非线性奇异边值问题
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关于非线性奇异三阶两点边值问题的正解
Ｔ （ ＝ Ｊ （ｓ （ （ ）
和一个 积分算 子 ： —ｃ ０ １ ［ ， ］
由引理 １ １ ，Ｖ （ ． ） ． 知 Ｂ Ｐ １ １ 有一解 ｕ ｔ等价 于 ｕ是 的一个不动点． （）
我们 作以下假设 ： （ ） Ｈ１ ａ∈Ｃ （ １ ，０ ） 且 ０＜ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｄ ＜ ， （ ０，） ［ ， ） （ ，） （） ｓ （ ２，ＥＣ ［ ，］ ［ ， ） ． Ｈ ） （ ０ １ ，０ ） 由（ ） ＨＩ 知存 在 ｔ∈（ １ 使得 ａ ｔ）＞ ． ０ ０，） （。 ０ 引理 １ ３ 假设 （ ） Ｈ ） ． ＨＩ （ ２ 都成立 ， 则 ：
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第２ ３卷 第 ５期 ２０ ０ ７年 １ ０月
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ Ｈ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥＲ ＵＮＩ ＲＳＴ ＮＺ Ｅ Ｓ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ５ ０ｔ ０７ ｃ ．２ Ｏ
Ｉｕ） ｕ） Ｉ ｔ ［ｓ一 （Ｉｕ） （ 一 （ｌ Ｇ， 。）。ｓｆ（） Ｔ￡ ｎ ￡ Ａ （ｓ （ ）（ｓ Ｉ Ｊ ） ｃ
ｌ ｎ １
≤ ｃ ，ｌ ｓ一 （ ｌｕ） ．（ｓ 。）。ｓ ｕ） ．ｏ）。）。ｓ （） ｒ ｏ） （ 一 （ｌ （） ｒ ｓ （ ） ｓ （ ＋ ，ｌｓ ） ｓ ｃ
∞
：
｛ 二
一
≤
０≤ ｃ ｔｓ （，）≤ ｃ ｏ ｓ ＝ （ ，） １
÷，≤￡ ≤ｌ ０ ， ｓ
ｕ ㈤ ≥
。
证 设 ∈ ０ ］ ｃ， ≥ ，￡ ）（ ）ｓ 到 ∈ ０ ］ 明 ｙ Ｃ［１由 （ ） Ｏ （ Ｇ￡ ｙ） ｕ Ｃ［１ ，， ｔ ｓ ｕ） Ｊ ， （ ｓ 得 ，．
和一个 积分算 子 ： —ｃ ０ １ ［ ， ］
由引理 １ １ ，Ｖ （ ． ） ． 知 Ｂ Ｐ １ １ 有一解 ｕ ｔ等价 于 ｕ是 的一个不动点． （）
我们 作以下假设 ： （ ） Ｈ１ ａ∈Ｃ （ １ ，０ ） 且 ０＜ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｄ ＜ ， （ ０，） ［ ， ） （ ，） （） ｓ （ ２，ＥＣ ［ ，］ ［ ， ） ． Ｈ ） （ ０ １ ，０ ） 由（ ） ＨＩ 知存 在 ｔ∈（ １ 使得 ａ ｔ）＞ ． ０ ０，） （。 ０ 引理 １ ３ 假设 （ ） Ｈ ） ． ＨＩ （ ２ 都成立 ， 则 ：
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第２ ３卷 第 ５期 ２０ ０ ７年 １ ０月
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ Ｈ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥＲ ＵＮＩ ＲＳＴ ＮＺ Ｅ Ｓ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ５ ０ｔ ０７ ｃ ．２ Ｏ
Ｉｕ） ｕ） Ｉ ｔ ［ｓ一 （Ｉｕ） （ 一 （ｌ Ｇ， 。）。ｓｆ（） Ｔ￡ ｎ ￡ Ａ （ｓ （ ）（ｓ Ｉ Ｊ ） ｃ
ｌ ｎ １
≤ ｃ ，ｌ ｓ一 （ ｌｕ） ．（ｓ 。）。ｓ ｕ） ．ｏ）。）。ｓ （） ｒ ｏ） （ 一 （ｌ （） ｒ ｓ （ ） ｓ （ ＋ ，ｌｓ ） ｓ ｃ
∞
：
｛ 二
一
≤
０≤ ｃ ｔｓ （，）≤ ｃ ｏ ｓ ＝ （ ，） １
÷，≤￡ ≤ｌ ０ ， ｓ
ｕ ㈤ ≥
。
证 设 ∈ ０ ］ ｃ， ≥ ，￡ ）（ ）ｓ 到 ∈ ０ ］ 明 ｙ Ｃ［１由 （ ） Ｏ （ Ｇ￡ ｙ） ｕ Ｃ［１ ，， ｔ ｓ ｕ） Ｊ ， （ ｓ 得 ，．
一类非线性奇异边值问题的亏损校正法
奇异边值问题的研究 近年来非常活跃． 但是 ， 对于微
分 方 程 边 值 问 题 及 其 奇 异 情 形 的 结 果 并 不 多 见 … ． 文 本 量 空 间 上 的点 态 射 影 ， Ｒ （ ：＝ （ ｒ ） … ， ｒ ） ． ｄ ） （ ０ ， （ ） （ ０ １）
讨论一类非线性奇异 边值问题 的误 差分析．由文 献 ［ ］ ２
［ 收稿 日期 ］０ ７—０ ２ ２０ ５— ０
：
‘ 、
（ ｊ￣ ， ｔ ， ｉ ‘Ｊ
（ ９） １
［ 作者简介 ］ 吴亚敏 （９ ０一） 男 ， １６ ， 湖北黄冈人 ， 副教授 ， 主要从事高等数学教学 与研究． ｍａ ： ｙ ｉｉｎ ｏｕ ｃｒ Ｅ— ｉ ｗ ｍｊ ａ＠ｓｈ ．ｏ ｌ ｄ ｎ
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２０ ０ ７年 ８月
重 庆 文 理 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈ ｎｑｎ ｎｖｒｔ ｏ ｔａｄＳ ｉ ｃｓ（ ａ ｒｌ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｏｇ ｉ Ｕ ｉ ｓｙ ｆ ｓ ｎ ｃｅ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） Ｃ ｇ ｅ ｉ Ａｒ ｎ ｕ ｎ ｉ
（） １
ｍ，
Ｐ ｔ ） ＝Ｆ ｔ Ｐ ｔ ） ， ＝０ … ， 一１ （ Ｊ （ （ ） ｉ ， Ｎ Ｊ ； １…， ＝ ，
、 （ ３） １
Ｂ ｚ０ ｏ（ ）＋Ｂ Ｚ １ ＝口 （ ） ，
（） ２
Ｐ（ ＝Ｐ （ ， ＝ １ … ， 一１ ｒ） ｒ） ， Ｎ ， Ｂ Ｐ （ ）＋ＢＰ 一（ ）＝ ００ ０ 。Ⅳ。 １
可知 ： 亏损 校 正 法 只 能 在 起 始 网 格 的节 点 上 进 行 误 原
△ 表示 一种将每个子 区间用 ｍ个点等距 离隔开 的精 细
分 方 程 边 值 问 题 及 其 奇 异 情 形 的 结 果 并 不 多 见 … ． 文 本 量 空 间 上 的点 态 射 影 ， Ｒ （ ：＝ （ ｒ ） … ， ｒ ） ． ｄ ） （ ０ ， （ ） （ ０ １）
讨论一类非线性奇异 边值问题 的误 差分析．由文 献 ［ ］ ２
［ 收稿 日期 ］０ ７—０ ２ ２０ ５— ０
：
‘ 、
（ ｊ￣ ， ｔ ， ｉ ‘Ｊ
（ ９） １
［ 作者简介 ］ 吴亚敏 （９ ０一） 男 ， １６ ， 湖北黄冈人 ， 副教授 ， 主要从事高等数学教学 与研究． ｍａ ： ｙ ｉｉｎ ｏｕ ｃｒ Ｅ— ｉ ｗ ｍｊ ａ＠ｓｈ ．ｏ ｌ ｄ ｎ
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２０ ０ ７年 ８月
重 庆 文 理 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈ ｎｑｎ ｎｖｒｔ ｏ ｔａｄＳ ｉ ｃｓ（ ａ ｒｌ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｏｇ ｉ Ｕ ｉ ｓｙ ｆ ｓ ｎ ｃｅ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） Ｃ ｇ ｅ ｉ Ａｒ ｎ ｕ ｎ ｉ
（） １
ｍ，
Ｐ ｔ ） ＝Ｆ ｔ Ｐ ｔ ） ， ＝０ … ， 一１ （ Ｊ （ （ ） ｉ ， Ｎ Ｊ ； １…， ＝ ，
、 （ ３） １
Ｂ ｚ０ ｏ（ ）＋Ｂ Ｚ １ ＝口 （ ） ，
（） ２
Ｐ（ ＝Ｐ （ ， ＝ １ … ， 一１ ｒ） ｒ） ， Ｎ ， Ｂ Ｐ （ ）＋ＢＰ 一（ ）＝ ００ ０ 。Ⅳ。 １
可知 ： 亏损 校 正 法 只 能 在 起 始 网 格 的节 点 上 进 行 误 原
△ 表示 一种将每个子 区间用 ｍ个点等距 离隔开 的精 细
偶数阶非线性奇异边值问题正解的存在唯一性
ｒ 一 １ Ｙ ’ ｚ）一 ｆ（ （ ） ｌ Ｅ （ １ ； （ ） （ ｘ， ） ， ｚ Ｏ， ） “ （ ）一 “ （ ）一 ０ ０≤ ｉ ｍ ～ １ ０ １ ， ≤ ； （） １
【 Ｙ
ｚ） ． －。
（ ）Ｅ ｃ ｏ １ ， （ ）Ｅ Ｌ ０ １ ． Ｅ ，３Ｙ ｚ Ｉ（ ，） 。
采用 初值 问题 过 渡 到 边 值 问题 的 方 法 ， 出 了 Ｇｒｅ 给 ｅｎ函数 积 分 表 达 式 并 建 立 了 先 验 估 计 ， 一 步 改 进 进
Ａｇ ｒ ｌ 出的条 件 ， ａｗａ 给 重新 建立 了正 解 存在 性结 果 ， 未 考虑 具 有 奇 性 的情 形． 者 借 鉴 文 献 ［ ］ 得 到 了 但 笔 ８，
２ 正解 的存 在 性
为 了证 明边 值 问题 （ ） 正解 存在 性 ， １的 考虑 扰 动 问题
收 稿 日期 ：０ ９—０ —２ ； 稿 人 ： 成 仕 ； 辑 ： 开 澄 ２０ ５ １审 刘 编 关 作 者 简 介 ： 继 颖 （９ ２ ）女 ， 士 ， 教 ， 要 从 事 非 线 性 微 分 方 程 边 值 问题 方 面 的 研 究 刘 １８ 一 ， 硕 助 主
（ ） Ｅ Ｃ ［ ，］ （ ＞ ０ ｚ∈（ ， ） 并 且 ‘ Ｏ ： （ ）＝ ，≤ ｍ～１ １ ｙ 一 ０ １ ， ） ， Ｏ１， （ ） ‘ １ ： ０ Ｏ ≤ ： ；
（） ２ ∈Ｅｌ（ ， ）并 且 （ ） 。 ０１ ， 一１ （ ） （ （ ）ａ ｅ ｘ （ ， ） ｚ 一ｆ ｘ， ） ，． ． Ｅ ０ １ ．
其中ｈ ． ＞Ｏ
设 ｃ ｏ １ 是 ［ ，］ ［ ，］ Ｏ １ 上全 体连 续 函数构 成 的 Ｂ ｎ ｃ 间 ， 义 映射 ： ［ ，］ Ｃ Ｏ １ ，（ ｙ （ ）＝ ａ ａｈ空 定 ｃ ｏ １ 一 ［ ，］ ｆ ） ｚ Ｐ
【 Ｙ
ｚ） ． －。
（ ）Ｅ ｃ ｏ １ ， （ ）Ｅ Ｌ ０ １ ． Ｅ ，３Ｙ ｚ Ｉ（ ，） 。
采用 初值 问题 过 渡 到 边 值 问题 的 方 法 ， 出 了 Ｇｒｅ 给 ｅｎ函数 积 分 表 达 式 并 建 立 了 先 验 估 计 ， 一 步 改 进 进
Ａｇ ｒ ｌ 出的条 件 ， ａｗａ 给 重新 建立 了正 解 存在 性结 果 ， 未 考虑 具 有 奇 性 的情 形． 者 借 鉴 文 献 ［ ］ 得 到 了 但 笔 ８，
２ 正解 的存 在 性
为 了证 明边 值 问题 （ ） 正解 存在 性 ， １的 考虑 扰 动 问题
收 稿 日期 ：０ ９—０ —２ ； 稿 人 ： 成 仕 ； 辑 ： 开 澄 ２０ ５ １审 刘 编 关 作 者 简 介 ： 继 颖 （９ ２ ）女 ， 士 ， 教 ， 要 从 事 非 线 性 微 分 方 程 边 值 问题 方 面 的 研 究 刘 １８ 一 ， 硕 助 主
（ ） Ｅ Ｃ ［ ，］ （ ＞ ０ ｚ∈（ ， ） 并 且 ‘ Ｏ ： （ ）＝ ，≤ ｍ～１ １ ｙ 一 ０ １ ， ） ， Ｏ１， （ ） ‘ １ ： ０ Ｏ ≤ ： ；
（） ２ ∈Ｅｌ（ ， ）并 且 （ ） 。 ０１ ， 一１ （ ） （ （ ）ａ ｅ ｘ （ ， ） ｚ 一ｆ ｘ， ） ，． ． Ｅ ０ １ ．
其中ｈ ． ＞Ｏ
设 ｃ ｏ １ 是 ［ ，］ ［ ，］ Ｏ １ 上全 体连 续 函数构 成 的 Ｂ ｎ ｃ 间 ， 义 映射 ： ［ ，］ Ｃ Ｏ １ ，（ ｙ （ ）＝ ａ ａｈ空 定 ｃ ｏ １ 一 ［ ，］ ｆ ） ｚ Ｐ
非线性三阶两点奇异边值问题的正解
特 异 边值 问题
正
解的存在性以及 多个正解的存在性 ， ＞ 为参数。 这里 ０
关键词 ： ； 正解 非线性奇异边值 问题； 不动点定理
中图分类号 ： １１１ ０４ ．
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ： ０—２ｌ（ ｏ）ｌ ｌ —０ ｌ ８ ８６２ ７ｏ— ０ ５ ０ ０ ５
１ 引 言
ｌ ‘ ’
ｌ ｌ
所 以
ｌｔ １ ｌ ∈［ ，］ ，
＝
。～
。
，
：
一 ｒ ｉ ａ ｎ
：！ 些
ｌ ‘ ’
， ］ （ ∈ ｔ ） ｌ ｌ 霎ｌ １ ．
即 （ ｃ Ｋ． Ｋ）
Ａ＝， Ｉ０］ Ｇ ｔ５ａ ｓ出 麟 ∈ ． 』 （，） （） 【 】
考 虑 Ｂｎ ｈ空 间 ｃ ０ １ ， 中 的 范 数 』“ ｌ ａａ ｃ ［， ］其 ｌ ｌ＝
１ ￣ Ｔ０ ｌ ａ ｌ￡ Ｉ Ｃ ０ １是 ｃ ｏ １ 中的一个锥 。 （ ） ． ［ ，］ Ｅ ，］
引理 ２ １ Ｙ ￡ ∈ｃ［ ，］则边值问题 ． 设 （） Ｏ １，
（ ） ａ （０ １ ，０ ∞） ， ＜ 』 １ ） （ ） ｓ‘ 日。 ： Ｅ ｃ （ ，）［ ， ） ０ ｃ（ ， ｎ ｄ
ｆ ‘ ） ０ ｆ Ｌ ＋（ ， ， ｏ ｓｓ
ｕｏ （ ）＝０ （）： １ ．
有 唯 一解
（１ ２） ．
（ ）ｒ （０ １ ×［ ， ，０ ∞） ． ：Ｅ Ｃ ［ ，］ ０ ＊） ［ ， ） 由（ ） 可知 ， 存在 ｔ∈（ ．） 。 ０ １使得 ｎ ｆ） ０ （。 ＞ ．
（）＝ｌＧ ｔ ） （）ｓ ｔ （， Ｙ ｄ
其 中
引理 ２ ３ ． 假设 （ ） （ ） ， 成立 ， 则算子 ： Ｋ是 全 —
一类二阶非线性奇异边值问题的多重正解
由于广 泛 的应 用 背景 近 年 来 不 少 工作 讨 论 了
１ ，０ ＋ ］ Ｕ ｔ 不恒等于０ ｔ ０ １ ， Ｕ ｔ ） （ ， ∞） ，（） ，∈（ ，）且 （） 满足 Ｂ Ｐ １ 式 ， Ｖ （ ） 则称函数 Ｕ ｔ 为 Ｂ Ｐ １ 式的正 （） Ｖ （）
解。
奇异边值 问题正解 的存在性。 本文受文献 ［ ］ １ 的启
Ｇ ｔｓ （ ，）≥ ｒ （ ，） Ｇ ｓｓ 。
个非 负连续 函数 ， 且对 任意 ０ ＜ｒ＜Ｒ ＜＋∞ ， 有
篙 （Ｇｓ ） ， ｓ） ＝ 。 （ｓ “ ） ） ， ｓ （ ０
且
上 中 （ ＝０１ｕ ，。中 （Ｓ 式 ［ｉ ［ １其 Ｇ ， ） ，］ ］ Ｓ）
与 咖１ 的定 义见 下 面。
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第 ７卷
第１ ８期
２０ ０ ７年 ９月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ． Ｎｏ １ １７ ．８
Ｓｐ ０７ ｅ ．２ ０
１７ —８ ９ ２ ０ ） ８４ ９ —３ ６ １１ １ （０ ７ １ －６ ６０
Ｓ ｉｎ ｅＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ ｃ ｅ ｃ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ
Ｇ ｔｓ （ ，）
正解的存在性 。 中 ，， ６≥ Ｏｐ ＝硒 ＋ 其 卢 ， ，
＋
＞０ 可 以在 ｔ＝０ｔ＝１和 Ｕ ＝０处 有奇 异性 。 ，
其 中文 献 ［ ］研究 了当 ｔＵ ＝ｈ ｆ Ｕ ｔ）时 １ ，） （ （）
（ Ｖ ） １ 有一个 正解 。 Ｂ Ｐ （ ）式
１一
Ｋ ＝｛ “∈ｃ ｏ １ “ Ｅ ，］ 为非负凹函数且 ｍｎ“ ｔ ｉ （）≥Βιβλιοθήκη Ｇ （ 咖］ ＜Ｒｏ 中 其
非线性奇异微分方程无穷边值问题的正解
其 中 启 １ 厂： Ｏ Ｃ ） ０ ＋。 ） （ 。 ， 。 一 ＞ ， （ ，ｘ ×［ ， 。 × ～ 。 ＋。 ） Ｄ
［ ， ×） 连续 函数 并且 － 许在 ｔ Ｏ ＋Ｃ 是 。 厂允 ＝０处 奇异 ．
无 穷 区间上 的边值 问题在研 究椭 圆方 程 的径 向
对 称解 ， 气压 强 等方 面有 着广 泛 的应 用 大 卜 ． 近年 来， 许多 作者 研究 了 当 函数 － 厂是连 续 函数情 况 下 边
然 后构 造一 个特 殊 的空 间和特 殊 的锥并 且列 出有 关
＋６ ￡ （ ｆ 『 ， 里 ａ， ．０ ＋ｃ ） ［ ， 。 是 （） ＋ ） 这 ｂ ［ ， × 一 Ｏ ＋。 ） ３ 连 续 函数 ． 献Ｅ ］ 文 ５ 中作 者推 广 了文献 ［ ］ ４ 中的结 果 ，
得 到了下 列边值 问题 正解 的存 在性 定理
一
个 特殊 的空 间上 和 特 殊 的锥 ， 采用 逼 近 的方 法来
ｌ （ ） ， ｌ ｚ 一０ Ｘ ０ 一０ ｉ （） ， ｍ
解 决 由无穷 区 间和 奇 异性 所 带 来 的问 题． 因此研 究 Ｂ （） ＶＰ １ 式具 有 十分重 要 的理论 和实 际意 义． 文 中 的主要 目的是 获 得 Ｂ ＶＰ（ ） 正 解 的存 在 １式 性． 一般来 说 ， 过求 解 一 个 算 子 （ 为 Ａ） 通 记 的不 动
。） 。 是非 负连 续 函数 ， 对 任 意 的 （ ， ． ∈ Ｅ ， 且 ｆ ｙ ， ） ０ ＋
Ｃ ） ［ ， 。 ） 一 Ｃ ， （ ） 有 ｆ（， ． ａ Ｋ × Ｏ ＋ 。 ×（ Ｋ ＋ Ｄ ， ３ Ｄ Ｏ ｔｚ， ） （） ｙ
但 定 义域从 有 限 区间 推 广 到无 穷 区间 ， 即要 获 得 边 值 问题 在 区间 （ ， Ｋ） 的正 解 ， 于不 能 在无 穷 Ｏ ＋Ｃ 上 ） 由
非线性分数阶微分方程奇异边值问题的唯一解
在 ｔ＝０或 者 ｔ＝１处有 奇性 。
（ ＞０ Ｒ ｅ ｎ —ｉｕ ｉｅ 数 阶积分 定义 如下 ： ）ｉ ｍａ ｎ Ｌｏ ｖ ｌ 分 ｌ
＋
ｙ） 志 Ｊｆｓ （ｄ （ ｏ —） ｓｓ （ ｙ），
连续 函 数 Ｙ （ 。 Ｒ 的 Ｏ 阶 ： ０， 。） ｔ
假设 右边 是 逐点定 义 在 （ ∞ ）上 的 。 ０， 定义 ２ （／＞ ） ｉｍａ ｎＬｏ ｖｌ Ｏ ０ Ｒ ｅ ｎ ．ｉｕ ｉｅ分数 阶微 分定 义如 下 ： ｌ
其性质 ， 中２＜ｏ ３是 实数 ， ＋ 其 ｚ ＜ ￣ 是标准 Ｒｅ ａ ｎＬｏｖ ｌ ｉ ｎ —ｉ ｉｅ型微分 ， ｍ ｕｌ 并利 用锥不 动点定理和 混合单调方 法证 明了奇异边值 问
题 解 的 唯 一 性 。 最 后 举 例 加 以说 明 。
关键 词
分数 阶微分 方程
奇异边 值 问题
⑥
２ １ Ｓ ｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ． ｎ ｒ １ ． ．
非 线性分 数阶 微分 方程 奇异 边值 问题 的唯一 解
于 瑶
（ 连 教 育 学 院 ， 连 １６ ２ ） 大 大 １０ １
摘
要
研 究了非线性分 数阶微分 方程边值 问题 Ｄ ＋ （）＋ ｔ ）＝ ０＜ｔ ； （ ）＝Ｚ１ ｕ ｔ ， ） ０， （ ＜１ ｕ ｏ ／ ）＝Ｕ（ ）＝ ， Ｇ ｅｎ函数及 （ ０ ０ 的 ｒ ｅ
质有 着广 泛 的理论 和现 实 意义 ¨ １ 。 ＿ Ｊ
文 献 ［ 的作 者 应 用 Ｋａｎｓｌ ｉ ８］ ｒｓｏｅｓ ｉ 动 点 理 ｋ ｓ不 论 、 合单 调算 子 的 唯一 不 动 点 理 论 研 究 了非 线性 混
分 数 阶微 分方 程边 值 问题 Ｄ ＋ （）＋ａ （ ， （） ＝０， ＜ｔ＜１ Ｍ ｆ ｔ“ ￡ ） ０ ，
（ ＞０ Ｒ ｅ ｎ —ｉｕ ｉｅ 数 阶积分 定义 如下 ： ）ｉ ｍａ ｎ Ｌｏ ｖ ｌ 分 ｌ
＋
ｙ） 志 Ｊｆｓ （ｄ （ ｏ —） ｓｓ （ ｙ），
连续 函 数 Ｙ （ 。 Ｒ 的 Ｏ 阶 ： ０， 。） ｔ
假设 右边 是 逐点定 义 在 （ ∞ ）上 的 。 ０， 定义 ２ （／＞ ） ｉｍａ ｎＬｏ ｖｌ Ｏ ０ Ｒ ｅ ｎ ．ｉｕ ｉｅ分数 阶微 分定 义如 下 ： ｌ
其性质 ， 中２＜ｏ ３是 实数 ， ＋ 其 ｚ ＜ ￣ 是标准 Ｒｅ ａ ｎＬｏｖ ｌ ｉ ｎ —ｉ ｉｅ型微分 ， ｍ ｕｌ 并利 用锥不 动点定理和 混合单调方 法证 明了奇异边值 问
题 解 的 唯 一 性 。 最 后 举 例 加 以说 明 。
关键 词
分数 阶微分 方程
奇异边 值 问题
⑥
２ １ Ｓ ｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ． ｎ ｒ １ ． ．
非 线性分 数阶 微分 方程 奇异 边值 问题 的唯一 解
于 瑶
（ 连 教 育 学 院 ， 连 １６ ２ ） 大 大 １０ １
摘
要
研 究了非线性分 数阶微分 方程边值 问题 Ｄ ＋ （）＋ ｔ ）＝ ０＜ｔ ； （ ）＝Ｚ１ ｕ ｔ ， ） ０， （ ＜１ ｕ ｏ ／ ）＝Ｕ（ ）＝ ， Ｇ ｅｎ函数及 （ ０ ０ 的 ｒ ｅ
质有 着广 泛 的理论 和现 实 意义 ¨ １ 。 ＿ Ｊ
文 献 ［ 的作 者 应 用 Ｋａｎｓｌ ｉ ８］ ｒｓｏｅｓ ｉ 动 点 理 ｋ ｓ不 论 、 合单 调算 子 的 唯一 不 动 点 理 论 研 究 了非 线性 混
分 数 阶微 分方 程边 值 问题 Ｄ ＋ （）＋ａ （ ， （） ＝０， ＜ｔ＜１ Ｍ ｆ ｔ“ ￡ ） ０ ，
如何在工程力学中处理非线性问题？
如何在工程力学中处理非线性问题？在工程力学的广袤领域中，非线性问题是一个复杂而关键的挑战。
它们不像线性问题那样遵循简单的比例关系，而是呈现出复杂、多变的特性，给分析和解决带来了巨大的困难。
但理解并有效处理这些非线性问题对于确保工程结构的安全性、可靠性和性能优化至关重要。
首先，让我们弄清楚什么是非线性问题。
在工程力学中，当系统的响应与输入不成正比关系时，就出现了非线性。
比如说，材料的应力应变关系不再是简单的直线，而是呈现出复杂的曲线；或者结构的变形与所受的载荷不再是线性增长的。
这种非线性可能源于材料的特性、几何形状的大变形、边界条件的复杂性等多个方面。
那么，如何来处理这些非线性问题呢？一种常见的方法是数值分析。
有限元法就是其中应用广泛的一种。
通过将结构离散化为许多小单元，建立每个单元的力学方程，然后组合起来求解整个结构的响应。
在处理非线性问题时，需要考虑材料非线性（如塑性、超弹性等）、几何非线性（大位移、大转动等）以及接触非线性（两个物体之间的接触和摩擦）等。
在材料非线性方面，我们需要准确描述材料的本构关系。
例如，对于塑性材料，需要确定屈服准则、强化规律等。
这通常需要通过实验来获取材料的性能参数，并将其引入数值模型中。
而且，不同的材料可能有不同的非线性行为，比如金属的塑性变形和橡胶的超弹性，这就要求我们选择合适的本构模型来准确模拟材料的响应。
几何非线性则在结构发生大变形时显得尤为重要。
当结构的变形量足够大，以至于不能忽略其对刚度和平衡方程的影响时，就必须考虑几何非线性。
例如，一根细长的梁在大挠度情况下，其弯曲刚度会发生变化，不再是简单的常量。
处理几何非线性问题需要更新结构的几何形状和刚度矩阵，以反映变形的影响。
接触非线性也是工程中常见的问题，比如机械零件之间的接触、地基与基础的接触等。
在接触问题中，需要确定接触区域、接触力的分布以及可能的摩擦行为。
这需要复杂的接触算法来处理接触状态的变化，包括接触的建立、分离和滑动。
非线性奇异半正二阶三点边值问题的正解
（１ １） ．
由于奇 异边值 问题 广泛 的数学 与物 理应用 背景 ，近年来 对 它 的研 究 非 常活 跃 ， 许 多实 际 问题 中我们 在 往往 只关心 正解 的存在性 ，参见 文献 ［— ，— ］ 随后 的参 考文 献．文 献 ［ ］ ＆ ￡ 一６ ￡ 一０ 一１非线 性 １２ ４７ 及 ３ 在 （） （） ， 项非负 的情况 下 ，利用 Ｋｒｓ ｏｅｓ ｉ锥拉 伸与 锥压缩 不动 点定 理 ，考察 了正 解 的存 在性 ，非存 在性 及 多解 ａ ｎ ｓｌｋｉ
』０）一 ＆ １）一＋（ （＋，，一 ，＜ ＜ ， ｌ￡ ０，“（． ａ６） ￡ （ ） ０ ￡ “ （ （ “（力“ ，＋ ￡ ｆ ￡ ） ￡ ） ） “ ０ “（
正解 的存在 性 ， 中 ａ 其 ＞Ｏ是 参数 ， ＜ ７ ， ０ ７ ａ是正 常数 ， （ ， ）允许 在 ￡ ，一１处奇 异． ＜１ ｆ ｔ“ 一０ ￡
蒋继 强①， 吕志伟 ②， 刘 立 山①
（ 曲 阜 师范 大 学 数 学 科 学 学 院 ，２ ３ ６ ，山东 省 曲阜 市 ；② 安 阳工 学 院 理 学 部 ， ５ ０ ０ ① ７１５ ４ ５ ０ ，河南 省 安 阳 市 ）
摘要 ： 运用锥拉伸与压缩 不动点定理研究非线性奇异半正 二阶三点边值 问题正解 的存 在性 ， 推广 了一
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１ ０
曲阜 师范 大学 学报 （ 自然科 学版）
２０ ０ ７车
（ ） ｎ ［ ，］ ｂ （ ０ １ ， 一ｏ ， ） ． Ｈ２ ∈ｃ ０ １ ，ＥＣ ［ ，］ （ ｏ ０ ）
引理 ２ Ｉ ．嘲 设 条件 （ ）成立 ．若 与 分别 是线性 问题 Ｈ
Ｉ０）： ｎ）（ １， ）￡ ００ ＜１ ｆ（＋ （（１）一＋ ￡（一 ，＜ｔ ， ￡ ０， ￡ ６ ） （ ） （ ） ￡
一类非线性奇摄动Dirichlet边值问题的匹配解法
是 边界层 问题 ． ［Ｏ 参数 忌的三 种 不 同取 值 ， 文 １３按 即 近 引入伸 长 变量
是＜ ０ 矗＞ １０＜ ｋ＜ ｌ 对 问题 作 了相应 的研究 ， ， ， ， 其 中边 界层 位置分 别 在左 端 、 端 和 内部 ． 右 我们 不 仅 将 问题 推广 到更一 般 的情形 ， 对 是一 ０和 ｋ一 １ 了 还 作 进一步 讨论 ． 虽然 这两 种 情况 与 是＜ ０ 忌＞ １的情 况 ，
（ ）＝ 口， Ｏ （ ）： ， １ ＝ ：
其解 为
—
Ｅ ｍ 一 １ｘ＋ ｃ ， （ ） ］
（） ４
其 中 Ｃ为任 意常数 ．
（） １
（） ２ （） ３
由（ ）得 问题 （ ） （ ）的零 次 外部 解 的 可 能形 ４ １一 ３
式 为
其 中 ￡ 正的小 参数 ， 为 竹∈ Ｎ ｍ ∈ ２ ａ口 常数 （ ， Ｚ， ， 为 当 为正偶 数时 ， ， ａ ≠ Ｏ ． ）
Ｎ （ ｏ Ｎ 、 边 界 层 又各 分 为 两 种 类 型 ）进 而 给 出 该 问题 解 的零 次 渐 近展 开 式 ， 广 并 改 进 了 已有 的结 果 ． Ｎ ｅ 右 ． 推
关 键 词 非 线 性 ； 摄 动 ； 界 层 ； 奇 边 匹配 ； 近 展 开 式 渐 中 图分 类 号 Ｏ１５ １ ７ ．４
一
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Ｘ （ ＞ Ｏ ０ ）
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（ ７）
记 问题 （ ） （ ）内层 解 为 Ｙ ， （ ） 入 （ ） 到 １一 ３ 将 ７ 代 １得
￡ ” 卜 ＋ 。 一
样， 边界层 位 置也 分 别在 左 端 和 右端 ， 边 界层 函 但