12.3角平分线的性质与判定练习题
新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)课时同步习题(含答案)
12.3 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO＝∠EPOD 、PD ＝OD 3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定 21D A PO EB第2题图 第3题图 第4题图 5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）第5题图 第6题图 第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）DCA EBF E O D C ABA 、11B 、5.5C 、7D 、3.5 8.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（ ） （A ）2cm 、2cm 、2cm ． （B ）3cm 、3cm 、3cm ．（C ）4cm 、4cm 、4cm ． （D ）2cm 、3cm 、5cm ．二、填空题 9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为 ．第9题图 第10题图 第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．第12题图 第13题图 第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为 ．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是 ．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为 ．17.如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为 ．第16题图 第17题图 第18题图18. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．三、解答题19．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C. 20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OCP 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F21.如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数；（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCN ．22. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，若∠A=90°，那么BC 、B A 、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．理由是：过点∴∠ACD+∠CAB=18的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．∵EF⊥AB EG⊥A G，。
角的平分线的性质测试题
第十二章全等三角形12.3 角的平分线的性质一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB 的周长是A．6 cm B．4 cm C．10 cm D．以上都不对【答案】A2．如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OP【答案】D【解析】根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE≌Rt△POD，则OD=OE，∠DPO=∠EPO．故选D．学*科网3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3，则点D到AB的距离是A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【解析】如图，作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3．故选C．学*科网4．用尺规作图法已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，过D点的直线EF∥BC且交AB于E、交AC于F，已知AB=7 cm，AC=5 cm，BC=6 cm，则△AEF的周长为__________cm．【答案】126．如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为__________．【答案】4【解析】如图，过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．学*科网三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠DAE的度数．【解析】（1）如图，AE为所作．（2）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=30°．学*科网8．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为() A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是()A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD ＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则a＋c2b＝－12；②若a＋b＋c＝0，且a≠0，则x＝1一定是方程ax＋b＋c＝0的解；③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b>0. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个． 16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOE ＝2∠EOF ＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE ＝2∠COF .(2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立．理由：设∠AOC ＝β，则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE ＝2∠COF .25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a 度．根据题意，得0.65a －15＝0.55a ，解得a ＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D 表示的数为－290.(4)ON －AQ 的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
12.3角平分线课后冲刺中考.3角的平分线的性质中考试题汇编
12.3 角的平分线的性质一．选择题（共13小题）1．（2015?茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P 到边OB的距离为（）A．6B． 5 C． 4 D． 32．（2015?龙岩）如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A．B．C．D． 13．（2015?永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△P AB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）4．（2015?湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7 C． 5 D． 45．（2015?青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B． 2 C． 3 D．+26．（2015?德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④7．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A． 3 B． 4 C． 6 D． 58．（2014?威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°9．（2013?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B． 2 C． 3 D． 410．（2013?西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．11．（2013?柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．12．（2013?朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④13．（2013?辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD 的长是（）A． 1 B．C．D． 2二．填空题（共13小题）14．（2015?宜宾）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为．15．（2015?连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．16．（2015?台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB 的距离是．17．（2015?聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．18．（2015?广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC 于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．19．（2014?青海）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是．20．（2014?长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为．21．（2014?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是．22．（2014?广州）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为．23．（2014?深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=．24．（2013?长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．25．（2013?丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．26．（2013?泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．三．解答题（共2小题）27．（2015?株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．28．（2013?湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．。
2019-2020学年八年级上学期数学专题12.3 角平分线的性质(测试)(解析版)
专题12.3角平分线的性质（测试）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE，∵D到AB的距离等于4，∴CD=DE=4，又∵BD=2CD，∴BD=8，∴BC=4+8=12，故选：C．2．如图，图中直线表示三条相互交叉的路，现要建一个货运中转站，要求它到三条公路的距离相等，则选择的地址有（）A．4处B．3处C．2处D．1处【答案】A【解析】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC 内角平分线的交点满足条件； 如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点， 过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ， ∴PE=PF ，PF=PD ， ∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故选：A ．3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒,10AB =,AD 是ABC ∆的一条角平分线.若3CD =，则ABD ∆的面积为( )A ．3B ．10C ．12D ．15【答案】D【解析】解：如图，作DE ⊥AB 于E ，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为12×3×10=15．故选：D．4．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝12×AB×CB＝84，S△ABC＝12AB×x+12AC×x+12BC×x＝12（AB+BC+AC）•x＝12×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．5．如图，OP平分∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是（）A ．OC ＝ODB ．∠CPO ＝∠DPOC ．PC ＝PD D ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB【答案】C【解析】∵OP 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOP ＝∠BOP ，而OP 是公共边，A 、添加OC ＝OD 可以利用“SAS ”判定△POC ≌△POD ，B 、添加∠OPC ＝∠OPD 可以利用“ASA ”判定△POC ≌△POD ， C 、添加PC ＝PD 符合“边边角”，不能判定△POC ≌△POD ， D 、添加PC ⊥OA ，PD ⊥OB 可以利用“AAS ”判定△POC ≌△POD ， 故选：C ．6．如图，已知ABC ∆的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ∆的面积为（ ）.A ．23.5cmB ．23.9cmC ．24cmD ．24.2cm【答案】C【解析】延长AP 交BC 的延长线于点E ， ∵AP 垂直PB 且PB 平分ABC ∠， ∴ABP EBP ∠=∠.又BP BP =，90APB BPE ∠=∠=︒， ∴()ABP EBP ASA ∆≅∆. ∴BAP BEP S S ∆∆=，AP PE =. ∴APC PCE S S ∆∆=.设ACE S m ∆=，∴8ABE ABC ACE S S S m ∆∆∆=+=+，∴284cm 211222PBC ABE ACE S S S m m ∆∆∆+-==-=.7．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 边的距离为（ ）.A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∵AD 平分BAC ∠，∴DC DE =.又:9:7BD CD =且32BC =，∴18BD =，14CD =. 即14DE =.即点D 到AB 边的距离为14. 故选C8．如图所示，P 是BAC ∠的平分线上一点，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N .有下列结论：①PM PN =；②AM AN =；③APM ∆与APN ∆面积相等；④90PAN APM ∠+∠=︒，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由角平分线性质可知①是正确的；可证()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆，∴AM=AN,APM APN S S ∆∆=，可得②③是正确的；由()Rt Rt AMP ANP HL ∆≅∆可得∠APM=∠APN ，由∠APN+∠PAN=90°可得∠PAN+∠APM=90°，可知④是正确的，故选D.9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，下列结论中正确的个数是（ ）.①AD 平分CDE ∠：②BAC BDE ∠=∠；③DE 平分ADB ∠；④AB AC BE =+. A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个【答案】A【解析】因为DE AB ⊥，所以90AED ∠=︒.又AD 是CAB ∠的角平分线，AC CD ⊥，由角平分线的性质得DC DE =，又AD AD =，故ACD AED ∆≅∆，所以ADC ADE ∠=∠，故①成立；在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，故90BAC B ∠+∠=︒，在Rt BDE ∆中，90B EDB ∠+∠=︒，因此BAC B B EDB ∠+∠=∠+∠，即BAC BDE ∠=∠，故②成立；∵ACD AED ∆≅∆，故AC AE =，因此AB AE EB AC BE =+=+，④成立； 当60B ∠=︒时，30EDB ∠=︒，75ADE ∠=︒，显然EDB ADE ∠≠∠，故③不成立.10．作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【解析】连接CD、CE,根据作图步骤知OD=OE、CD=CE、OC=OC所以根据SSS可判定△OCE≌△OCD,所以∠BOC=∠AOC，OC平分∠AOB故用尺规作图画∠AOB的角平分线OC，作图依据是SSS，故选：D．11．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB=3，S△OPB=6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】作PC⊥OM于C，PD⊥ON于D，如图所示：∵点P在∠MON的角平分线上，∴PC=PD，∵S△OPB=12OB⋅PD=6，OB=3，∴PD=4，∴线段AP的长不可能是3，故选：A.12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∴AE=AC=BC ， ∵∠B=∠BDE=45°， ∴BE=DE=CD ，∴AE-BE=BC-CD=BD ，∴③正确；△BDE 周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm ，∴④正确； 即正确的个数是3， 故选：B ．13．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，112884422AC ∴=⨯⨯+⨯⨯，∴AC ＝6． 故选：C ．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④△ABD 边AB 上的高等于DC.其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD =∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．15．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，∵D 是∠ABC 平分线上一点，DG ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴DH=DG ，在Rt △DEG 和Rt △DFH 中，DG DH DE DF⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △DEG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠DEG=∠DFH ，又∠DEG+∠BED=180°，∴∠BFD+∠BED=180°，∴∠BFD 的度数=180°-140°=40°，故选：A ．16．如图，在四边形ABDC 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，且点O 在线段BD 上，BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C 【解析】解：过O 作OE ⊥AC 于E ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，∴OB ＝OE ＝OD ，∵BD ＝4，∴OB ＝OE ＝OD ＝2，∴点O到边AC的距离是2，故选：C．二、填空题17．如图，以O为圆心，适当长为半径画弧，交横轴于点M，交纵轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P．若点P到横轴和纵轴的距离分别为2a-1、a+2，则a=_____．【答案】3【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a-1=a+2，整理得：a =3，18．如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点O，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_______.【答案】4【解析】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE＝OF，OE＝OG，∴OE＝OF＝OG＝2，∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴∠EOF＋∠EOG＝（180°−∠BAC）＋（180°−∠ACD）＝180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离＝OF＋OG＝2＋2＝4．故答案为：4．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于DC＝2，∴PD的最小值为2．故答案为2．20．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．【答案】1【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，∴S△ABC=12AC•BC=12(AC+BC+AB)•r，∴3×4=(3+4+5)×r，解得：r=1．故答案为：1．三、解答题21．按下列要求画图并填空：(1)过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长.(2)用直尺和圆规作出∠ACB的平分线，若角平分线上有一点P到边AC的距离是3cm，通过你的测量，点P到边BC的距离是cm(保留作图痕迹).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)如图所示：点B到直线AC的距离是线段BE的长.(2) 如图所示：点P到边BC的距离是3cm.22．在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．【答案】45°【解析】∵在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝110°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣110°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝25°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝20°+25°＝45°．∵AD⊥BC，∴∠D ＝90°，∴∠EAD ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣45°＝45°．23．如图，△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上且BE=FC,BD=FD ，求证：AD 是∠BAC 的平分线。
第12.3角平分线的性质和判定复习题
角平分线的性质与判定练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PD B. PC＝PD C. PC＜PD D. 不能确定1题图4题图5题图2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对7题图8题图9题图10题图8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．11题图12题图13题图14题图12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．。
人教版八年级上册数学课时跟踪训练：12.3角平分线的性质(含答案)
课时跟踪训练：12.3角平分线的性质一．选择题1．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC2．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD 于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE 的最小值（）A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．无法确定4．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC＝4cm，那么AD等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．6cm5．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64 B．48 C．32 D．426．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．67．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m8．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（）A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上9．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（）cm．A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.0510．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB＝9，BC＝6，则DE的长为（）A．1 B．3 C．2 D．4二．填空题11．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE 上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为．13．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE＝．14．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是点．15．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是三．解答题16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．17．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．18．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．19．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；（2）求∠BED的度数．20．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．参考答案一．选择题1．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．2．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，同理，PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．3．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，∴OH＝OD＝3，∵点E是射线OB上的一个动点，∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．故选：A．4．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，∴CE＝DE，∵△ADE的周长为6cm，∴AE+DE+AD＝6cm，即AC+AD＝6cm，∵AC ＝4cm ，∴AD ＝6cm ﹣4cm ＝2cm ，故选：A ．5．解：连接AM ，过M 作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥AC 于F ，∵MB 和MC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，MD ⊥BC ，MD ＝4，∴ME ＝MD ＝4，MF ＝MD ＝4，∵△ABC 的周长是16，∴AB +BC +AC ＝16，∴△ABC 的面积S ＝S △AMC +S △BCM +S △ABM＝＝×AC ×4++ ＝2（AC +BC +AB ）＝2×16＝32，故选：C ．6．解：作DE ⊥OB 于E ，如图，∵OC 是∠AOB 的角平分线，DP ⊥OA ，DE ⊥OB ，∴DE ＝DP ＝4，∴S △ODQ ＝×3×4＝6．故选：D ．7．解：∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于m ，∴点P到OB的距离等于m，∵点Q是OB边上的一个动点，∴PQ≥m．故选：D．8．解：作射线AM，由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，故选：A．9．解：∵点P到△ABC三边的距离相等，∴AP平分∠BAC，∴∠DAP＝∠CAP，∵DE∥AC，∴∠DPA＝∠PAC，∴∠DAP＝∠APD，∴AD＝PD，同理PE＝CE，∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，故选：B．10．解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，由题意得，×AB×DE+×BC×DF＝15，即×9×DE+×6×DF＝15，解得，DE＝2，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，在△ADC和△AFC中，∵，∴△ADC≌△AFC（AAS），∴AD＝AF，在△CBE≌△CBF中，∵，∴△CBE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，故答案为：7．12．解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∴△ABD的面积＝×5×2＝5．故答案为5．13．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，＝•EC•BF＝，∵S△BCE∴×2m×m＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴CE＝2m＝5，故答案为5．14．解：由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等，故答案为：M．15．解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM＝DN，∴S△ABD ：S△ADC＝BD：DC＝•AB•DN：•AC•DM＝AB：AC＝2：3，设△ABC的面积为S，则S△ADC ＝S，S△BEC＝S，∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，∴S﹣S＝1，∴S＝10，故答案为：10．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5，∴BC＝CD+BD＝15．17．解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．18．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝2，∵S△ABC ＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC ＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S＝16．△ABC19．证明：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH＝EF，∵∠BAC＝130°，∴∠FAE＝∠CAD＝50°，∴EF＝EG，∴EG＝EH，∴ED平分∠CDG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）∵ED平分∠CDG，∴∠HED＝∠DEG，设∠DEG＝y，∠GEB＝x，∵∠EFA＝∠EGA＝90°，∴∠GEA＝∠FEA＝40°，∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，∴∠FEB＝∠HEB，∴2y+x＝80﹣x，2y+2x＝80，y+x＝40，即∠DEB＝40°．20．解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF∴BF平分∠ABC．。
八年级数学上册12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级
12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。
（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。
八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习含答案解析
编号：54158543442893744576892562学校：观音市阳沅镇普贤学校*教师：黑白双雄*班级：白云伍班*《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则______=______．（2）若∠3=∠4，则______=______．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD=______．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD ：S△ACD=______．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．=90，AB=18，BC=12，求DE的长．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则BC = DC ．（2）若∠3=∠4，则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°，∴AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠1=∠2，∴BC=CD，故答案为：BC，DC．（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠3=∠4，∴AB=AD，故答案为：AB，AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，然后计算出DF的长，再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36，∴•AB •ED=36，×12×ED=36，解得：DE=6，∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴DE=DF ，∴DF=6，∵BC=15，∴S △BCD =•CB •DF=×15×6=45，故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于 2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得，点O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 的高相等，利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵O 是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF ，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB=2AC ．则S △ABD ：S △ACD = 2 ．【分析】过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，根据角平分线性质得出DM=DN ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM=DN ，∴S △ABD ：S △ACD =（AB ×DN ）：（AC ×DM ）=AB ：AC=2AC ：AC=2，故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图，已知点P 、D 、E 分别在OC 、OA 、OB 上，下列推理：①∵OC 平分∠AOB ，∴PD=PE ；②∵OC 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE ；③∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE ；其中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE ．故选B ．【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC 中，∠ACB=90゜，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE 垂直AB 于E ，若DE=1.5cm ，BD=3cm ，则BC=（ ）A ．3cmB ．7.5cmC ．6cmD ．4.5cm【分析】根据角平分线的性质得出CD长，代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC=1.5cm，∵BD=3cm，∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边），∴△PMD≌△PND（AAS），∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．=90，AB=18，BC=12，求DE的长．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∴S=AB•DE+BC•DF=90，△ABC即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
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8、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于 E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（ ） A、4㎝ B、6㎝ C、10㎝ D、不能确定
C D B
E
A
9、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平 分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm， 那么AE+DE等于( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
15、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中 点，DM平分∠ADC，求证：AM平分 ∠DAB.
16、如图：在△ABC中， ∠C=90° AD是∠ BAC的 平分线， DE ⊥ AB 于 E ， F 在AC上，BD=DF； A
求证：CF=EB
F E
C
D
B
17、已知：如图,在△ABC中， BD＝ CD, ∠1= ∠2.求证：AD平分∠BAC
A N C P
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM
B
13、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度 数．
14、如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E， BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C． 求证：AC＝BC．
A
E
1
F
D
2
B
C
角平分线的性质和判定 习题课
1、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点 到___________相等．
2、到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 D. 不能确定
3、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
l1
l2
l3
4、如图所示，三条公路两两相交，交点分别 为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条 公路的距离相等，可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 二处 C.三处 D. 四处
5、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点 Q是射线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最 小值为（ ） A． 1 B． 2 C．3 D．4
C E
A
D
B
10、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm， BD=5 cm，则BC=_____cm.
11、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D， CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=____.
12、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______ 。
6、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°， AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误 的是（ ） A. DC＝DE B. ∠AED＝ 90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
7、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC ＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对