个【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义可得函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点，由此得到结论．【解答】解：根据函数y=f（x）的定义，当x=2为定义域内一个值，有唯一的一个函数值f （x）与之对应，函数y=f（x）的图象与直线x=2有唯一交点．当x=2不在定义域内时，函数值f（x）不存在，函数y=f（x）的图象与直线x=2没有交点．故函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点，即函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点的个数是0或1，故选：D．5．从2020名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2020人中剔除16人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2020人每人入选的概率是（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等且为D．都相等且为【考点】系统抽样方法；简单随机抽样．【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断每个人入选的概率是多少．【解答】解：根据简单随机抽样与系统抽样方法的特点，得：每个人入选的概率都相等，且等于=．故选：C．6．已知x，y满足，则z=2x﹣y+6的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y+6表示直线在y轴上的截距加6，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x﹣y+6过点B时，表达式取得最大值，由可得B（1，0）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：2﹣0+6=8．故选：D．7．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），利用勾股定理，可得结论．【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．8．已知F1、F2为双曲线x2﹣=1的左右焦点，点P为双曲线上一点且满足PF1⊥x轴，则|PF2|为（）A．6 B．2 C．4 D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，由题意可得P在双曲线的左支上，令x=﹣c，求得y，可得|PF1|=4，再由双曲线的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线x2﹣=1的a=1，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），由PF1⊥x轴，可得点P在左支上，令x=﹣，代入双曲线的方程可得y=±2=±4，即有|PF1|=4，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，可得|PF2|=2+|PF1|=2+4=6．故选：A．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．3 B．13 C．8 D．10【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，S，k值，当k=5时，满足条件k ＞4，输出S的值为8．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=1，k=1S=2，k=2不满足条件k＞4，执行循环体，a=1，b=2，S=3，k=3不满足条件k＞4，执行循环体，a=2，b=3，S=5，k=4不满足条件k＞4，执行循环体，a=3，b=5，S=8，k=5满足条件k＞4，退出循环，输出S的值为8．故选：C．10．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．12πC．18πD．24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径是3，高是4，∴几何体的体积V==6π，故选：A．12．设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f′（x），且，当x∈（0，π）时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，根据函数单调性之间的关系解不等式即可．【解答】解：令，则g′（x）=，∵当x∈（0，π）时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，∴g′（x）=＜0，即g（x）在（0，π）上递减，在（﹣π，0）上递增，当x∈（0，π）时，；当x∈（﹣π，0）时，；故选B．二、填空题13．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），则函数f（3﹣x）的定义域为（1，4）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意可知﹣1＜3﹣x＜2，求出x的范围并用区间表示，即可所求函数的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣1，2），∴﹣1＜3﹣x＜2，解得1＜x＜4，∴所求函数y=f（3﹣x）的定义域是（1，4）．故答案为：（1，4）．14．在等比数列{a n}中，a2•a3•a7=8，则a4=2．【考点】等比数列的性质．【分析】直接利用等比数列的通项公式，结合条件，可得结论．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2•a3•a7=8，∴a1q•a1q2•a1q6=8，∴a1q3=2，∴a4=2．故答案为：2．15．已知A船在灯塔C的北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C的北偏西40°处，且B船到灯塔C的距离为1km，则A、B两船间的距离为km．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先确定|AC|、|BC|和∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|AB|的值．【解答】解：由题意可知|AC|=2，|BC|=1，∠ACB=120°在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB=4+1﹣2•2•1•（﹣）=7∴|AB|=km．故答案为：．16．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限内的交点，F1，F2分别是双曲线的左右焦点且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，可知PF1⊥PF2，由已知结合双曲线的定义求得|PF1|，|PF2|，再由勾股定理得答案．【解答】解：如图，∵圆x2+y2=a2+b2=c2，∴F1F2为圆的直径，则PF1⊥PF2，由，解得|PF1|=3a，|PF2|=a，∴，即，得e=．故答案为：．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，a n+1﹣a n=5a n+1，由此能求出．（Ⅱ）由，得=（），由此利用错位相减法能求出数列{}前n项和T n．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，∴a n+1﹣a n=5a n+1，…∴，∴数列{a n}是首项为，公比为q=﹣的等比数列，∴．…（Ⅱ）解：，…∴==（），…∴==．…18．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯）得到如下数据日期11日12日13日14日15日平均气温x（℃）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（1）若先从这5组数据中抽取2组，列出所有可能的结果并求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给的5组数据求出y关于x的线性回归方程=x+，并根据线性回归方程预测当气象台预报1月16日的白天气温为7℃时奶茶店这种饮料的销量（结果四舍五入）．附：线性回归方程=x+中，其中，为样本平均值．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有4种．根据等可能事件的概率做出结果．（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．利用线性回归方程，x取7，即可预测该奶茶店这种饮料的销量．【解答】解：（1）设这5组数据分别为a，b，c，d，e，则抽取2组数据可能的情况为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）总事件数为10种，满足相邻2天的基本事件数为4种情况，故概率P=…6分（2）=，==25…7分（x i﹣）（y i）=（﹣1）×（﹣2）+0+2×5+1×1+（﹣2）×（﹣4）=21（x i﹣）2=（﹣1）2+02+22+12+（﹣2）2=10…9分∴=21，=25﹣2.1×10=4∴=2.1x+4…10分故当温度为7℃时，销量为y=2.1×7+4=18.7杯．此时销量约为19杯…12分19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（0，）在椭圆上，A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作BD⊥x轴交AP的延长线于点D，F为椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|；（2）求证：以BD为直径的圆与直径PF相切．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆过点P（0，），求得b=，由离心率公式及a2=b2+c2，即可求得a 的值，即可求得椭圆的方程，求得直线PF的直线方程，代入椭圆方程，求得x1，x2，根据弦长公式即可求得|PM|；（2）求得直线AP的方程，与BD的直线方程x=2联立求D点坐标，即可求得圆心及半径R，利用点到直线的距离公式，求得d=R，以BD为直径的圆与直线PF相切．【解答】解：（1）∵椭圆过点P（0，），∴b=，又e=即=即，a2=b2+c2，故，∴椭圆方程为则F（1，0），P（0，），直线PF的方程为y=﹣（x﹣1），与椭圆方程联立有消去y得到5x2﹣8x=0，解得由弦长公式得|PM|=|x1﹣x2|=；（2）证明：过A（﹣2，0），P（0，）的直线AP的方程为y=（x+2）与BD的直线方程x=2联立有D（2，2），所以以BD为直径的圆的圆心为（2，），半径R=，圆心到直线PF的距离d===R所以以BD为直径的圆与直线PF相切．21．已知函数，（其中a∈R，e为自然对数的底数（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=0时求出f（x）的解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．（2）将a分离出来得a≤，设，然后利用导数研究函数g（x）在[1，+∞）上单调性，求出g（x）的最小值，使a≤g（x）min即可．【解答】解：（1）当a=0时，∴f'（x）=e x﹣x，∴f（0）=0，f'（0）=1，∴切线方程为y=x．（2）∵x≥1，∴≥0⇔a≤，设，则，设，则ϕ'（x）=x（e x﹣1）＞0，∴ϕ（x）在[1，+∞）上为增函数，∴ϕ（x）≥，∴，∴在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥，∴a≤．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是圆O的直径，C为AB的延长线上一点，切线CD交圆O于点D，∠ACD 的平分线分别交DB，DA于点E，F．（1）求证：DE=DF；（2）若DA=DC，AC=4，求CD的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理、角平分线的性质、三角形外角定理即可得出．（2）由（1）知可得：△DCB～△ACD，于是，可得∠DCA=∠DAC=∠CDB．由于AB是圆O的直径，可得∠BDA=90°，利用三角形内角和定理可得：∠DAC=∠DCA=∠CDB=30°，再利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】证明：（1）由弦切角定理可知∠CDB=∠A，∵∠DCE=∠FCA，∴∠CDB+∠DCE=∠A+∠FCA，由三角形的外角定理得∠DEF=∠DFE，∴DE=DF解：（2）由（1）知∠CDB=∠A，∠DCB=∠ACB（公共角），∴△DCB～△ACD，∴，又DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=∠CDB．由三角形的内角和定理知∠DCA+∠DAC+∠CDA=180°，∵AB是圆O的直径，∴∠BDA=90°，∠DAC+∠DCA+∠CDB=180°﹣90°=90°，∴∠DAC=∠DCA=∠CDB=30°，在Rt△ABD中tan30°=，又，AC=4，∴CD=．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l的方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）（1）把曲线C的方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为2，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用两角和的余弦展开，两边同时乘以ρ后代入ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；（2）化直线的参数方程为普通方程，画出图形，数形结合求得满足条件的实数m的取值范围．【解答】解：（1）由ρ=4cos（θ+），得=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρ（cosθ﹣sinθ），即x2+y2﹣4x+4y=0．化为标准方程：（x﹣2）2+（y+2）2=8．∴曲线C是以（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆；（2）化直线l的方程为x﹣y﹣m=0．若曲线C上存在点P到直线l的距离为2，由图可知，OA=6，OB=，∴直线x﹣y﹣m=0在y轴上截距的范围为[﹣12，4]，即﹣m∈[﹣12，4]，∴m∈[﹣4，12]．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|（a＞0），g（x）=x+2（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）当x∈（﹣，）时f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）化为分段函数，由h（x）的图象可知不等式的解集．（2）转化f（x）≤g（x）为a+1≤x+2，然后求解a的范围．【解答】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=则由h（x）的图象可知不等式的解集{x|x≤0或x≥}（2）当x∈（﹣，）时f（x）=a+1，又f（x）≤g（x），即a+1≤x+2，即x≥a﹣1恒成立，a﹣1≤﹣，∴a≤又∵a＞0，∴0＜a2020年8月4日。
2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(文)试题
绝密★启用前 2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合A ＝{x |2x +1＞﹣3}，B ＝{x |2x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ．∅ C ．（﹣2，1） D ．（1，+∞） 2．设z ＝i （i ﹣3），则|z |＝（ ） A B ．3 C ． D 3．已知向量a =r 1），b =r （2，，则向量a r ，b r 的夹角为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝x C ．y ＝﹣2x D ．y ＝﹣x 5．已知8log 7a =，3log 2b =，0.1c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L ，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（ ）A ．487号职工B ．307号职工C ．607号职工D ．520号职工 7．已知函数()()111+-+=+x x x e x e g x ，则下列说法错误的是（ ） A ．()g x 的定义域是R B ．()g x 是偶函数…………订……※订※※线※※内※※答※…………订……C ．()g x 在()0,∞+单调递减 D ．()g x 的最小值为1 8．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60,3==o A b c ，角A 的平分线交BC 于点D ，且BD =cos ADB ∠的值为（ ） A ． B C D ． 9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖牖P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）．A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π10．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）A ．2536B ．1136C ．2530 D ．53011．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．4812．已知20192018,(),x x af x x xa ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数m ，使函数()y f x m =-有两个零点，则a 的取值范围( )A ．(1,)+∞B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(,0)-∞第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若x，y满足2103230210x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝4x+3y的最小值是_____．14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____．15．在等比数列{}n a中，182na a+=，3281na a-=，且前n项和121nS=，则此数列的项数n等于_____．16．已知函数f(x)={ln(x+1),x>0,−x2+3x,x≤0，若不等式|f(x)|−mx+2≥0恒成立，则实数m的取值范围为__________．三、解答题17．在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos cos2b A a B c-=. （1）证明：tan3tanB A=-；（2）若222b c a+=，且ABC∆a.18．已知数列{}n a的前n项和为n S，0na>，2*2,n n nS a a n N=+∈.（1）求n a；（2）若1nnbS=，数列{}nb的前n项和为nT，求nT.19．如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且4,MC MD CD BC====，N为BC中点.…………○………………○……（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B I .【详解】∵A ＝{x |x ＞﹣2}，B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝（﹣2，1）．故选：C ．【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．A【解析】【分析】利用复数乘法运算求得z ，再求z 的模.【详解】∵z ＝i （i ﹣3）＝﹣1﹣3i ，∴|z|==故选：A ．【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的求法，属于基础题.3．D【解析】【分析】利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】242a b cos a b a b⋅===⨯r r r r r r ＜，＞，且0a b π≤≤r r ＜，＞， ∴a b r r ，的夹角为6π． 故选：D ．本小题主要考查向量夹角的坐标运算，属于基础题.4．B【解析】【分析】求得sin y x =的导函数，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程.【详解】由y ＝sin x ，得y ′＝cos x ，可得切线的斜率k ＝cos0＝1，∴曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为y ＝x ．故选：B ．【点睛】本小题主要考查在曲线上某点切线方程的求法，属于基础题.5．C【解析】【分析】根据89log 7log 7>，将39log 2log 4b ==，利用对数函数的单调性，可得,a b 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y 轴，则底数越小所以可知89log 7log 7a =>，而39log 2log 4b ==又9log y x =在定义域单调递增，所以99log 7log 4>且99991log 9log 7log 4log 10=>>>=所以01b a <<<由xy π=在R 上单调递增，所以0.101ππ>=所以1c >，故c a b >>故选：C本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b 大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题.6．D【解析】【分析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果.【详解】 由题可知：抽样距为8401556=， 设第一组抽出的号码为1a ，由前29组共有435项，前30组有450项所以可知442号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列{}n a ，公差为15所以()11301154427a a +-⨯=⇒=所以()7151158n a n n =+-=-当520n a =时，则52815852015n n -=⇒= 又n *∈N ，所以520号职工不是被抽到的员工故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a ，属基础题.7．C【解析】【分析】由()()111+-+=+x x x e x e g x 分别判断函数的定义域，奇偶性，利用导数判断函数的单调性与最值，可得答案.解：易得()()111+-+=+x x x e x e g x 定义域是R ，故A 正确； 由()()()111(1)11x x x x g x e x x x e x g e e x ---+++-+++===++-，故()g x 是偶函数，故B 正确； 当0x ≥时，()()222101+-'=≥+x x x xe e g x e ，所以()g x 在()0,∞+单调递增, 故C 不正确；由()g x 是偶函数，且0x ≥时()g x 单调递增，可得()g x 的最小值为()()min 01g x g ==，故D 正确；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等知识，熟悉函数的相关知识并利用导数求解是解题的关键.8．B【解析】【分析】由题意，60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，可得3CD b BD c==，由BD ==CD==a CB ，在ABC ∆,由余弦定理可得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD c BAD ADB，可得sin ∠=ADB ，判断出ADB ∠为锐角，可得答案.【详解】解法1：因为60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=o CAD BAD ，又3b c =，所以1sin 2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CAD DAB πb AD S CD b πBD S c AD c ，因为BD ==CD==a CB .因为2222cos a b c bc A =+-， 所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD c BAD ADB即41sin 2=∠ADB，所以sin ∠=ADB ， 因为3=>b c c ，所以B C >，因为30,30∠=+∠=+o o ADB C ADC B ，所以∠<∠ADB ADC ，所以ADB ∠为锐角，所以cos 7∠==ADB . 法2：因为60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=o CAD BAD ， 又3b c =，所以1sin 2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CAD DAB πb AD S CD b πBD S c AD c ，因为BD ==CD==a CB ，因为2222cos a b c bc A =+-， 所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =， 由余弦定理可得：222cos 2+-∠=⋅AD c BD BAD AD c，即216728+-=AD AD，所以290-+=AD ，所以(0-=AD AD .所以AD =AD =3=>b c c ，所以B C >又120+=o B C ，所以60>>∠o B BAD ，所以>=AD BD AD =所以222cos27+-∠===⋅DA DB AB ADB DA DB . 故选：B【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生的综合计算能力，熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活运用是解题的关键.9．A【解析】【分析】先根据鳖牖P ADE -的体积为l ，求得3PA =，再根据阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积．【详解】由题意，因为PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =， 又由鳖牖P ADE -的体积为1，所以111211332p AED AED V PA S PA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V ， 解得3PA =，而阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917R AD AB AP =++=++=（），即2417R =，球的表面积为2417R ππ=．故选A ．【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．A【解析】【分析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，(),x y 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(){},030,030x y x y Ω=≤≤≤≤是一个正方形区域，对应的面积3030900S =⨯=，则小张与小王至少相差5分钟到校事件(){},5A x y x y =-≥(如阴影部分)则符合题意的区域2525625A S =⨯=， 由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为6252590036P ==. 故选：A【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题.11．C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0），则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p ∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点，又∵AB ⊥x 轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（2p +|-2p |）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12．B【解析】【分析】 由()y f x m =-有两个零点可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图像可得a 的取值范围.【详解】解：由()y f x m =-有两个零点，可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，由20182019x x =，可得0x =或1x =，① 当1a ＞时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故1a ＞满足题意；② 当1a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；③ 当01a ＜＜时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；④ 当0a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；⑤ 当0a ＜时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故0a ＜满足题意；综上可得，0a ＜或1a ＞，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程跟的关系，考查了分段函数的相关知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的运用，属于中档题.13．12【解析】【分析】画出可行域，平移直线4133y x z=-+到可行域边界点11,42A⎛⎫-⎪⎝⎭时，目标函数取得最小值12.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝4x+3y得y43=-x13+z，平移直线y43=-x13+z，由图象可知当直线43=-x13+z经过点A时，直线43=-x13+z的截距最小，此时z最小．由210210yx y-=⎧⎨-+=⎩，解得1214yx⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即A（14-，12），代入目标函数z＝4x+3y得z12 =．即目标函数z＝4x+3y的最小值为12．故答案为：1 2【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 14．丙【解析】【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙．【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海， 若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙．故答案为：丙．【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.15．5【解析】【分析】由题意，易得1a 和n a 是方程282810x x -+=的两根，求解方程得到两根，分数列递增和数列递减可得1a ，n a ，再由121n S =得q ，进一步可得n 值.【详解】由等比数列的性质可得，13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程可得1x =或81x =，若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q q q q--∴==-- 解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q--∴==-- 解得13q =，111813n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =综上，数列的项数5n =故答案为：5【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式的计算，考查计算能力，属于基础题.16．[−3−2√2,0]【解析】不等式即：mx ≤|f (x )|+2恒成立，作出函数y =|f (x )+2|的图象，则正比例函数y =mx 恒在函数y =|f (x )+2|的图象下方，考查函数： y =x 2﹣3x +2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为k =−3−2√2，由此可得：实数m 的取值范围为[−3−2√2,0]，故答案为[−3−2√2,0]．17．（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由cos cos 2b A a B c -=，根据正弦定理可得sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos 3cos sin B A B A =-，所以， tan 3tan B A =-；（2）由222b c a +=+，根据余弦定理可得cos 2A =，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得a c =，由12sin 23S ac π=2122a =⨯=2a =. 试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得： sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，展开得： sin cos cos sin B A B A - ()2sin cos cos sin B A B A =+，整理得： sin cos 3cos sin B A B A =-，所以， tan 3tan B A =-.（2）由已知得： 222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc +-= ==由0A π<<，得： 6A π=， tan 3A =，∴tan B = 由0B π<<，得： 23B π=，所以6C π=， a c =，由12sin 23S ac π= 2122a =⨯= 2a =. 18．（1）,*=∈n a n n N （2）1211n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭【解析】【分析】（1）由2*2,n n n S a a n N =+∈，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-进行化简，可得11,2--=≥n n a a n ，可得n a 的表达式；（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ，可得()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ，由裂项相消法可得n T 的值.【详解】解：（1）由21112S a a =+得，21112a a a =+， 解得10a =（舍去），或11a =，∴11a =，∵2*2,n n n S a a n N =+∈，∴21112,2---=+≥n n n S a a n ，两式相减得，()22*1112,----=-+-∈n n n n n n S S a a a a n N 22112,*--=-+-∈n n n n n a a a a a n N()()()2211110,10,2------+=+--=≥n n n n n n n n a a a a a a a a n ，∵10n n a a ->+，∴11,2--=≥n n a a n ，∴{}n a 为等差数列，公差为1，11a =.∴,*=∈n a n n N .（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ∴()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n ， ∴111111212122311⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n n . 【点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题.19．（1）见解析（2 【解析】【分析】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，证明MO ⊥平面ABCD ， 再利用勾股定理证明AN MN ⊥；（2）利用等积法得13C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯△，通过计算即可得到答案. 【详解】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ， Q MC MD =，O 为CD 中点，∴MO CD ⊥，又Q 平面MCD ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，则6MO ON ===，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，∴222MN AN AM +=，∴AN MN ⊥.（2）连接AC ，NAC △的面积为：11422NAC S AB NC =⨯⨯=⨯⨯△∴三棱锥C MAN -的体积为：1133C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯=⨯△【点睛】本题考查线面垂直判定定理和勾股定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三棱锥的等体积法的应用. 20．（1）12（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【解析】 【分析】（1）根据题意，用样本中近视的学生人数除以样本容量，得到近视率；（2）根据独立性检验的方法，计算2K ，将2K 观测值与6.635比较，运用独立性检验的相关知识给出结论即可. 【详解】（1）从表格中可知，100名学生中，近视的学生有203050+＝名， 所以可估计该中学一年级学生的近视率为5011002=； （2）22100(20153530)9.09 6.63555455050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【点睛】本题考查（1）用样本估计总体（2）独立性检验，考查计算能力，考查数据分析能力，属于基础题.21．（1）221(0)2x y x +=≠（2【解析】【分析】（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且1112y y x x -+⋅=-，化简即可得出答案； （2）由题意OM ON ⊥，当点M 在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点M 不在椭圆的左右顶点位置时，设直线OM 的斜率k，联立直线与椭圆的方程可求得||OM =||ON = 【详解】解：（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且11,PA PB y y k k x x-+==， 所以1112y y x x -+⋅=-， 化简得2212x y +=，故点P 的轨迹C 的方程为221(0)2x y x +=≠；（2）因为0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，所以OM ON ⊥，当点M 在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，122OMN S ∆==当点M 不在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，直线OM 的斜率存在且不为0，设为k ，则OM 的方程为y kx =，22,1,2y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得222222,122,12x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以||OM =， 此时ON 的方程为1=-y x k，所以(2,2),||N k ON -=，1||||2OMN S OM ON ∆===，令212t k =+，则1t >，且212t k -=，所以，OMNS ∆==>综上可知，OMN ∆． 【点睛】本题主要考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题． 22．（1）最小值为14．（2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，则211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立，转化不等式为2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭，令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求解()g x 的最小值，则min ()a g x -≤，即可求解参数最值.（2）问题等价于当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可. 【详解】（1）由已知得()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞， ∵()f x 在(1,)+∞上为减函数， ∴211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立，2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭， 令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故当111nx 2=，即2x e =时，()g x 的最小值为14-，∴14a -≤-，即14a ≥∴a 的最小值为14．（2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立”， 等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min max ()'()f x f x a ≤+”，由（1）知，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，ln [1,2]x ∈，11,1ln 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 22ln 1111()(ln )ln 24x f x a a x x -⎛⎫'=-+=--+- ⎪⎝⎭， max 1()4f x a '∴+=， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4f x ≤”， ①当14a -≤-，即14a ≥时，由（1），()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()222min 2211111(),,244224e f x f eae a a e e==-+≤∴-≤-∴≥-．②当104a -<-<，即104a <<时，21,,ln ,12x e e x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦Q ， ∵211()(1)nx f x a nx -'=-+，由复合函数的单调性知()f x '在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，∴存在唯()20,x e e-∈，使()00f x '=且满足：()0min 000()ln x f x f x ax x ==-+， 要使min00111111(),44ln 424f x a x x ≤∴-≤-<-=-， 与104a -<-<矛盾，∴104a -<-<不合题意． 综上，实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题（2）利用导数研究函数恒成立与能成立的问题，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.。
2020年6月湖南省怀化市普通高中2020届高三下期高考仿真模拟考试(三模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前湖南省怀化市普通高中2020届高三毕业班下学期高考仿真模拟考试(三模)数学(文)试题(解析版)2020年6月注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上1. 设集合{}1,2,5A =，{}250B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ） A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,4D. {}1,5【答案】C【解析】【分析】 根据{}1A B ⋂=可得1B ∈，从而得到m 的值，再代入求出二次方程的根，即可得到答案； 【详解】{}1A B ⋂=，∴1B ∈，∴150m -+=，解得：4m =， ∴{}{}{}22505401,4B x x x m x x x =-+==-+==， 故选：C.【点睛】本题考查利用集合交运算的结果求参数值，再进一步求集合，考查运算求解能力，属于基础题.2. 函数()sin()3f x x π=+的最小正周期是（ ） A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】A【解析】【分析】 先求出函数sin()3y x π=+的周期，再将周期除以2，即可得到答案； 【详解】函数()sin()3f x x π=+的图象是由函数sin()3y x π=+的图象，将x 轴下方翻到x 轴上方，∴函数()sin()3f x x π=+的周期为函数sin()3y x π=+周期的一半， 函数sin()3y x π=+周期为2π， ∴22T ππ==， 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题.3. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的.如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD ，在正方形ABCD 内任取一点P ，则该点落在正方形EFGH 内的概率为（ ）。
【精准解析】湖南省怀化市麻阳一中2020届高三下学期3月第七次月考数学(文)试题
麻阳一中2020届高三月考试卷（七）数学（文科）注意事项：1. 答题前，请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核对试卷有误缺页、漏页等现象.2. 本试卷共4页.试卷满分150分.考试时量120分钟.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选修部分外）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A. （﹣∞，﹣2）B. ∅C. （﹣2，1）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合,A B，由此求得A B.【详解】∵A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝（﹣2，1）．故选：C．【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）10 B. 3 26【答案】A【解析】【分析】利用复数乘法运算求得z，再求z的模.【详解】∵z ＝i （i ﹣3）＝﹣1﹣3i ，∴|z |= 故选：A ．【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的求法，属于基础题.3.已知向量a =1），b =（2，，则向量a ，b 的夹角为（ ） A.2πB.3π C.4π D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角.【详解】232a b cos a b a b⋅+===＜，＞，且0a b π≤≤＜，＞，∴a b ，的夹角为6π． 故选：D ．【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，属于基础题. 4.曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为（ ） A. y ＝2x B. y ＝xC. y ＝﹣2xD. y ＝﹣x【答案】B 【解析】 【分析】求得sin y x =的导函数，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程. 【详解】由y ＝sin x ，得y ′＝cos x ，可得切线的斜率k ＝cos0＝1， ∴曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为y ＝x ． 故选：B ．【点睛】本小题主要考查在曲线上某点切线方程的求法，属于基础题. 5.已知8log 7a =，3log 2b =，0.1c π=，则（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.c a b <<【答案】C【解析】 【分析】根据89log 7log 7>，将39log 2log 4b ==，利用对数函数的单调性，可得,a b 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果. 【详解】由对数函数比较底数大小口诀： 在第一象限，图像越靠近y 轴，则底数越小 所以可知89log 7log 7a =>， 而39log 2log 4b ==又9log y x =在定义域单调递增，所以99log 7log 4> 且99991log 9log 7log 4log 10=>>>=所以01b a <<<由xy π=在R 上单调递增，所以0.101ππ>= 所以1c >，故c a b >> 故选：C【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b 大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题. 6.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（ ）A. 487号职工B. 307号职工C. 607号职工D. 520号职工 【答案】D 【解析】 【分析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果. 【详解】由题可知：抽样距为8401556=， 设第一组抽出的号码为1a ，由前29组共有435项，前30组有450项 所以可知442号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列{}n a ，公差为15 所以()11301154427a a +-⨯=⇒= 所以()7151158n a n n =+-=- 当520n a =时，则52815852015n n -=⇒=又n *∈N ，所以520号职工不是被抽到的员工 故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a ，属基础题. 7.已知函数()()111+-+=+x xx e x e g x ，则下列说法错误的是（ ）A. ()g x 的定义域是RB. ()g x 是偶函数C. ()g x 在()0,∞+单调递减D. ()g x 的最小值为1【答案】C 【解析】 【分析】 由()()111+-+=+x x x e x e g x 分别判断函数的定义域，奇偶性，利用导数判断函数的单调性与最值，可得答案. 【详解】解：易得()()111+-+=+x x x e x e g x 定义域是R ，故A 正确； 由()()()111(1)11x x xxg x e x x x e x g e ex ---+++-+++===++-，故()g x 是偶函数，故B 正确；当0x ≥时，()()222101+-'=≥+x x xxe e g x e，所以()g x 在()0,∞+单调递增, 故C 不正确；由()g x 是偶函数，且0x ≥时()g x 单调递增，可得()g x 的最小值为()()min 01g x g ==，故D 正确；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等知识，熟悉函数的相关知识并利用导数求解是解题的关键.8.已知ABC ∆的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60,3==A b c ，角A 的平分线交BC 于点D ，且7BD =，则cos ADB ∠的值为（ ）A. 21-B.21 C.27D. 27±【答案】B 【解析】 【分析】由题意，60A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，可得3CD bBD c==，由7BD =可得37=CD ， 47==a CB ，在ABC ∆,由余弦定理可得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD cBAD ADB，可得sin 7∠=ADB ，判断出ADB ∠为锐角，可得答案.【详解】解法1：因为60A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=CAD BAD ，又3b c =，所以1sin2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CADDABπb AD S CD b πBD S c AD c ， 因为7BD =37=CD 47==a CB 因为2222cos a b c bc A =+-，所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD cBAD ADB即741sin 2=∠ADB，所以sin 7∠=ADB ， 因为3=>b c c ，所以B C >，因为30,30∠=+∠=+ADB C ADC B ， 所以∠<∠ADB ADC ，所以ADB ∠为锐角， 所以321cos 77∠==ADB . 法2：因为60A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=CAD BAD ，又3b c =，所以1sin2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CADDABπb AD S CD b πBD S c AD c ， 因为7BD =，所以37=CD ，所以47==a CB ，因为2222cos a b c bc A =+-，所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =，由余弦定理可得：222cos 2+-∠=⋅AD c BD BAD AD c ，即2316728+-=AD AD，所以24390-+=AD ，所以(3330-=AD AD .所以33AD =3AD =3=>b c c ，所以B C >又120+=B C ，所以60>>∠B BAD ，所以7>=AD BD ，所以33AD =，所以22221cos 272337+-∠===⋅⨯⨯DA DB AB ADB DA DB . 故选：B【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生的综合计算能力，熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活运用是解题的关键.9.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖牖P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）．A. 17πB. 18πC. 19πD. 20π【答案】A 【解析】 【分析】先根据鳖牖P ADE -的体积为l ，求得3PA =，再根据阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积．【详解】由题意，因为PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =， 又由鳖牖P ADE -的体积为1，所以111211332p AED AEDV PA S PA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 解得3PA =，而阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917R AD AB AP =++=++=（），即2417R =，球的表面积为2417R ππ=． 故选A ．【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10.某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）A. 2536 B.1136 C. 2530D. 530【答案】A 【解析】 【分析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解.【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，(),x y 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(){},030,030x y x y Ω=≤≤≤≤是一个正方形区域，对应的面积3030900S =⨯=，则小张与小王至少相差5分钟到校事件(){},5A x y x y =-≥(如阴影部分)则符合题意的区域2525625A S =⨯=，由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为6252590036P ==. 故选：A【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题. 11.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24C. 36D. 48【答案】C 【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S△ABP=12（DP•AB）=12×6×12=36故选C ．12.已知20192018,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数m ，使函数()y f x m =-有两个零点，则a 的取值范围( ) A. (1,)+∞ B. (,0)(1,)-∞⋃+∞ C. (0,1)(1,)⋃+∞ D. (,0)-∞【答案】B 【解析】【分析】由()y f x m =-有两个零点可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图像可得a 的取值范围.【详解】解：由()y f x m =-有两个零点，可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，由20182019x x =，可得0x =或1x =，① 当1a ＞时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故1a ＞满足题意；② 当1a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意； ③ 当01a ＜＜时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；④ 当0a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；⑤ 当0a ＜时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故0a ＜满足题意；综上可得，0a ＜或1a ＞， 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程跟的关系，考查了分段函数的相关知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的运用，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、非选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足2103230210x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝4x+3y的最小值是_____．【答案】1 2【解析】【分析】画出可行域，平移直线4133y x z=-+到可行域边界点11,42A⎛⎫-⎪⎝⎭时，目标函数取得最小值12.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝4x+3y得y43=-x13+z，平移直线y43=-x13+z，由图象可知当直线43=-x13+z经过点A时，直线43=-x13+z的截距最小，此时z最小．由210210yx y-=⎧⎨-+=⎩，解得1214yx⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即A（14-，12），代入目标函数z＝4x+3y得z12 =．即目标函数z＝4x+3y的最小值为12．故答案为：1 2【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____． 【答案】丙 【解析】 【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙．【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾， 故去过北京的是丙． 故答案为：丙．【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.15.在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于_____．【答案】5 【解析】 【分析】由题意，易得1a 和n a 是方程282810x x -+=的两根，求解方程得到两根，分数列递增和数列递减可得1a ，n a ，再由121n S =得q ，进一步可得n 值.【详解】由等比数列的性质可得，13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程可得1x =或81x =，若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =，118112111n a a q qq q--∴==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n = 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =，18112111n a a q qq q--∴==--解得13q =，111813n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =综上，数列的项数5n = 故答案为：5【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式的计算，考查计算能力，属于基础题. 16.已知函数()21,0,()={3,0ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即：()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--，由此可得：实数m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=+，且ABC ∆3a . 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】试题分析：（1）由cos cos 2b A a B c -=，根据正弦定理可得sin cos cos sin B A B A -()2sin 2sin C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-；（2）由2223b c a bc +=，根据余弦定理可得3cos A =，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得a c =，由12sin 23S ac π=21332==2a =. 试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A - ()2sin cos cos sin B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc +-= ==由0A π<<，得：6A π=，tan 3A =，∴tan B = 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =，由12sin 23S ac π=2122a =⨯=2a =. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，2*2,n n n S a a n N =+∈.（1）求n a ； （2）若1n nb S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）,*=∈n a n n N （2）1211n T n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭【解析】 【分析】（1）由2*2,n n n S a a n N =+∈，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-进行化简，可得11,2--=≥n n a a n ，可得n a 的表达式；（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ，可得()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n ，由裂项相消法可得n T 的值.【详解】解：（1）由21112S a a =+得，21112a a a =+，解得10a =（舍去），或11a =， ∴11a =，∵2*2,n n n S a a n N =+∈，∴21112,2---=+≥n n n S a a n ，两式相减得，()22*1112,----=-+-∈n n n n n n S S a a a a n N22112,*--=-+-∈n n n n n a a a a a n N()()()2211110,10,2------+=+--=≥n n n n n n n n a a a a a a a a n ，∵10n n a a ->+，∴11,2--=≥n n a a n ， ∴{}n a 等差数列，公差为1，11a =.∴,*=∈n a n n N .（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ∴()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n ， ∴111111212122311⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n n . 【点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题.19.如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且4,42MC MD CD BC ====，N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥； （2）求三棱锥C MAN -的体积. 【答案】（1）见解析（286【解析】 【分析】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，证明MO ⊥平面ABCD ， 再利用勾股定理证明AN MN ⊥；（2）利用等积法得13C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯△，通过计算即可得到答案. 【详解】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，MC MD =，O 为CD 中点，∴MO CD ⊥，又平面MCD ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，则23,23,6MO ON OA ===，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，∴222MN AN AM +=，∴AN MN ⊥.（2）连接AC ，NAC △的面积为：114224222NAC S AB NC =⨯⨯=⨯⨯△∴三棱锥C MAN -的体积为：1186422333C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯=⨯△【点睛】本题考查线面垂直判定定理和勾股定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三棱锥的等体积法的应用.20.为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：近视 不近视 足够的户外暴露时间 20 35 不足够的户外暴露时间 3015（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）12（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【解析】 【分析】（1）根据题意，用样本中近视的学生人数除以样本容量，得到近视率；（2）根据独立性检验的方法，计算2K ，将2K 观测值与6.635比较，运用独立性检验的相关知识给出结论即可.【详解】（1）从表格中可知，100名学生中，近视的学生有203050+＝名， 所以可估计该中学一年级学生的近视率为5011002=； （2）22100(20153530)9.09 6.63555455050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【点睛】本题考查（1）用样本估计总体（2）独立性检验，考查计算能力，考查数据分析能力，属于基础题.21.已知定点(0,1),(0,1)A B -，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为12-. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知点M 是轨迹C 上的动点，点N 在直线2y =上，且满足0OM ON ⋅=（其中O 为坐标原点），求OMN ∆面积的最小值.【答案】（1）221(0)2x y x +=≠（2【解析】 分析】（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且1112y y x x -+⋅=-，化简即可得出答案； （2）由题意OM ON ⊥，当点M 在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点M 不在椭圆的左右顶点位置时，设直线OM 的斜率k，联立直线与椭圆的方程可求得||OM =同理可求得||ON =【详解】解：（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且11,PA PB y y k k x x-+==， 所以1112y y x x -+⋅=-， 化简得2212x y +=，故点P 的轨迹C 的方程为221(0)2x y x +=≠；（2）因为0OM ON ⋅=，所以OM ON ⊥，当点M 在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，122OMN S ∆==当点M 不在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，直线OM 的斜率存在且不为0，设为k ，则OM 的方程为y kx =，22,1,2y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得222222,122,12x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以||OM =， 此时ON 的方程为1=-y x k，所以(2,2),||N k ON -=1||||2OMNS OM ON ∆===，令212t k =+，则1t >，且212t k -=，所以，OMNS ∆==>，综上可知，OMN ∆．【点睛】本题主要考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题．22.设函数()1xf x ax nx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最小值为14．（2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，则211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立，转化不等式为2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭，令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求解()g x 的最小值，则min ()a g x -≤，即可求解参数最值.（2）问题等价于当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可.【详解】（1）由已知得()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞， ∵()f x 在(1,)+∞上为减函数， ∴211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立， 2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭， 令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故当111nx 2=，即2x e =时，()g x 的最小值为14-，∴14a -≤-，即14a ≥∴a 的最小值为14．（2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立”，等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min max ()'()f x f x a ≤+”，由（1）知，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，ln [1,2]x ∈，11,1ln 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 22ln 1111()(ln )ln 24x f x a a x x -⎛⎫'=-+=--+- ⎪⎝⎭， max 1()4f x a '∴+=， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4f x ≤”， ①当14a -≤-，即14a ≥时，由（1），()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()222min 2211111(),,244224e f x f e ae a a e e ==-+≤∴-≤-∴≥-． ②当104a -<-<，即104a <<时，21,,ln ,12x e e x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦， ∵211()(1)nx f x a nx -'=-+，由复合函数的单调性知()f x '在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数， ∴存在唯()20,x e e -∈，使()00f x '=且满足： ()0min 000()ln x f x f x ax x ==-+， 要使min 00111111(),44ln 424f x a x x ≤∴-≤-<-=-， 与104a -<-<矛盾，∴104a -<-<不合题意． 综上，实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题（2）利用导数研究函数恒成立与能成立的问题，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.。
2020-2021学年湖南省怀化市麻阳第一中学高三数学文月考试卷含解析
2020-2021学年湖南省怀化市麻阳第一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. －2D. 2参考答案：B【分析】利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为1.故选B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.2. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据※，该数据应为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C3. 在等差数列{a n}中，若a4+ a6+ a8+ a10+ a12=90，则a10-a14的值为A．12 B．14 C．16 D．18参考答案：A略4. 下列函数既是奇函数又在上是减函数的是（）A. B. C. D.参考答案：C,在上是增函数，所以排除A,D,在上不单调，所以选C.5. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】首先求出函数的定义域，然后判断奇偶性，再考虑时，函数的单调性，用排除法进行选择.【详解】函数的定义定义域为，，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B，当时，，故可排除C;当时，，显然当时，，函数是单调递减的，可排除D，故本题选A.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此问题可以从定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性入手，易采用排除法，有时找特殊点、特殊值也是常用的方法.6. 某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．得分在[40,60)之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D．估计得分的众数为55参考答案：C7. 已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是A. B.C. D.参考答案：B略8. 在中，D为AB边上一点，，，则=A． B. C. D.参考答案：B9. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A． 6 B．7 C．8 D．9参考答案：D考点：一元二次方程根与系数的关系；等差数列和等比数列的性质10. 已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，4]【考点】函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4，求解该不等式得答案．【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．12. 指数方程的解是 .参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【试题分析】令，则有，所以或（舍去），即，故答案为.13. 函数的定义域是 .参考答案：14. 如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.参考答案：15. 若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为．参考答案：4由三角函数的图象可知，直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则，所以。