(精选)2017概率论练习卷

概率论练习卷

一、选择题（每小题3分，共15分）

为两个互斥事件，且P (B )≠0，则下列关系中，不一定正确的是 ． A ．

0)|(=B A P B ．)()()(B P A P B A P +=+ C ．0)(=AB P

D ．)(1)(B P A P -=

2．设随机变量X 服从泊松分布，且已知(1)(2),P X P X ===则(4)P X == ． A ．24

3e - B ．223e - C ．213e - D ．113

e - 3．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量X 的分布函数 ． A ．是阶梯函数 B ．恰好有一个间断点 C ．是连续函数 D ．至少有两个间断点 4.若随机变量,X Y 不相关，则下列等式中不成立的是 ． A ．DY DX Y X D +=+)( B. 0),(=Y X Cov C. ()E XY EX EY =? D. ()D XY DX DY =?

5.设12(,,,)n X X X L 是来自总体),(2σμN 的样本，则下述结论成立的是 ． A ．2

~(,

)X N n

σμ B ．2~(,)X N μσ C ~(1,1)X N D ．~(0,1)/X N n μ

σ-

二、填空题（每小题3分，共15分）

4张，出现同花的概率为 ． 2.已知离散型随机变量 X 的分布律为{},0,1,22k

t

P X k k ==

=，则t = ．

3.已知连续型随机变量X 的概率密度函数为,

01,()2,12,0,.x x p x x x ≤≤??

=-<≤???

其它 则

{ 1.5}P X ≤= ．

4.设123,,X X X 相互独立且同服从参数

为λ=

的指数分布，令1231

()3

Y X X X =++，则()D Y = ．

5.设随机变量X 服从区间[2,4]上的均匀分布，则应用切比雪夫不等式估计得

{|3|1}P X -≥≤ ．

三、计算题（1、2、5和6每题10分，3和4每题15分，共70分）

1、据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高 0.1，0.2 和 0.7.假定今后五年内家庭月人均收入 X 服从正态分布 N (2, 0.82 ).试求：

(1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；

(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在

1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944）

2、设随机变量X 的密度函数为??

?

??≤<-≤≤-+=其他

,010,

10

1,

1)(x x x x x p ，试求：(1) 随机变量X Y =的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件

}5.0{

3、某箱装有200件产品，其中有一、二、三等品分别为160件、20件和20件，现

从中随机抽取一件，记??

?=其他

等品抽到,

0,

1i X i ，i =1,2,3.试求：(1) 随机变量X 1 与

X 3 的联合分布律；(2) X 1 与X 3 的相关系数1

3

X X ρ；(3) 13(2).

D X X -

4、二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,

01(,)0,

cxy y x p x y ≤≤≤?=?

?其他

，试

求: (1) 参数c ；(2) 关于X 与Y 的边缘概率密度函数，并讨论X 与Y 是否独立？ (3) {1}.P X Y +<

5、对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为3，方差为1.69，求在100次轰炸中有280到320颗炸弹命中目标的概率.（注：Φ(1.54)=0.9382）

6、设总体X 的概率密度为(1),01()0,x x f x θθ?+<<=??其他，其中，1θ>-是未知参

数，),,,(21n X X X Λ是来自总体X 的容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共15分）

1． D 2． B 3． C 4． D 5． A 二、填空题（每小题3分，共15分）

1．14

413452444165

C C C = 2．47 3．78 4．1 5．13

三、计算题（1、2、5和6每题10分，3和4每题15分，共70分） 1、 据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为

0.1，0.2 和 0.7. 假定今后五年内家庭月人均收入 X 万元服从正态分布 N (2, 0.82 ). 试求：

(1) 今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；

(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在

1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944） 解：记},1{1<=X A },31{2≤≤=X A },3{3>=X A

B 表示“一个家庭今后五年内有购买高级小轿车意向”，则

()()1056.025.1125.18.021}1{)(1=Φ-=-Φ=???

??-Φ=<=X P A P

()7888.0125.128.0218.023}31{)(2=-Φ=??

?

??-Φ-??? ??-Φ=≤≤=X P A P

()1056.025.118.0231}3{)(3=Φ-=??

?

??-Φ-=>=X P A P ……(4分)

另一方面，由题设知 7.0)|(,2.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P (1) 由全概率公式得

24224

.07.01056.02.07888.01.01056.0)

()|()(3

1

=?+?+?==∑=i i i A P A B P B P ……(3分)

(2) 由贝叶斯公式得

65.024224

.02

.07888.0)()()|()|(222≈?==

B P A P A B P B A P ……(3分)

2、设随机变量X 的密度函数为??

?

??≤<-≤≤-+=其他

,010,

10

1,

1)(x x x x x p ，试求：(1) 随机变量X Y =的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件

}5.0{

解：(1) 易知，当0

当10≤≤y 时， }{}{)(y X y P y X P y F ≤≤-=≤=

20

02)1()1(y y dx x dx x y

y

-=-++=??-； ……(3分)

当1>y 时，1)(=y F ；

所以X Y =的概率密度函数???≤≤-=其他,01

0),1(2)(y y y p ……(2分)

(2) ,75.0)5.0(}5.0{==

.32

5

15625.025.075.025.075.0)(211

33003=

=+=C C A P ……(3分) 3、某箱装有200件产品，其中有一、二、三等品分别为160件、20件和20件，现

从中随机抽取一件，记??

?=其他

等品抽到,

0,

1i X i ，i =1,2,3.试求：(1) 随机变量X 1 与

X 3 的联合分布律；(2) X 1 与X 3 的相关系数1

3

X X ρ；(3) 13(2).D X X -

解：(1) 由题设知

……(5分)

(2) 由(1)可得

1313()0.8,()0.1,()0E X E X E X X ===

1()0.80.2(0.80.2)0.16,D X =??+= 3()0.10.9(0.90.1)0.09D X =??+=

131313(,)()()()00.80.10.08Cov X X E X X E X E X =-=-?=-

1

3

2

3X X ρ=

=

=- ……(7分)

(3) 进一步可得

131313(2)()4()4(,)D X X D X D X Cov X X -=+-

0.160.360.320.84.=++= ……(3分)

4、二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,

01(,)0,

cxy y x p x y ≤≤≤?=?

?其他

，试

求: (1) 参数c ；(2) 关于X 与Y 的边缘概率密度函数，并讨论X 与Y 是否独立？ (3) {1}.P X Y +<

解：(1) 由规范性可得1

1

1y

dy cxydx =??，故c =8 ……(3分)

(2) 08,01()(,)0,

x

X xydy x p x p x y dy +∞

-∞

?≤≤?==?

????其他34,010,x x ?≤≤?=???其他

……(3分)

同理

18,01()(,)0,

y Y xydx y p y p x y dx +∞

-∞

?≤≤?==?????

其他34(),

010,y y y ?-≤≤?

=?

??其他

……(3分)

由于 (),()()X Y p x y p y p y ≠?，故X 与Y 不相互独立. ……(2分) (3) 1

120

1

{1}8.6y y

P X Y dy xydx -+<==??

……(4分)

5、对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为3，方差为1.69，求在100次轰炸中有280到320颗炸弹命中目标的概率.（注：Φ(1.54) = 0.9382）

解：令第i 次轰炸命中目标的炸弹数X i ，则()3,() 1.69,i i E X D X ==

100次轰炸中命中目标的炸弹数为 100

1i i X X ==∑，由独立同分布中心极限定理知，

X 近似服从期望为100()1003300i E X =?=，方差为100()100 1.69169i D X =?=的正态分布，即

~(300,169).X N ……(4分)

故所求概率为

{

}280320P X P ≤≤=≤≤

2030020131313X P --??=≤≤??

?? (1.54)( 1.54)=Φ-Φ-

= 0.8764 ……(6分)

6、设总体X 的概率密度为(1),01

()0,x x f x θθ?+<<=??其他，其中，1θ>-是未知参

数，),,,(21n X X X Λ是来自总体X 的容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量. 解：(1) 总体X 的数学期望是 1

1

()()(1)2

E X xf x dx x x dx θθθθ+∞-∞

+==+=

+?

? 设11n i i X X n ==∑为样本均值，令1

2

X θθ+=+，参数θ的矩估计量为

21

?1X X

θ

-=- ……(5分) (2) 设12,,,n x x x L 为相应于样本12,,,n X X X L 的样本值，则似然函数为

1(1),01(1,2,,)

()0,n n

i i i x x i n L θθθ=???+<<=? ?=???

?

?

∏L 其他 当01i x <<(1,2,,)i n =L 时，()0L θ>，且

1ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑， 1

ln ()ln 1n

i i d L n

x d θθθ==++∑， 令

ln ()

0d L d θθ

=，解得 1

1ln n

i

i n

x

θ==--

∑

从而，得θ的最大似然估计量为

1

?1ln n

i

i n

X

θ==--

∑ ……(5分)

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