平行四边形较难题
特殊平行四边形难题综合训练（含答案）
特殊平⾏四边形难题综合训练（含答案）第五章特殊平⾏四边形难题综合训练1、正⽅形ABCD ，正⽅形BEFG 和正⽅形RKPF 的位置如图所⽰，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正⽅形BEFG 的边长为4，则△DEK 的⾯积为（） A ．10B ．12C ．14D ．162、如图，在正⽅形ABCD 内有⼀折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正⽅形的边长为 .第1题第2题第3题第4题 3、如图，平⾯内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是⼀组平⾏线，相邻2条平⾏线的距离都是1个单位长度，正⽅形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平⾏线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正⽅形的⾯积是平⽅单位． 4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 .6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的⾯积为8，则BE =（） A ．2 B ．3 C ．22 D ．32第5题第6题第7题第8题7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°⾄OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（）A 、（2,2-）B 、（2,2-）C 、（3,3-）D 、（2,2--）8、如图，正⽅形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折⾄△AFE ，延长EF 交边BC 于A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 9、如图，在正⽅形ABCD 中，点O 为对⾓线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF =90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中：（1）图形中全等的三⾓形只有两对；（2）正⽅形ABCD 的⾯积等于四边形OEBF ⾯积的4倍；（3）BE +BF =20A ；（4）AE 2+CF 2=20POB ．正确的结论有（）个． A ．1B ．2C ．3D ．410、如图，在矩形ABCD 中，由8个⾯积均为1的⼩正⽅形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 .11、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．(1)如图11－1，当点M 在AB 边上时，连接BN ．求证：ABN ADN △≌△；(2)如图11－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三⾓形．12、如图所⽰，正⽅形ABCD 的边CD 在正⽅形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，． (1）求证：BE DG ．(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三⾓形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． CMBNAD（图11-2）CB M AND（图11-1）13、请阅读，完成证明和填空．数学兴趣⼩组在学校的“数学长廊”中兴奋地展⽰了他们⼩组探究发现的结果，内容如下：(1）如图13-1，正三⾓形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．(2）如图13-2，正⽅形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠=度．(3）如图13-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．(4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请⼤胆猜测，⽤⼀句话概括你的发现：． 14、ABC △是等边三⾓形，点D 是射线BC 上的⼀个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三⾓形，过点E 作BC 的平⾏线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． (1）如图（a ）所⽰，当点D 在线段BC 上时．A A A BBB CCC DDO OOM M M NNN E图13-1图13-2图13-3…(3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形并说明理由．15、如图，ABC △中，点O 是边AC 上⼀个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外⾓平分线于点F ．(1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点O 运动到何处，且ABC △满⾜什么条件时，四边形AECF 是正⽅形16、如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．(1）求ABC △的⾯积；AG CD BF E 图（a ）ADCBFEG图（b ）AF N DC B M EO17、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转⾓α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系并证明你的结论； (2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由18、在菱形ABCD 中，对⾓线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．(1）求BDE △的周长；(2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．ADBECF 1AADBECF 1A 1C19、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形AOBC在第⼀象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外⾓平分线BF于点F，设C（m，n）．(1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；(2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE成⽴并求出点E的坐标．20、如图，将正⽅形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，⽤这四块图形恰．能拼成⼀个．．．．．矩形（⾮正⽅形）．(1）画出拼成的矩形的简图；(2）求x的值．A Q DEB P COxO E BAyCFxO E BAyCFO E BAyCF21、如图所⽰，在矩形ABCD 中，1220AB AC ==，，两条对⾓线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平⾏四边形1OBBC ；对⾓线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平⾏四边形111A B C C ，对⾓线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平⾏四边形1121O B B C ……依次类推． (1）求矩形ABCD 的⾯积；(2）求第1个平⾏四边形11OBB C 、第2个平⾏四边形111A B C C 和第6个平⾏四边形的⾯积．22、如图（22），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平⾏于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正⽅形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． (1）求A B 、两点的坐标；(2）⽤含t 的代数式表⽰MON △的⾯积1S ；A 1 A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABC O①当2t ≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △⾯积的51623、如图15，在四边形ABCD 中，E 为AB 上⼀点，△ADE 和△BCE 都是等边三⾓形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论． OMAP N y l mx BO MAP N y l mxBE PF 图2224、数学课上，张⽼师出⽰了问题：如图1，四边形ABCD 是正⽅形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF交正⽅形外⾓DCG ∠的平⾏线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，⼩明展⽰了⼀种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进⼀步的研究：(1）⼩颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意⼀点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成⽴，你认为⼩颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）⼩华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意⼀点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成⽴．你认为⼩华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．25、如图，ABCD 是正⽅形，点G 是BC 上的任意⼀点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+． ADF CGE B图1 ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3DCBA EF G参考答案1、D2、1043、5或94、2010052355 5、15 6、C 7、A 8、B 9、C 10、5811、（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB = AD ，∠1 =∠2⼜∵AN = AN ∴△ABN ≌△ADN (2）解：∵∠ABC =90°，∴菱形ABCD 是正⽅形此时，∠CAD =45°．下⾯分三种情形：Ⅰ）若ND =NA ，则∠ADN =∠NAD =45°．此时，点M 恰好与点B 重合，得x =6；∴∠3=∠4，从⽽CM =CN ，易求AC =62，∴CM =CN =AC －AN =62－6，故x = 12－CM =12－（62－6）=18－62综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN 是等腰三⾓形12、（1）因为ABCD 是正⽅形，所以BC =CD 。
【数学】数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题及答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．2．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P ==86OB OD为点D的对应点，再将纸片还原。
利用平行四边形性质巧解生活难题
方法技巧栏目 可以安排在总复习使用利用平行四边形的性质 巧解生活难题平行四边形是特殊的四边形，在实际生活中着广泛的应用，对于生活中的一些实际问题，同学们可以巧借平行四边形的相关性质加以解决。
下面撷取几个生活实例说明如下.一、比较线路长短图1是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，BC=DA ，BC ∥DF ，FD//BC ．从B 站乘车到E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B －D －A －E ，路线2是B －C －F －E ，请比较两条路线路程的长短，并说明理由.【分析】本题是一道设计比较新颖的实际问题,要比较两条线段的长短,首先要从实际问题构建数学模型。
实际上线路1,可用线段BD 、DA 、AE 的和来表示；线路2可用线段BC 、CF 、FE 的和来表示，本题就可以通过比较BD+DA+AE和BC+CF+FE 的大小即可.解：两条线路相等.理由：因为DE 垂直平分AF ，所以DF=DA ，FE=AE.又BC ∥DF ，FD//BC ，所以四边形FDBC 是平行四边形，所以BD=CF ，CB=DF=DA ， 所以BD+DA+AE=CF+BC+FE ，所以线路1与线路2的路程相等.二、扩大池塘的面积如图2，一口呈四边形的池塘，在它的四周A 、B 、C 、D 处各有一棵桃树，如果想把池塘扩大一倍，而保住四棵桃数不动，并要求扩建的池塘为平行四边形的形状，请你判断这一想法能否实现？【分析】由于四棵桃树分别在四边形的顶点，所以要想把池塘改成平行四边形，切面积扩大一倍，则四棵桃树应在平行四边形的边上，且每条边上都有一棵桃树.为此只要过四边形的顶点A 、C 两点作对角线BD 的平行线，过顶点B 、D 作对角线AC 的平行线即可.解：如图1，分别过点A 、C 作BD 的平行线，过点B 、D 作AC 的平行线，四条线分别相交于点E 、F 、G 、H 。
由作图可知四边形AEBO 、BFCO 、CGDO 、DHAO 均为平行四边形，且△ABO 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别为平行四边形AEBO 、BFCO 、CGDO 、DHAO 面积的一半，所以平行四边形EFGH 为四边形ABCD 面积的一半.三、计算影子的面积如图3，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现了一个明亮的四边形，小刚用量角器量出了一条对角线与一边垂直，，用直尺量出了四边形的四条边分别是30cm ，50cm ，30cm ，50cm ，小刚说用这些数据就能计算出四边形的面积，你知道小刚是如何计算的吗？这样计算的根据是什么？【分析】根据小明测量的数据可知这个四边形的对边相等，由此可确定该四边形为平行四边形，可画出如图所示的图形，根据已知可得AB ⊥AC ，AB=30cm ，BC =50cm ，根据勾股定理可以计算出△ABC 的面积和△ACD 的面积，所以计算四边形ABCD 的面积. 解：如图4，根据已知条件可四边形ABCD 是平行四边形，所以AB//CD ，因为AB ⊥AC ，所图 1 图2 图4图3以CD ⊥AC ，所以△ACD 为直角三角形.在Rt △ABC 中，因为AB2+AC2=BC2，所以AC2=502-302=402，所以AC =40，所以△ABC 的面积为21×40×30=600（cm 2）.同样△ACD 的面积为600cm 2，所以四边形ABCD 的面积为1200cm 2. 四、等分地块的面积 如图5，ABCD 是老王家的一块平行四边形田地，P 为水井，现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.【分析】 我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以。
平行四边形超级难题学霸挑战2
2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷一．选择题（共9小题）1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．C．2cm2D．3cm22．如图，▱ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MN∥AB，PQ∥BC，则下列结论中正确的是（）A．S△MOD =S△NOBB．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD =2S四边形AMOPD．S四边形AMOP=S四边形CNOQ3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对4．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．255．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2 B ．C ．D．157．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD ＜38．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．69．△ABC 与平行四边形DEFG 如图放置，点D ，G 分别在边AB ，AC 上，点E ，F 在边BC 上．已知BE=DE ，CF=FG ，则∠A 的度数（ ）A ．等于80°B ．等于90°C ．等于100°D ．条件不足，无法判断二．选择题（共7小题）10．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD 于D ，F 为AC 中点，AB=5，BC=7，则DF= ．11．在▱ABCD 中，两对角线交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 个．12．在△ABC 中，BC=10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，B 1，B 2，C 1，C 2分别是AB ，AC 的三等分点，在图③中B 1，B 2…B 9；C 1C 2…C 9分别是AB 、AC 的10等分点，则B 1C 1+B 2C 2+…+B 9C 9的值是 ．13．已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是 ．14．已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为 ．15．如图，对面积为1的平行四边形ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，CD ，DA 至点A 1，B 1，C 1，D 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1D=2CD ，D 1A=2AD ，顺次连接A 1，B 1，C 1，D 1，得到平行四边形A 1B 1C 1D 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1、D 1A 1至点A 2，B 2，C 2，D 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，D 2记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A 5B 5C 5D 5，则其面积S 5= ．16．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= cm2．三．选择题（共23小题）17．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积．18．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．19．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．20．已知：如图，AD∥BC，AC⊥BD于O，AD+BC=5，AC=3，AE ⊥BC于E．求AE的长．21．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CN ⊥AD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M．试判断BM=MC的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．22．已知：如图在▱ABCD中，AC，BD交于O，CE ⊥BD于E，AF⊥BD于F，连接AE，CF．（1）判断四边形AFCE的形状；（2）证明你的结论．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高．24．已知：如图（1），AC是▱ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有（只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有（只写一组）．请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．25．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．线段BC 所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D．（1）经过多少秒后ED是△ABC的中位线此时ED 的长为多少（2）经过多少秒后ED的长为2cm26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．27．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．28．如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．29．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．30．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．32．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD．求证：AD ≥BC．33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．34．（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗请在图上画出对应的示意图．（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是．（不要求说明理由）35．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G 的形状是．36．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC ；（2）．37．已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC 上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．38．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗试说明理由．（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF 的周长和面积．39．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．四．解答题（共1小题）40．如图所示，在▱ABCD中，AB＞BC，∠A与∠D 的平分线交于点E，∠B与∠C的平分线交于F点，连接EF．（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系为什么（3）如果将条件“AB＞BC”改为“AB＜BC”，其它条件不变，EF 、BC与AB的关系又如何请画出图形并证明你的结论．2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．C．2cm2D．3cm2【解答】解：连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB=AC，∴BF=CF=BC=×8=4，在Rt△ABF中，AF==，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，∴NM=BC=DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2=÷2=，∴S阴影=4×÷2=．故选B．2．如图，▱ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MN∥AB，PQ∥BC，则下列结论中正确的是（）A．S△MOD=S△NOBB．S四边形BNOP=S四边形DMOQC．S△ABD=2S四边形AMOPD．S四边形AMOP=S四边形CNOQ【解答】解：∵平行四边形中，MN∥AB，PQ∥BC，∴S△BOP=S△BON，S△MOD=S△QOD，S（△BOP+▱APOM+△MOD）=S（△BON+▱CQON+△QOD）．∴S▱APOM=S▱CQON∴A、B、C说法都不正确，故选D．3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB ∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．4．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．25【解答】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，故选：D．5．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1）C．6n D．6n（n+1）【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选：B．6．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A．2 B ．C ．D．15【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=．△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是•5y=4y．则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=．同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．则四边形A4B2C4D2的面积是S ﹣﹣﹣﹣=，即=1，解得S=．故选：C．7．AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）A．AD＜6 B．AD＞2 C．2＜AD＜6 D．1＜AD ＜3【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE、CE，∵AD=DE∵AD是△ABC中BC边上的中线∴BD=DC∴四边形ABEC为平行四边形∴BE=AC=4∴在△ABE中：BE﹣AB＜AE＜BE+AB即2＜2AD＜6∴1＜AD＜3故选：D．8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15 B．12 C．9 D．6【解答】解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=BC=×6=3，∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH===4，∴S△ADE=BC •=×3×=3，设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b==2，∴S△DOE+S△FOG=DE•a+FG•b=×3（a+b）=×3×2=3，∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．故选：D．9．△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G 分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上．已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数（）A．等于80°B．等于90°C．等于100°D．条件不足，无法判断【解答】解：∵BE=DE∴∠B=∠BDE∵四边形DEFG是平行四边形∴∠ADG=∠B∴∠ADG=∠BDE同理：∠AGD=∠CGF∵∠AGD+∠CGF+∠DGF=180°，∠DGF+∠GDE=180°∴∠AGD+∠CGF=∠GDE∵∠ADG+∠BDE+∠GDE=180°∴∠ADG+∠BDE+∠AGD+∠CGF=180°∴∠ADG+∠AGD=90°∴∠B+∠C=90°∴∠A=90°故选：B．二．选择题（共7小题）10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF= 1 ．【解答】解：延长AD交BC于E∵AD⊥BD，BD平分∠ABC∴△ABD≌△EBD∴BE=AB=5又∵BC=7∴EC=BC﹣BE=7﹣5=2∵DF为△AEC的中位线∴DF=EC=×2=1．故答案为1．11．在▱ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 4 个．【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形EFGH是平行四边形；根据SAS可分别证明：△AHD≌△CFB，△AFB≌△CGD，可得，AH=CF，AF=CH，所以AHCF是平行四边形；同理可得BGDE是平行四边形，则以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH、ABCD、AHCF、BGDE，故有4个．故答案为4．12．在△ABC中，BC=10，B1、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图③中B1，B2…B9；C1C2…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45 ．【解答】解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1=BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2=BC+BC；…当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1=BC+BC+…+BC=BC=5（n﹣1）；当n=10时，5（n﹣1）=45；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是45．故答案为45．13．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（2）（3）．【解答】解：其中正确的说法是（2）、（3）．因为再加上条件“∠BAD=∠BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明△AOB≌△COD，所以，AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形．故答案为：（2）（3）．14．已知△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为．【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：22009，∵△ABC周长为1，∴第2010个三角形的周长为．故答案为：．15．如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5= 135．【解答】解：如图，连接BD，B1D，∵B1C=2BC，∴△B1DC的面积是△DBC的面积的两倍，又∵C1D=2DC，△B1C1D的面积是△B1DC的两倍，∴△B1C1C的面积是△DBC的面积的6倍，也就是平行四边形ABCD的面积的三倍，以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍，∴新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍，按此规律继续下去，那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135．故填空答案135．16．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= 144 cm2．【解答】解：设S△AEF 的高为h1，S△DCF的高为h2，平行四边形的高为h ∵平行四边形ABCD ∴△AEF∽△CDF∵S△AEF =6cm2，S△DCF=54cm2∴AE：DC=AE：AB=1：3，h 1：h2=1：3∴AB=3AE∵h=h1+h2∴h=4h1∵S△AEF=AE•h1=6∴AE•h1=12∴S平行四边形ABCD =AB•h=3AE•4h1=12AE•h1=144cm2三．选择题（共23小题）17．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积．【解答】解：过D作DE∥AM交BC的延长线于E．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵DE∥AM，∴四边形AMED是平行四边形，∴AD=ME，AM=DE，∵M 是BC的中点，AD=10，∴MB==5，∴BE=BM+ME=15，∵四边形AMED是平行四边形，∴AM=DE=9，∵BD=12，∴92+122=152，即BD2+DE2=BE2，∴△DBE为直角三角形．∴BE边上的高为=，∴平行四边形ABCD的面积为10×=72．18．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．【解答】证明：（1）直角三角形ACB中，∵CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=BE=CD，又∵AB∥CD，∴BCDE为平行四边形，∴BC∥DE，∵AC⊥BC，∴DE⊥AC．（2）∵CD∥AB，∴∠ACD=∠CAE．由（1）知EC=EA，∴∠A=∠ACE．∴∠ACD=∠ACE．19．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC 上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．20．已知：如图，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，AD+BC=5，AC=3，AE ⊥BC 于E ．求AE 的长．【解答】解：过点A 作AF ∥DB 交CB 的延长线于点F ，（1分） ∵AD ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴FB=AD ． ∵AD+BC=5，∴FC=FB+BC=AD+BC=5．（2分） ∵AC ⊥BD ， ∴FA ⊥AC ．（3分）在△FAC 中，∠FAC=90°，AC=3，FC=5， ∴AF=4．（4分） ∵AE ⊥BC 于E ， ∴AF •AC=FC •AE ． ∴AE=．（5分）21．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CN ⊥AD 于E 交AB 于N ，F 是AC 的中点，FE 的延长线交BC 于M ．试判断BM=MC 的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．【解答】解：结论BM=MC 正确．证明过程如下： ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠NAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠AEN=∠AEC=90°． ∵AE=AE ， ∴△ANE ≌△ACE ． ∴NE=CE ．∵F 为AC 的中点， ∴AF=CF ． ∴EF ∥AB ． ∵AF=CF ， ∴BM=MC ．22．已知：如图在▱ABCD 中，AC ，BD 交于O ，CE ⊥BD 于E ，AF ⊥BD 于F ，连接AE ，CF ． （1）判断四边形AFCE 的形状；（2）证明你的结论．【解答】解：（1）四边形AFCE 是平行四边形．（2）∵在△ABE和△CDF中∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．又∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∴OE=OF．∴AECF是平行四边形．23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD 交于O，AD∥BC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高．【解答】解：（1）四边形ABCD为平行四边形．∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°在Rt△OBC中，OB=，BC=3，∴．∵AC=4，∴OA=2，∴OA=OC．∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．又∵∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴BC=AD．∵BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形．（2）设AB边上的高为h，∵S平行四边形ABCD=BC•AC=AB•h，∴3×4=5h，∴h=．即AB边上的高为．24．已知：如图（1），AC是▱ABCD的对角线，直线MN过点D，且MN∥AC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN．探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ （只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ （只写一组）．请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明．【解答】解：探究（1）：如图（2），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．探究（2）：如图（3），在直线MN上相等的线段有MP=NQ．选择探究（1）：如图（2），证明MP=NQ．理由：如图（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；又MN∥AC，∵四边形ACNP是平行四边形，∴NP=AC．同理可证MQ=AC，∴NP=MQ∴PQ+QN=MP+PQ，∴MP=NQ．25．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．线段BC 所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D．（1）经过多少秒后ED是△ABC的中位线此时ED 的长为多少（2）经过多少秒后ED的长为2cm【解答】解：（1）ED是△ABC的中位线即E、D分别为AB、AC的中点，则ED=BC=4cm，∴BE=AB=3cm，∵动点速度为每秒2cm，∴时间为t==；（2）ED的长为2cm，即ED=BC，∴AE=AB=，∴BE=6cm﹣=故时间t==秒，答：（1）经过秒后ED是△ABC的中位线，此时ED 的长为4cm，（2）经过秒后ED的长为2cm．26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF=30°．【解答】解：（1）△ACD≌△CBF证：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∠ACD=∠B=60°∵CD=BF∴△ACD≌△CBF（SAS）（2）四边形CDEF为平行四边形∵△ACD≌△CBF∴∠DAC=∠BCF，CF=AD∵△AED是等边三角形∴AD=DE∴CF=DE①∵∠ACG+∠BCF=60°∴∠ACG+∠DAC=60°∴∠AGC=180°﹣（∠ACG+∠DAC）=120°∴∠DGF=∠AGC=120°∵△AED是等边三角形∴∠ADE=60°∴∠DGF+∠ADE=180°∴CF∥DE②综合①②可得四边形CDEF是平行四边形．（3）∵AC=BC，当点D是BC中点时，BF=CD=BC=AB，∴CF为AB边上的中线，CF平分∠ACB，∴∠DEF=∠ACB=30°，∴当点D是BC中点时，∠DEF=30°．27．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．【解答】证明：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵DE=CF，∴AE=BF．∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM=ME，CN=NE．∴MN是△BCE的中位线．∴MN∥AD，MN=AD．28．如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点．说明∠1与∠2的大小关系．【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG∵G、N、M分别是BD、BC、AD的中点，∴GN是△ADB的AB对的中位线，GM是△BCD的CD 对的中位线∴NG∥AB，NG=AB，GM∥CD，GM=CD∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME又∵AB=CD∴MG=NG∴∠GNM=∠GME∴∠1=∠2．29．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．【解答】解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120度．又∵EF=AE，∴BD=FE．∴△BDE≌△FEC．（选证二）△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．（选证三）△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=∠CED=60度．∵EF=AE，△AEF是等边三角形．∴AE=AF，∠EAF=60度．∴△ABE≌△ACF．（2）四边形ABDF是平行四边形．理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．∴AB∥DF，BD∥AF．∴四边形ABDF是平行四边形．（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．∴EF∥AB，EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G，则EG=．∴S四边形ABEF=EG•（AB+EF）=（6+4）=10．30．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件．【解答】（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．31．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF．∴∠1=∠2，∠3=∠4∵E是AD的中点，∴AE=DE．∴△ABE≌△DFE．（2）解：四边形ABDF是平行四边形．∵△ABE≌△DFE，∴AB=DF又∵AB∥DF∴四边形ABDF是平行四边形．32．在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD．求证：AD ≥BC．【解答】（1）证明：如图，当A、D为BH、CH的中点时，AD=BC．（2）证明：如图，当A，D不是BH、CH的中点时．∵∠B=∠C，∴BH=HC．∵DH=AB，∴AH=CD．过B作BE∥AD，过D作DE∥BH，BE与DE交于E点，连接EC∴四边形ABED为平行四边形，∠EDC=∠H．∴DE=AB，BE=AD．∴DH=DE．又∵CD=AH∴△ADH≌△CED．∴CE=AD．∴BE=CE．在△BEC中，BE+EC＞BC，∴2AD＞BC．∴AD ＞BC．综合（1），（2）可得，AD ≥BC．33．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为90．34．（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗请在图上画出对应的示意图．（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH，△BEF，△CFG，△DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是28 ．（不要求说明理由）【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．连接AC．在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC 的中点，即EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，EF=AC．在△ADC中，同样可以得到HG∥AC，HG=AC．所以四边形EFGH是平行四边形．（2）如图，（3）四边形ABCD是面积是28．35．操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是平行四边形．【解答】解：操作2：四边形FF1G1G的形状是平行四边形连接AC．在△ABC中，因为E、F分别是AB、BC的中点，即EF 是△ABC的中位线，所以EF∥AC，EF=AC．在△ADC中，同样可以得到HG∥AC，HG=AC．又△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置所以EF1∥AC，EF1=AC同理HG1∥AC，HG1=AC∴FF1∥GG1且FF1=GG1四边形FF1G1G是平行四边形．36．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC ；（2）．【解答】证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；∵BE⊥AG，∴∠AEB=∠BEG=90°；∵BE平分∠ABG，∴∠ABE=∠GBE；∴∠BAE=∠BGE；∴△ABG是等腰三角形；∴AB=BG，E是AG中点；同理可得：AC=CF，D是AF中点；∴DE是△AFG的中位线；∴DE∥BC．（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，∴DE=FG；∵FG=BG+CF﹣BC，且AB=BG，AC=CF；∴FG=AB+AC﹣BC，即DE=（AB+AC﹣BC）．37．已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC 上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．【解答】（1）证明：∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠PAB+∠PBA=90°．∴∠APB=180°﹣90°=90°．从而AP⊥PB．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5．又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠PAD=∠DPA．∴DP=AD=5．同理PC=BC=5．∴AB=DC=DP+PC=10．∴在Rt△APB中，应用勾股定理得：．∴△APB 的面积是．38．在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠BCD，（1）AC与EF互相平分吗试说明理由．（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF 的周长和面积．【解答】解：（1）AC，EF互相平分．证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA又∵AE，CF分别平分∠BAD，和∠BCD．∴∠BAE=∠DAE=，∠BCF=∠DCF=，∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAE=∠BCF。
平行四边形 难题
1、已知：如图，E、F分别为平行四边形ABCD中AD、BC的中点，分别连接AF、BE交于G，连接CE、DF交于点H。
求证：EF与GH互相平分。
20．已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC, EG⊥CD，垂足分别是F、G。
求证：AE＝FG.17．如图11，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长。
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F 在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形2.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE13．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．21．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．22．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED 是菱形．（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长23．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．求证：BE=DG26．已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF （1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．27．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．。
平行四边形难题
平行四边形难题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．2．已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．（1）如图1：当四边形ABCD是正方形时，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF满足的数量关系是，请说明理由；（2）如图2：当AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF是∠BAD的一半，问：（1）中的数量关系是否还存在？（填是或否）（3）在（2）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．3．如图，在ABC △中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF BC P 交DE 的延长线于F 点，连接AD 、CF（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形；（2）当ABC △满足什么条件时，四边形图ADCF 是菱形？为什么？4．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．5．如图，在ABCD Y 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点A 作AE BD P ，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 延长线于点F ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若452ABC BC ∠︒＝，＝，求EF 的长．1、（1）当四边形ABQP 是矩形时，BQ=AP ，即：t=16-t ，解得t=8．答：当t=8时，四边形ABQP 是矩形；（2）设t 秒后，四边形AQCP 是菱形当AQ=CQ-t 时，四边形AQCP 为菱形．解得：t=6．答：当t=6时，四边形AQCP 是菱形；（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm ，面积为：10×8=80（cm 2）．2、解：（1）EF ＝BE +DF ，理由：如图1，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝AD ，∠ABM ＝∠D ＝90°，在∠ABM 和∠ADF 中，90AB AD ABM D BM DF ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝ ，∠∠ABM ∠∠ADF （SAS ），∠AM ＝AF ，∠BAM ＝∠DAF ，∠四边形ABCD 是正方形，∠EAF ＝45°，∠∠DAF +∠BAE ＝45°，∠∠EAM ＝∠BAM +∠BAE ＝45°，∠∠EAM ＝∠EAF ，在∠EAM 和∠EAF 中，AM AF EAM EAF AE AE ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠∠EAM ∠∠EAF （SAS ），∠EF ＝EM ＝BM +BE ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ；（2）是存在，理由如下：延长CB 到P 使BP ＝DF ，∠∠ABC ＝∠D ＝90°，∠∠ABP ＝90°，∠∠ABP ＝∠D ，在∠ABP 和∠ADF 中，AB ADABP D BP DF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∠∠ABP ∠∠ADF （SAS ），∠AP ＝AF ，∠BAP ＝∠DAF ，∠∠EAF ＝12∠BAD ，∠∠BAE +∠DAF ＝∠EAF ，∠∠BAP +∠F AD ＝∠EAF ，即：∠EAP ＝∠EAF ，在∠APE 和∠AFE 中，AP AFEAP FAE AE AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∠∠APE ∠∠AFE （SAS ），∠PE ＝FE ，∠EF ＝BE +DF ；故答案为：是；（3）如图3，补全图形．证明：在BC 上截取BP ＝DF ，∠∠B ＝∠ADC ＝90°，∠∠ADF ＝90°，∠∠B ＝∠ADF ，在∠ABP 和∠ADF 中，AB AD B ADF BP DF ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠∠ABP ∠∠ADF （SAS ），∠AP ＝AF ，∠BAP ＝∠DAF ，∠∠EAF ＝12∠BAD ， ∠∠DAE +∠DAF ＝12∠BAD ， ∠∠BAP +∠EAD ＝12∠BAD ， ∠∠EAP ＝12∠BAD ＝∠EAF ， 在∠APE 和∠AFE 中，AP AF EAP FAE AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∠∠APE ∠∠AFE （SAS ），∠PE ＝FE ，∠EF ＝BE ﹣BP ＝BE ﹣DF ．3、（1）证明：∠点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∠DE∠AB ，BD=CD ，∠AF∠BC ，∠四边形ABDF 是平行四边形，∠AF=BD ，则AF=DC ，∠AF∠BC ，∠四边形ADCF 是平行四边形；（2）解：当∠ABC 是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF 是菱形， 理由：∠∠ABC 是直角三角形，且∠BAC=90°又∠点D 是边BC 的中点，∠AD=DC ，∠平行四边形ADCF 是菱形．4、证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，90ADG C AD DC ︒∴∠∠＝＝，＝，又AG DE ⊥Q ，90DAG ADF CDE ADF ︒∴∠+∠∠+∠＝＝，DAG CDE ∴∠∠＝，ADG DCE ASA ∴∆∆≌（）（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，E Q 是BC 的中点，BE CE ∴＝，又90C HBE DEC HEB ︒∠∠∠∠Q ＝＝，＝，DCE HBE ASA ∴∆∆≌（）， BH DC AB ∴＝＝，即B 是AH 的中点，又90AFH ︒∠Q ＝，Rt AFH ∴∆中，12BF AH AB ＝＝．5、（1）证明：∠四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AB CD AB CD ∴P P ，＝，，ADB CBD ∴∠∠＝，， ∠BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠∠＝，， ADB ABD ∴∠∠＝，， AB AD ∴＝，， ABCD ∴Y 是菱形；（2）解：∠四边形ABCD 是菱形，2AB CD BC ∴＝＝＝，AB CD AE BD Q P P ，，∠四边形ABDE 是平行四边形，45ECF ABC ∠∠︒＝＝， 2AB DE ∴＝＝，4CE CD DE ∴+＝＝，45EF BC ECF ⊥∠︒Q ，＝，CEF ∴V 是等腰直角三角形，EF CF ∴===。
2020-2021中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)含详细答案
2020-2021中考数学平行四边形(大题培优易错难题)含详细答案一、平行四边形1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=12BC•AD=12AB•CE．从而得2AD=CE，∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，∴AB=AP×PB，即：PA•PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5，在Rt△ADE中，点M是AE的中点，∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN，∵AB=AE+BE，∴2DM+2CN=AB，∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.3．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH ＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一定点，BE ＝6，F 为AB 上一动点，把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当△AFB ′恰好为直角三角形时，B ′D 的长为？465522【解析】【分析】分两种情况分析：如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN=22B N'+；【详解】如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，∵∠B=90°，∴AE=2222AB BE=86++=10，∵B′E=BE=6，∴AB′=4，∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，在Rt△AB′F中，∠AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，∴AN=B′M=2.4，∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+ =4655；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，∴AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=AD-AN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN=22B N'+ =22；综上，可得B′D 4655或2【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.5．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝12S△AEF＝S△APF，综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．6．（问题情境）在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-43x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222-=-8．DF CF106∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB2210，BC＝10．68∴AB＝BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即点P1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．7．如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ，进而求证△AFM ≌△EFB ，得AM =BE ，FB =FM ，即可求得BC +BE =AD +AM ，进而求得BD =BM ，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF ⊥DF ．【详解】延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴MD ∥BC ，∴∠AMF =∠EBF ，∠E =∠MAF ，又FA =FE ，∴△AFM ≌△EFB ，∴AM =BE ，FB =FM ．∵矩形ABCD 中，∴AC =BD ，AD =BC ，∴BC +BE =AD +AM ，即CE =MD ．∵CE =AC ，∴AC =CE = BD =DM ．∵FB =FM ，∴BF ⊥DF ．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB =DM 是解题的关键．8．已知90AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角MCN ∠绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E .（1）如图1，若CD OA ⊥，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且2OD =，8OE =，请直接写出线段CE 的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（334【解析】【分析】（1）先证四边形ODCE 为矩形，再证矩形ODCE 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，证四边形OGCH 为正方形，再证()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得；（3）根据()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得2OE OD OH OG OC -=+=.【详解】解：（1）∵90AOB ∠=︒，90MCN ∠=︒，CD OA ⊥，∴四边形ODCE 为矩形.∵OP 是AOB ∠的角平分线，∴45DOC EOC ∠=∠=︒，∴OD CD =，∴矩形ODCE 为正方形， ∴2OC OD =，2OC OE =.∴2OD OE OC +=.（2）如图，过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，∵OP 平分AOB ∠，90AOB ∠=︒，∴四边形OGCH 为正方形，由（1）得：2OG OH OC +=，在CGD ∆和CHE ∆中， 90CGD CHE CG CHDCG ECH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()CGD CHE ASA ∆≅∆，∴GD HE =，∴2OD OE OC +=.（3）2OG OH OC +=， ()CGD CHE ASA ∆≅∆，∴GD HE =. ∵OD GD OG =-，OE OH EH =+，∴2OE OD OH OG OC -=+=， ∴32OC =，∴34CE =，CE 的长度为34.【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.9．在ABC V 中，ABC 90o ∠=，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．()1求证：BD DF =；()2求证：四边形BDFG 为菱形；()3若AG 5=，CF 7=，求四边形BDFG 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=o ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形，再利用()1得结论即可得证，()3设GF x =，则5AF x =-，利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系，解出x 即可．【详解】()1证明：AG //BD Q ，CF BD ⊥，CF AG ∴⊥，又D Q 为AC 的中点，1DF AC 2∴=， 又1BD AC 2=Q ， BD DF ∴=，()2证明：BD//GF Q ，BD FG =，∴四边形BDFG 为平行四边形，又BD DF =Q ，∴四边形BDFG 为菱形，()3解：设GF x =，则AF 5x =-，AC 2x =，在Rt AFC V 中，222(2x)7)(5x)=+-， 解得：1x 2=，216x (3=-舍去)， GF 2∴=，∴菱形BDFG 的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．10．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质11．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．12．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QC﹣QP=．【解析】试题分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD 的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC﹣QP=．考点：四边形的综合知识．13．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．试题解析：（1）连接AH，如图1，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如图3，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2-）BC2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF=BC．考点：四边形综合题．14．如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥AB．交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在边BC上时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0＜S1＜S2），直接写出当S2≥3S1时t的取值范围．【答案】(1) PQ=7-t．(2) t=．(3) 当0＜t≤时，S=．当＜t≤4，．当4＜t＜7时，．（4）或或．【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；（3）当0＜t≤时，当＜t≤4，当4＜t＜7时；（4）或或．试题解析：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t．当点Q在线段BC上时，PQ=7-t．（2）当点M落在边BC上时，如图③，由题意得：t+t+t=7，解得：t=．∴当点M落在边BC上时，求t的值为．（3）当0＜t≤时，如图④，S=．当＜t≤4，如图⑤，．当4＜t＜7时，如图⑥，．（4）或或．．考点：四边形综合题.15．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC．∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN．（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形．考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．。
八年级下册数学平行四边形难题
八年级下册数学平行四边形难题平行四边形是几何学中一个非常重要的图形，它有许多重要的性质和应用。
在初二下学期的平行四边形单元中，学生们将学习如何证明平行四边形的性质和判定，以及解决一些相关的几何问题。
为了更好地帮助学生掌握这个单元的知识点，下面列举了一些常见的易错题和难题。
一、易错题1、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=4，BD=2，则AB的取值范围是？这道题是一道易错题，很多学生会认为AB的取值范围是2<AB<4。
然而，这个答案是错误的。
因为在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，即AO=CO=2，BO=DO=1，根据三角形的三边关系，可以得到AB的取值范围是1<AB<5。
2、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC垂直于AB，BD垂直于CD，AC=4，BD=3。
求平行四边形ABCD的面积。
3、这道题是一道易错题，很多学生会认为平行四边形ABCD的面积是12。
然而，这个答案是错误的。
因为在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，即AO=CO=2，BO=DO= 5，根据勾股定理可以得到AB= 5。
根据三角形的面积公式可以得到平行四边形ABCD的面积是25。
二、难题1、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC垂直于AB，BD垂直于CD，AC=4，BD=3。
求平行四边形ABCD的周长。
这道题是一道难题，需要学生灵活运用平行四边形的性质和判定来解决。
在解决这道题时，需要先根据已知条件求出AB的长度，再利用平行四边形的对边相等的性质求出平行四边形ABCD的周长。
由于这道题涉及到的知识点较多，很多学生难以全面掌握并灵活运用。
2、已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。
求证：平行四边形ABCD是矩形。
这道题是一道难题，需要学生通过证明两条对角线互相平分来证明平行四边形是矩形。
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A．①②③B．①③④C．②④D．①③
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
11．（2013年4分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确．
故答案为：C
考点：翻折变换（折叠问题）．
2．B
【解析】
试题分析：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE。
19．如图,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
20．已知，如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E是边AD上一点，
（1）若∠CAD=∠EBC，AC=BE，AB=6，求CE的长。
（2）若AE+AB=BC,求证：∠BEC=∠ABE+ ∠BAD.
21．如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG。
∵AB＝BC BO＝BO，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
①△APB是等腰三角形②∠ABP+∠BPD=°③PD+CD=BC④
A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④
6．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的向平移到△A/B/C/的位置，使B/和C重合，连结AC/交A/C于D，则△C/DC的面积为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
7．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的向平移到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（ ）
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.
18．如图，在边长为3的正形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1） 的值为；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
A.6 cm B.9 cm
C.3 cm D.12 cm
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞CD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于 EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。则下列结论：
①AG平分∠DAB，②CH＝ DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH＝ S四边形ABCH。
∴∠ABP+∠BPD=°
∵∠ABP=∠CBP
∴∠CBP+∠BPD=°,②正确；
∵△APB是等腰三角形
∴AP=AB=CD
∵AP+PD=AD=BC
∴PD+CD=BC,③正确；
∵ 与 高相等,要使得 ,则必须满足PD+BC=2AP,从题目中无法得知,
∴④错误.
故选B．
考点：平行四边形性质．
6．D．
【解析】
（1）直角梯形ABCD的面积为cm2.
（2）当t＝秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）当t＝秒时，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由.
24．已知：如图， 为平行四边形ABCD的对角线， 为 的中点， 于点 ，与 ， 分别交于点 ．求证：⑴ ．⑵
解：根据平行四边形的判定可知，A、B、D均不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件，只有C符是平行四边形的条件．
故选C．
5．B．
【解析】
试题分析：∵在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P,
∴∠ABP=∠CBP=∠APB,所以△APB是等腰三角形,①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BE+DF 。故结论④错误。
∵ ， ，
∴ 。故结论⑤正确。
综上所述，正确的有4个，故选C。
4．C
【解析】根据平行四边形的判定解答．平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A、1个B、2个C、3个D、4个
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为
A． B． C．4 D．8
3．如图，正形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【】个．
评卷人
得分
五、判断题（题型注释）
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：
解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知）
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
16．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为.（结果保留根号）
评卷人
得分
三、计算题（题型注释）
评卷人
得分
四、解答题（题型注释）
17．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.
由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°。即∠DAF=15°。故结论②正确。
∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF。
∵AE=AF，∴AC垂直平分EF。故结论③正确。
设EC=x，由勾股定理，得EF= ，CG= ，AG= ，
∴AC= 。∴AB= 。∴BE= 。
【解析】
试题分析：①如图，连接EG，FG，
由作图可得，AE=AF，EG=FG，
又∵AG=AG，∴△AEG≌△AFG（SSS）。
∴∠EAG=∠FAG，即AG平分∠DAB。故结论①正确。
绝密★启用前
20考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
1．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；③BD=BF；④S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（ ）
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH= BD
其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．
12．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=70°，∠C=40°，DE//AB交BC于点E．若AD=3cm，BC=10cm，则CD的长是cm.
13．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=20，则S2=.
A．6 B．9 C．12 D．18
8．如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中共有_________个平行四边形.
9．如图，在平行四边形中，对角线 ,相交于点O，若，的和为18 cm，，△AOB的长为13 cm，那么BC的长是（）
求证：四边形GEHF是平行四边形。
22．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
23．如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动.当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动.设点P、Q同时出发，并运动了t秒，
∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA。∴∠DAE=∠DFA。∴AD=FD。
又F为DC的中点，∴DF=CF。∴AD=DF= DC= AB=2。
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG= ，则AF=2AG=2 。