二次根式的双重非负性来解题电子教案
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2.当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
16.1二次根式性质(教案)
5.增强学生的数学应用意识：将二次根式知识与实际应用相结合，使学生体会数学在生活中的广泛应用和价值。
本节课将围绕这些核心素养目标展开教学，帮助学生全面提升数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-针对乘除法则的难点，设计对比练习题，让学生区分√a * √b和√(a * b)的区别，以及何时使用除法法则。
-对于化简复杂二次根式，举例说明如何将√(75)化简为5√3，强调寻找平方因子的方法。
-在实际问题中，如计算正方形的对角线长度，指导学生如何将问题转化为二次根式的计算，突破建模难点。
四、教学流程
本节课的教学重点主要包括以下几点：
（1）理解二次根式的定义：学生需掌握二次根式的概念，即形如√a（a≥0）的数。
（2）掌握二次根式的性质：包括非负性、平方等于被开方数、乘法法则和除法法则。
（3）熟练运用二次根式的化简与运算：学生需要学会将二次根式进行化简，并进行加减乘除运算。
（4）实际应用：学生需要学会将二次根式应用于解决实际问题。
16.1二次根式性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十六章第一节，主要围绕“16.1二次根式性质”展开。内容包括：
1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的数称为二次根式。
2.二次根式的性质：
（1）二次根式具有非负性，即√a≥0。
（2）二次根式的平方等于被开方数，即（√a）^2 = a。
（3）二次根式的乘法法则：√a * √b = √(a * b)。
举例：
-重点强调二次根式乘法法则：√a * √b = √(a * b)，通过具体例子解释说明。
数学 教案人教版 八升九-1 二次根式的性质与运算
第一讲二次根式的性质与运算［教学内容］暑期衔接版，八升九第一讲“二次根式的性质与运算”.[教学目标]知识与技能1.掌握二次根式的概念，并会根据二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.2.理解二次根式的双重非负性.3.理解二次根式的性质并能够根据性质对二次根式进行化简计算.数学思考在研究二次根式性质的过程中，建立符号意识，独立思考，体会类比、分类讨论的思想方法. 问题解决经历二次根式性质的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.情感态度1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界.2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.[教学重点、难点]重点：二次根式的概念与性质.难点：二次根式的概念的理解及性质的运用.[教学准备]动画多媒体语言课件.第一课时第二课时答案：【类似性问题】1. D2. C3. C4. A5. 56. 解：根据题意得解得所以3x+2y=3×2+2×5=16，故3x+2y的平方根是±4．7.解：∵,∴解得6≤x<9.又∵x为奇数，∴x=7.∴===8+2.手册答案1. B2. C3. C4. A5. C6. B7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）8.9. 810. x11. 3ab12.解：∵c＜a＜0＜b，∴原式=｜b-a｜-｜b｜+｜c-b｜-｜a-c｜=b-a-b-（c-b）-（a-c）=b-a-b-c+b-a+c=-2a+b．13.解：（1）∵（ab-2）2+=0，∴解得（2）当a=2，b=1时，===1-=．。
八年级数学下册第16章 微专题2 二次根式的双重非负性
5．(2021·广东)若|a－ 3|＋ 9a2－12ab＋4b2＝0，则 ab 的值为( A )
A．92
B． 3
C．4 3
D．9
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微专题2 二次根式的双重非负性
考向3 运用二次根式的双重非负性解题 6．【原创题】已知y＝ x－5＋ 5－x ＋3，求x2－y2的算术平方根． 解：依题意，得x－5≥0，5－x≥0，∴x＝5. ∴y＝ x－5＋ 5－x＋3＝3. ∴x2－y2＝52－32＝16. ∴x2－y2的算术平方根为4.
第十六章 二次根式 微专题2 二次根式的双重非负性
第十六章 二次根式 微专题2 二次根式的双重非负性
微专题2 二次根式的双重非负性 【满分技法】 二次根式 a (a≥0)具有双重非负性 非负性(1)：二次根式的被开方数是非负数，即a≥0； 非负性(2)：二次根式的结果也是非负数，即 a ≥0.
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微专题2 二次根式的双重非负性
考向 1 运用 a中 a≥0 求范围 1．(1)(2020·广东)若式子 2x－4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 __x_≥__2_. (2)若式子 xx－＋23有意义，则 x 的取值范围是_x_≥__－__3_且__x_≠__2__. (3)若式子 x1－1有意义，则 x 的取值范围是__x_＞__1_. 2．若 (3－x)2＝x－3，则 x 的取值范围是_x_≥__3__.
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微专题2 二次根式的双重非负性
3．若－1＜x＜2，求 (x＋1)2 －|x－2|的值． 解：∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0. ∴原式＝|x＋1|－|x－2| ＝x＋1－(2－x) ＝x＋1－2＋x ＝2x－1.
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微专题2 二次根式的双重非负性
2.7二次根式第三课时(教案)
在今天的二次根式教学中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解普遍较好，但在具体的运算和应用上还存在一些问题。首先，我在导入环节通过日常生活中的例子引入二次根式的概念，这一点看来是成功的，学生们能够很快地进入到学习状态，对二次根式的意义有了直观的认识。
然而，在讲解二次根式的乘除法则时，我发现部分学生在处理非完全平方数时感到困惑。我意识到，这里需要更多的例题和练习来巩固他们的理解。在接下来的教学中，我会增加一些针对性的练习，特别是对于乘除法则的运用，让学生们通过实际操作来加深记忆。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的基本概念、性质、乘除法则及其在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-二次根式的乘除法：熟练运用二次根式的乘法法则（如√a * √b = √(ab)）和除法法则（如√a / √b = √(a/b)，其中b不为零）进行运算。
-二次根式的化简：掌握将二次根式化简为最简形式的方法，包括分解质因数、提公因数等，如√(12x^5)化简为2x^2√3x。
-二次根式的应用：解决实际问题时运用二次根式，如计算矩形对角线长度或三角形面积。
在实践活动中，分组讨论的环节学生们表现得非常积极，能够主动思考二次根式在实际问题中的应用。但在实验操作中，我发现有些小组在具体测量和计算时遇到了一些困难。这可能是因为他们在将理论知识应用到实际操作时还不够熟练。我考虑在未来的课程中，加入更多的实际操作环节，让学生在实践中学习和体会数学知识的应用。
二次根式教案及教学设计
二次根式教案及教学设计二次根式是在学生掌握了平方根、算术平方根的基础上进一步学习的重点内容，如何设计二次根式教学呢?下面是的二次根式教案资料，欢迎阅读。
二次根式教案篇1教学建议知识结构：重点难点分析：是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.教法建议：1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.2. 本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式);第二课时讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.3. 引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.教学设计示例一、教学目标1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算;2.会进行简单的二次根式的除法运算;3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4. 培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力;5. 通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力;6. 通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比.四、教学手段利用投影仪.五、教学过程(一) 引入新课学生回忆及得算数平方根和性质：(a≥0，b≥0)是用什么样的方法引出的?(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)学生观察下面的例子，并计算：由学生总结上面两个式的关系得：类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：(二)新课商的算术平方根.一般地，有(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.让学生讨论这个式子成立的条件是什么?a≥0，b>0，对于为什么b>0，要使学生通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义.引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.例1 化简：(1) ; (2) ; (3) ;解∶(1)(2)(3)说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.例2 化简：(1) ; (2) ;解：(1)(2)让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决?再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.学生讨论本节课所学内容，并进行小结.(三)小结1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.(四)练习1.化简：(1) ; (2) ; (3) .2.化简：(1) ; (2) ; (3)六、作业教材P.183习题11.3;A组1.七、板书设计二次根式的除法二次根式教案篇2一、内容和内容解析1.内容二次根式的概念.2.内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是:了解二次根式的概念;二、目标和目标解析1.教学目标(1)体会研究二次根式是实际的需要.(2)了解二次根式的概念.2. 教学目标解析(1)学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性.(2)学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围.三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“ 的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为:理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1.创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗?(1)面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______.(2)一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____.师生活动:学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性.问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义?它们有什么共同特征?师生活动:教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫.2.抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?师生活动:学生小组讨论，全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力.追问:在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”?师生活动:教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由.【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.3.辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义?师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解.例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义? 呢?师生活动:先让学生独立思考，再追问.【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解.问题4 你能比较与0的大小吗?师生活动:通过分和这两种情况的`讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识;培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4.综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.(1) ;(2) ;(3) ;(4) .【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5.总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.(1)本节课你学到了哪一类新的式子?(2)二次根式有意义的条件是什么?二次根式的值的范围是什么?(3)二次根式与算术平方根有什么关系?师生活动:教师引导，学生小结.【设计意图】:学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6.布置作业:教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题.五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )A. B. C. D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数.2. 当时，二次根式无意义.【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题.3.当时，二次根式有最小值，其最小值是 .【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用.4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥ .小慧认为还应考虑分母不为0的情况.你认为小慧的想法正确吗?试求出的取值范围.【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑.二次根式教案篇3教学建议本节的重点有两个:⒈同类二次根式的概念⒉二次根式加减运算的方法本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点.本节的难点二次根式的加减法运算二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了.整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项.但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点.本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法:一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出二次根式的加减法和同类二次根式;二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和二次根式的加减法.两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁.(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题:①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感.(3)在组织学生进行二次根式的加减法教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如:①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等.(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力.(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如:①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况.教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.教学设计示例1一、素质教育目标(一)知识教学点1.使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念.2.能判断二次根式中的同类二次根式.3.会用同类二次根式进行二次根式的加减.(二)能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力.(三)德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想.(四)美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美.二、学法引导1.教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法.2.学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则.三、重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点二次根式的加减法运算.2.教学难点二次根式的化简.3.疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果.四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1.复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题.2.教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义.3.再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则.4.通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法.七、教学步骤(-)明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法.(二)整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解(1)化简后(2)被开方数还相同.通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力.第一课时(-)教学过程【复习引入】什么样的二次根式叫做最简二次根式?(由学生回答)与的形式与实质是什么?可以化简为 .继续提问: ，可以化简吗?，可以化简吗?这就是本节课研究的内容--二次根式的加减法.【讲解新课】1.复习整式的加减运算计算:(1) ;(2) ;(3) .小结:整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算.2.例题(1)计算 .解: .(2)计算 .解: .小结:(1)如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算.(2)如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算.定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.3.例题例1 下列各式中，哪些是同类二次根式? ，，，，，， .解:略.例2 计算 .解:.例3 计算 .解:.二次根式加减法的法则:二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.(可对比整式的加减法则)例4 计算:(1) .解:.(2) .解:.(二)随堂练习计算:(1) ;(2) ;(3) .练习:教材P192中1、2(1)、(2)、(3)、(4)、(5);教材P193中1、2.(三)总结、扩展同类二次根式的定义.二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题.(四)布置作业教材P193中(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6);教材P194中4(1)、(2)、(3)、(4).(五)板书设计标题1.复习题 5.例题(1)、(2)、2.整式的加减例题 (3)、(4)3.例题(1)、(2) 6.练习题4.同类二次根式 7.小结【二次根式教案及教学设计】。
2019年中考《二次根式的双重非负牲在解题中的运用》教学案
二次根式的双重非负牲在解题中的运用a 的算术平方根，它是一个非负数，而a 是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性.这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参考.一、确定自变量的取值范围例1 若下列式子有意义，试确定x 的取值范围.(1)4x -4x x -(4) 05)解 (1)依题意，得不等式组4030x x -≠⎧⎨-≥⎩, 解这个不等式组，得3x ≥且4x ≠,所以，x 的取值范围为3x ≥且4x ≠;(2)依题意，得不等式组3020x x +>⎧⎨-≥⎩, 解这个不等式组得2x ≥.所以x 的取值范围为: 2x ≥;(3)依题意，得不等式组2040x x -≥⎧⎨-≠⎩, 解这个不等式组，得2x ≤;(4)依题意，得不等式组2505x -≥⎧⎪≠, 解这个不等式组，得52x ≥且15x ≠; 评注 初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况:(1)分式中的分母不能为零;(2)二次根式中被开方数要大于等于零;(3)零指数幂的底数不能为零.抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围.通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成.例2 (1)=a 的取值范围;(2)3=，求x 的取值范围;(3)=-x 的取值范围解 (1)210a a-≥，又20a >, 10a ∴-≥，1a ∴≤.又0a ≠,∴a 的取值范围为:1a ≤且0a ≠;(2)22x x -=14x x =-+-. 当1x <时,原式1452x x x =-+-=-;当14x ≤≤时,原式143x x =-+-=;当4x >时,原式1425x x x =-+-=-;∴x 的取值范围为14x ≤≤.(3)33x x +==当0x ≤时，原式=-又30x +≥，3x ∴≥-,∴x 的取值范围为30x -≤≤.评注 这组题用到了二次根式的双重非负性、式和不等式组，只有理解了这些知识，才能作出正确的解答.a (去掉根号带上绝对值). 二、求代数式的值例3 (1)已知x ，y 为实数，且3y =，求y x 的值.(2)已知x ，y (0y -=，那么20112011xy -= .解 (1)依题意，得不等式组102102x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩, 解这个不等式组，得12x =，3y ∴=-, 31()82y x -∴==. (2)原方程可以变形为0=,1010x y +=⎧∴⎨-=⎩，1x ∴=-，1y =, 201120112x y ∴-=-.评注 解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”.三、化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形:1.默认条件例43= 这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.2.给定条件例5 若2x <，化简解原式42x x ==---. 2x <，则40x -<，20x -<,∴原式422x x =-+-=.3.题目隐含条件例6 化简解 (1)30y -≥，30y ∴≤,∴原式===-(2) 10a-≥，0a ∴≤,∴原式===. 评注 由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是a -这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验.解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难为易.四、分类讨论例7 化简:24x -解 原式243x x =---,当2x ≤时，原式42(3)4231x x x x x =---=--+=-;当23x <≤时，原式24(3)24337x x x x x =---=--+=-;当3x >时，原式24(3)2431x x x x x =---=--+=-.例8 化简解 原式b =当0b ≤，0a >时，原式=-当0b >，0a ≤时，原式=评注 分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.。
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精品文档 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ；
D 、1-x
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）121
3-+-x x
(6).
（7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1
313++=++x x x x ，则x
的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
5. 若20042005a a a -+-=，则2
2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3
29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，求m 的值．
8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是
9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ）
10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m。