2015届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测理科数学试卷(带解析)

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广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：集合与常用逻辑用语

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一、选择题1、（潮州市2015届高三）设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U A B =ð（）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2、（佛山市2015届高三）已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R M N =ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．(]0,1D ．[)0,1 3、（广州市2015届高三）已知集合{}|11M x x =-<<，{}|N x y x ==，则M N =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤4、（惠州市2015届高三）若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}|B x y x ==，则A B =( )． A.{}|01x x ≤≤ B.{}|0x x ≥ C.{}|11x x -≤≤ D.∅5、（江门市2015届高三）已知R 为实数集，{}x x x A 332|<-=，{}2|≥=x x B ，则=B AA ．{}2|≥x xB ．{}3|->x xC ．{}32|<≤x xD ．R6、（揭阳市2015届高三）设集合{}210A x x =-=，(){}10B x x x =-=，则A B ⋃= A. {}1,1- B. {}0,1 C.{}0,1- D. {}0,1,1-7、（清远市2015届高三）图中阴影部分表示的集合是（）A 、U C AB （） B 、UC A B （） C 、U A C B （）D 、U C A B （） 8、（汕头市2015届高三）设集合{|2}A x x =>，若e e m ln =（e 为自然对数底），则( )A ．A ∅∈ B.A m ∉ C.A m ∈ D.{}m x x A >⊆9、（汕尾市2015届高三）已知集合{1,2},{|(2)(3)0}A B x x x ==--=，则A B ⋃=（）A ．}2{B ．{1,2,3}C ．{1,3}D ．{2,3}10、（韶关市2015届高三）已知集合{}|(3)(6)0,P x x x x Z =--≤∈，{}5,7Q =，下列结论成立的是（）A ．Q P ⊆B ．P Q P =C ．P Q Q =D ． {}5P Q =11、（深圳市2015届高三）已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（）A 、φB 、}2,0{C 、}5,1{D 、}5,1,0,2{12、（肇庆市2015届高三）已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合M ={1，3，5}，则=M C UA ．φB ．{1，3，5}C ．{2，4，6}D ．{1，2，3，4，5，6}13、（珠海市2015届高三）设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,x B y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞14、（佛山市2015届高三）已知,a b ∈R ,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件15、（惠州市2015届高三）“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要16、（江门市2015届高三）已知 a 是非零向量， c b ≠，则“ c a b a ⋅=⋅”是“) ( c b a -⊥”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件17、（揭阳市2015届高三）已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝18、（清远市2015届高三）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件19、（深圳市2015届高三）已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20、（肇庆市2015届高三）设条件p ：0≥a ；条件q ：02≥+a a ，那么p 是q 的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件参考答案一、选择题1、C2、C3、B4、A5、B6、D7、C 8、C 9、B 10、D 11、C 12、C13、D 14、A 15、B 16、D 17、C 18、B19、B 20、A。

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潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷理科数学卷高三理科数学:高三理科数学第7题双曲线方程为：2221(0)yx bb-=>潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．简析：1．由210x -≥解得1x ≥或1x ≤-，于是(,1][1,)B =-∞-+∞，故)1,1(-=B C R ，所以)1,0()(=⋂B C A R ．故选B ． 2．由于13(3)33i i iz i i i+-===--，于是()1z z i i ⋅=⋅-=．故选C ． 3．经过循环后，a 的分别为4、16、256，由于33log 2564log 44=>，于是256a =．故选C ．4．如图：过点D 分别作//DE AC ，//DF AB ，交点分别为E ，F ，由已知得13AE AB =，23AF AC =，故12123333AD AE AF AB AC a b =+=+=+．故选D ．5．抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意得22c e a a===，解得1a =，又222413b c a =-=-=．故双曲线的标准方程为2213y x -=．故选A ． 6．由题意及正弦曲线的对称性可知12222x x k πωϕπ+⋅+=+，于是12()12x x f +=．故选D ．7．圆22(2)1x y +-=的圆心为(0,2)，半径1r =，于是圆心到双曲线的两条渐近线距离相等，故只需考虑其中一条渐近线与圆位置关系就可以，双曲线的渐近线方程为y bx =±，考虑y b x =，即0b x y -=．由题意得1≥，解得23b ≤，于是22213c a c -=-≤，解02c <≤，又双曲线的离心率ce c a==，且1e >，故12e <≤．故选A ．8．2sin(2)cos[(2)]cos(2)2cos ()162636πππππθθθθ-=--=+=+-212(13=-=-．故选C ．9．222'()2432()32f x x ax x a a =-++=--++，因为()f x '的最大值为5，所以2325a +=，又0a >，故1a =，13(1)3f =，'(1)5f =，所以所求切线方程为135(1)3y x -=-，即15320x y --=．故选B ．10．由三视图知该几何体是由一个半圆锥与一个四棱锥的组合体，于是2111122233V π=⨯⨯⨯⨯⨯=A ．，所以所求的概率为．故选简析：13．画出满足条件可行域，将直线3y x =-向上平移，可知当直线经过点(1,0)时，z 取得最大值为3．14．由题意得2411224443(2)(2)280C a C C a a a ++=，即44a =，又0a >，于是a =15．由直角三角形斜边上的中线的性质及题意可得SC 中点F (如图)就是球心，即SC 就是球O 的直径，由已知可得2SC =．于是球O 的表面积2414S ππ=⨯=．16．由正弦定理，sin cos 0b A B =可化为sin 0B B =，即tan B =又(0,)B π∈，于是3B π=，又2b a c =，所以2222cos b a c ac B =+-可化为224()b a c =+，于是2a cb+=．三、解答题：（共5小题，每题12分，共60分） 17．（本小题共12分）解：(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ．∵215313a a a +=，∴233123a a =，又0n a >，于是36a =．……………………………………………2分∵17747()7562a a S a +===，∴48a =，…………………………4分 ∴432d a a =-=，故132642a a d =-=-=．∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=．…………………….…………6分（Ⅱ）∵11n n n b b a ++-=且2n a n =，∴12(1)n n b b n +-=+．当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ．…………..8分当1n =时，12b =满足上式．故(1)n b n n =+．……………………………………….………………9分∴1111(1)1n b n n n n ==-++ …………………………………………10分 ∴12111111111111(1)()()()22311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L1111n n n =-=++．……………………………………….………12分18．（本小题共12分）解：(Ⅰ)∵在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率的概率是35． ∴喜欢户外活动的男女员工共30，其中女员工10，男员工20人，不喜欢户外活动的男女员工共20，其中男员工5，女员工15人．………..2分分（Ⅱ）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关；. …………………….…5分（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．………………….…………………………6分363101(0)6C P C ξ===； 12463101(1)2C C P C ξ===； 21463103(2)10C C P C ξ===； 343101(3)30C P C ξ===．……….…………10分 ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望11316()0123 1.26210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．…..…12分ACDE F 19题图19．（本小题共12分）方法一：（Ⅰ）证明：∵AE ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ． ∴AE ⊥BF ，∵BF ⊥AC ，AE AC A =， ∴BF ⊥平面AE C ，DF ⊂平面AEC ，∴BF ⊥DF ，……………………………………………..…2分 ∵390ABC BAC ∠=∠=，又44AC CD ==， ∴30BAC ∠=．1CD =．∴1sin 30422BC AC ==⨯=，又BF ⊥AC ．∴1cos 60212CF BC CD ==⨯==，又CD ∥AE ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC ．∴CD ⊥AC ，∴45DFC ∠=．又3AF AC CF AE =-==，∴45EFA ∠=，∴90EFD ∠=，即DF ⊥EF ．……………………………..…4分又BF EF F =，BF 、EF ⊂平面BEF ． ∴DF ⊥平面BEF ，BE ⊂平面BEF ．∴DF ⊥BE ；………………………………………………………6分（Ⅱ）如图，过点F 作FG DE ⊥于点G ，连接BG ．由（Ⅰ）知BF ⊥平面AEC ，又DE ⊂平面AEC ， (所以BF DE ⊥．又BF FG F =，BF 、FG ⊂平面BFG ，所以DE ⊥平面BFG ．又BG ⊂平面BFG ，) 所以BG FG ⊥．(三垂线定理)故BGF ∠二面角B DEF --的平面角．…………………8分在Rt EAF∆中，EF== 在RtFCD ∆中，FD ==.……9分在Rt EFD ∆中，ED ===由EFFD FG ED ⋅=⋅得5EF FD FG ED ⋅===． (10)分在Rt BFC∆中，BF=在Rt BFG ∆中，BG===． (11)分所以cos 4FG BFG BG ∠=== ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …….………..………12分方法二：DD过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ，又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥，又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…7分由(Ⅰ)可得tan 3033BF AF =⨯=⨯= 于是(0,0,0)F ，(0,3,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,,1)BD =-，(3,,3)BE =，(0,,0)FB =．由(Ⅰ)知是平面DEF 的一个法向量．设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，，033303z y xz y x 取2z =，得到(1,3,2)n =-．………………………………10分∴cos 4||||2n FB n FB n FB ⋅<>===⋅，，…………………11分又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …….……………12分方法二：(Ⅰ)证明：过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ，又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥，又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…1分∵390ABC BAC ∠=∠=，44AC CD ==，3AE =，∴1CD =，30BAC ∠=．∴122BC AC ==，1cos 60212FC BC =⋅=⨯=，3AF AC FC =-=， BF=．……………………………………………………3分于是(0,0,0)F，(0,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,0,1)FD =-，(3,3)BE=．故130(130FD BE ⋅=-⨯+⨯+⨯=．所以DF ⊥BE ……………………..…………………6(Ⅱ)由(Ⅰ)知(3,0,3)FE =，(1,BD =-，(3,3)BE =，(0,0)FB =．于是030030FB FE ⋅=⨯+⨯=，所以FB FE ⊥，又F B ⊥AC ．所以FB 是平面DEF 的一个法向量．…………………………………..…8分设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，，033303z y x n z yx n取2z =，得到(1,3,2)n =-．…………………………………....…10分∴cos 4||||2n FB n FBn FB ⋅<>===⋅，．又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为46. …………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩……………………………………………….1分解得a =1c =. ……………………………………………………3分所以所求椭圆方程为22132x y +=………………………………………4分（Ⅱ）方法一：当直线AB 与x 轴垂直时，||AB =，此时3AOB S ∆=不符合题意故舍掉；…………………………………..5分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=………6分设1122(,),(,)A x yB x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………….…..7分∴||AB ====== =分原点O 到直线的AB 距离d =，…………………………..…10分∴三角形的面积1||2AOBS AB d∆===．由4AOBS∆=得22k=，故k=分∴直线AB的方程为1)y x=+，或1)y x=+．y-=，y+=…………………………….12分方法二：由题意知直线AB的斜率不为O，可设其方程为1ny x=+．………….5分由221132ny xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x得22(23)440n y ny+--=．…………………….6分设1122(,),(,)A x yB x y，则122423ny yn+=+，122423y yn-=+．…….7分∴121||||2AOBS OF y y∆=⋅-=分又AOBS∆=，所以212129()42y y y y+-=．…………………….……..9分∴2224169()23232nn n+=++．解得2n=±．………………..…….….11分∴直线AB1y x=+，或1y x=+，即：210x+=，或210x+=．………………………..12分21．（本小题共12分）解：（Ⅰ）∵()lnaf x xx=-，∴221'()a x af xx x x+=--=-．………………………………….….. 1分由题意得'(1)0f=，即11a+-=，解得1a=-．…………….. 2分经检验，当1a=-时，函数()f x在1x=取得极大值．……….. 3分∴1a=-.………………………………………………………..……….4分（Ⅱ）设()()35ln35ag x f x x x xx=+-=-+-，则函数()g x的定义域为(0,)+∞．∴当0x>时，()0g x≥恒成立．于是(1)20g a=-≥，故2a≥．………….…………………….……5分∵22213'()3a x x ag xx x x--=--+=．∴方程'()0g x=有一负根1x和一正根2x，12x x<<．其中1x不在函数定义域内．当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，函数()g x 单调递减．当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，函数()g x 单调递增．∴()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．……………………………………….……7分依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350ag x x x x =-+-≥．又22230x x a --=，于是2231a x x =-，又02>x a ，所以312>x ．∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥，即2266ln 0x x --≥，…………..……9分令()66ln h x x x =--，则161'()6x h x x x-=-=．当1(,)3x ∈+∞时，'()0h x >，所以)(x h 是增函数．又(1)66ln10h =--=，所以2266ln 0x x --≥的解集为[1,)+∞． (11)分又函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增， ∴222233112a x x =-≥⨯-=．故a 的取值范围是[2,)+∞．……………………………….……………………12分解法二：由于()ln af x x x=-的定义域为(0,)+∞，于是()53f x x ≥-可化为x x x x a 53ln 2+-≥．……………………..……5分设x x x x x g 53ln )(2+-=．则'()ln 66g x x x =-+．设()'()h x g x =，则116'()6xh x x x-=-=．当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在[1,)+∞减函数．又(1)'(1)0h g ==，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <， ∴)(x g 在[1,)+∞上是减函数．∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)1ln1352g x g ≤=⨯-+=.………….……..…8分当(0,1)x ∈时，先证1ln -<x x ，设)1(ln )(--=x x x F ，1'()0xF x x-=>，)(x F 是增函数且0)1(=F ，0)(<x F ，即1ln -<x x ，当(0,1)x ∈时，22)1(253)1(53ln )(222<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g …..11分综上所述()g x 的最大值为2．∴a 的取值范围是[2,)+∞．………………………………………….………12分选做题（共10分）22．（本小题共10分）证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =，所以OCA OAC ∠=∠．………….…..2分又因为AD CE ⊥，所以90ACD CAD ∠+∠=．又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，…………….…..4分所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即OC CE ⊥．所以CE 是O e 的切线……………………………………………….….6分（Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，又因为OAC CAD ∠=∠，…………………………………….………8分所以ABC ∆∽ACD ∆所以AC ADAB AC=，即2AC AB AD =⋅………………………………..10分 23．（本小题共10分）解：(Ⅰ)圆C 的参数方程化为普通方程是22(1)1x y -+=．即2220x y x +-=……………………………………………………….…2分又222x y ρ=+，cos x ρθ=．于是22cos 0ρρθ-=，又0ρ=不满足要求．所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=……………………………….……5分 (Ⅱ)因为射线:4OM πθ=的普通方程为(0)y x x =≥．……………………6分联立方程组22,0(1)1y x x x y =≥⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得20x x -=．解得1x =或0x =，所以P 点的直角坐标为(1,1)……………………8分所以P点的极坐标为,)4π…………………………….……………10分解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=得2cos4πρ==所以P点的极坐标为)4π………………..……………10分24．（本小题共10分）解：（Ⅰ）若1a =时，则()|31|3f x x x =-++．当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤；……………………………………………….…2分当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -≤<.……………………………………………….……4分综上所述，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤……………………5分（Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩函数()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得33a -≤≤….…9分∴实数a的取值范围是[3,3] …………………………………….……10分。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：三角函数

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 ()()sin f x x ωϕ=A +0A >0ω>2πϕ<ϕ=6π-6π3π-3πC图1平移1个单位，所得图象的函数解析式是A ．22cos y x =B ．22sin y x =C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数，．求的值；若，，求的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调递减区间.()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭R x ∈()1()f π()22635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2fα3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数，（其中），其部分图像如图2所示．（1）求函数的解析式；,,M N P 都在函数（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点的图像上，求的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ；⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，b = （1）求a 和c 的值；（2）求cos()B C -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B,()1c f C =，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.()sin()f x A x ωϕ=+x ∈R ππ0,0,22A ωϕ>>-<<()f x ()f x sin MNP ∠图28、（汕头市2015届高三）已知函数，.（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在的图像。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数，（）．若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．2、（佛山市2015届高三）已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围;323y x x =-+1x =()ln f x x a x =-()1ag x x+=-R a ∈()11a =()f x ()2()()()h x f x g x =-()h x ()3[]1,e 2.718e =⋅⋅⋅0x ()()00f x g x <a（3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tf x x x x=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．5、（江门市2015届高三）已知函数32()1f x x ax =+-恒谦网（R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）6、（揭阳市2015届高三）若实数、、满足||||-≤-x m y m ，则称比更接近.（1）若23-x 比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由；（3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. (1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；x y m x y m x a b（2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=8、（汕头市2015届高三）已知函数，（1）求函数的定义域（用区间表示），（2）当时，求函数的单调递增区间。

广东省潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学(理科)试卷

广东省潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学（理科）试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U A B =ð（） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞2、复数()()11z i i =+-在复平面内对应的点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,0C ．()0,1D ．()0,2 3、若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（） A ．()1,2- B ．()1,2 C ．()2,1D ．()0,24、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（） A ．6π- B ．6πC ．3π-D ．3π5、设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A π+B 2π+C ．2π+D ．π+7、已知数列{}n a 为等比数列，且201320150a a +=⎰，则()20142012201420162a a a a ++的值为（）A ．2πB ．2πC ．πD ．24π8、若函数()y f x =（R x ∈）满足()()1f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，已知函数()lg ,01,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、若不等式12x x m ++-≥恒成立，则实数m 的取值范围为． 10、曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为．11、已知抛物线22y px =（0p >）的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为．12、已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是．13、二项式52ax ⎛⎝的展开式中常数项为160，则a 的值为．14、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈．()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．16、（本小题满分13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．()1将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有人成绩是“优良”的概率；()2从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17、（本小题满分13分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，C C A =B ，1AB =AA ，160∠BAA =．()1证明：1C AB ⊥A ；()2若C 2AB =B =，1C A =，求二面角1C B -A -A 的余弦值．18、（本小题满分14分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）．()1求n a ，n S ；()2若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．19、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点12⎫P ⎪⎪⎭，动点()2,t M （0t >）．()1求椭圆的标准方程；()2求以OM （O 为坐标原点）为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；()3设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20、（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）． ()1若1a =，求函数()f x 的极值；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；()3若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．3m ≤； 10．310x y --=； 11．2； 12．9； 13．2； 14．472．解析提示： 1． (,2]A B =-∞，∴()(2,)U A B =+∞ð.2．由于2(1)(1)12z i i i =+-=-=. 3．(2,1)a b +=，用排除法. 4．由图可知2A =，4()312T πππ=⨯-=，故2ω=，又()212f π=，所以22()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故23k πϕπ=+，又||2πϕ<．所以3πϕ=.5．由指数函数、对数函数的性质可知1a >，0b <，01c <<．6．由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，于是该几何体的体积为211[(1)2222V ππ=⨯+⨯⨯=+．7．22013201501(2)4a a ππ+==⨯⨯=⎰，因为数列{}n a 是等比数列，所以2201420122014201620142012201420142016(2)2a a a a a a a a a ++=++ 2220132013201520152a a a a =++2220132015()a a π=+=．8．分别作出函数()f x 与()g x 的图象，由图象可知函数()()()h x f x g x =- 在区间[5,5]-内的零点的个数为8个..9．利用绝对值的几何意义可知|1||2|3x x ++-≥．10．由于2'36y x x =-+，故1'|363x y ==-+=，切点（1，2），所以所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．11．抛物线22y px = (0p >)的准线为2p x =-；圆22(3)16x y -+=的圆心是(3,0)，半径为4r =，由题意得|3()|42p--=，解得2p =，或14p =-（舍）.. 12．画出满足条件的可行域，向上平移直线12y x =-经过点(1,4)时z 取得最大值为.13．51025522155()(2)(2)r r r r r r r r r T C ax x C a x ----+=-=-，令51002r -=，故4r =，所以常数项为445(2)80160C a a ⋅⋅-==，故2a =.14．若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分12分）解：（1）由已知得()2cos()2cos266f ππππ=-=-=-=………4分（2）因为22()2cos()2cos()2sin 3362f ππππαααα+=+-=+=-，又26()35f πα+=，故62sin 5α-=，即3sin 5α=-．. …………………6分又(,0)2πα∈-，故4cos 5α===．.……..……8分所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-， 2247cos 22cos 12()1525α=-=⨯-=．.……………….………….…10分所以(2)2cos(2)2cos 2cos2sin 2sin666f πππαααα=-=+724122()25252=⨯⨯-⨯=. ……....……12分 16．(本小题满分13分)解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为34，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为34，………2分设事件A 表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则0333163()1(1)146464P A C =-⨯-=-=．………………………….…...…5分答：至少有1人成绩是“优良”的概率为6364．.……………………...……6分（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．……………………………..7分333121(0)220C P C ξ===，12933129327(1)220220C C P C ξ⨯====， 219331236327(2)22055C C P C ξ⨯====，393128421(1)22055C P C ξ====．……..…11分所以ξ的分布列为∴ξ的期望12727219()012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．……………..…13分 17．（1）证明：取AB 的中点O ，连接CO ，1OA ，1A B 。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC ．D ． 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α⊂//n α//m nA ．4B ．8C ．π2D ．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ．1 B2 C3 D 4αααα9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β恒谦网，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。

2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值；（Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -，因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径，因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，，因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△，故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r，，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337，，，，，，，，（Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个，分别为：444036433637444337，，，，，，，，（Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337，，，，，，，，，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形，又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥，又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥，又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥，因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠，在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+，求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解，亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-，因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：，联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-，由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-，所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭，令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=，又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：数列

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（潮州市2015届高三）已知数列为等比数列，且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．2、（惠州市2015届高三）数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．A.132B.299C.68D.993、（揭阳市2015届高三）已知数列的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1124、（汕头市2015届高三）已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则( ) A ． B C D5、（汕尾市2015届高三）已知为等差数列，且，则的值为（）A ．40B ．45C ．50D ．55 6、（深圳市2015届高三）如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （） A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题1、（广州市2015届高三）已知数列{}n a 是等差数列，且，则1237a a a a ++++的值为2、（江门市2015届高三）已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a3、（韶关市2015届高三）数列{}n a 满足13n n a a +=,*n N ∈,且前3项之和等于13,则该数列的通项公式n a =4、（珠海市2015届高三）已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a ={}na 201320150a a +=⎰()20142012201420162a a a a ++2π2ππ24π}{n a {}n a 2431,,a a a 2a =4-6-8-10-{}n a 388a a +=10S 34512a a a ++=三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．求，；若，，（）是等比数列的前三项，设，求．2、（佛山市2015届高三）数列{}n a 的前n 项和为n S 恒谦网，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ). (Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).3、（广州市2015届高三）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．4、（惠州市2015届高三）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．5、（江门市2015届高三）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．{}n a n S n 222n n S a n =+n *∈N ()1n a n S ()2k a 22k a -21k a +k *∈N {}n b 112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+n T6、（揭阳市2015届高三）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，．（1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）证明：12233334n n x x x +++<． 7、（清远市2015届高三）设数列的前项和为，且满足21=a ,221+=+n n S a ．（1）求2a ；（2）数列的通项公式；（3）设nn n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．8、（汕头市2015届高三）已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为.（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，数列的前项成等比数列，且，，求满足的正整数的取值集合.9、（汕尾市2015届高三）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

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绝密★启用前2015届广东省潮州市高三上学期期末教学质量检测理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：144分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数（）满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A ．B ．C ．D ．2、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．3、设，，，则（） A ．B ．C ．D ．4、已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．5、若向量，，则以下向量中与垂直的是（） A ．B ．C ．D ．6、复数在复平面内对应的点的坐标为（） A ．B ．C ．D ．7、设全集，集合，，则集合（）A ．B ．C ．D ．8、已知数列是等比数列，且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、二项式的展开式中常数项为，则的值为．10、已知变量，满足约束条件，则的最大值是_________.11、已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值为．12、曲线在点处的切线方程为．13、若不等式恒成立，则实数的取值范围为．14、现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．三、解答题（题型注释）15、（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．16、（本小题满分14分）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．（1）求，；（2）若，，（）是等比数列的前三项，设，求．17、（本小题满分13分）如图，三棱柱中，，，．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．18、（本小题满分13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于的为优良．（2）从抽取的人中随机选取人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望．19、（本小题满分12分）已知函数，．（1）求的值；（2）若，，求的值．20、已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（）参考答案1、B2、D3、B4、D5、A6、B7、C8、A9、210、911、212、13、14、47215、（1）；（2）；（3）.16、（1），；（2）.17、（1）证明详见解析；（2）.18、（1）；（2）分布列详见解析，.19、（1）；（2）.20、（1）当时，函数取得极小值1；（2）当时，的递减区间为；递增区间为，当时，只有递增区间为；（3）.【解析】1、试题分析：分别作出函数与的图象，由图象可知函数在区间内的零点的个数为8个.考点：函数图象、函数零点.2、试题分析：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，于是该几何体的体积为．考点：三视图.3、试题分析：考点：比较大小4、试题分析：由图可知，，∴，又，∴，∴，又．∴.考点：由图象确定函数解析式.5、试题分析：∵向量，，∴，而，∴以下向量中与垂直的是.考点：向量垂直的充要条件.6、试题分析：∵，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为.考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.7、试题分析：∵集合，，∴，∴.考点：集合的并集补集运算.8、试题分析：，∵数列是等比数列，∴．考点：积分的运算、等比中项.9、试题分析：，令，故，所以常数项为，故.考点：二项式定理.10、试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当它过点时，取得最大值9．故答案为9．考点：简单的线性规划．【名师点睛】图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键在于平移直线时，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域或最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．如本例中平称直线时，向下平移减小，向上平移增大，因此易知最大值点在何处取得．11、试题分析：抛物线 ()的准线为；圆的圆心是，半径为，由题意得，解得，或（舍）.考点：抛物线与圆的位置关系.12、试题分析：∵，∴，切点（1，2），∴所求切线方程为，即．考点：利用导数求函数的切线.13、试题分析：∵不等式恒成立，∴，利用绝对值的几何意义可知，∴.考点：绝对值的几何意义.14、试题分析：若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有种，若2色相同,则有；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有种，如同色则有，所以共有.考点：排列组合.15、试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、圆的标准方程、点到直线的距离、参数方程、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和椭圆过的定点，列出方程组，解出a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过已知条件先得到圆心和半径，从而先设出圆的方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再构造三角形解出t，即得到了圆的方程；第三问，可以利用直线的参数方程，利用两点间距离公式证明等于定值，也可以利用向量法证明.试题解析：（1）由题意得①因为椭圆经过点，所以②又③由①②③解得，．所以椭圆的方程为．4分（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．5分因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离．7分所以，即，故，或，解得，或．又，故．所求圆的方程为．9分（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为．直线的方程为，直线的方程为．由，解得，故．11分；．12分又.．所以线段的长为定值．14分方法二：设，则，，，．，．．11分又，．．为定值．14分考点：椭圆的标准方程、圆的标准方程、点到直线的距离、参数方程、向量垂直的充要条件.16、试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于数列为等差数列，所以通过，令和得到和的值，从而得到公差d，即代入到和的公式中即可得到；第二问，先利用等比中项解出k的值，而，，得到数列的第一项和公比，从而得到的通项公式，代入中，利用错位相减法求，计算过程中利用求和.试题解析：（1）．，又，故；又，故，得；等差数列的公差．. 3分所以,．. ..5分（2）由已知有，故，即．解得，或，又，故．. 7分等比数列的公比为，首项为．所以．. . ..9分所以．. .. ..10分．．．12分．．. 14分考点：等差数列等比数列的通项公式、等差数列等比数列的前n项和公式、错位相减法.17、试题分析：本题主要以三棱柱为几何背景考查线线垂直、线面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，在等腰三角形中，O为AB中点，所以CO为高，由已知可得为等边三角形，所以得到，所以利用线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，在等边三角形中，先解出边CO和的长，再利用分析出是直角三角形，得到线段的两两垂直关系，从而建立空间直角坐标系，得到平面和平面ACB的法向量，再利用夹角公式计算二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，，.，故， . ..1分又，，为等边三角形．， ..3分又因为平面，平面，．平面．5分又平面，因此．6分（2）方法一：过点作，垂足，连接.在等边中，在等边中．在中．是直角三角形，且，故．8分、平面，．平面. 又平面，故．、平面，，故平面．因为平面，所以．所以是二面角的平面角．10分在中，．在中，．．所以二面角的余弦值．13分方法二：在等边中，在等边中．在中．是直角三角形，且，故．8分分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由已知得，，，.设为平面的法向量，则，，，，又，，.取，则，，故．11分又是平面的法向量，二面角的大小等于或其补角．．依图知二面角的余弦值为．. 13分考点：线线垂直、线面垂直、二面角.18、试题分析：本题主要考查茎叶图、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，从茎叶图中读出不低于76的优良的人数为9人，所以算出优良的概率为，利用二项分布计算出至少有1人成绩是优良，即1人优良、2人优良、3人优良的概率；第二问，先分析出的4种情况，再利用超几何分布的计算公式分别计算，列出分布列，用计算出数学期望.试题解析：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，2分设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则．5分答：至少有1人成绩是“优良”的概率为．6分（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3．7分，，，．11分所以的分布列为的期望．13分考点：茎叶图、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.19、试题分析：本题主要考查诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，直接代入，利用特殊角的三角函数值求；第二问，先将代入，利用诱导公式变形，即得出，再利用平方关系，得到，代入到和中，利用倍角公式求值，最后将用两角差的余弦公式展开，将和代入即可.试题解析：（1）由已知得．4分（2）因为，又，故，即．6分又，故．8分所以，．10分所以．12分考点：诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式.20、试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，当时，先得到解析式，在定义域范围内，解不等式，得到函数的单调区间，从而得到函数的极值；第二问，先求出表达式，对求导，需讨论的根与0的大小，分情况讨论；第三问，将在（）上存在一点，使得成立转化为，构造函数，结合第二问的结论，讨论求的最小值.试题解析：（1）的定义域为．1分当时，，．2分由，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；4分（2），其定义域为．又．5分①当，即时，在上，所以，函数在上单调递增. 6分②当，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；7分综上所述：当时，的递减区间为；递增区间为．当时，只有递增区间为．8分（3）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．则函数在上的最小值小于零．9分①当，即时，由（2）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．因为．所以；10分②当，即时，由（2）可知在上单调递增．故在上最小值为，由，可得（满足）；11分③当，即时，由（2）可知可得在上最小值为．因为，所以，．，即不满足题意，舍去．13分综上所述得，或．实数的取值范围为．14分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的极值和最值.。