2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)
2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．74．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．125．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．908．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）．14．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N 两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a 的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．7【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：B．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3，∴几何体的体积：V===4．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=sin+sin+sin+…+sin的值，S=sin+sin+sin+…+sin=（sin+sin+sin+…+sin）+…sin+sin=sin+sin=sin+sin=1+．故选：C．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件【解答】解：当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足=≠，由=得a2=1，得a=±1，由≠，得a≠1，即a=﹣1，即p：a=﹣1，圆心到直线的距离d=，半径r=1，∵直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，∴r2=d2+（）2，即1=+，得a2=1，得a=±1，则命题p是q充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90【解答】解：因为{a n}为正项递增等比数列，所以a n＞a n﹣1＞0，公比q＞1．因为a2+a4=10 ①，且=16=a3•a3=a2•a4②由①②解得a2=2，a4=8．又因为a4=a2•q2，得q=2或q=﹣2（舍）．则得a5=16，a6=32，因为++…+==5=5=5×9=45×2=90，故选：D8．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设、的夹角为θ，又由是夹角为60°的两个单位向量，且=，则•=（+）（﹣+2）=﹣2+22+•=，又由=（+），则||==，=（﹣+2），则||==，则有cosθ==，则θ=60°；故选：B．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线过点，可得=，双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2=16x的准线x=﹣4上，可得c=4，即有a2+b2=16，解得a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．水秀中华故选：A．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0，∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，a=﹣f（ln）=﹣f（﹣ln2）=f（ln2），ln（﹣）＞ln=﹣1，又ln（﹣）＜0，则﹣1＜ln（﹣）＜0，e0.1＞1，0＜ln2＜1，则﹣1＜ln（﹣）＜ln2＜e0.1，则f（ln（﹣））＞f（ln2）＞f（e0.1），即c＜a＜b，故选：C．11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象相邻两个对称中心的距离是，∴=，∴T==，解得ω=3；又f（x）的图象过点，水秀中华∴2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=+2kπ，k∈Z；解得φ=+2kπ，k∈Z；令k=0，得φ=，∴f（x）=2sin（3x+）；∴f（x）的最小正周期为T=，A正确；f（）=2sin（3×+）=﹣2为最小值，∴f（x）的一条对称轴为x=，B正确；f（x）的图象向左平移个单位，得函数y=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+）=2cos3x，其图象关于y轴对称，C正确；x∈[﹣，]时，3x∈[﹣，]，∴3x+∈[﹣，]时，∴f（x）=2sin（3x+）在上是增函数，D错误．故选：D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）和y=ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax=0有2两个解，即函数y=f（x）和y=ax有2个不同的交点，∵f（﹣2）=5，f（5）=|5+﹣4|=，当y=ax经过点（5，）时，此时a=，当过点（﹣2，5）时，此时a=﹣，当直线y=ax与y=x2+1相切时，∵y′=2x，设切点为（x0，y0），﹣2≤x0≤0，∴=2x0，解得x0=﹣1，当x0=﹣1，此时a=﹣2，结合图象，综上所述a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）6．【解答】解：（2x﹣1）dx=（x2﹣x）=9﹣3=6，∴（2x﹣1）dx=6，故答案为：614．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为2．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，∴球O的体积V1=，圆柱内除了球之外的几何体体积：V2==，∴==2．故答案为：2．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为2．【解答】解：f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，可得f（0）=0，即有e0lna+e0lnb=0，即有ln（ab）=0，可得ab=1，（a＞0，b＞0），则≥2=2，当且仅当b=2a=时，等号成立，则的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N 两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．【解答】解：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，水秀中华分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，过NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，∴|HM|=2x，由|MN|=4x，∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan60°=，故答案为：．方法二：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），x1+3x2=4，整理得：3x2﹣4x2+1=0，解得：x2=，或x2=1（舍去），则x1=3，解得：k=±，由k＞0，则k=故答案为：．方法三：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的方程x=mx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），﹣y1=3y2，即y1=﹣3y2，解得：y2=﹣，y1=2，∴4m=，则m=，∴直线l的斜率为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a 的值．【解答】解：（1）y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到的图象，即．函数最小正周期T=π．令，则，解得，所以y=f（x）的单调增区间是．（2）由题意得：，则有．因为0＜A＜π，所以，．由及b=1得，c=4．根据余弦定理，，所以．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．【解答】解：（1）由已知得：，当n=1时，，当n≥2时，=n+2，当n=1时，符合上式．所以a n=n+2．因为数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，所以{b n}为等差数列．设其公差为d．则，解得，所以b n=2n+3．（2）由（1）得，=，=，因为，所以{T n}是递增数列．所以，故恒成立只要恒成立．所以k＜9，最大正整数k的值为8．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；水秀中华（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（1）解：连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊄面BDE，故PC∥面BDE．（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0，0，1），P（0，0，2），所以，，，设平面PBC的法向量，则即，令z=1，则法向量，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．【解答】解：（1）因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，，所以a=，从而b2=a2﹣c2=1，所以，椭圆的方程为+y2=1．（2）椭圆右焦点F（1，0），由可知K（2，0），直线l过点K（2，0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），k≠0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由判别式△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0解得k2＜．点F（1，0）到直线l的距离为h，则，，=••，=|k|•，=，令t=1+2k2，则1＜t＜2，则S=•=，当时，S取得最大值．此时，，S取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．【解答】解：（1）由题意知，1﹣ax+lnx≤0恒成立．变形得：．设，则a≥h（x）max．由可知，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，h（x）在x=1处取得最大值，且h（x）max=h（1）=1．所以a≥h（x）max=1，实数a的取值范围是[1，+∞）．（2）由（1）可知，a≥1，当a=1时，f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=x（x﹣lnx）﹣k（x+2）+2=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2，g（x）在区间上恰有两个零点，即关于x的方程x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2=0在区间上恰有两个实数根．整理方程得，，令，．令φ（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4，，则，，于是φ'（x）≥0，φ（x）在上单调递增．因为φ（1）=0，当时，φ（x）＜0，从而s'（x）＜0，s（x）单调递减，当x∈（1，8]时，φ（x）＞0，从而s'（x）＞0，s（x）单调递增，，s（1）=1，，因为，所以实数k的取值范围是．证明（3）由（1）可知，当a=1时，有x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取等号．令，则有，其中k∈N*，k≥2．整理得：，当k=2，3，…，n时，，，…，，上面n﹣1个式子累加得：．n∈N*且n≥2，即．命题得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）因为l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4，转化为直角坐标方程为：x﹣y=4；设曲线C2上任一点坐标为（x'，y'），则，所以，代入C1方程得：，所以C2的方程为．（2）直线l：x﹣y=4倾斜角为，由题意可知，直线l1的参数方程为（t为参数），联立直线l1和曲线C2的方程得，．设方程的两根为t1，t2，则t1t2=2．由直线参数t的几何意义可知，|PM|•|PN|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．【解答】解：（1）因为|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|3a+2b+3a﹣2b|=6|a|，水秀中华当且仅当（3a+2b）（3a﹣2b）≥0时取等号，所以的最小值为6．（2）由题意得：恒成立，结合（Ⅰ）得：|2+x|+|2﹣x|≤6．当x≤﹣2时，﹣x﹣2+2﹣x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2；当﹣2＜x≤2时，x+2+2﹣x≤6成立，所以﹣2＜x≤2；当x＞2时，x+2+x﹣2≤6，解得2＜x≤3．综上，实数x的取值范围是[﹣3，3]．。
黑龙江省大庆市2018届高三上学期理数第一次教学质量检测试题
黑龙江省大庆市2018届高三上学期理数第一次教学质量检测试题一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）设集合A={−1,0,1,2,3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{−1,0,1,2}B．{−2,−1,0,1,2}C．{0,1,2}D．{1,2}2．（2分）已知复数z=2−i1+i，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）若x,y满足{y≤1x+y≥1y≥x−1，则2x+y的最大值为（）A．2B．5C．6D．74．（2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2B．4C．8D．125．（2分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．√22B．1C．√22+1D．√2+16．（2分）已知命题p:直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay+1=0平行；命题q:直线l:x+ y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为√2，则命题p是q（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（2分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则log√2a1+log√2a2+⋯+log√2a10等于（）A．-45B．45C．-90D．908．（2分）若e1⇀,e2⇀是夹角为60∘的两个单位向量，则向量a⇀=e1⇀+e2⇀，b⇀=−e1⇀+2e2⇀的夹角为（）A．30∘B．60∘C．90∘D．120∘9．（2分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(1，√3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．x24−y212=1B．x212−y24=1C．x24−y220=1D．x220−y24=110．（2分）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈[0,+∞) 时， f ′(x)<0 .若 a =−f(ln 12) ， b =f(ln(1e −1e2)),c =f(e 0.1), 则 a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <c <b11．（2分）函数 f(x)=2sin(ωx +ϕ) 的图象过点 (π9，2) ，相邻两个对称中心的距离是 π3 ，则下列说法不正确的是（ ） A ．f(x) 的最小正周期为 2π3B ．f(x) 的一条对称轴为 x =4π9C ．f(x) 的图像向左平移 π9 个单位所得图像关于 y 轴对称 D ．f(x) 在 [−π9，π9] 上是减函数12．（2分）已知函数 f(x)={x 2+1，−2≤x ≤1|x +1x −4|，1<x ≤5，若关于 x 的方程 f(x)−ax =0 有两个解，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(0，625]∪[−52，−2)B ．(0，625)∪[−52，−2] C ．(−∞，−52)∪[625，+∞)∪{0，−2}D ．(−∞，−52)∪[625，+∞) 二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）∫(2x −1)dx =30 ．14．（2分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球 O 的体积为 V 1 ，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 V 2 ，则 V1V 2的值为 ．15．（2分）若 f(x)=e x lna +e −x lnb 为奇函数，则1a +2b的最小值为 ． 16．（2分）已知抛物线 C:y 2=4x ，过其焦点 F 作一条斜率大于0的直线 l ， l 与抛物线交于M,N 两点，且 |MF|=3|NF| ，则直线 l 的斜率为 ．三、解答题 (共7题；共75分)17．（10分）设函数 y =f(x) 的图象由 y =sin2x +1 的图象向左平移 π12 个单位得到.（1）（5分）求 f(x) 的最小正周期及单调递增区间：（2）（5分）在 ΔABC 中， a,b,c ，6分别是角 A,B,C 的对边，且 f(A)=2 , b =1 , s ΔABC =√3 ,求 a 的值.18．（10分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 s n ，点 (n,s n ) 在曲线 y =12x 2+52x ，上数列 {b n }满足b n +b n+2=2b n+1 ， b 4=11 ， {b n } 的前5项和为45． （1）（5分）求 {a n } ， {b n } 的通项公式；（2）（5分）设 C n =1(2a n −3)(2b n−8) ，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求使不等式 T n >k 54恒成立的最大正整数 k 的值．19．（10分）已知四棱锥 P −ABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA ⊥ 上面 ABCD 且 PA =AB =2 ． E 为 PA 的中点．（1）（5分）求证： PC// 面 BDE ；（2）（5分）求直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值.20．（10分）已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0) ，其焦距为2，离心率为 √22（1）（5分）求椭圆 C 的方程；（2）（5分）设椭圆的右焦点为 F ， K 为 x 轴上一点，满足 OK⇀=2OF ⇀ ，过点 K 作斜率不为0的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，求 ΔFPQ 面积 s 的最大值.21．（15分）已知函数 f(x)=1−ax +lnx（1）（5分）若不等式 f(x)≤0 恒成立，则实数 a 的取值范围；（2）（5分）在（1）中， a 取最小值时，设函数 g(x)=x(1−f(x))−k(x +2)+2 .若函数g(x) 在区间 [12，8] 上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围；（3）（5分）证明不等式： 2ln(2×3×4×⋯×n)>n 2−2n+1n（ n ∈N ∗ 且 n ≥2 ）.22．（10分）在平面直角坐标系 xoy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C1：x2+y2=1，直线l：ρ(cosθ−sinθ)=4.（1）（5分）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、√3倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）（5分）若直线l1经过点P(1，2)且l1//l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值.23．（10分）已知a,b是任意非零实数．（1）（5分）求|3a+2b|+|3a−2b||a|的最小值（2）（5分）若不等式|3a+2b|+|3a−2b|≥|a|(|2+x|+|2−x|)恒成立，求实数x取值范圈.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由B={x||x|≤2}得B={x|−2≤x≤2}，结合A={−1,0,1,2,3}可得A∩B={−1,0,1,2}，故答案为：A.【分析】首先结合绝对值不等式的解法求出集合B再结合交集的运算性质即可得出结果。
黑龙江省大庆市2017-2018学年高三第一次模拟考试数学(理科)试卷 Word版含解析
∴a≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2．若复数x满足x+i= ，则复数x的模为（ ）
A． B．10C．4D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．
构造函数g（x）=x3+2x﹣ ，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，
求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，
由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．
故选：A．
【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣ 在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．
【解答】解：由题意可得 （x3+2x）dx=（ x4+x2） = ，
∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x= 在[﹣1，1]上根的个数，
②若“p∧q”为假，则p、q均为假；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件．
A．OB．1C．2D．3
【分析】①根据含有量词的的否定判断．②根据复合与简单之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：①全称的否定是特称，∴“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．
∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，
2018年黑龙江省大庆市高考高三数学一模试卷及解析高三理科数学
2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分）设集合A＝{﹣1,0,1,2,3},B＝{x||x|≤2},则A∩B＝的值为(）A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2}2.(5分）若复数,则z在复平面内所对应的点位于的(）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分）若x,y满足,则2x＋y的最大值为(）A.2B.5C.6D.74.(5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几伺体的三视图,则此几何体的体积为(）A.2B.4C.8D.125.(5分）执行如图所示的程序语句,则输出的s的值为(）A. B.1 C. D.6.(5分）已知命题p：直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行；命题q：直线l：x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1相交所得的弦长为,则命题p是q(）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件7.(5分）数列{a n}为正项递增等比数列,满足a2＋a4＝10,a32＝16,则等于(）A.﹣45B.45C.﹣90D.908.(5分）若是夹角为60°的两个单位向量,则向量＝的夹角为(）A.30°B.60°C.90°D.120°9.(5分）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上,则双曲线的方程为(）A. B. C . D .10.(5分）已知f(x ）是定义在R 上的奇函数,当x ∈[0,＋∞）时,f′(x ）＜0.若,,则a,b,c 的大小关系为( ）A.b ＜a ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b 11.(5分）函数f(x ）＝2sin(ωx ＋ϕ）的图象过点,相邻两个对称中心的距离是,则下列说法不正确的是( ）A.f(x ）的最小正周期为B.f(x ）的一条对称轴为C.f(x ）的图象向左平移个单位所得图象关于y 轴对称D.f(x ）在上是减函数12.(5分）已知函数,若关于x 的方程f(x ）﹣ax ＝0有两个解,则实数a 的取值范围是( ）A. B.C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上） 13.(5分）. 14.(5分）一个圆柱的轴截面是正方形,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O 的体积为V 1,圆柱内除了球之外的几何体体积记为V 2,则的值为 .15.(5分）若f(x ）＝e x lna ＋e ﹣x lnb 为奇函数,则的最小值为 .16.(5分）已知抛物线C ：y 2＝4x,过其焦点F 作一条斜率大于0的直线l,l 与抛物线交于M,N两点,且|MF|＝3|NF|,则直线l的斜率为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(12分）设函数y＝f(x）的图象由y＝2sin2x＋1的图象向左平移个单位得到. (1）求f(x）的最小正周期及单调递增区间：(2）在△ABC中,a,b,c,6分别是角A,B,C的对边,且f(A）＝2,b＝1,,求a 的值.18.(12分）已知数列{a n}的前n项和为s n,点(n,s n）在曲线,上数列{b n}满足b n＋b n＋2＝2b n＋1,b4＝11,{b n}的前5项和为45.(1）求{a n},{b n}的通项公式；(2）设,数列{c n}的前n项和为T n,求使不等式恒成立的最大正整数k的值.19.(12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥上面ABCD且PA＝AB＝2.E为PA的中点.(1）求证：PC∥面BDE；(2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.20.(12分）已知椭圆(a＞b＞0）,其焦距为2,离心率为(1）求椭圆C的方程；(2）设椭圆的右焦点为F,K为x轴上一点,满足,过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P,Q两点,求△FPQ面积s的最大值.21.(12分）已知函数f(x）＝1﹣ax＋lnx(1）若不等式f(x）≤0恒成立,则实数a的取值范围；(2）在(1）中,a取最小值时,设函数g(x）＝x(1﹣f(x））﹣k(x＋2）＋2.若函数g(x）在区间上恰有两个零点,求实数k的取值范围；(3）证明不等式：(n∈N*且n≥2）.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分）在平面直角坐标系xoy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线l：ρ(cosθ﹣sinθ）＝4.(1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2,请写出直线l,和曲线C2的直角坐标方程；(2）若直线l1经过点P(1,2）且l1∥l,l1与曲线C2交于点M,N,求|PM|•|PN|的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a,b是任意非零实数.(1）求的最小值(2）若不等式|3a＋2b|＋|3a﹣2b|≥|a|(|2＋x|＋|2﹣x|）恒成立,求实数x取值范圈.2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分）设集合A＝{﹣1,0,1,2,3},B＝{x||x|≤2},则A∩B＝的值为(）A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2}【试题解答】解：∵集合A＝{﹣1,0,1,2,3},B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2},∴A∩B＝{﹣1,0,1,2}.故选：A.2.(5分）若复数,则z在复平面内所对应的点位于的(）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【试题解答】解：∵＝,∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为(,﹣）,位于第四象限.故选：D.3.(5分）若x,y满足,则2x＋y的最大值为(）A.2B.5C.6D.7【试题解答】解：作出x,y满足对应的平面区域如图：(阴影部分）.由z＝2x＋y得y＝﹣2x＋z,平移直线y＝﹣2x＋z,由图象可知当直线y＝﹣2x＋z经过点A时,直线y＝﹣2x＋z的截距最大,此时z最大.由,解得A(2,1）,代入目标函数z＝2x＋y得z＝2×2＋1＝5.即目标函数z＝2x＋y的最大值为5.故选：B.4.(5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几伺体的三视图,则此几何体的体积为(）A.2B.4C.8D.12【试题解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S﹣ABCD,其中,四边形ABCD是边长为2的正方形,PD⊥平面ABCD,PD＝3,∴几何体的体积：V＝＝＝4.故选：B.5.(5分）执行如图所示的程序语句,则输出的s的值为(）A. B.1 C. D.【试题解答】解：模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的是S＝sin＋sin＋sin＋…＋sin的值,S＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＝(sin＋sin＋sin＋…＋sin）＋…sin＋sin＝sin＋sin＝sin＋sin＝1＋.故选：C.6.(5分）已知命题p：直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行；命题q：直线l：x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1相交所得的弦长为,则命题p是q(）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件【试题解答】解：当a＝0时,两直线方程分别为y＋1＝0,x＋1＝0,两直线不平行,当a≠0时,若两直线平行,则满足＝≠,由＝得a2＝1,得a＝±1,由≠,得a≠1,即a＝﹣1,即p：a＝﹣1,圆心到直线的距离d＝,半径r＝1,∵直线l：x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1相交所得的弦长为,∴r2＝d2＋(）2,即1＝＋,得a2＝1,得a＝±1,则命题p是q充分不必要条件,故选：A.7.(5分）数列{a n}为正项递增等比数列,满足a2＋a4＝10,a32＝16,则等于(）A.﹣45B.45C.﹣90D.90＞0,公比q＞1.【试题解答】解：因为{a n}为正项递增等比数列,所以a n＞a n﹣1因为a2＋a4＝10 ①,且＝16＝a3•a3＝a2•a4②由①②解得a2＝2,a4＝8.又因为a4＝a2•q2,得q＝2或q＝﹣2(舍）.则得a5＝16,a6＝32,因为＋＋…＋＝＝5＝5＝5×9＝45×2＝90,故选：D8.(5分）若是夹角为60°的两个单位向量,则向量＝的夹角为(）A.30°B.60°C.90°D.120°【试题解答】解：根据题意,设、的夹角为θ,又由是夹角为60°的两个单位向量,且＝,则•＝(＋）(﹣＋2）＝﹣2＋22＋•＝,又由＝(＋）,则||＝＝,＝(﹣＋2）,则||＝＝,则有cosθ＝＝,则θ＝60°；故选：B.9.(5分）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上,则双曲线的方程为(）A. B.C.D.【试题解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x,由一条渐近线过点,可得＝,双曲线的一个焦点(﹣c,0）在抛物线y2＝16x的准线x＝﹣4上,可得c＝4,即有a2＋b2＝16,解得a＝2,b＝2,则双曲线的方程为﹣＝1.故选：A.10.(5分）已知f(x）是定义在R上的奇函数,当x∈[0,＋∞）时,f′(x）＜0.若,,则a,b,c的大小关系为(）A.b＜a＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b【试题解答】解：∵当x∈[0,＋∞）时,f′(x）＜0,∴当x∈[0,＋∞）时,函数f(x）单调递减,∵f(x）是定义在R上的奇函数,∴函数在(﹣∞,＋∞）上单调递减,a＝﹣f(ln）＝﹣f(﹣ln2）＝f(ln2）,ln(﹣）＞ln＝﹣1,又ln(﹣）＜0,则﹣1＜ln(﹣）＜0,e0.1＞1,0＜ln2＜1,则﹣1＜ln(﹣）＜ln2＜e0.1,则f(ln(﹣））＞f(ln2）＞f(e0.1）,即c＜a＜b,故选：C.11.(5分）函数f(x）＝2sin(ωx＋ϕ）的图象过点,相邻两个对称中心的距离是,则下列说法不正确的是(）A.f(x）的最小正周期为B.f(x）的一条对称轴为C.f(x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D.f(x）在上是减函数【试题解答】解：函数f(x）＝2sin(ωx＋φ）图象相邻两个对称中心的距离是,∴＝,∴T＝＝,解得ω＝3；又f(x）的图象过点,∴2sin(ω＋φ）＝2,∴ω＋φ＝＋2kπ,k∈Z；解得φ＝＋2kπ,k∈Z；令k＝0,得φ＝,∴f(x）＝2sin(3x＋）；∴f(x）的最小正周期为T＝,A正确；f(）＝2sin(3×＋）＝﹣2为最小值,∴f(x）的一条对称轴为x＝,B正确；f(x）的图象向左平移个单位,得函数y＝2sin[3(x＋）＋]＝2sin(3x＋）＝2cos3x,其图象关于y轴对称,C正确；x∈[﹣,]时,3x∈[﹣,],∴3x＋∈[﹣,]时,∴f(x）＝2sin(3x＋）在上是增函数,D错误.故选：D.12.(5分）已知函数,若关于x的方程f(x）﹣ax＝0有两个解,则实数a的取值范围是(）A. B.C. D.【试题解答】解：设函数y＝f(x）和y＝ax,作出函数f(x）的图象如图：要使方程f(x）﹣ax＝0有2两个解,即函数y＝f(x）和y＝ax有2个不同的交点,∵f(﹣2）＝5,f(5）＝|5＋﹣4|＝,当y＝ax经过点(5,）时,此时a＝,当过点(﹣2,5）时,此时a＝﹣,当直线y＝ax与y＝x2＋1相切时,∵y′＝2x,设切点为(x0,y0）,﹣2≤x0≤0,∴＝2x0,解得x0＝﹣1,当x0＝﹣1,此时a＝﹣2,结合图象,综上所述a的取值范围为[﹣,﹣2）∪(0,],故选：A二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13.(5分）6.【试题解答】解：(2x﹣1）dx＝(x2﹣x）＝9﹣3＝6,∴(2x﹣1）dx＝6,故答案为：614.(5分）一个圆柱的轴截面是正方形,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O的体积为V1,圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2,则的值为2.【试题解答】解：设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高为2r,球O的半径为r,∴球O的体积V1＝,圆柱内除了球之外的几何体体积：V2＝＝,∴＝＝2.故答案为：2.15.(5分）若f(x）＝e x lna＋e﹣x lnb为奇函数,则的最小值为2.【试题解答】解：f(x）＝e x lna＋e﹣x lnb为奇函数,可得f(0）＝0,即有e0lna＋e0lnb＝0,即有ln(ab）＝0,可得ab＝1,(a＞0,b＞0）,则≥2＝2,当且仅当b＝2a＝时,等号成立,则的最小值为2.故答案为：2.16.(5分）已知抛物线C：y2＝4x,过其焦点F作一条斜率大于0的直线l,l与抛物线交于M,N两点,且|MF|＝3|NF|,则直线l的斜率为.【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x,焦点F(1,0）,准线为x＝﹣1,分别过M和N作准线的垂线,垂足分别为C和D,过NH⊥CM,垂足为H,设|NF|＝x,则|MF|＝3x,由抛物线的定义可知：|NF|＝|DH|＝x,|MF|＝|CM|＝3x,∴|HM|＝2x,由|MN|＝4x,∴∠HMF＝60°,则直线MN的倾斜角为60°,则直线l的斜率k＝tan60°＝,故答案为：.方法二：抛物线C：y2＝4x,焦点F(1,0）,准线为x＝﹣1,设直线MN的斜率为k,则直线MN的方程y＝k(x﹣1）,设M(x1,y1）,N(x2,y2）,,整理得：k2x2﹣2(k2＋2）x＋k2＝0,则x1＋x2＝,x1x2＝1,由|MF|＝3|NF|,＝3,即(1﹣x1,﹣y1）＝3(x2﹣1,y2）,x1＋3x2＝4,整理得：3x2﹣4x2＋1＝0,解得：x2＝,或x2＝1(舍去）,则x1＝3,解得：k＝±,由k＞0,则k＝故答案为：.方法三：抛物线C：y2＝4x,焦点F(1,0）,准线为x＝﹣1,设直线MN的方程x＝mx＋1,设M(x1,y1）,N(x2,y2）,,整理得：y2﹣4my﹣4＝0,则y1＋y2＝4m,y1y2＝﹣4,由|MF|＝3|NF|,＝3,即(1﹣x1,﹣y1）＝3(x2﹣1,y2）,﹣y1＝3y2,即y1＝﹣3y2,解得：y2＝﹣,y1＝2,∴4m＝,则m＝,∴直线l的斜率为,故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(12分）设函数y＝f(x）的图象由y＝2sin2x＋1的图象向左平移个单位得到. (1）求f(x）的最小正周期及单调递增区间：(2）在△ABC中,a,b,c,6分别是角A,B,C的对边,且f(A）＝2,b＝1,,求a 的值.【试题解答】解：(1）y＝2sin2x＋1的图象向左平移个单位得到的图象,即.函数最小正周期T＝π.令,则,解得,所以y＝f(x）的单调增区间是.(2）由题意得：,则有.因为0＜A＜π,所以,.由及b＝1得,c＝4.根据余弦定理,,所以.18.(12分）已知数列{a n}的前n项和为s n,点(n,s n）在曲线,上数列{b n}满足b n＋b n＋2＝2b n＋1,b4＝11,{b n}的前5项和为45.(1）求{a n},{b n}的通项公式；(2）设,数列{c n}的前n项和为T n,求使不等式恒成立的最大正整数k的值.【试题解答】解：(1）由已知得：,当n＝1时,,当n≥2时,＝n＋2,当n＝1时,符合上式.所以a n＝n＋2.因为数列{b n}满足b n＋b n＋2＝2b n＋1,所以{b n}为等差数列.设其公差为d.则,解得,所以b n＝2n＋3.(2）由(1）得,＝,＝,因为,所以{T n}是递增数列.所以,故恒成立只要恒成立.所以k＜9,最大正整数k的值为8.19.(12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥上面ABCD且PA＝AB＝2.E为PA的中点.(1）求证：PC∥面BDE；(2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.【试题解答】(1）解：连接CA交BD于O,连接OE,因为ABCD为正方形且AC,BD为对角线,所以O为CA的中点,又E为PA的中点,故OE为△PAC的中位线,所以OE∥PC,而OE⊂面BDE,PC⊄面BDE,故PC∥面BDE.(2）以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz.则B(2,0,0）,D(0,2,0）,C(2,2,0）,E(0,0,1）,P(0,0,2）,所以,,,设平面PBC的法向量,则即,令z＝1,则法向量,设直线DE与平面PBC所成角为θ,则,故直线DE与平面PBC所成角的余弦值.20.(12分）已知椭圆(a＞b＞0）,其焦距为2,离心率为(1）求椭圆C的方程；(2）设椭圆的右焦点为F,K为x轴上一点,满足,过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P,Q两点,求△FPQ面积s的最大值.【试题解答】解：(1）因为椭圆焦距为2,即2c＝2,所以c＝1,,所以a＝,从而b2＝a2﹣c2＝1,所以,椭圆的方程为＋y2＝1.(2）椭圆右焦点F(1,0）,由可知K(2,0）,直线l过点K(2,0）,设直线l的方程为y＝k(x﹣2）,k≠0,将直线方程与椭圆方程联立得(1＋2k2）x2﹣8k2x＋8k2﹣2＝0.设P(x1,y1）,Q(x2,y2）,则,,由判别式△＝(﹣8k2）2﹣4(2k2＋1）(8k2﹣2）＞0解得k2＜.点F(1,0）到直线l的距离为h,则,,＝••,＝|k|•,＝,令t＝1＋2k2,则1＜t＜2,则S＝•＝,当时,S取得最大值.此时,,S取得最大值.21.(12分）已知函数f(x）＝1﹣ax＋lnx(1）若不等式f(x）≤0恒成立,则实数a的取值范围；(2）在(1）中,a取最小值时,设函数g(x）＝x(1﹣f(x））﹣k(x＋2）＋2.若函数g(x）在区间上恰有两个零点,求实数k的取值范围；(3）证明不等式：(n∈N*且n≥2）.【试题解答】解：(1）由题意知,1﹣ax＋lnx≤0恒成立.变形得：.设,则a≥h(x）max.由可知,h(x）在(0,1）上单调递增,在(1,＋∞）上单调递减,h(x）在x＝1处取得最大值,且h(x）max＝h(1）＝1.所以a≥h(x）max＝1,实数a的取值范围是[1,＋∞）.(2）由(1）可知,a≥1,当a＝1时,f(x）＝1﹣x＋lnx,g(x）＝x(x﹣lnx）﹣k(x＋2）＋2＝x2﹣xlnx﹣k(x＋2）＋2,g(x）在区间上恰有两个零点,即关于x的方程x2﹣xlnx﹣k(x＋2）＋2＝0在区间上恰有两个实数根.整理方程得,,令,.令φ(x）＝x2＋3x﹣2lnx﹣4,,则,,于是φ'(x）≥0,φ(x）在上单调递增.因为φ(1）＝0,当时,φ(x）＜0,从而s'(x）＜0,s(x）单调递减,当x∈(1,8]时,φ(x）＞0,从而s'(x）＞0,s(x）单调递增,,s(1）＝1,,因为,所以实数k的取值范围是.证明(3）由(1）可知,当a＝1时,有x﹣1≥lnx,当且仅当x＝1时取等号.令,则有,其中k∈N*,k≥2.整理得：,当k＝2,3,…,n时,,,…,,上面n﹣1个式子累加得：.n∈N*且n≥2,即.命题得证.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分）在平面直角坐标系xoy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线l：ρ(cosθ﹣sinθ）＝4.(1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2,请写出直线l,和曲线C2的直角坐标方程；(2）若直线l1经过点P(1,2）且l1∥l,l1与曲线C2交于点M,N,求|PM|•|PN|的值.【试题解答】解：(1）因为l：ρ(cosθ﹣sinθ）＝4,转化为直角坐标方程为：x﹣y ＝4；设曲线C2上任一点坐标为(x',y'）,则,所以,代入C1方程得：,所以C2的方程为.(2）直线l：x﹣y＝4倾斜角为,由题意可知,直线l1的参数方程为(t为参数）,联立直线l1和曲线C2的方程得,.设方程的两根为t1,t2,则t1t2＝2.由直线参数t的几何意义可知,|PM|•|PN|＝|t1t2|＝2.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a,b是任意非零实数.(1）求的最小值(2）若不等式|3a＋2b|＋|3a﹣2b|≥|a|(|2＋x|＋|2﹣x|）恒成立,求实数x取值范圈.【试题解答】解：(1）因为|3a＋2b|＋|3a﹣2b|≥|3a＋2b＋3a﹣2b|＝6|a|,当且仅当(3a＋2b）(3a﹣2b）≥0时取等号,所以的最小值为6.(2）由题意得：恒成立,结合(Ⅰ）得：|2＋x|＋|2﹣x|≤6.当x≤﹣2时,﹣x﹣2＋2﹣x≤6,解得﹣3≤x≤﹣2；当﹣2＜x≤2时,x＋2＋2﹣x≤6成立,所以﹣2＜x≤2；当x＞2时,x＋2＋x﹣2≤6,解得2＜x≤3.综上,实数x的取值范围是[﹣3,3].。
黑龙江省大庆市2018届高三数学第一次教学质量检测试题理
高三年级第一次教学质量检测试题理 科 数 学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为（ ） (2)集合{}()(){}0,1,2,3,4,210A B x x x ==+-≤，则A B =（ ）(A){}0,1,2,3,4(B){}0,1,2,3(C){}0,1,2(D){}0,1(A) 1 (B)1- (C)21(D)2- (3)已知向量(1,2),(2,)a b m ==-，若//a b ，则|23|a b +等于( )(B)(4)设12a =，数列{1}n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ）(A) 80 (B)81 (C)54 (D)53(5)若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形， 则这个几何体的体积是（ ） (A)32cm(B)cm 3(C)cm 3(D)3cm 3(第5题图） （ 第6题图）(6)执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（ ）(A) 4 (B) 8 (C)12 (D)16(7)直线03=+-y x 被圆2)2()2(22=-++y x 截得的弦长等于（ ）(A)26(B)3 (C)23 (D)6 (8)已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）(A)若//m α，//n α，则//m n (B) 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ (C) 若l αβ=，//m α，//m β，则//m l(D)若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥(9)高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，某学校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（ ）(A)512(B) 15 (C)1225 (D)43100(10)已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|PA | 的最小值为( )．(A)5 (B) 5＋4 3 (C)7 (D)9(11)已知函数()()()()22sin 23410f x x x x R f y y f x x =+∈-++-+≤，且，则当 1y ≥时，11x y x +++的取值范围是( )(A)57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)57,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) 71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(12)函数f 定义在有序正整数对的集合上,且满足下列性质: （1）(,)f x x x =；（2）(,)(,)f x y f y x =;（3）()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+; 则(12,16)(16,12)f f +的值是( ) (A)24 (B) 48 (C) 64 (D) 96第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷均为必答题，无选答题。
黑龙江省大庆中学2018届高三考前仿真模拟考试数学(理)试卷(PDF版) (1)
e2 ) 2
B. (
e2 , ) 2
C. (0, 2e )
2
D. (2e , )
2
二．填空题（本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设函数 f ( x)
19.如图四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ,底面 ABCD 是梯形， ．
每人至少 1 本， 不同的分配方法数有 （ 10.将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学， A．24 B．28 C．32 D．36
ln( x 2 4 x 4) f ( x ) 函数 的图象可能是（ ） 6. ( x 2)3
11.已知函数 f ( x ) (1 cos x ) cos x tan 2 , 那么下面说法正确的是（ A.函数 f ( x) 在
AB CD , BC CD ，AB PD 4 , CD 2 , AD 2 2 , M 为 CD 的中点， N 为 PB 上一点，且 PN PB (0 1) .
（1）若 MN 平面 PAD ； （2） 若直线 AN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 直线 CN 所成角的余弦值. 20.已知椭圆 C： 2
1 2
D．
1 2
A． m 38 ， n 12 C． m 12 ， n 12
B． m 26 ， n 12 D． m 24 ， n 10 ）
5.某课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没 得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在 这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是（ A.甲代表队 B.乙代表队 C.丙代表队 D.无法判断 ）
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆十中2018届高三第一次教学质量检测数学理科试卷Word版含答案(新)
高三年级第一次教学质量检测试题理 科 数 学2017．09命题：高三命题组 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为（ ） (2)集合{}()(){}0,1,2,3,4,210A B x x x ==+-≤，则A B =（ ）(A){}0,1,2,3,4(B){}0,1,2,3(C){}0,1,2(D){}0,1(A) 1 (B)1- (C)21(D)2- (3)已知向量(1,2),(2,)a b m ==-，若//a b ，则|23|a b +等于( )(B) (4)设12a =，数列{1}n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ）(A) 80 (B)81 (C)54 (D)53(5)若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形， 则这个几何体的体积是（ ）(A)32cm 3 (C) 3 (D)3cm 3(第5题图） （ 第6题图）(6)执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（ ）(A) 4 (B) 8 (C)12 (D)16(7)直线03=+-y x 被圆2)2()2(22=-++y x 截得的弦长等于（ ）(A)26(B)3 (C)23 (D)6 (8)已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）(A)若//m α，//n α，则//m n (B) 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ (C) 若l αβ=，//m α，//m β，则//m l(D)若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥(9)高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，某学校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（ ）学科 数学 信息 物理 化学 生物 北大 4 2 5 4 1 清华 2 1 0 4 2N Y 输出i i=i+2S=S+i S< ?(A)512(B) 15 (C)1225 (D)43100(10)已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|PA | 的最小值为( )．(A)5(B) 5＋43 (C)7 (D)9(11)已知函数()()()()22sin 23410f x x x x R f y y f x x =+∈-++-+≤，且，则当 1y ≥时，11x y x +++的取值范围是( )(A)57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B) 70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)57,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) 71,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(12)函数f 定义在有序正整数对的集合上,且满足下列性质: （1）(,)f x x x =；（2）(,)(,)f x y f y x =;（3）()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+; 则(12,16)(16,12)f f +的值是( ) (A)24 (B) 48 (C) 64 (D) 96第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷均为必答题，无选答题。
黑龙江省大庆铁人中学2018届高三第一次教学质量检测数学(理)试卷扫描版缺答案
大庆市高三第一次质壷检测数学（理科）试18第1页共4页大庆市為三年级第一次教学质駄检测试题数学（理科）2018.01注意爭项：1 •木试卷分笫I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前•考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上・2•回答第I 卷时.选出每小题答案后，用2B 铅笔把答遞卡上对应题目的答案标号涂黑。
如 需改动.用橡皮擦干净后.再选涂箕它答家标号.写存本试犊上无效。
3•回答節II 卷时.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回•第I 卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分.满分60分.在每小题给出的四个选项中.只有一 项是符合题目要求的.1.设集合^={-1, 0,1, 2, 3}. 5 = {x||x|^2}> 则 AC\B^A. {-1,0,1,2}B. {-2,7 0,1,2}C. {0,1,2}D. {1,2}2.若复数z =—,则z 在复平面内所对应的点位于l + iA.第一彖限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3•若x,y 满足x+yNl,则2x + y 的最大值为 y^x-1A. 2B. 5C. 64.如图，网格纸上小正方形的边长为1・粗线狮出的是某几何体的三视图.则此几何体的体枳为A. 2B. 4C. 8D. 12 5. 执行如图所示的程序语句，则输岀的S 的值为 6. 已知命题 p ：直线 A ：ax + y + l = 0 与 l 2 :x + qy + l = 0Ytr ：D. 7 * 一-大庆市高三第」次质量检测数学（理科）试题 第2页共4页命Igg ：直线l:x + y + a^ 0与l«lx 2+/=l 相交所得的弦长为迈.则命題“是q 的A 充分不必要条件 B.必耍不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必耍条件7. 数列｛心｝为正项递增等比数列.满足^+^=10. aj=16.则log&吗+ log 近血+・・・+108血％ 等于A. *5B. 45C. -90D. 90&若无占是夹角为60。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
黑龙江省大庆市2018届高三数学上学期第一次月考试题理
黑龙江省大庆市2018届高三数学上学期第一次月考试题 理卷(I)一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1.=︒︒15cos 15sin 2（ ）A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-2.已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53.已知函数()x f 的定义域为[]2,0，则函数()()x x f x g 282-+=的定义域为（ ） A ．[]1,0 B ．[]2,0 C ．[]2,1 D ．[]3,14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()xf x a =（0a >且1a ≠），且12(log 4)3f =-，则a的值为（ ）A ． 32B C. 3 D ．95.已知21tan =θ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ24tan （ ） A ．7 B ．7- C.71 D ．71- 6.函数()x f 的图象关于y 轴对称，且对任意R x ∈都有()()x f x f -=+3，若当⎪⎭⎫⎝⎛∈25,23x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21，则()=2017f （ ）A ．14-B ．14C.4- D ．47.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且0543=++OC OB OA ，则AB OC ⋅的值为（ ）A ．58 B ．57 C.51- D ．548.将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=64sin 3πx x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()x g y =的图象．则()x g y =图象一条对称轴是（ ） A ．12π=x B ．6π=x C ．3π=x D ．32π=x 9.设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=2,1212,2x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A.()2,∞-B.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-813,C.()2,0D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,813 10. 若曲线221x ey =与曲线x a y ln =在它们的公共点()t s P ,处具有公共切线，则实数=a （ ）A ．-2B ．21C ．1D ．2 11.如图，B A ,分别是射线ON OM ,上的两点，给出下列向量：①OB OA 2+；②OB OA 3121+；③OB OA 3143+； ④OB OA 5143+；⑤OB OA 5143-若这些向量均以为起点， 则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ） A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③⑤ 12.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则a b -的最小值为 （ ）A . 22ln 1+B ． 22ln 1- C ． 12-e D ．1-e卷(II) (非选择题，共90分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）． 13.曲线3x y =与x y =所围成的封闭图形的面积为________；14.若命题:p “020223xx R a a ∃∈-≤-，”是假命题，则实数a 的取值范围是________； 15.若方程0sin cos 2=+-a x x 在⎥⎦⎤⎝⎛2,0π内有解，则a 的取值范围是________；16.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知BA Cc a b sin sin sin 1+-=+， 且5,5-=⋅=b ，则ABC ∆的面积是________.三．解答题（本大题共6小题，第17题10分,其余每题12分，解题写出详细必要的解答过程）17.(本小题满分10分）已知函数22()3sin cos cos ()f x x x x x x =++∈R . （1）求函数)(x f 的最小正周期及单调减区间； （2）若2)(0=x f ，0π[0]2x ∈，，求0x 的值.18.(本小题满分12分）已知点()()2211,,,y x Q y x P 是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0sin πφωφωx x f 图象上的任意两点，若221=-y y 时，21x x -的最小值为2π，且函数()x f 的图象经过点()2,0，在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为c b a ,,，且12cos sin sin 2=+B C A .(1)求函数()x f 的解析式； (2)求()()⎪⎭⎫⎝⎛++=43πB f B f B g 的取值范围.19.(本小题满分12分） 已知a b c ，，为ABC ∆的内角A B C ，，的对边，满足ACB AC B cos cos cos 2sin sin sin --=+，函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,]3π上单调递增，在区间上单调递减.（1）证明：a c b 2=+；（2）若A f cos )9(=π，证明ABC △为等边三角形．20. (本小题满分12分）设函数()()1--=xe x a xf （e 为自然对数的底数）．（1）当1=a 时，求()x f 的最大值； （2）当()(),00,x ∈-∞+∞U 时，()1f x x<恒成立，证明：1a =． 21.(本小题满分12分）已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （2，直接写出函数()y f x =的单调递增区间； （3）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分）已知函数()()nnxx a x f 11ln -+=，其中a N n ,*∈为常数. （1）当2=n ，且2>a 时，判断函数()x f 是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（2）若1=a ，对任意的正整数n ，当1≥x 时，求证：()x x f ≤+1.数学（理）试题答案一．选择题 BA ACCBC ABABD 二．填空题 {}{}316.15 1a -1|a 15. 2a 1|a 14. 125.13≤<≤≤ 三．解答题17.解：（1）2()12sin 3sin 2f x x x =++1cos2123sin 22xx -=+⨯+ 3sin 2cos 22x x =-+312(sin 2cos2)22x x =⨯-+π2sin(2)26x =-+所以，22f x T ==π()的最小正周期π 由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z化简得 π5πππ36k x k +≤≤+所以，函数)(x f 的单调递减区间为π5π[π,π],36k k k ++∈Z（2）因为 2)(0=x f ， 所以0π2sin(2)226x -+= 即 0πsin(2)06x -=又因为0π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以 0ππ5π2[,]666x -∈-则 0π206x -= ，0π12x =即19.解:（1）QACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+∴sin cos sin cos 2sin -cos sin -cos sin B A C A A B A C A += ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=sin ()sin ()2sin A B A C A +++=,sin sin 2sin C B A +=,所以2b c a +=（2）由题意知：由题意知：243ππω=，解得：32ω=， 因为1()sin cos 962f A ππ===,(0,)A π∈,所以3A π= 由余弦定理知：222-1cos 22b c a A bc +==, 所以222-b c a bc +=因为2b c a +=，所以222-()2b c b c bc ++=，即：22-20b c bc +=所以b c =,又3π=A ，所以ABC △为等边三角形.20.解：（Ⅰ）当a ＝1时，f ′(x )＝－e x＋(1－x )e x＝－xe x． 当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，0)上单调递增． 故f (x )在x ＝0处取得最大值f (0)＝0． （Ⅱ）①当x ∈(－∞，0)时，f (x )x ＜1⇔(a －x )e x＞x ＋1即a ＞x ＋x ＋1ex ， 令g (x )＝x ＋x ＋1e x ，g ′(x )＝1－xex ＞0，则g (x )在(－∞，0)上是增函数，g (x )＜g (0)＝1，a ≥1．②当x ∈(0，＋∞)时，f (x )x ＜1⇔(a －x )e x＜x ＋1，a ＜x ＋x ＋1e x ，由①知g ′(x )＝e x －x ex ，令h (x )＝e x－x ，h ′(x )＝e x－1＞0，则h (x )＞h (0)＝1，g ′(x )＞0，g (x )＞g (0)＝1，a ≤1. 故a ＝1．21.解:(1)由于函数()x f 为偶函数,则()()x f x f =-,即ax x a x x -+-=--+-2222恒成立,所以a x a x -=+,则平方得04=ax 恒成立,则0=a(2)若21=a ,则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+-<+--=21 12211222x x x x x x x f ,则单调递增区间为()1,-∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21(3)不等式()()x f x f 21≥-转化为()121242-+≤+---x x a x a x 在[)+∞,0上恒成立,由于0>a则当a x ≤≤0时,原式为02142≥-++a x x 恒成立,即021≥-a ,即210≤<a ; 当1+≤<a x a 时,原式为06142≥++-a x x 恒成立,即0242≥-+a a ,解得62--≤a 或26-≥a当1+>a x 时,原式为0322≥-+x x 恒成立,即0242≥-+a a ,解得62--≤a 或26-≥a综上⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-2126|a a 22.解:（Ⅰ）由已知得函数()x f 的定义域为{}0|>x x ，当2=n 时，()x a xx f ln 12+=，所以()322'x ax x f -=， 当0>a 时，由()0'=x f 得02,0221<-=>=a x a x ，此时()()()321'x x x x x a x f --=当()1,0x x ∈时，()()x f x f ,0'<单调递减；当()+∞∈,1x x 时，()()x f x f ,0'>单调递增. 当0>a 时，()x f 在a x 21=处取得极小值，极小值点为a2. （Ⅱ）证：因为1=a ，所以()()x x x f nnln 1+-=. 当n 为偶数时，令()()()1ln 11+-+-=x x x x g n ，则()()11'1+++=+x xx n x g n ∴所以()0'>x g 当[)+∞∈,1x 时，()x g 单调递增，()x g 的最小值为()1g .因此所以()x x f ≤+1成立.当n 为奇数时，要证()x x f ≤+1，由于()()0111<+-nnx ，所以只需证()x x ≤+1ln .令()()1ln +-=x x x h ，则()01'>+=xxx h ， 当[)+∞∈,1x 时，()()1ln +-=x x x h 单调递增，又()02ln 11>-=h ， 所以当1≥x 时，恒有()0>x h ,命题()x x ≤+1ln 成立.。