2009北京高考数学真题(文科)及答案
2009年全国高考文科数学试题及答案-天津卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考公式：。
如果事件A ，B 互相排斥，那么P （AUB ）=P （A ）+P(B)。
棱柱的体积公式V=sh 。
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 1.i 是虚数单位，ii-25= A i 21+ B i 21-- C i 21- D i 21+-【答案】D 【解析】由已知，12)2)(2()2(525-=+-+=-i i i i i i i 【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。
2.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为A 6B 7C 8D 23【答案】B【解析】由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线032=+y x 的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。
【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。
3．设””是“则“x x x R x ==∈31,的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 因为1,1,0,3-==x x x 解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。
【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。
考查逻辑推理能力。
4．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=【答案】C【解析】由已知得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±= 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。
2009年北京高考文科数学试卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
1．设集合21{|2},{1}2A x x B x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤，∴{12}A B x x =-≤< ，故选A.2．已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D.w 【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a()1,0=，b()0,1=，若1k =，则c =a +b()1,1=，d =a -b()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b()1,1=-，d =-a +b()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D3．若4(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．33B ． 29C ．23D ．19 【答案】B.w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵()()()()()()412341234444441222222CC C C C +=++++1421282417122=++++=+，由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B..k.s.5.u.c 4．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C.w 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg 10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg10x y x -=--=.故应选C.5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【答案】C.w 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有122A =种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =⨯⨯=种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448⨯=（个）.故选C.6．“6πα=”是“1cos22α=”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A .w 【解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当6πα=时，1cos2cos32πα==，反之，当1cos22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.7．若正四棱柱1111ABCD ABC D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 ( )A ．33B ． 1C ．2D ．3【答案】D.w 【解析】.k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan603BB ︒=⨯=，故选D.8．设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PPP ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.大光明 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 为各边三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，()021,3i P A P A PA i =≤=即点P 可以是点A.第Ⅱ卷（110分） 注意事项：1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2009年高考北京文科试题
2009年高考北京文科试题（1）设集合}221|{<<-=x x A ，B={x | x ²≤1}，则A ∪B= A ．{x |-1≤x <2} B ．}121|{≤<-x xC ．{x |x <2}D ．{x |1≤x <2} （2）已知向量(10)(01)()a b c ka b k R d a b c d ===+∈=-，，，，，，如果，那么A ．k=1且c d与同向 B ．k=1且c d与反向C ．k=-1且c d与同向D ．k=-1且c d与反向（3）若4(1,a a b =+为有理数），则a +b= A ．33B ．29C ．23D ．19（4）为了得到函数103lg+=x y 的图象，只需把函数y=lg x 的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（5）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A ．8B ．24C ．48D ．120（6） “6πα=”是“212cos =α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（7）若正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成600角，则A 1C 1 到底面ABCD 的距离为A ．B ． 1C ．D （8）设D 是正ΔP 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是ΔP 1P 2P 3的中心。
若集合S={P |P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i =1，2，3}，则集合S 表示的平面区域是A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域（9）若sin θ=45-，tan θ>0，则cos θ= 。
09年高考试题精选2009年高考试题文(北京卷)
09年高考试题精选2009年高考试题文（北京卷） 测试题 2019.91,甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响.求：（Ⅰ）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （Ⅱ）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率.2,已知正方形ABCD ，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为).0(πθθ<< （Ⅰ）证明BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）若△ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值.3, 已知等差数列}{n a 的前n 项和为).),,(22+∈∈+-=N n R q p q n pn S n（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若51a a 与的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{n b }的前n 项和.4,已知函数,)2()(31)(23d x d a x d a ax x f +++++=d a x d a ax x g 4)2(2)(2++++=，其中,0,0>>d a 设0x 为)(x f 的极小值点，0x 为1212,0)()(,)(x x x g x g x g <==并且的极值点.将.,,,)0,(),0,()),(,()),(,(321100D C B A x x x g x x f x 依次记为（Ⅰ）求0x 的值；（Ⅱ）若四边形ABCD 为梯形，且面积为1，求d a ,的值.5,已知点)0)(,(),,(212211≠x x y x B y x A 是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量.||||,-=+满足 设圆C 的方程为x x x y x )(2122+-+ y y y )(21+-.0=（Ⅰ）证明线段AB 是圆C 的直径；（Ⅱ）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为552时，求p 的值.6,方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .7,设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g .8,如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 .9,5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）10,设集合，则A ．B ．C ．D ．测试题答案1, 本小题主要考查相互独立事件的频率乘法公式和互斥事件的概率加21{|2},{1}2A x x B x x =-<<=≤A B ={12}x x -≤<1{|1}2x x -<≤{|2}x x <{|12}x x ≤<法公式等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（I ）解：甲班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为.48.04.06.012=⨯⨯C乙班参赛同学中恰有1名同学成绩及格的概率为.48.04.06.012=⨯⨯C故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率为 .2304.048.048.0=⨯=P ……………………6分（II ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为,0256.04.04=故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 .9744.00256.01=-=P ………………6分解法二：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为.1536.04.06.014=⨯⨯C甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为.3456.04.06.02224=⨯⨯C甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为.3456.04.06.02224=⨯⨯C 甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为1296.06.04=， 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 ..9744.01296.03456.03456.01536.0=+++=P2,（I ）证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点. ∴ED ∥FD ，且EB=FD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∴EF ∥ED.∵BD ⊂平面AED ，而BF ∉平面AED. ∴BF ∥平面AED. …………4分（II ）解法一：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上， 过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连结GC ，GD.∵△ACD 为正三角形. ∴AC=AD ， ∴GC=GD ，∴G 在CD 的垂直平分线上， 又∵EF 是CD 的垂直平分线，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. …………4分过G 作GH ⊥ED ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE. ∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角，即∠AHG=θ. 设除正方形ABCD 的边长为2a ，连结AF. 在折后图的△AEF 中，AF=3 a ，EF=2AE=2 a ， ∴△AEF 为直角三角形，AG ·EF=AE ·AF ，∴AC=a 23.在Rt △ADE 中，AH ·DE=AD ·AE ，∴AH=52a，∴52a GH =∴.41cos ==AH GH θ ………12分解法二：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ′ ∵△ACD 为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AD ⊥CD. 又∵EF ⊥CD ， ∴CD ⊥平面AEF ， ∵A G ′⊂平面AEF ， ∴CD ⊥A G ′，又∵A G ′⊥EF ，且CD ∩EF=F ，CD ⊂平面BCDE ，EF ⊂平面BCDE ， ∴AC ⊥平面BCDE ，∴G 为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上， 过G 作CH ⊥ED ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE …………8分∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角，即∠AHG=θ. 设原正方形ABCD 的边长为2a.在折后图的△AEF 中，AF=a 3，EF=2AE=2a ， ∴△AEF 为直角三角形，AG ·EF=AE ·AF∴AC=a 23.在Rt △ADE 中，AH ·DE=AD ·AE ，∴AE=52a，∴52a GH =∴.41cos ==AH GH θ ………12分解法三：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ′ ∵△ACD 为正三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD. 又∵EF ⊥CD ， ∴CD ⊥平面AEF ， ∵CD ⊂平面BCDE ，∴平面AEF ⊥平面BCDE.又∵平面AEF ∩平面BCDE=DEF ，A G ′⊥EF.∴A G ′⊥平面BCDE ，即G ′为A 在平面BCDE 内的射影G ，∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.……………………8分 过G 作GH ⊥DE ，垂足为H ，连结AH ，则AH ⊥DE ， ∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角，即∠AHG=θ. ∴△AEF 为直角三角形，AG ·EF=AE ·AF∴AC=a 23.在Rt △ADE 中，AH ·DE=AD ·AE ，∴AH=52a，∴52aGH =∴.41cos ==AH GH θ 3, （I ）解法一：当,2,111q p S a n +-===时当qn n p q n pn S S a n n n n --+--+-=-=≥-)1(2)1(2,2221时=.22--p pn }{n a 是等差数列，.0,222=∴--=+-∴q p p q p ………………4分解法二：当,2,111q p S a n +-===时 当qn n p q n pn S S a n n n n --+--+-=-=≥-)1(2)1(2,2221时=.22--p pn当.2]2)1(2[22,31p p n p p pn a a n n n =------=-≥-时得所以又,2323,23222.232222-=+--=--⋅=+-=++-=p q p p p p a q p p q p a.0=∴q ………………………………4分（II ）解：,26.18,233511--==∴+=p p a a a a a 又.68.4,1826-=∴=∴=--∴n a p p p n ………………8分 又.2log 232-==n b n n n b b a 得16222,2431)1(411====∴+--+n n n n b b b ，即}{n b 是等比数列.所以数列}{n b 的前n 项和).116(152161)161(2-=--=n n n T4, （I ）解：).2)(1(2)(2)(2d a ax x d a x d a ax x f +++=++++=' 令.2110,0)(a dx x a x f n --=-=≠='或得由 …………2分,0)(,1,0)(,121.121.0,0>'-><'-<<---<-->>x f x x f x adadd a 时当时当所以)(x f 在x=－1处取极小值，即.10-=x ………………6分（II ）解：.4)42()(2d a x d a ax x g ++++=,44)21)(4()21(21()(,31)2()(31)1()(,1,41,,0,0,0)1)(4(,0)(.21,21242)(,,0220012121a d d a a d d a a d a a d g x g a d d a d a a f x f x adx x x d a x d a ax x g adx a d a d a x x g R x a -=++--++--=--==++-++-=-=-=--=∴>>>=+++=--=--=+-=∴∈> 即由即处取得极小值在， ).0,1(),0,2,1(),4,21(),31,1(2--------∴D a dC a d a d B a A …………9分由四边形ABCD 是梯形及BC 与AD 不平行，得AB ∥CD.22212,43d a a d a =-=-∴即.由四边形ABCD 的面积为1，得,1|||)||(|21=⋅+AD CD AB 即,1,13)24(21==⋅+d aa d a d 得从而.32,122==a a 得5, （I ）证法一：|,|||-=+整理得即,22,)()(222222OB OB OA OA OB OB OA OA OB OA OB OA +⋅-=+⋅+-=+∴.0=⋅OB OA.02121=+∴y y x x ① ……3分设点M （x ，y ）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则.0=⋅即.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x展开上式并将①代入得.0)()(212122=--+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径. 证法二：|,|||OB OA OB OA -=+整理得即,22,)()(222222+⋅-=+⋅+-=+∴.0=⋅OB OA.02121=+∴y y x x ① ……3分若直线（x ，y ）在以线AB 为直径的圆上，则),(1212211x x x x x x y y x x y y ≠≠-=--⋅--去分母得,0))(())((2121=--+--y y y y x x x x点),(),,(),,(),,(22122111y x y x y x y x 满足上方程，展开并将①代入得0)()(212122=+-+=+y y y x x x y x ，所以线AB 是圆C 的直径.……6分 证法三：|,|||-=+整理得即,22,)()(222222OB OB OA OA OB OB OA OA OB OA OB OA +⋅-=+⋅+-=+∴.02121=+∴y y x x ① ……3分以AB 为直径的圆的方程是])()[(41)2()2(22121221221y y x x y y y x x x -+-=--+--，展开，并将①代入得0)()(212122=+-+=+y y y x x x y x . 所以线段AB 是圆C 的直径………………6分（II ）解法一：设圆C 的圆心为C （x ，y ），则,,0,4),0(2,2.2,22121212122221212221212121y y x x y y x x py y x x p px y px y y y y x x x -=∴=+=∴>==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 又.4,04221212222121p y y x x p yy y y -=∴≠=-∴)(412222121y y p x x y ≠=+=∴),2(12)2(412221212221p y p p y y y y y y p +=-++=所以圆心的轨迹方程为：.222p px y -= ………………11分 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为d ，则 pp p y y p y py x d 5|)(|5|22(1|5|2|2222+-=-+=-=当5,pd p y 有最小值时=，由题设得5525=p，.2=∴p ……14分解法二：设圆C 的圆心为C （x ，y ），则,,0,4),0(2,2.2,22121212122221212221212121y y x x y y x x py y x x p px y px y y y y x x x -=∴=+=∴>==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 又.4,022121p y y x x -=∴≠ ………………9分 )(412222121y y p x x x ≠=+=),2(12)2(412221212221p y p p y y y y y y p +=-++=所以圆心的轨迹方程为：.222p px y -= ………………11分设直线02022=-=+-y x y x 与的距离为552，则.2±=m因为222022p px y y x -==+-与的公共点. 所以当222022p px y y x -==+-与仅有一个公共点时，该点到02=-y x 的距离最小，最小值为552，⎩⎨⎧-==--∴.2,02222p px y y x将②代入③得.0)22(44,02222222=--=∆=-+-p p p p p py y 有,0>p .2=∴p 6, 5 7, 218, 769, 4810, A。
2009年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅱ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．257．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．69．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= ．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（）A．y=x2（x≥0）B．y=﹣x2（x≥0）C．y=x2（x≤0）D．y=﹣x2（x≤0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域．【解答】解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，原函数的值域y≥0可知D错，故选：B．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题．2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则?U（M∪N）=（）A．{5，7}B．{2，4}C．{2，4，8}D．{1，3，5，6，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴?U（M∪N）={2，4，8}故选：C．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．3．（5分）函数y=log2的图象（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】31：数形结合．【分析】先看函数的定义域，再看f（﹣x）与f（x）的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为（﹣2，2）关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性．4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=lge，b=（lge）2，c=lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】4M：对数值大小的比较；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2C．3D．6【考点】IT：点到直线的距离公式；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．9．（5分）若将函数y=tan（ωｘ+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωｘ+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωｘ+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωｘ+）∴﹣ω+kπ＝∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S6=4S3，则a4= 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为 6 ．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积= ．【考点】J7：圆的切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{a n}前n项和s n．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，则，即，解得，因此S n=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S n=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC 中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD?AB=BD?AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有C102种，恰有1名女工人的结果有C41C61种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C102C102种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③两名男工都来自乙有C42C42种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则（3）A i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．A i与B j独立，i，j=0，1，2，且B=A0?B2+A1?B1+A2?B0故P（B）=P（A0?B2+A1?B1+A2?B0）=P（A0）?P（B2）+P（A1）?P（B1）+P（A2）?P（B0）==【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a＞1，（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（﹣∞，2）是增函数；当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．综上，当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函数，在区间（2，2a）是减函数．（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．=，f（0）=24a由假设知即解得1＜a＜6故a的取值范围是（1，6）【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。
2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2009年北京市高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
第1页 共18页 ◎ 第2页 共18页2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 设集合A ={x|−12<x <2}，B ={x|x 2≤1}，则A ∪B =( ) A.{x|−1≤x <2}B.{x|−12<x ≤1} C.{x|x <2} D.{x|1≤x <2}2. 已知向量a →=(1, 0)，b →=(0, 1)，c →=ka →+b →(k ∈R)，d →=a →−b →，如果c → // d →，那么（ ）A.k =1且c 与d 同向B.k =1且c 与d 反向C.k =−1且c 与d 同向D.k =−1且c 与d 反向3. 若(1+√2)4=a +b √2（a ，b 为有理数），则a +b =（ ） A.33B.29C.23D.194. 为了得到函数y =lg x+310的图象，只需把函数y =lg x 的图象上所有的点（ ） A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A.8B.24C.48D.1206. “α=π6”是“cos 2α=12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60∘角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为（ ）A.√33B.1C.√2D.√38. 设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心，若集合S ={P|P ∈D, |PP 0|≤|PP i |, i =1, 2, 3}，则集合S 表示的平面区域是（ ）A.三角形区域B.四边形区域C.五边形区域D.六边形区域二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 若sin θ=−45，tan θ>0，则cos θ=________．10. 若数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，则a 5=________；前8项的和S 8=________．（用数字作答）11. 若实数x ，y 满足{x +y −2≥0，x ≤4，y ≤5，则s =x +y 的最大值为________．12. 已知函数f(x)={3x x ≤1−xx >1 若f(x)=2，则x =________．13.椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=________，∠F 1PF 2的大小为________．14. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k −1∉A 且k +1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知函数f(x)=2sin (π−x)cos x ． （1）求f(x)的最小正周期；。
北京2009年高考模拟试卷文科数学
2009年 高 考 模 拟 试 卷数学（文科）试题注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．设全集为R ,集合{|||2}M x x =>，1{|0}1x N x x-=≥+，则有（ ）A ．R C MN N ⋂=B ．}11|{≤≤-=⋂x x N MC ．}2112|{<<-<<-=⋂x x x N M 或D ．}11|{≤<-=⋂x x M NC R2．若R,1xx x ∈+那么是正数的充要条件是（ ）A ．0>xB ．1-<xC ．01<<-xD ．10-<>x x 或3．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．45 4．若π<α<π223,则直线α+αsin cos y x =1必不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．把点（3，4）按向量a r 平移后的坐标为(2,1)-，则2xy =的图象按向量a r 平移后的图象的函数表达式为（ ）A ．523x y -=+ B ．523x y -=- C ．523x y +=+ D ．523x y +=-6．如右图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱1DD 和BC 中点，G 为棱11B A 上任意一点，则直线 AE 与直线FG 所成的角为 （ ）A ．ο30B ．ο45C ．ο60D ．ο907．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象是（ ）8．二项式1()n x x x-的展开式中含5x 的项， 则n 的一个可能值是 （ ）A ．8B ．9C ．5D ．69．若A, B 是平面内的两个定点, 点P 为该平面内动点, 且满足向量AB u u u r 与AP u u u r夹角为锐角θ,|PB||AB|+PA AB=0•u u u r u u u r u u u r u u u r, 则点P 的轨迹是（ ）A ．直线 （除去与直线AB 的交点） B ．圆 （除去与直线AB 的交点）C ．椭圆 （除去与直线AB 的交点）D ．抛物线（除去与直线AB 的交点）10．设A 、B 是椭圆3422y x +=1上的两个动点，焦点坐标是F ，则△ABF 的周长的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．211．数列｛a n ｝中，a 1=2, 1(,1)n m a +=-u r , (1,1)n n a =+-r, 又m n ⊥u r r , 则a 2009= （ ）A ．2B ．13-C ．32-D ．112．f (x )与g (x )是定义在R 上的可导函数.若f ′(x )=g ′(x )，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )=g (x )B ．f (x )-g (x )是常数函数C ．f (x )=g (x )=0D ．f (x )+g (x )是常数函数第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。
2009年全国高考文科数学试题及答案-新课标卷
的各个数的和等于（Fra bibliotek）10EF
1 2
（D）既无最小值，也无最大值
，则下列结论中
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2009高考数学文科真题带答案
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M＝﹛x|－3＜x 5﹜,N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则M N＝
(A)﹛x|x＜－5或x＞－3﹜(B)﹛x|－5＜x＜5﹜(C)﹛x|－3＜x＜5﹜(D)﹛x|x＜－3或x＞5﹜
（I）若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。 （19）解（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2所以MG⊥CD，MG＝2， .因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.所以 …6分（Ⅱ）假设直线ME与BN共面，..8分则 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故 平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF，这与 矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线。……..12分
数学（文科类）
第II卷
二填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.
【解析】平行四边形ABCD中, ∴ ＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
等比数列{ }的前n项和为 ，已知 , , 成等差数列（1）求{ }的公比q；（2）求 － ＝3，求
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2009北京高考数学真题（文科）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设集合，，则 1{|2}2
A x x =-
<<2{|1}B x x =≤A B = A. B. {12}x x -≤<1{|1}2x x -<≤C. D.
{|2}x x <{|12}x x ≤<2.已知向量，，，不共线，，.如果
(1a = 0)(0b = 1))(R k b a k c ∈+= b a d -=，那么
d c //A.且与同向 B.且与反向
1k =c d 1k =c d C.且与同向 D.且与反向
1k =-c d 1k =-c d
3.若，为有理数），则
4(1a a +=+b a b +=A.33 B.29 C.23 D.19
4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 3lg 10
x y +=lg y x =A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为
A ．8
B ．24
C ．48
D ．120
6.“”是“”的 6π
α=1cos 22
α=A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则1111ABCD A B C D -1AB ABCD 到底面的距离为
11A C ABCD
8.设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合D 123PP P ∆0P 123PP P ∆，，1，2，3，则集合表示的平面区域是
{|S P P D =∈0||||i PP PP ≤i =}S A.三角形区域 B.四边形区域
C.五边形区域
D.六边形区域
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填写在题中横线上.
9.若，，则____________. 4sin 5
θ=-tan 0θ>cos θ=10.若数列满足：，，则_______；前8项的和
{}n a 11a =12()n n a a n N *+=∈5a =8S =____________.（用数字作答）
11.若实数、满足，则的最大值为_____________.
x y 2045x y x x +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
s x y =+12.已知函数，若，则_____________.
3(1)()(1)
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩()2f x =x =13.椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则________；22
192
x y +=1F 2F P 1||4PF =2||PF =的大小为_____________.
12F PF ∠14.设是整数集的一个非空子集.对于，如果且，那么称是
A k A ∈1k A -∉1k A +∉k 的一个“孤立元”
，给定1，2，3，4，5，6，7，8，由的3个元素构成的所A {S =}S 有集合中，不含“孤立元”的集合共有____________个.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
15．（本小题共12分）
已知函数.
()2sin()cos f x x x π=-⑴求的最小正周期；
()f x
⑵求在区间，上的最大值和最小值.
()f x [6π
-2π
16．（本小题共14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上. P ABCD -PD ⊥ABCD E PB ⑴求证：平面平面；
AEC ⊥PDB
⑵当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.
PD =E PB AE PDB
17.（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. 13
⑴求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
⑵这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率
18.（本小题共14分）
设函数.
3
()3(0)f x x ax b a =-+≠⑴若曲线在点，处与直线相切，求、的值；
()y f x =(2(2))f 8y =a b ⑵求函数的单调区间与极值点.
()f x 19．（本小题共14分）
已知双曲线：，，右准线方程为C 22221(0x y a a b
-=>0)b >x =⑴求双曲线的方程；
C ⑵已知直线与双曲线交于不同的两点、，且线段的中点在圆0x y m -+=C A B AB 上，求的值.
225x y +=m
20．（本小题共13分） 设数列的通项公式为，.数列定义如下：对于正整{}n a (n a pn q n N *=+∈0)p >{}n b 数，是使得不等式成立的所有中的最小值. m m b n a m ≥n ⑴若，，求； 12p =13
q =-3b ⑵若，，求数列的前项和公式； 2p =1q =-{}m b m 2⑶是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如p q 32()m b m m N *
=+∈p q 果不存在，请说明理由.
参考答案。