平行四边形的判定习题-含答案

解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．
证明：∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∵OA=OC，
∴△ADO≌△ECO，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD AE．
6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴OB=OD，
又∵四边形AODE是平行四边形，
∴AE∥OD且AE=OD，Fra bibliotek∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．
13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
证明：如答图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG= OA，OH= OC，
∴OG=OH．
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，
∴OE=OF．
∴四边形EHFG为平行四边形．
平行四边形的判定
1．如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．
3如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC=DF=2．
故答案为：2．
19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），
∴BE=DF；
（2）解：四边形MENF是平行四边形．
证明：有（1）可知：BE=DF，
∵四边形ABCD为平行四边行，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD．
20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF
又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF
∴四边形MFNE为平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．
∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF=BE．
∴AD∥BC，
∴∠MDB=MBD，
∵DM=BN，
∴△DNF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形AECF是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．
又∵AG=CH，∴BG=DH．
又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．
∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）解：仍成立．（证法同上）
17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，∴OE=OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM∥QC，AP∥NC．
又∵MN∥AC，
∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．
∴AC=MQ AC=NP．
∴MQ=NP．
15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
求证：EF和GH互相平分．
证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
在△ABC中，EG= BC；在△DBC中，HF= BC，
∴EG=HF．
同理EH=GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．
∴EF与GH互相平分．
14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．
∴四边形BEDF是平行四边形．
9．如图所示，DB∥AC，且DB= AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
证明：∵E是AC的中点，
∴EC= AC，
又∵DB= AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
∵AF∥EC，AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC=EF，
∴平行四边形AFCE是矩形，
∴∠FCE=∠CFA=90°，
而∠ACB=135°，
∴∠FCA=135°﹣90°=45°，
∴∠FAC=45°，
∴FC=FA，
∴矩形AFCE是正方形．
18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2
21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．
（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．
解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．
连接AC，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC
同理HG∥AC，
∴EF∥HG，EF=HG
∴EFGH是平行四边形；
（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．
∵假若四边形EFGH为正方形，
∴它的每一组邻边互相垂直且相等，
∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．
（1）求证：D是EC中点；
（2）求FC的长．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，
即D是EC的中点；
（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，
∴△EFC是直角三角形，
又∵D是EC的中点，
∴DF=CD=DE=2，
11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：AE与DF互相平分．
证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE∥AC，DE=AF，
EF∥AB，EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
故AE与DF互相平分．
12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
9．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
求证：四边形EFCD是平行四边形；
答案
1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．