(精选)2017概率论练习卷
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
16-17《概率论》试卷A
河北科技大学理工学院2016--2017学年第一学期《概率论》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 设A 与B 相互独立,()0.5,()0.9P A P A B ==U ,则()P B = .2. 三人独立地破译一密码，他们能单独破译出的概率分别为13,14,15，则此密码被破译出的概率为 ．3. 设随机变量X 的分布律为()3{},1,2,4kP X k c k ===L ，则c = .4. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{()}P X E X == ．5. 设随机变量~(1,6)K U ,则关于x 的方程240x x K ++=有实根的概率是 .6. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，且1{0}{1}2P X P X ====，设Z X Y =+，则{0}P Z == .7. 设()1,()2E X D X =-=,则2(32)E X -= .8. 设随机变量X 与Y 的方差分别为1和4，相关系数为0.25，则=+)(Y X D . 9. 设随机变量X 的方差为1，则由切比雪夫不等式可知{|()|2}P X E X -≥≤ . 10. 设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>，有lim n n P p n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭.二. 单项选择题（每小题3分，共18分）1. 设随机事件A 与B 互不相容，则 【 】 (A)()0P AB =(B)()()()P AB P A P B =⋅ (C)()1()P A P B =- (D)()1P A B =U2. 设某连续型随机变量X 的分布函数是(1),0()0,0x k x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩则常数k 的值是 【 】(A)1k = (B) 0k = (C) 1k =- (D) k 为任意常数 3. 设2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ,记1{4}p P X μ=≤-,2{5}p P X μ=>+，则 【 】(A) 对任何实数μ ,都有12p p = (B) 对任何实数μ ,都有12p p < (C) 对任何实数μ ,都有12p p > (D) 只对个别的μ ,才有12p p =4. 设随机变量X 的密度函数为()f x ，则23Y X =-的密度函数()Y f y 为 【 】(A) 13()22y f +-(B) 13()22y f -- (C) 13()22y f + (D) 13()22y f - 5. 若随机变量X 与Y 满足)()()(Y E X E XY E =，则 【 】(A)X 与Y 相互独立 (B) ()()()D X Y D X D Y -=+ (C)1XY ρ= (D) ()()()D X Y D X D Y -=-6. 设随机变量Y X ,分别服从(0,1)N 和(1,1)N ,且X 与Y 相互独立，则 【 】(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤= (D)1{1}2P X Y -≤=三．计算题（共52分）1.（10分）现有一批零件是由甲、乙两人共同加工而成的，其中甲加工了60%，乙加工了40%，甲加工的零件的次品率为10%，乙加工的零件的次品率为15%， (1) 从这批零件中任取一只，求取到次品的概率； (2) 若已知取到的是次品，求它是甲生产的概率.101111424X P -011122Y P 2. （10分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为23(1),118()0,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他求（1）X 的分布函数F (x );（2）概率{02}P X <≤；(3)()E X .3. (10分)设X 与Y 为相互独立的离散随机变量，概率分布律分别为求 (1)(,)X Y 的联合分布律；(2){}P X Y =.分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求 (1)X 的边缘概率密度函数()X f x ；(2){}P X Y ≤； (3)()E XY .5. (10分) 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户中占20%．现随意抽查100个索赔户，设X 表示这100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数． (1) 写出X 的概率分布律；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户的概率的近似值． 注：(1.5)0.933Φ=。
2017年文科概率统计高考真题.doc
、3 5 8 (B) 一(C) 一(D) 一2 3 5统计[2017年北京卷第14题】某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i ) 男学生人数多于女学生人数；(ii) 女学生人数多于教师人数； (iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.%1 若教师人数为4,则女学生人数的最大值为. %1 该小组人数的最小值为.[2017年江苏卷第3题】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号 的产品中抽取 件.(2017年山东卷第8题】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件). 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为(A) 3,5(B) 5,5 (C) 3,7 (D) 5,7甲组 乙组算法框图[2017年北京卷第3题】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为[2017年江苏卷第4题】右图是一个算法流程图，若输入工的值为上，则输出的》的值是 _______________ r16(A) 2L 输中y 7(结束)，第6题图(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3[2017年山东卷第6题】执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4 口寸,输出的)，的值为2,则空白判断框中 的条件可能为(A) x>3(B) x>4 (C) x<4 (D) x<5[2017年天津卷第4题】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19,则输出N 的值 为概率[2017年江苏卷第7题】记函数#, 、_ n~ ------------- F 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则J \X) — \ + X — Xx e D 的概率是[2017年天津卷第3题】有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩 笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为4321(A) 一 (B) 一 (C) 一 (D) 一5 5 5 5[2017年北京卷第17题】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层 抽样的方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30) , [30,40),・・・， [80,90],并整理得到如下频率分布直方图：(结束)(第4题)(开始)----- -------- ——B31B 5(II) 己知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(III) 已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试 估计总体中男生和女生人数的比例.[2017年山东卷第16题】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 142,^3和3个欧洲国家&,&,曷中选择2 个国家去旅游.(I )若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(II)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 但不包括色的概率.[2017年浙江卷第16题】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.(用数字作答)[2017年新课标I 卷第4题】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方 形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一 A点，则此点取自黑色部分的概率是()[2017年新课标II 第9题】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的 成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A. 乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2017年新课标II 第11题】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张, 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为1A —10[2017年新课标I卷笫2题】为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验m.这〃块地的亩产量(单位：kg）分别为％ 12,…，办，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A. X1，尤2，...，尤,7的平均数B. X],尤2，...，X〃的标准差C. X1，X2，...，对?的最大值D. X1，也，...，为]的中位数[2017年新课标III卷第3题】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客童（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[2017年新课标III卷第18题】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：。
课程代码为04183的概率论与数理统计-试题及答案(2017年4月、10月)
课程代码为04183的概率论与数理统计试题及答案（2017年4月、10月）《概率论与数理统计》2017年４月真题答案及解析一、单项选择题1.【正确答案】 D【答案解析】称事件“A,B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称A与B 的并，记作A∪B或A+B。
本题知识点：随机事件,2.【正确答案】 B【答案解析】由于P{x1＜X＜x2}=P{x≤x2}-P{x≤x1},所以，P{0.2＜x＜0.3}=P{x≤0.3}-P{x ≤0.2}=F(0.3)-F(0.2)=0.32-0.22=0.09-0.04=0.05。
本题知识点：分布函数,3.【正确答案】 D【答案解析】积分区域的面积为0.5×0.5=0.25，0.25c=1，得到c=4.本题知识点：二维连续型随机变量的概率,4.【正确答案】【答案解析】本题知识点：二维连续型随机变量的概率,5.【正确答案】【答案解析】本题知识点：期望的性质,6.【正确答案】 D【答案解析】 D(X-1)=D(X)=4。
本题知识点：方差的性质,7.【正确答案】 C【答案解析】 Cov（X，Y）=E（XY)-E（X）E(Y)=-0.3-E(Y)=-0.5，得到E(Y)=0.2。
本题知识点：协方差,8.【正确答案】 A【答案解析】，若对作如下修正：则s2是总体方差的无偏估计。
本题知识点：点估计的评价标准——无偏性,9.【正确答案】 B【答案解析】本题知识点：点估计的评价标准——无偏性, 10.【正确答案】【答案解析】本题知识点：回归方程,。
2017概率论练习卷
概率论练习卷一、选择题（每小题3分，共15分）1．假设A 、B 为两个互斥事件，且P (B )≠0，则下列关系中，不一定正确的是 ． A ．0)|(=B A P B ．)()()(B P A P B A P +=+ C ．0)(=AB PD ．)(1)(B P A P -=2．设随机变量X 服从泊松分布，且已知(1)(2),P X P X ===则(4)P X == ． A ．243e - B ．223e - C ．213e - D ．113e - 3．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量X 的分布函数 ． A ．是阶梯函数 B ．恰好有一个间断点 C ．是连续函数 D ．至少有两个间断点 4.若随机变量,X Y 不相关，则下列等式中不成立的是 ． A ．DY DX Y X D +=+)( B. 0),(=Y X Cov C. ()E XY EX EY =⋅ D. ()D XY DX DY =⋅5.设12(,,,)n X X X L 是来自总体),(2σμN 的样本，则下述结论成立的是 ． A ．2~(,)X N nσμ B ．2~(,)X N μσ C ~(1,1)N D ．~(0,1)/X N n μσ-二、填空题（每小题3分，共15分）1.从52张扑克牌中任取4张，出现同花的概率为 ．2.已知离散型随机变量 X 的分布律为{},0,1,22k tP X k k ===，则t = ． 3.已知连续型随机变量X 的概率密度函数为,01,()2,12,0,.x x p x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则{ 1.5}P X ≤= ．4.设123,,X X X 相互独立且同服从参数为3λ=的指数分布，令1231()3Y X X X =++，则()D Y = ．5.设随机变量X 服从区间[2,4]上的均匀分布，则应用切比雪夫不等式估计得{|3|1}P X -≥≤ ．三、计算题（1、2、5和6每题10分，3和4每题15分，共70分）1、据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为 ， 和 .假定今后五年内家庭月人均收入 X 服从正态分布 N (2, ).试求： (1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在1至3万元的概率.（注：Φ =）2、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x p ，试求：(1) 随机变量X Y =的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件}5.0{<Y 最多出现一次的概率.3、某箱装有200件产品，其中有一、二、三等品分别为160件、20件和20件，现从中随机抽取一件，记⎩⎨⎧=其他等品抽到,0,1i X i ，i =1,2,3.试求：(1) 随机变量X 1 与X 3 的联合分布律；(2) X 1 与X 3 的相关系数13X X ρ；(3) 13(2).D X X -4、二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,01(,)0,cxy y x p x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他，试求: (1) 参数c ；(2) 关于X 与Y 的边缘概率密度函数，并讨论X 与Y 是否独立(3) {1}.P X Y +<5、对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为3，方差为，求在100次轰炸中有280到320颗炸弹命中目标的概率.（注：Φ=）6、设总体X 的概率密度为(1),01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他，其中，1θ>-是未知参数，),,,(21n X X X Λ是来自总体X 的容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.参考答案一、选择题（每小题3分，共15分）1． D 2． B 3． C 4． D 5． A 二、填空题（每小题3分，共15分）1．14413452444165C C C = 2．47 3．78 4．1 5．13三、计算题（1、2、5和6每题10分，3和4每题15分，共70分） 1、 据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为 ， 和 . 假定今后五年内家庭月人均收入 X 万元服从正态分布 N (2, ). 试求： (1) 今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在1至3万元的概率.（注：Φ =）解：记},1{1<=X A },31{2≤≤=X A },3{3>=X AB 表示“一个家庭今后五年内有购买高级小轿车意向”，则()()1056.025.1125.18.021}1{)(1=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<=X P A P()7888.0125.128.0218.023}31{)(2=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤=X P A P()1056.025.118.0231}3{)(3=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>=X P A P ……(4分)另一方面，由题设知 7.0)|(,2.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P (1) 由全概率公式得24224.07.01056.02.07888.01.01056.0)()|()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P ……(3分)(2) 由贝叶斯公式得65.024224.02.07888.0)()()|()|(222≈⨯==B P A P A B P B A P ……(3分)2、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x p ，试求：(1) 随机变量X Y =的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件}5.0{<Y 最多出现一次的概率.解：(1) 易知，当0<y 时，0)(=y F ；当10≤≤y 时， }{}{)(y X y P y X P y F ≤≤-=≤=2002)1()1(y y dx x dx x yy-=-++=⎰⎰-； ……(3分)当1>y 时，1)(=y F ；所以X Y =的概率密度函数⎩⎨⎧≤≤-=其他,010),1(2)(y y y p ……(2分)(2) ,75.0)5.0(}5.0{==<F Y P 且),75.0,3(~B Y ……(2分) 设A 为“在随机变量Y 观测三次中，事件}5.0{<Y 最多出现一次”，则.32515625.025.075.025.075.0)(21133003==+=C C A P ……(3分) 3、某箱装有200件产品，其中有一、二、三等品分别为160件、20件和20件，现从中随机抽取一件，记⎩⎨⎧=其他等品抽到,0,1i X i ，i =1,2,3.试求：(1) 随机变量X 1 与X 3 的联合分布律；(2) X 1 与X 3 的相关系数13X X ρ；(3) 13(2).D X X -解：(1) 由题设知……(5分)(2) 由(1)可得1313()0.8,()0.1,()0E X E X E X X ===1()0.80.2(0.80.2)0.16,D X =⨯⨯+= 3()0.10.9(0.90.1)0.09D X =⨯⨯+=131313(,)()()()00.80.10.08Cov X X E X X E X E X =-=-⨯=-1323X X ρ===- ……(7分)(3) 进一步可得131313(2)()4()4(,)D X X D X D X Cov X X -=+-0.160.360.320.84.=++= ……(3分)4、二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,01(,)0,cxy y x p x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他，试求: (1) 参数c ；(2) 关于X 与Y 的边缘概率密度函数，并讨论X 与Y 是否独立 (3) {1}.P X Y +<解：(1) 由规范性可得111ydy cxydx =⎰⎰，故c =8 ……(3分)(2) 08,01()(,)0,xX xydy x p x p x y dy +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他34,010,x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他……(3分)同理18,01()(,)0,y Y xydx y p y p x y dx +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他34(),010,y y y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他……(3分)由于 (),()()X Y p x y p y p y ≠⋅，故X 与Y 不相互独立. ……(2分) (3) 11201{1}8.6y yP X Y dy xydx -+<==⎰⎰……(4分)5、对敌方的防御工事进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值为3，方差为，求在100次轰炸中有280到320颗炸弹命中目标的概率.（注：Φ = ）解：令第i 次轰炸命中目标的炸弹数X i ，则()3,() 1.69,i i E X D X ==100次轰炸中命中目标的炸弹数为 1001i i X X ==∑，由独立同分布中心极限定理知，X 近似服从期望为100()1003300i E X =⨯=，方差为100()100 1.69169i D X =⨯=的正态分布，即~(300,169).X N ……(4分)故所求概率为{}280320P X P ≤≤=≤≤2030020131313X P --⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭(1.54)( 1.54)=Φ-Φ-= ……(6分)6、设总体X 的概率密度为(1),01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他，其中，1θ>-是未知参数，),,,(21n X X X Λ是来自总体X 的容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量. 解：(1) 总体X 的数学期望是 11()()(1)2E X xf x dx x x dx θθθθ+∞-∞+==+=+⎰⎰ 设11n i i X X n ==∑为样本均值，令12X θθ+=+，参数θ的矩估计量为21ˆ1X Xθ-=- ……(5分) (2) 设12,,,n x x x L 为相应于样本12,,,n X X X L 的样本值，则似然函数为1(1),01(1,2,,)()0,n ni i i x x i n L θθθ=⎧⎛⎫+<<=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩∏L 其他 当01i x <<(1,2,,)i n =L 时，()0L θ>，且1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑，1ln ()ln 1ni i d L nx d θθθ==++∑， 令ln ()0d L d θθ=，解得 11ln nii nxθ==--∑从而，得θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nXθ==--∑ ……(5分)。
2017-2018-2概率论与数理统计A
问在显著性水平α = 0.05下,是否可以认为锰的平均熔化点µ = 1244◦ C?
答案 一、填空题 1、AB ∪ AB 2、0.3 3、 二、计算题 3 4、0.2 5、0.104 6、2 7、97 8、1 9、0.95 10、(4.412, 5.588) 7
2
0, x<1 0.2, 1 ≤ x < 2 1、X ∼ F (x) ; (2)EX = 2.3;DX = 0.61. 0 . 5 , 2 ≤ x < 3 1, x≥3 3 (4 − y )2 , 0 < y < 4 . 2、Y ∼ fY (y ) = 64 0, others 3、(X, Y )的联合分布列为 X 0 1 Y
0 1 2 Pi· Cov(X, Y ) = − 0 1/12 1/6 1/4 1/12 0 1/6 1/4
2 1/6 1/6 1/6 1/2
P·j 1/4 1/4 1/2 1
11 . 48 2x2 + 2 x, 0 < x < 1 1 + 1 y, 0 < y < 2 3 4、(1)X ∼ fX (x) = ; Y ∼ fY (y ) = 3 6 ; (2)X 与Y 不独立. 0, others 0, others 2 ˆ = X. θ ˆ是θ无偏估计量. 5、θ 5 ˆ= 1. 6、λ的最大似然估计值λ 11 7、可以认为锰的熔化点是1244◦ C.
5. 设某种电灯泡的使用寿命超过1000小时的概率为0.2,则现有三个电灯泡使用1000小时后最多有一个损坏的概率 为 . .
1 − C , x ≥ 1 x2 ,其中C 为常数,则E (X ) = 6. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x) = 0, x<1
(完整word版)概率论试题及答案
试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
(A) 取到2只红球(B) 取到1只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（）。
(A) A (B) B(C) AB(D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)6. 设相互独立，则（）。
(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。
(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。
(完整版)概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
5. 设随机变量X 的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。
6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (Y )= 3/4 。
7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N(2, 13) 。
8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。
9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2X P 0.6247 。
10. 随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x xe xf π，则E (X )= 1 。
11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(y x xy y x f ，则E (X )= 4/3 。
12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。
13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数644261)(+--=x x ex f π，则μ= 2 。
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X ~ N(300,169).
……(4 分)
故所求概率为
P280
X
320
P
280 300 169
X
300 169
320 300
169
P
20 13
X
300 13
20
13
(1.54) (1.54)
= 0.8764
……(6 分)
6、设总体
X
的概率密度为
f
(x)
(
1) x
,
0,
0 x 其他
1
，其中，
1
是未知参
数，( X1, X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法 和极大似然估计法求 的估计量.
解：(1) 总体 X 的数学期望是
E(X )
xf (x)dx
1 x( 1)x dx 1
0
2
设
X
1 n
n i 1
0.15625
5. 32
……(3 分)
3、某箱装有 200 件产品，其中有一、二、三等品分别为 160 件、20 件和 20 件，现
从中随机抽取一件，记
Xi
1, 0,
抽到 i 等品，i =1,2,3.试求：(1) 其他
随机变量 X1
与
X3 的联合分布律；(2) X1 与 X3 的相关系数 X1X3 ；(3) D( X1 2 X 3 ).
概率论练习卷
得分
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．假设 A、B 为两个互斥事件，且 P(B)≠0，则下列关系中，不一定正确的是
．
A． P(A | B) 0
B． P(A B) P(A) P(B)
C． P(AB) 0
D． P(A) 1 P(B)
2．设随机变量 X 服从泊松分布，且已知 P(X 1) P(X 2), 则 P(X 4)
n
/ n
得分
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
D． X ~ N (0,1) /n
1.从 52 张扑克牌中任取 4 张，出现同花的概率为
．
2.已知离散型随机变量
X
的分布律为 PX
k
t 2k
,k
0,1, 2 ，则 t
．
x, 0 x 1,
3. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 p(x) 2 x, 1 x 2, 则
(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在 1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944）
1 x, 2、设随机变量X 的密度函数为 p(x) 1 x,
0,
1 x 0 0 x 1 ，试求：(1) 随机变 其他
量Y X 的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件
得分
1、据市场调查显示，月人均收入低于 1 万元，1 至 3 万元，以及高
于 3 万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为 0.1，
0.2 和 0.7.假定今后五年内家庭月人均收入 X 服从正态分布 N (2, 0.82 ).试
求：
(1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；
0.16 0.36 0.32 0.84.
……(3 分)
4、二维随机变量
(
X
,Y
)的联合概率密度函数为 Nhomakorabeap(x,
y)
cxy, 0,
0 y x 1 ，试 其他
求: (1) 参数 c；(2) 关于 X 与Y 的边缘概率密度函数，并讨论 X 与Y 是否独立？
(3) P{X Y 1}.
解：(1)
……(3分)
(2) 由贝叶斯公式得
P( A2
|
B)
P(B
| A2 )P( A2 ) P(B)
0.7888 0.2 0.24224
0.65
……(3分)
1 x, 2、设随机变量X 的密度函数为 p(x) 1 x,
0,
1 x 0 0 x 1 ，试求：(1) 随机变 其他
量Y X 的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件
由规范性可得
1
dy
1cxydx 1，故 c
=8
0
y
(2)
pX (x)
p(x,
y)dy
x
8xydy,
0
0
x
1
4
x3
,
0,
其他 0,
同理
0 x 1 其他
……(3 分) ……(3 分)
pY ( y)
p(
x,
y)dx
1
8xydx,
y
0,
0
y
1
4(
y
y3 ),
其他 0,
0 y 1 ……(3 分) 其他
0.1，0.2 和 0.7. 假定今后五年内家庭月人均收入 X 万元服从正态分布 N (2, 0.82 ). 试求： (1) 今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率； (2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在
1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944） 解：记 A1 {X 1}, A2 {1 X 3}, A3 {X 3},
解：令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数 Xi，则 E( Xi ) 3, D( Xi ) 1.69,
100
100 次轰炸中命中目标的炸弹数为 X Xi ，由独立同分布中心极限定理知， i 1
X 近似服从期望为100E( Xi ) 100 3 300 ，方差为100D( Xi ) 1001.69 169 的 正态分布，即
5． A
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1． C41C143 C542
44 4165
2． 4 7
3． 7 8
4．1
5． 1 3
三、计算题（1、2、5 和 6 每题 10 分，3 和 4 每题 15 分，共 70 分）
1、 据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭 在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为
p( y)
2(1 0,
y),
0 y 1 其他
(2) P{Y 0.5} F(0.5) 0.75, 且Y ~ B(3,0.75),
……(2 分) ……(2 分)
设A为“在随机变量Y 观测三次中，事件{Y 0.5}最多出现一次”，则
P( A)
C30 0.7500.253
C31 0.7510.252
0,
其它.
P{X 1.5}
．
4. 设
X1, X2, X3
相互独立且同服从参数为
3 3
的指数分布，令
Y
1 3
( X1
X2
X3)
，则
D(Y )
．
5.设随机变量 X 服从区间 [2,4] 上的均匀分布，则应用切比雪夫不等式估计得
P{| X 3|1}
．
三、计算题（1、2、5 和 6 每题 10 分，3 和 4 每题 15 分，共 70 分）
Xi
为样本均值，令 1 2
X
，参数
的矩估计量为
ˆ 2X 1 1 X
……(5 分)
(2) 设 x1, x2, , xn 为相应于样本 X1, X 2 , , X n 的样本值，则似然函数为
L( )
(
1)n
n i 1
xi
,
0 xi 1 (i 1, 2,
, n)
0,
其他
当 0 xi 1 (i 1, 2, , n) 时， L( ) 0 ，且
1 1.25
0.1056
……(4分)
另一方面，由题设知 P(B | A1) 0.1, P(B | A2 ) 0.2, P(B | A3 ) 0.7
(1) 由全概率公式得
3
P(B) P(B | Ai )P(Ai ) i 1 0.1056 0.1 0.7888 0.2 0.1056 0.7 0.24224
n
ln L( ) n ln( 1) ln xi ，
i 1
d
ln L( ) d
n 1
n i 1
ln
xi
，
令 d ln L( ) 0 ，解得 d
1 n n
ln xi
i 1
从而，得 的最大似然估计量为
ˆ 1 n n
ln Xi
i 1
……(5 分)
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分 来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
6、设总体
X
的概率密度为
f
(x)
(
1) x
,
0,
0 x 其他
1
，其中，
1
是未知参
数，( X1, X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法 和极大似然估计法求 的估计量.
参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1． D
2． B
3． C
4． D
解：(1) 由题设知
X1
X3 0
1
0
0.1 0.1
1
0.8 0
(2) 由(1)可得
E( X1) 0.8, E( X3) 0.1, E( X1X3) 0
……(5 分)
D( X1) 0.8 0.2 (0.8 0.2) 0.16, D( X3) 0.1 0.9 (0.9 0.1) 0.09
{Y 0.5}最多出现一次的概率.