吉林省吉林市普通中学2020届高三毕业班第一次调研测试试题 数学(理) 含答案
吉林省吉林市普通中学2020届高三毕业班第一次调研测试试题数学（理）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 设{|23},{|0}A x x B x x =-<<=>，则A B =A. (2,3)-B. (3,)+∞C. (2,0)-D. (0,3)2. 函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是A. 2πB.2π C.3πD. π3. 已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则a b =A. 8-B. 4C. 7D. 1-4. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；则当0x <时，()f x 等于A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x + 5. 若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019a =A ．12B ． 1-C. 2D. 12-6. 若3cos()2πα+=cos2α=A ． 23-B ． 13-C ．13D ．237. 将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变; 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. 12x π=B. 4x π=C. 524x π=D. 24x π=-8. 已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈,若A 、B 、C 三点共线，则,λμ满足 A. 2λμ+=B. 1λμ=-C. 4λμ+=D. 4λμ=-9. 若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是10. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1352213()(*)n n S a a a a n N -=++++∈，1238a a a =，则8S =A. 510B. 255C. 127D. 654011. 已知向量OA 、OB 满足0OA OB =,点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒, 设OC mOA nOB=+（,m n R ∈），若||12||OA OB =,则m n =A.3B. 4C. 23D.1412. 设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]m n D ⊆，使()f x 在[,]m n 上的 值域为[,]km kn （k R ∈且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()x f x a =（1a >）为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是 A.3(1,)e eB. 3(1,)eC.2(,)e e eD. 3(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案填在答题卡中相应位置。
13. 已知函数1ln ,0()2,0x x x f x x +>⎧=⎨≤⎩，则1[()]f f e = .14. 已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= .15. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气 晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 尺. 16. 已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin2ϕ= .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）AB 是底部B 不可到达的建筑物,A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，,,D F B 在同一水平线上， 求建筑物AB 的高度.4575ABC DE FH18．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且248,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <.19.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c , 已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4,27a c ==，求ABC ∆的面积.20．（12分） 设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为12,,,,n x x x ，构成数列{}n x .（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值.21．（12分）已知函数32()391f x x x x =+-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4,4]x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.22．（12分）设函数()()()xf x m x e m Z =-∈（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值.一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBADBCDDDBCA二、填空题： 13. 1 14.215. 1.5（注：填32也正确） 16. 45-三、解答题： 17．（10分） 解：ACE ∆中，sin45sin(7545)AE CE=︒︒-︒222sin452221sin302AE ⨯︒===︒--------------------------------5分1sin75121AB AH AE =+=︒+=︒+因为sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45︒=︒+︒=︒︒+︒︒123226222+=⨯+=所以2622123AB +==+ 所以建筑物AB 的高度为（23+）米 ---------------------------------------------10分注：26sin75+︒=直接用不扣分 18．（12分）解（1）由题意得：324286a a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，1211126(1)(3)()(7)(2)a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩由（2）式得：222211116987a a d d a a d d ++=++， 21d a d =因为0d ≠，所以1d a =，代入（1）式求得12d a == ----------------------------5分所以22(1),2n n a n a n =+-=-----------------------------------------------------------6分（2）2211111,()222n n n S n n b S n n n n n =+===-+++ --------------------------------9分111111*********()()()()()21322423521122n T n n n n =-+-+-++-+--++1111(1)22123111()421234n n n n =+--++=-+++<--------------------------------------------------------------------------12分19.（12分） 解：（1）∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可得，13sin sin cos sin sin 022B C C C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为sin 0B ≠，∴13sin cos 022C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. -----------------4分∵()0,C π∈，4(,)333C πππ∴+∈∴2,33C C πππ+==. ------------------------ 6分 （2）∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=，∵0b >，∴2b =，--------------------------------------------------------------10分∴113sin 2423222S ab C ==⨯⨯⨯=分20．（12分）解：（1）2(1)+*2n x n n N ππ=-∈， -----------------------------------------------------3分 (2)(4)[2(1)]2222n S n πππππππ=++++++-+2[123(1)]2n n ππ=++++-+(1)2n n n ππ=-+-----------------------------------------------------------------------6分 （2）(1)44n n S a n n πππ=-=-+ ------------------------------------------------------------8分当21,*n k k N =-∈时，2sin sin[(22)]sin[2(1)]sin4442n a k k πππππ=-+=-+==-------------10分 当2,*n k k N =∈时，32sin sin[(21)]sin(2)sin()4442n a k k ππππππ=-+=-+=-=-------12分21．（12分）解：（1）22()3693(23)3(3)(1)f x x x x x x x '=+-=+-=+- ----------------------3分 当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(3,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；---------------------------------------5分所以()f x 的递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞；递减区间是(3,1)- -----------------6分（2）由（1）知，()f x 在区间[4,3],[1,4]--上单调递增，在区间[3,1]-上单调递减 所以()(3)28,()(1)4f x f f x f =-===-极大极小 -----------------------------------8分又因为(4)21,(4)77f f -==----------------------------------------------------------10分 所以()f x 的最大值是77，最小值是4- --------------------------------------------12分22．（12分）解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+ ------------------------2分所以(1)2k f e '==-，因为(1)f e =-所以切线方程为2(1)y e e x +=--， 整理得：20ex y e +-= -----------------------4分 （2）()3x m x e x -<+，因为0x e >，所以3x x m x e+<+（0x >）恒成立 设3()x x h x x e+=+，则2(3)2(2)()11x x x x x xe x e x e x h x e e e -+---+'=+=+= ---------6分 设()(2),x s x e x =-+则()1x s x e '=-0>所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又332237(1)30,() 3.5022s e s e e =-<=-=>所以存在03(1,)2x ∈使得0()0s x =，0(1,)x x ∈时，()0s x <；0(,)x x ∈+∞时，()0s x >所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增所以0min 003()()x x h x h x x e +==+----------------------------------------------------------8分又00000()0,20,2x x s x e x e x =--==+所以000min 000000331()()122x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++ ----------------------10分当03(1,)2x ∈时， 0()h x '20110(2)x =->+，所以0()h x 在3(1,)2上单调递增 所以03(1)()()2h h x h <<，即0739()314h x << 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m 的最大值为2 -------------------------------------12分。
2019-2020学年吉林省吉林一中高三(上)第一次调研数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=， 故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=， 解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-， 从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象， 故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+； 当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=． 故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标， 而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ， 因此124x x =， 故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…， 当1k =时，不等式无解， 故ω的最大值为23， 故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===， 故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=， 故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=． 设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=， 又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…． 故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+， 记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增， 故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立， 即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+， 可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-， 则8M m +=-， 故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （2）（4） （填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的 的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减， 在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立， 函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=， 令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>， 令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---， 则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-， 则12224x x t t +>-++=， 当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4）， 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟； 当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解； 综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…， 当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=． 转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象； 再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立， 所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …； （3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点， 所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点； 在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点， 此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点， 此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=， 当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞． （2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--， 又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=， 所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]． 法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…， 即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增． 所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…， 所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞， 则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<， 则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点． （2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立， 构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立， 故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增， 注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(一)理数参考答案
长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. D8. A9. C 10. B 11. C 12. C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 112 14. 215. 20π16.221n n +，1(1)(1)nn n -++三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<sin()14A π<+<，即2010S <<+（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅ 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得 22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =3t =±因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2. （10分）。
2019-2020学年吉林省吉林一中高三(上)第一次调研数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=， 故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=， 解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-， 从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象， 故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+； 当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=． 故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标， 而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ， 因此124x x =， 故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…， 当1k =时，不等式无解， 故ω的最大值为23， 故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===， 故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=， 故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=． 设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=， 又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…． 故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+， 记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增， 故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立， 即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+， 可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-， 则8M m +=-， 故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （2）（4） （填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的 的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减， 在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立， 函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=， 令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>， 令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---， 则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-， 则12224x x t t +>-++=， 当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4）， 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟； 当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解； 综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…， 当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=． 转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象； 再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立， 所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …； （3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点， 所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点； 在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点， 此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点， 此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=， 当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞． （2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--， 又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=， 所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]． 法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…， 即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增． 所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…， 所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞， 则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<， 则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点． （2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立， 构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立， 故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增， 注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。
吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中) 数学(理)含答案
目要求。
1. 已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 下列函数中最小正周期为的函数的个数
①
；②
；③
A. 0
B. 1
3. 下列向量中不是单位向量的是
A.
C. 2 B.
D. 3
C.
D.
4. 为了得到函数 A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位
所以
是首项为 ，公比 的等比数列.......................................8 分
所以
18【解析】 （1）由题得，
...........................10 分
7
……………………………………………………4 分
令
，得
所以，函数 的对称中心为
…………………………………6 分
（2）由（1）知
，因为
则 两点间的最小距离为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
数列 前项和为 且
，
（I）求 （II）求
的通项公式； 值.
3
18．（本小题满分 12 分）
已知函数
，
（I）求函数
的对称中心；
（II）若存在
，使不等式
， 成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分 12 分）
在
中，
分别是内⻆
的对边，
，
（I） 求⻆的大小；
（II）若
，且
2019-2020学年吉林省吉林市高三(上)第一次调研数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．237．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是()A ．B ．C ．D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．654011．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4 C ． D ．1412．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = ．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= ．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 尺．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积．20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)【解答】解：{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，{|03}(0,3)AB x x ∴=<<=．故选：D ． 2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π【解答】解：函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是：242T ππ==． 故选：B ．3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-【解答】解：向量(1,2),(2,3)a b =-=-， 则268a b =--=-． 故选：A ．4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【解答】解：设0x <，则0x ->， 当0x >时，()(1)f x x x =-+， ()(1)f x x x ∴-=-+又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()(1)f x f x x x ∴=--=+故选：B ．5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-【解答】解：数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =， 可得212a =，31a =-，42a =，⋯ 所以数列的周期为：3， 20196723331a a a ⨯+===-．故选：B ．6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．23【解答】解：cos()sin 2παα+=-=，sin α∴=， 则211cos 212sin 1233αα=-=-⨯=，故选：C ．7．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【解答】解：将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 得到2sin(4)3y x π=+，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，得到2()2sin[4()]2sin(4)1233g x x x πππ=++=+， 由2432x k πππ+=+，k Z ∈， 得1424x k ππ=-，k Z ∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选：A ．8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-【解答】解：，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈， 若A 、B 、C 三点共线，设AB mAC =，则22a b ma m b λμ-=+，,a b 是不共线， 所以2m λ=，2m μ-=，224m mλμ-==-， 故选：D ．9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由函数()(0x x f x a a a -=->且1)a ≠在R 上为减函数， 故01a <<．函数log (||1)a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，函数log (||1)a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．6540【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，22112(1)3(1)11n n a a q q q q-=---， 2q ∴=，312328a a a a ==，22a ∴=，11a =，则881225512S -==-． 故选：B ．11．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4C ．D ．14【解答】解：||12||OA OB =， ∴1||||2OA OB =， 0OA OB =，即OA OB ⊥，故可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设(1,0)OA =，(0,2)OB =， (,2)OC mOA nOB m n =+=， 30AOC ∠=︒，∴2tan 30n m =︒=，则mn =． 故选：C ．12．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e【解答】解：因为函数()(1)x f x a a =>为增函数，由函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，即函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 设()3x g x a x =-， 则()3x g x a lna '=-， 又1a >，所以0lna >， 则当3log ax lna <时，()0g x '<，当3log a x lna>时，()0g x '>， 所以函数()g x 在3(,log )alna -∞为减函数，在3(log alna，)+∞为增函数， 要函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 则需3(log )0a g lna<， 所以33log alna lna<， 所以3log ()1lnaa lna>， 所以3()lnaa lna >， 所以31ln lna>， 所以3e lna>， 即3ea e <， 又1a >， 所以31ea e <<， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = 1 ．【解答】解：根据题意，函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则11()1f ln lne e e==-=-，01[()](1)21f f f e=-==，故答案为：1．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= 2 ．【解答】解：向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，∴12cos601a b =⨯⨯︒=． 则222|2|(2)444412a b a b a a b b -=-=-+=-⨯+=， 故答案为：2．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 1.5 尺． 【解答】解：由题意知为单调递增的等差数列， 设为1a ，2a ，⋯，12a ，公差为d ， 1591216.584a a a S ++=⎧⎨=⎩， 代入得1111(4)(8)16.5121112842a a d a d da ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 联立方程解得1 1.5a =， 故答案为：1.5．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= 5．【解答】解：由(1)(1)f x f x +=-，得()f x 的对称轴方程为1x =， 由()sin()2cos())(tan 2)f x x x x πϕπϕπϕθθ=+-+=+-=， 得2k ππϕθπ+-=+，k Z ∈．2k πϕπθ∴=-+，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin(22)sin 215k sin cos tan θθθϕππθθθθθ=-+=-=-=-=-++．故答案为：45-．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．【解答】解：ACE ∆中，sin 45sin(7545)AE CE=︒︒-︒，2sin 45sin 302AE ︒===︒)，1sin 751751AB AH AE =+=︒+=︒+，因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒12==，所以12AB =+=+) 所以建筑物AB的高度为(2+米．（注:sin 75︒=． 18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【解答】解：（1）由题意得：324286a a a a =⎧⎨=⎩，1211126(1)(3)()(7)(2)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，由（2）式得：222211116987a a d d a a d d ++=++，21d a d =， 因为0d ≠，所以1d a =，代入（1）式求得12d a ==， 所以22(1)2n a n n =+-=． （2）2n S n n =+，211111()222n n b S n n n n n ===-+++， 111111*********()()()()()21322423521122n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 3111()4212n n =-+++． 34<． 19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）sin()sin 03b Cc B π--=，∴1sin (sin )sin sin 02B C C C B -=，∴1sin 02C C +=， ∴sin()03C π+=．(0,)C π∈， ∴23C π=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （Ⅱ）2222cos c a b ab C =+-， 24120b b ∴+-=， 0b >， 2b ∴=，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 【解答】解：（1）函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯， 2(1)2n x n n π=-+，n N ∈．(2)(4)[2(1)]2222n S n πππππππ=+++++⋯⋯+-+2[123(1)]2n n ππ=+++⋯⋯+-+ (1)2n n n ππ=-+． （2）(1)44n n S a n n πππ=-=-+，当21n k =-，*k N ∈时，sin sin[(22)]sin[2(1)]sin444n a k k πππππ=-+=-+==，当2n k =，*k N ∈时，3sin sin[(21)]sin(2)sin()444n a k k ππππππ=-+=-+=-=． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值．【解答】解：（1）22()3693(23)3(3)(1)f x x x x x x x '=+-=+-=+-， 当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(3,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()f x 的递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞；递减区间是(3,1)-．（2）由（1）知，()f x 在区间[4-，3]-，[1，4]上单调递增，在区间[3-，1]上单调递减， 所以()()328f x f =-=极大，()f x f =极小（1）4=-， 又因为(4)21f -=，f （4）77=， 所以()f x 的最大值是77，最小值是4-． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．【解答】解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+， 所以k f '=（1）2e =-，因为f （1）e =-，所以切线方程为2(1)y e e x +=--，整理得：20ex y e +-=． （2）()3x m x e x -<+，因为0x e >，所以3(0)xx m x x e +<+>恒成立， 设3()x x h x x e +=+，则2(3)2(2)()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+---+'=+=+=，设()(2)x s x e x =-+，则()10x s x e '=->，所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又3237(1)30,()022s e s e =-<=-=>，所以存在03(1,)2x ∈使得0()0s x =，0(1,)x x ∈时，()0s x <；0(x x ∈，)+∞时，()0s x >，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，0(x ，)+∞上单调递增， 所以00003()()min x x h x h x x e +==+， 又00000()0,20,2x x s x e x e x =--==+， 所以000000000331()()122min x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++， 当03(1,)2x ∈时，0201()10(2)h x x '=->+，所以0()h x 在3(1,)2上单调递增， 所以03(1)()()2h h x h <<，即0739()314h x <<，因为m Z ∈，所以2m …，所以m 的最大值为2．。
吉林省吉林市普通高中2020届高三数学上学期第一次调研测试试题文
吉林省吉林市普通高中2020届高三数学上学期第一次调研测试试题文本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用28铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x≤0}，则A∩B＝A.{1，2}B.{－1，0｝C.{0，1，2}D.{－1}?)?3sin(4xy?的最小正周期是2.函数3?? C. D.πA.2π B.233.己知D是△ABC边AB上的中点，则向量CD＝1111BA?BC??BABC?BABC?BA?BC B.A. C. D.22224.己知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)；则当x<0时，f(x)等于A.－x(1－x)B.x(1－x)C.－x(1＋x)D.x(1＋x)31a的等差中项为，则a的值为与5. ＝1，a 15422A.4 B.3 C.2 D.1?3??)cos(??，则cos2α＝若6. 322112 B.－ C.－ D.A.3333- 1 -ababa－b|＝。
＝2，则的夹角为60°，||2|＝1，|7.己知向量，|73 D.1 C.A.2 B.2?)图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变；再2sin(2x＋8.将函数f(x)＝3?个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点将所得图象向左平移12最近的对称轴方程为????5x?x?x??x? C. B. D.A.2412424x9.若函数f(x)＝a(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log(|x|－1)的图象可以是a10.在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、BC中点，则AE?CD＝A.4B.3C.2D.611.等比数列{a}的前n项和为S，若S＝3(a＋a＋a＋······＋a)(n∈N*)，aaa＝8，32n2n－11nn3125则S ＝8A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540?D，使f(x)在[m，n]存在D，若满足条件：[m，n]上的值域为[km，12.设函数f(x)的定义域为kn](k∈R且k>0)，则称f(x)为“k倍函数”，给出下列结论：12x是“1倍函数”；②f(x)＝x是“2倍函数”；③f(x)＝①f(x)＝e是“3倍函数”。
【解析】吉林省吉林市2020届高三第一次调研考试数学(文)试题
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第一次调研测试文科数学一、选择题1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =≤，则A B =I （ ） A. {}1,2 B. {}1,0-C. {}0,1,2D. {}1-【答案】B 【分析】根据集合交集的定义，即可求出答案.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =≤. 所以A B =I {}1,0- 故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质. 2.函数3sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A. 2π B.2π C.3π D. π【答案】B 【分析】由三角函数的最小正周期2T ωπ=，即可求解。
【详解】4ω=Q ，2T ωπ=242T ππ∴== 故选：B【点睛】本题考查求三角函数sin()y A x ωϕ=+的周期，属于基础题。
3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =u u u r（ ）A. 1-2BC BA +u u u r u u u rB. 12BC BA -u u u ru u u r C. 1-2BC BA -u u u r u u u rD. 12BC BA +u u u r u u u r【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，用基底{},BC BA u u u r u u u r 表示向量CD uuu v.【详解】因为D 是△ABC 边AB 上的中点，所以1122CD CB BD CB BA BC BA =+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢.4.已知奇函数()f x 当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()f x 的表达式是( ) A. (1)x x -+ B. (1)x x --C. (1)x x +D. (1)x x -【答案】C设x <0，则−x >0，又当x >0时,f (x )=x (1−x )，故f (−x )=−x (1+x )， 又函数为奇函数，故f (−x )=−f (x )=−x (x +1)，即f (x )=x (x +1)， 本题选择C 选项.5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( ) A. 4 B. 2 C. 3D. 8【答案】A 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12， 可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=， 解得2q =-（舍去），12q =， 则14a =， 故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.若cos()2πα+=cos2=α（ ） A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可.【详解】cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,得到sin α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.7.已知向量a r ，b r的夹角为60°，1a =r ，2b =r ，则2a b -=r r （ ）A. 2B.D. 1【答案】A 【分析】根据2a b -=r r .【详解】2a b -=r r==2=故选：A.【点睛】本题考查两向量差的模长的计算，属于基础题,解本类题型需熟练掌握两向量差的模长计算公式：a b -==rr .8.将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A. 24x π=-B. 4x π=C. 524x π=D. 12x π=【答案】A分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解+析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24,32x k k Z πππ+=+∈， 得1,424x k k Z ππ=-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.9.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【分析】根据函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数知道01a <<.即log ay x =在()0+∞，上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞U ，故排除A 、B. 当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在()1,+?上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增.【点睛】本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，判断出01a <<，即log a y x =.在()0+∞，上单调递减.10.在ABC △中，4AB =，2AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 分别为AB 、BC 中点，则AE CD ⋅=u u u r u u u r （ ） A. 4 B. 3C. 2D. 6【答案】C 【分析】根据题意知0AB AC ⋅=u u u r u u u r,将AE CD u u u r u u u r 、用AB AC u u u r u u u r、表示出来，再运算即可得出答案. 【详解】因为D 、E 分别为AB 、BC 中点.所以()1+2AE AC AB =u u u r u u u r u u u r ,12CD CA AD AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r, 所以()221111+=22242AE CD AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⋅--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r .故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用.属于基础题.解本题的关键在于根据题意得到0AB AC ⋅=u u u r u u u r，利用平面向量基本定理将AE CD u u u r u u u r 、用AB AC u u u r u u u r 、表示出来.11.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2135213n n S a a a a n N-=++++∈L L å，1238a a a =,则8S =（ ）A. 510B. 255C. 127D. 6540【答案】B由等比数列的性质可得22a =，由()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈L L å可得公比2q =，11a =，再由等比数列的求和公式即可求出8S【详解】由等比数列的性质可得312328a a a a ==，解得22a =，又()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈L L Q å，24613521213521()()3()n n n a a a a a a a a a a a a --∴++++++++++++=+L L L L L L ， 2421352162()n n a a a a a a a a -++++++∴+=+L L L L ， 21135135212()n n q q q q a a a a a a a a --++++++++∴=L L L L即2q =，又21a a q =，所以11a = 由等比数列的求和公式8818(1)2125511a q S q --∴===-故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.12.设函数()f x 的定义城为D ，若满足条件：存在[],m n D ⊆，使()f x 在[],m n 上的值城为[],km kn （k ∈R 且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，给出下列结论：①()1f x x=是“1倍函数”；②()2f x x =是“2倍函数”：③()xf x e =是“3倍函数”．其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D 【分析】 ①根据()1f x x=在(),0-?，()0,+? 单调递减,可在区间(),0-?上找，也可在区间()0,+?上找使1()1()f m n m f n m n ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩成立的m n 、 的值. ②因为()20f x x =≥,所以0n m >≥，又()2f x x =在[0,)+∞上单调递增，即在区间[0,)+∞上找使22()2()2f m m mf n n n⎧==⎨==⎩成立的m n 、 的值. ③()xf x e =在R 上单调递增，即找使()3()3m nf m e mf n e n⎧==⎨==⎩成立的m n 、 的值.等价于3x e x =有两根，可证明()3xg x e x =-有两个零点.【详解】①()1f x x=是“1倍函数”:即存在[]()(),,00,m n ⊆-∞+∞U ，使()f x 在[],m n 上的值城为[],m n .若[](),,0m n ⊆-∞，()1f x x =在(),0-?上单调递减,即1()11()f m n mmn f n mn ⎧==⎪⎪⇒=⎨⎪==⎪⎩. 令12,2m n =-=-,()1f x x =在1[2]2--，上的值域为1[2]2--，. 即()1f x x=是“1倍函数”； ②()2f x x =是“2倍函数”: 即存在[],m n R ⊆，使()f x 在[],m n 上的值城为[]2,2m n .因为()20f x x =≥,所以0n m >≥.又因为()2f x x =在[0,)+∞上单调递增,即22()20,2()2f m m mm n f n n n ⎧==⇒==⎨==⎩. 即()2f x x =在[]0,2上的值域为[]0,4，即()2f x x =是“2倍函数”.③()xf x e =是“3倍函数”: 即存在[],m n R ⊆，使()f x 在[],m n 上的值城为[]3,3m n .因为()xf x e =在R 上单调递增,所以 ()3()3m nf m e mf n e n⎧==⎨==⎩等价于3x e x =有两根. 记()3xg x e x =-，现证()g x 有两个零点.()3x g x e '=-，令()30x g x e '=-=解得ln3x =.即函数()3xg x e x =-在(),ln3-∞单调递减，在()ln3,+∞上单调递增.()ln3ln 33ln 333ln 33ln 03eg e =-=-=<，即()0g x =有两个零点.即3x e x =有两根.即存在[],m n R ⊆，使()xf x e =在[],m n 上的值城为[]3,3m n .即()xf x e =是“3倍函数”.综上所述：①②③均正确. 故选:D.【点睛】本题考查函数的新定义.属于中档题.解本题的关键在于读懂“k 倍函数”的定义:只需在定义域内找到区间[],m n 使()f x 的值城为[],km kn .再根据函数的定义域与值域建立等式，说明存在性. 二、填空题13.已知函数1ln ,0()2,0x x x f x x +>⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________. 【答案】1 【分析】根据解+析式，先求1f e⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可。
吉林吉林市2020届高三上学期第一次调研测试数学理
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
D
B
A
D
B
C
D
D
D
B
C
A
二、填空题：
13.
1
14.
2
3
15.
1.5（注：填 2 也正确）
4
16.
5
三、解答题： 17．（ 10 分）
AE 解： ACE 中， sin45
CE sin(75 45 )
·4·
2sin45 AE
sin30
20．（ 12 分）
xn
解：（ 1）
2(n 1) + ， n 2
N*
-----------------------------------------------------3
分
Sn
(2 2
) (4 2
) 2
[2(n 1)
]
2
2 [1 2 3
n (n 1)]
2
n(n 1) n
2 -----------------------------------------------------------------------6
3
A. (1, ee )
B. (1,e3 )
2
C. (ee , e)
D. (e, e3 )
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。
f (x)
13. 已知函数
ln x, x 0
1
2x 1 ,
x
0 ，则
2020届吉林省吉林市普通高中高三毕业班第一次调研考试数学(理)答案
所以 （米）
所以建筑物 的高度为（ ）米---------------------------------------------10分
注： 直接用不扣分
18．（12分）
解（1）由题意得： ,
由（2）式得： ,
因为 ,所以 ,代入（1）式求得 ----------------------------5分
19.（12分）
解：（1）∵ ,
∴由正弦定理可得, ,
因为 ,∴ ,∴ .-----------------4分
∵ , ∴ .------------------------ 6分
（2）∵ ,∴ ,
∵ ,∴ ,--------------------------------------------------------------10分
（2） ------------------------------------------------------------8分
当 时,
-------------10分
当 时,
------12分
21．（12分）
解：（1） ----------------------3分
当 时, , 单调递增；
当 时, , 单调递减；
又因为 ----------------------------------------------------------10分
所以 的最大值是 ,最小值是 --------------------------------------------12分
22．（12分）
解：（1）当 时, , ------------------------2分
∴ .---------------------------------------------12分
高2018级2020年10月吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试理科数学试题参考答案
吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学参考答案一、选择题13. 14. (0,1) 15. 1030 16. 610 三、解答题 17【解析】 （1)由112n n b S +=得112n n b S -=.................................................1分两式相减得112n n n b b b +-=即13(n 2)2n n b b +=≥..................................2分121111,22b b S ===,所以2132b b ≠..........................................3分当2n ≥时{}n b 为等比数列,且213()(n 2)22n n b -=⋅≥.............................4分所以{}n b 的通项公式为21(n 1)13()(n 2)22n n b -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ (5)分（2）由（1)知22213()22n n b -=⋅ 设2n n a b =,则2212222213()3922()1324()22nn n n n na b a b ++-⋅====⋅ (7)分所以{}2n b 是首项为12,公比94的等比数列.......................................8分所以246219[1()]2924[()1]95414n n n b b b b -+++⋅⋅⋅+==--...........................10分 18【解析】（1)由题得,)3sin sin 3cos(cos sin 2)ππx x x x f +=（x x x 2sin 3cos sin += )2cos 1(232sin 21x x -+=232cos 232sin 21+-=x x 23)32sin(+-=πx ……………………………………………………4分令ππk x =-32 )(Z k ∈,得62ππ+=k x )(Z k ∈ 所以,函数)(x f 的对称中心为)23,62(ππ+k )(Z k ∈…………………………………6分(2) 因为存在]43,4[0ππ∈x ,使不等式m x f <)(0成立,所以m 大于)(x f 的最小值………8分由434ππ≤≤x ,得67326πππ≤-≤x , 当6732ππ=-x ,即43π=x 时,)(x f 取最小值213-,所以213->m ,则m 的取值范围为),213(+∞-.……………………………………12分19【解析】（1)由正弦定理得sin sin cos A C B B C =⋅⋅因为A B C π++=,)sin sin cos B C C B B C +=⋅⋅cos cos sin )sin sin cos B C B C C B B C +=+……………………………2分化简,sin B B =………………………………………………………………………4分 因为(0,)B π∈,所以3B π=……………………………………………………………………6分（2)由（1)知3B π=,因为4b =,所以由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-,即22242cos3a c ac π=+-化简,得2216a c ac +-=①……………………………………………………………………8分因为该三角形面积为所以1sin 2ac B =,即16ac =②…………………………………………………………10分 联立①②,解得4a c ==………………………………………………………………………12分20【解析】（1)当2a =时, 2'()(253)(1)(23)f x x x x x =++=++ ......................1分令'()0f x =,解得31x =-或-, .................................2分...................3分所以,()f x 的增区间为32∞（-,-）,+∞（-1，）, .................................4分 ()f x 的减区间为32（-,-1） ........................................5分 ()f x 的极大值为39()28f -=-, (6)分()f x 的极小值为7(1)6f -=- (7)分（2)依题意：[]2'()(21)301,1f x ax a x =+++≤-在上恒成立 (9)又因为0a >,所以,0'(1)0'(1)0a f f >⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,.........................................10分【说明】（1)此处只使用判别式小于等于0 加上a>0的不给分； （2)若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分；即0243a a a ⎧⎪>⎪≥⎨⎪⎪≤-⎩即无解。