百题多解58

58．由Rt △ABC 的斜边BC 的中点D 引两条互相垂直的射DE 、 DF ，分别交直角边AB 、AC 于E 、F.求证：EF ＜BE+CF.
证法一：延长FD 至F '， 使D F '=DF ，连B F '、E F '. 则E F '=EF. △BD F '≌△CDF
∴B F '=FC.
∵B F '+BE ＞E F '，
∴E F ＜BE+CF
注：亦可作B F '∥AC 交FD 的延长线于F '.
证法二：延长ED 至E '，
使D E '=DE ，
连C E '，E 'F.则E 'F=EF ，
△DC E '≌△DBE. ∴E 'C=BE. ∵FC+C E '＞F E '，∴EF ＜BE+CF.
注：亦可作C E '∥AB 交ED 延长线于E '.
证法三：连EC ，令EF 、EC 的中点 为M 、N.又连DM 、DN 、MN. 则DM=EF
21
（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.）
DN=
BE
2
1，MN=
FC
2
1
（三角形中位线定理）
又MD ＜DN+MN ，∴EF ＜BE+CF.
证法四：连BF ，令EF 、BF 的中点 为M 、N ，又连MN 、DN 、MD. 则DM=EF
21（直角三角形斜边
的中线等于斜边的一半.）
MN=
BE
2
1，DN=
CF
2
1.
（三角形中位线定理） ∵MN+DN ＞MD. ∴
CF
BE 2121+
＞
EF
2
1，即EF ＜BE+CF.
F '
F E C B D A F E C B A E ' D F
E C
B
A
D
N
M
F E
C
B
D
M
N
A
证法五：设EF 的中点为G ，
连DG ，作EM ∥GD 交BC 于M ，
FN ∥GD 交BC 于N. 则EM+FN=2GD=EF ，且MD=DN.
∴BM=CN. 作BH ∥AC 交EM 延长线于H ， 则∠HBM=∠C ， ∠BMH=∠EMC=∠FNC. ∴△BHM ≌△CFN ， ∴MH=NF ，BH=CF.
∵BH+BE ＞EH ，∴EF ＜BE+CF.
注：在求出BM=CN 后，可延长EM 至H ，使MH=NF ，连BH. 证法六：设EF 的中点为G ，
连GD ，作EM ∥GD 交BC 于M ，
FN ∥GD 交BC 于N.
则EM+FN=2GD=EF ，且CN=BM.
延长FN 至H ，使NH=EM ， 连HC.∵∠CNH=∠FNB=∠EMB. ∴△CNH ≌△BME ，∴CH=BE. ∵CH+FC ＞FH ，∴EF ＜BE+CF.
注：在求出CN=BM 后，可作CH ∥AB 交FN 延长线于H. 证法七：设AE ＞BE ，作CH ⊥DF 交AB 于H ，作BG ⊥CH 于G .
由DE ∥CG 、D 为BC 的中点得BE=EH ，
由DF ∥BG 、D 为BC 的中点得DF 垂直 平分GC.
∴GE=BE ，GF=CF. ∵GE+GF ＞EF ， ∴EF ＜BE+CF.
注：如果AE ＜BE ，可作 BH ⊥DE 交AC 于H ，
其他辅助线、证法类似. 证法八：设AE ＞BE ， 作CH ⊥DF 于H ，交AB 于G ，
连GF.则EG=BE.
∵AE ＞BE ，∴G 在AE 上. 则∠GCB ＜∠ACB. 又∠FDC+∠DCH=90°，
N
F E C B D A G
M H N
F E
C B
D A
G M H F E C B D
A G H
G M F
E
C B
D A
H
∠B+∠BCG+∠GCF=90°，
∴∠FDC+∠DCH=∠B+∠BCG+∠GCF，
∴∠FDC=∠B+∠GCF.∴∠FDC＞∠B.
作DM∥AB交CG于M，则M在HC上，且M是GC的中点.
∴GH＜HC，∴GF＜CF（射影定理）
∵EG+GF＞EF，∴EG+FC＞EF. 即EF＜BE+CF.
注：如果AE＜BE，可作BH⊥DE于H，交AC于G.其他辅助线、证法类似.。