2014年10月全国自考高等数学(一)真题及答案
2004年下半年高等教育自学考试全国统一命题考试
高等数学（一） 试题
课程代码：0020
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ）
A ．y=sin |x|
B ．y=3sin 2x+1
C ．y=-x 3sin x
D ．y=x 2sin x
2．下列各函数中，互为反函数的是（ ）
A ．y=e x y=e x -
B ．y=log 2x, y= log 2
1x
C ．y=tan x, y=cot x
D ．y=2x+1, y=
21 (x-1) 3．
）
（n n e 11lim -∞→sin n=（ ） A ．0 B ．1
C ．不存在
D ．∞
4．设f(x)=ln(9-x 2
)，则f(x)的连续区间是（ ）
A ．（-∞, -3）
B ．(3, +∞)
C ．[-3, 3]
D ．(-3, 3) 5．设f(x)=⎩
⎨⎧≤<-≤≤-21,3310,12x x x x , 则f +′(1)=（ ） A ．2 B ．-2
C ．3
D ．-3
6．设y=sin 2x, 则y
）（n =（ ） A ．2sin(2x+2πn ) B ．2n sin(2x+2
πn ) C ．2n sin(x+2πn ) D ．2sin(2x+2
πn )
7．设y=e
x 1-，则dy=（ ） A ．e x 1-dx B ．e x 1dx
C ．-21x
e x 1-dx D ．21x e x 1-dx
8．=-2
42)3(dx x x d （ ） A ．1-6x 2 B ．2-36x 2
C ．2x-12x 3
D ．x-6x 3 9．=-→x
e x x sin 1lim 20（ ） A ．2 B ．1
C ．0
D ．∞
10．函数y=4
2)1(422
+++x x x 的水平渐近线方程是（ ） A ．y=1 B ．y=2
C ．y=4
D ．不存在
11．设⎰+=C x dx x f sec )(，则f(x)=（
） A ．tan x B ．tan 2x
C ．secx· tan x
D ．secx· tan 2 x
12．=-⎰dx x
x 62
1（ ） A ．arcsin x 3＋C B ．
31arcsin x 3+C C ．3arcsin x 3+C D ．261x -+C
13．下列广义积分中，收敛的是（ ）
A ．dx x ⎰1
01 B ．dx x ⎰101 C ．dx x ⎰1
02
1 D ．dx x x ⎰101 14．设⎰=x
t e dt e 0，则x=（ ）
A ．e+1
B ．e
C ．ln (e+1)
D ．ln (e-1)
15．下列级数中条件收敛的是（ ）
A ．n n n )32()1(11
∑∞=-- B ．∑∞=--11
)1(n n n
C ．n n n )31()1(11∑∞
=-- D ．∑∞
=-+-121
2
)1(n n n n
16．幂级数∑∞=++11)
21(n n
n
x 的收敛区间是（ ）
A ．(-23 , 21
) B ．[-23 , 21
]
C ．[-23 , 21
) D ．(-23 , 21
]
17．设z=ln(x-y 2)，则y z
∂∂=（ ）
A ．21
y x - B ．22y x y
--
C ． 221y x y --
D ．22
y x y
x --
18．函数z=x 2+2xy-y 2-4x+2y-9的驻点是（ ）
A ．)23,21(
B ．)23
,21(-
C ．)23
,21
(- D ．)23
,21(--
19．⎰⎰≤≤≤≤+1
010y x y x dxdy e =（ ）
A ．e-1
B ．e
C ．(e-1)2
D ．e 2
20．设y=y(x)满足微分方程e o y x =-1'，且当x=0时，y=0，则x=-1时，y=（
）
A ．1-e
B ．1+e
C ．-e
D ．e
二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．讨论函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-o x x x x ,10,12在点x=0处的连续性
.
22．设y=x x
+-11，求y′|4=x
23．求不定积分 ⎰xdx x x cos sin .
24．设z=(ysinx)31，求dz.
25．判断级数n n n n )12(
1
∑∞=+的敛散性. 三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 26．求z=x 4
+y 4-4(x-y)+1的极值. 27．计算定积分I=⎰-π03
)sin 1(dx x .
28．计算二重积分⎰⎰D y dxdy xe 3
，其中D ：x≤y≤1，0≤x≤1. 29．求微分方程cosx x x y dx
dy 2cos sin +=满足初始条件y|π=x =1的特解. 四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
30．用薄铁皮做成一个容积为V 0的有盖长方匣，其底为正方形，由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方匣的底面边长为多少时，才能使匣子的造价最低？
31．求抛物线y 2
=4x 与直线x=1所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积V x 和V y .。
2019年10月自考《高等数学(一)》真题及答案00020
全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共 30分）1. 下列函数为奇函数的是（ ）。
A. 2x sin x B. 2x cos xC. xsinxD. xcosx【正确答案】 D【答案解析】 已知奇函数满足()()f x f x =--，因为D 选项中令()cos f x x x =，有()cos f x x x -=-，满足奇函数条件，故选择D 。
参见教材P31。
【知 识 点】 函数的奇偶性。
2. 当0,0x y >>时，下列等式成立的是（ ）。
A.()ln ln ln xy x y = B. ()ln ln ln x y x y +=+C. ()ln ln ln xy x y =+D. ln ln ln x x y y= 【正确答案】 C【答案解析】 因为对数函数有log ()log log a a a xy x y =+的性质，故选C 。
参见教材P38。
【知 识 点】 对数函数。
3. 3342lim 2n n n n→∞+=+（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】 B【答案解析】 3223421224lim lim lim 226112n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+===++。
参见教材P96。
【知 识 点】 洛必达法则。
4. 10()020x e x f x x a x a x ⎧-≠⎪===⎨⎪=⎩，已知函数在点处连续，则 ， （ ）。
A. 0 B. 12C. 1D. 2【正确答案】 B【答案解析】 因为函数在0x =处连续，则有0lim ()x f x a →=，带入可得00011lim ()lim lim 222x x x x e x f x x x →→→-===，解得12a =，故选B 。
参见教材P63。
【知 识 点】 函数的连续性。
5. ()221,1y x x =-曲线在点处的切线方程为（ ）。
全国2014年4月自考高等数学(工专)试题和答案
11．连续函数 在区间[1，2]上的平均值为2，则 ________.
正确答案：2（3分）
12．设由参数方程 所确定的函数为 ，则 =________.
正确答案： （3分）
13．线性方程组 的解 =________.
正确答案： （3分）
14． ________.
正确答案： （3分）
正确答案：
20．设 是由方程 确定的隐函数，求 ．
正确答案：
21．计算定积分 ．
正确答案：
22．设 求 ．
正确答案：
23．求解线性方程组
正确答案：
四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
24．设 ，求f(x)在[0,3]上的最大值与最小值．
正确答案：
25．求由 与y=2所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积．
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出Байду номын сангаас四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1．下列函数中属于基本初等函数的是
A． B．
C． D．
正确答案：B（2分）
2．级数
A．收敛性不能确定B．收敛
C．收敛于eD．发散
正确答案：D（2分）
全国
高等数学（工专）试题和答案
课程代码：
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
自考高等数学一历年真题
全国2010年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1.设函数x x f 31)(+=的反函数为)(x g ，则)10(g =（ ）A.-2B.-1C.2D.32.下列极限中，极限值等于1的是（ ）A.e)11(limxx x -∞→ B.x x x sin lim ∞→ C.2)1(lim xx x x +∞→ D.x xx arctan lim ∞→3.已知曲线x x y 22-=在点M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为A.(-1，3)B.(1，-1)C.(0，0)D.(1，1) 4.设C x F x x f +=⎰)(d )(，则不定积分⎰x f xxd )2(2=（ ）A.C F x +2ln )2( B.F (2x )+C C.F (2x )ln2+C D.2x F (2x )+C5.若函数),(y x z z=的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数yx z∂∂∂2=（ ）A.x sin - B.y sin C.x cos D.y cos 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则f (x 2)的定义域是______.7.极限=-+-∞→17272lim n nnn n ______. 8.设某产品的成本函数为C (q )=1000+82q ，则产量q =120时的边际成本为______.9.函数212x xy -=在x =0处的微分d y =______.10.曲线2ln -+=x x xy 的水平渐近线为______.11.设函数f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)，则方程0)(='x f 的实根个数为______.12.导数⎰=-xt t t xd )1(d d ______.13.定积分x x d |1|20⎰-=______.14.二元函数f (x ，y )=x 2+y 4-1的极小值为______. 15.设y =y (x )是由方程e y -xy =e 所确定的隐函数，则导数xy d d =______.三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16.设函数||sin )(x x x x f -=，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续?并说17.求极限)5cos 1(lim 2xx x -∞→. 18.设函数y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 的值. 19.求微分方程)1()2(322y x y y ++='的通解.20.求不定积分⎰--x xx d 112.四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.设函数f (x )=sin e -x ，求)0()0()0(f f f ''+'+.22.计算定积分⎰-=121d 12arctanx x I .23.计算二重积分⎰⎰+=Dy x y xI d d )1(2，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y轴所围成的区域.五、应用题(本题9分)24.在一天内，某用户t 时刻用电的电流为2)24(1001)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t .(1)求电流I (t )单调增加的时间段；(2)若电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?六、证明题(本题5分)25.设函数f (x )，g (x )在区间[-a ，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f (-x )+f (x )=2. 证明：⎰⎰-=aaax x g x x g x f 0d )(2d )()(.全国2010年1月高等教育自学考试高等数学（一）试题 课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
2020年10月全国自考《00020高等数学(一)》真题和答案
2020年10月全国自考《00020高等数学(一)》真题和答案1、方程x3-4x=0的实根个数为A、1B、2C、3D、4正确答案C解析因为x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）=0，所以x1=0，x2=-2，x3=2,实根个数为3。
参见教材P21。
2、函数f(x)=(x+cosx)(1+x2)A、是奇函数B、是偶函数C、是奇函数也是偶函数D、是非奇非偶函数正确答案B解析（2+cosx）是偶函数，（1+x2）是偶函数，所以f（x）就是偶函数。
参见教材P30。
3、正确答案A解析当x趋近于0时函数的值等于0，则称函数f(x)在趋近0时时一个无穷小量，只有A符合，参见教材p59正确答案A解析因为是无穷比无穷型，可以使用洛必达法则，分子分母分别同时求导，一直求导直到求到72/1800x2的极限等于0。
参见教材P95。
5、正确答案C解析dy/dx=5(3x+2)4×3=15(3x+2)4。
参见教材P79。
6、函数f(x)=(x+1)3的区间（-1，2）内A、单调增加B、单调减少C、不增不减D、有增有减正确答案A解析因为f（-1）=0，f（2）=27，所以f（-1）7、正确答案D正确答案B解析题目中的公式先对arcsinx进行求导在积分，积分后就是arcsinx，又因为是不定积分，所有再加一个常数是arcsinx＋C。
参见教材P120。
9、正确答案C10、正确答案D11、答案答案13、答案14、答案15、答案16、答案17、答案18、答案19、答案20、答案21、答案22、答案23、答案24、答案。
自考高等数学一历年真题
全国2021年10月高等教育自学考试高等数学〔一〕试题一、单项选择题(本大题共5小题，每题2分，共10分)xx f 31)(+=反函数为)(x g ，那么)10(g =〔 〕 A.-2B.-1C2.以下极限中，极限值等于1是〔 〕 A.e)11(limxx x -∞→ B.x xx sin lim∞→ C.2)1(limx x x x +∞→ D.x xx arctan lim∞→x x y 22-=在点M 处切线平行于x 轴，那么切点M 坐标为A.(-1，3)B.(1，-1)C.(0，0)D.(1，1)C x F x x f +=⎰)(d )(，那么不定积分⎰x f xxd )2(2=〔 〕 A.C F x +2ln )2( B.F (2x )+C C.F (2x )ln2+C x F (2x )+C),(y x z z =全微分y y x x y z d cos d sin d +=，那么二阶偏导数yx z∂∂∂2=〔 〕A.x sin -B.y sinC.x cosD.y cos二、填空题(本大题共10小题，每题3分，共30分)f (x )定义域为[0，4]，那么f (x 2)定义域是______.=-+-∞→17272lim n n nn n ______. C (q )=1000+82q ，那么产量q =120时边际本钱为______.212x xy -=在x =0处微分d y =______.2ln 2-+=x x xy 水平渐近线为______. f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)，那么方程0)(='x f 实根个数为______.⎰=-xt t t xd )1(d d______.x x d |1|20⎰-=______.f (x ，y )=x 2+y 4-1极小值为______.y =y (x )是由方程e y -xy =e 所确定隐函数，那么导数xy d d =______.三、计算题(一)(本大题共5小题，每题5分，共25分)||sin )(x x x x f -=，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续并说明理由.y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 值.)1()2(322y x y y ++='通解.四、计算题(二)(本大题共3小题，每题7分，共21分) f (x )=sin e -x ，求)0()0()0(f f f ''+'+.⎰⎰+=Dy x y x I d d )1(2，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y 轴所围成区域.五、应用题(此题9分)24.在一天内，某用户t 时刻用电电流为2)24(1001)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t .(1)求电流I (t )单调增加时间段；(2)假设电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电 六、证明题(此题5分)f (x )，g (x )在区间[-a ，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f (-x )+f (x )=2.证明：⎰⎰-=aa ax x g x x g x f 0d )(2d )()(.全国2021年1月高等教育自学考试高等数学〔一〕试题 课程代码：00020一、单项选择题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕在每题列出四个备选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填写在题后括号内。
10月全国自考高等数学(工本)试题及答案解析
1全国2018年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知函数f(x)=x ,g(x)=-x 2+4x-3,则函数f[g(x)]的定义域为（ ） A.(-∞,+∞)B.(]1,∞-C.[1,3]D.空集 2.函数f(x)=xe -|sinx|在),(+∞-∞内是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.周期函数D.有界函数3.已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-0x ,a x 0x ,)x 1(x1 在(-∞,+∞)内处处连续,则常数a=（ ）A.0B.1C.e -1D.e4.极限=-++++∞→)2n n 2n 21(lim n Λ（ ）A.41 B.21 C.21-D.-∞5.极限=π→x3sin x5sin lim x （ ）A.35-B.-1C.1D.35 6.设函数y=='--y ,x 1x 212则（ ） A.22x 1)x 21(4+- B.22x 1)x 21(2+-- C.22x 1)x 21(2-- D.22x 1)x 21(4---7.设函数y=x x ,则=')2(y （ ） A.4B.4ln22C.)2ln 1(41+ D.4(1+ln2) 8.设函数f(x 2)=x 4+x 2+1,则=')1(f （ ）A.-1B.-2C.1D.39.若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在a,b 之间满足)c (f '=0的点c（ ）A.必存在且只有一个B.不一定存在C.至少存在一个D.不存在 10.函数f(x)=ln(1+x 2)-x 在(-∞,+∞)内是（ ） A.单调增函数 B.单调减函数 C.时而单增时而单减的函数 D.以上结论都不对11.已知一个函数的导数为y '=2x,且x=1时y=2,则这个函数是（ ） A.y=x 2+CB.y=x 2+1C.23x 21y 2+=D.y=x+112.函数f(x)在[a,b]上连续是dx )x (f ba⎰存在的（ ）A.必要条件B.充分必要条件C.充分条件D.既不充分也不必要13.下列广义积分收敛的是（ ）A.dx x x ln 2⎰+∞B.dx x ln x 12⎰+∞ C.dx x ln x 12⎰+∞ D.dx x ln x 122⎰+∞ 14.在空间直角坐标系中,方程x=0表示的图形是（ ） A.x 轴 B.原点(0,0,0) C.yoz 坐标面 D.xoy 坐标面15.设函数z=x y ,则=∂∂yz（ ）A.x y lnxB.yx y-1C.x yD.x y lnx+yx y-116.交换积分次序后,二次积分⎰⎰--=22x 40dy )y ,x (f dx2（ ）A.⎰⎰-2y 402dx )y ,x (f dy B.⎰⎰---2y 4y 422dx )y ,x (f dyC.⎰⎰--20y 42dx )y ,x (f dy D.⎰⎰--22y 402dx )y ,x (f dy17.设C 为圆周x=acost,y=asint(a>0,0≤t ≤2π),则曲线积分⎰=+C22ds )y x (（ ）3A.2πa 2B.2πa 3C.-πaD.πa 18.微分方程y y '=''的通解是y=（ ） A.Ce x B.C 1e x +C 2 C.C 1e x +C 2xD.Ce x +x19.设无穷级数∑∞=1n na收敛,无穷级数∑∞=1n nb发散,则无穷级数∑∞=+1n n n)b a(（ ）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.可能收敛也可能发散20.幂级数Λ++++753x 71x 51x 31x 的收敛域是（ ） A.(-1,1) B.[)1,1- C.(]1,1-D.[-1,1]二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
10月全国高等数学(工本)自考试题及答案解析
1全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023第一部分 选择题（共40分）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设函数f(x -2)=x 2+1，则f(x+1)=（ ） A.x 2+2x+2 B.x 2-2x+2 C.x 2+6x+10 D.x 2-6x+102．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2x x x 11lim （ ）A.e 2B.21eC.e -2D.21e -3．当0x →时，22x 1x 1+--与αx 是同阶无穷小量，则常数α=（ ）A.21 B.1 C.2D.44．函数f(x)=1x )1x (x 22+-的间断点的个数为（ ）A.0B.1C.3D.45．曲线y=x 2+x -2在点（47,23）处的切线方程为（ ）A.16x -4y -17=0B.16x+4y -31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y -17=0 6．设函数y=lnsecx ，则y ''=（ ）A.-secx ·tgxB.xsec 1 C.-sec 2x D.sec 2x7．当a<x<b 时，有0)x (f ,0)x (f <''<'，则在区间（a,b ）内，函数y=f(x)的图形沿x 轴正向是（ ）A.下降且为上凹的B.上升且为下凹的C.上升且为上凹的D.下降且为下凹的28．设函数f(x)=e -x ，则='⎰dx x )x (ln f （ ） A.C x1+-B.C x 1+ C.-lnx+CD.lnx+C 9．设⎰⎰==2122211xdx ln I ,xdx ln I ，I 1与I 2相比，有关系式（ ）A.I 1>I 2B.I 1<I 2C.I 1=I 2D.I 1与I 2不能比较大小10．设函数F(x)=dt t 32x2⎰+，则=')1(F （ ）A.27-B.72-C.2D.-211．广义积分⎰>1p)0p (dx x1收敛，则（ ）A.p=1B.p<1C.p ≥1D.p>112．方程x 2+y 2=7在空间直角坐标系中表示的图形是（ ） A.圆 B.抛物面 C.圆柱面 D.直线 13．设有直线L 1：18z 25y 11x +=--=-与L 2：⎩⎨⎧=+=-3z y 26y x ，则L 1与L 2的夹角为（ ） A. 6πB.4πC.3πD.2π 14．设函数z=y x ，则=∂∂∂yx z2（ ） A.xy x -1lnx B.y x -1(x+lny) C.y x -1(xlny+1) D.y x ln 2x15．若函数f(x,y)在(x 0,y 0)的某邻域内连续，则函数f(x 0,y) （ ） A.在y 0点连续 B.在y 0点可导 C.在y 0点可微 D.在y 0点取得极值16．设区域B ：x 2+y 2≤a 2，积分路线C 是B 的负向边界，则⎰=-Cxdy ydx （ ）3A.2a 2πB.2a 2π-C.2a π-D.2a π 17．微分方程dy-2xdx=0的解为（ ） A.y=2x B.y=-x 2 C.y=-2xD.y=x 218．用待定系数法求微分方程2x y 2y 3y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式=y （ ） A.ax 2 B.ax 2+bx+c C.x(ax 2+bx+c)D.x 2(ax 2+bx+c)19．0a lim n n =∞→是无穷级数∑∞=1n na收敛的（ ） A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件20．幂级数∑∞=1n 32nx 的收敛域为（ ） A. [-1，1] B.（-1，1） C.（-1，1]D. [-1，1）第二部分 非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2014年高考文科数学全国一全国1全国Ⅰ试题及答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203 B.72 C.165 D.158（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4．考试结束后．将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |−2≤x ＜2}，则A∩B =（A ）[−2, −1]（B ）[−1, 2）（C ）[−1, 1]（D ）[1, 2）（2）32(1)(1)i i +-= （A ）1i +（B ）1i -（C ）1i -+（D ）1i --（3）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（A ）()f x ()g x 是偶函数 （B ）|()f x |()g x 是奇函数 （C ）()f x |()g x |是奇函数（D ）|()f x ()g x |是奇函数（4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（A （B ）3 （C （D ）3m（5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（A ）18（B ）38（C ）58（D ）78（6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线， 垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（7）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1, 2, 3，则输出的M = （A ）203（B ）165 （C ）72（D ）158（8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（A ）32παβ-= （B ）32παβ+= （C ）22παβ-=（D ）22παβ+=（9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-. 其中真命题是（A ）2p ，p 3 （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p（D ）1p ，p 310．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = （A ）72（B ）52（C ）3 （D ）211．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（A ）（2，+∞） （B ）（−∞，−2） （C ）（1，+∞）（D ）（−∞，−1）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 （A ）62 （B ）42 （C ）6 （D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ={x |-1<x <3}，N ={x |-2<x <1}，则M ∩N =( )A ．(-2,1)B ．(-1,1)C ．(1,3)D ．(-2,3) 2．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>03．设i iz ++=11，则|z |=( )A ．21B ．22C ．23D ．24．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) A ．2 B ．26 C ．25D ．15．设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数6． 设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+FC EB ( )A ．ADB ．AD 21C ．BC 21D ．BC7．在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱9．执行下面的程序框图，若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15810．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=54x0，则x0=( )A．1 B．2 C．4 D．811．设x，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z=x+ay的最小值为7，则a= ( )A．-5 B．3 C．-5或3 D．5或-312．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )A．(2,+∞)B．(1,+∞)C．(-∞, -2) D．(-∞, -1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.15．设函数113,1(),1xe xf xx x-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是______.16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点. 从A点测得M点的仰角：∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°. 已知山高BC=100m，则山高MN=______m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 17．（本小题满分12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列2n na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅲ)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19．(本题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(Ⅰ)证明：B1C⊥AB;(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.20．（本小题满分12分）已知点P(2,2)，圆C: x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(Ⅰ)求M的轨迹方程；(Ⅱ)当|OP|=|OM|时，求l的方程及ΔPOM的面积.设函数f (x )= a ln x+212a x --bx (a ≠1)，曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0 (Ⅰ)求b ; (Ⅱ)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<1aa -，求a 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.多答按所答的首题进行评分. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE （Ⅰ）证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11ab a b+=.（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.2014年高考全国1卷文科数学参考答案1．解：取M ， N 中共同的元素的集合是(-1,1)，故选B2．解：tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C3．解：111,12222i i z i i z i -=+=+=+∴==+，故选B4．解：2c e a ====，解得a=1，故选D 5．解：设F (x )=f (x )|g (x )|，依题可得F (-x )=-F (x )，∴ F (x )为奇函数，故选C6．解：+EB FC EC CB FB BC +=++=111()222AC AB AB AC AD +=+=,故选A7．解：由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A8．解：几何体是一个横放着的三棱柱. 故选B9．解：运行程序M,a,b,n 依次为33(,2,,2)22;838(,,,3)323;15815(,,,4)838；输出158M =.故选D.10．解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1. 故选A11．解：联立x+y=a 与x-y =-1解得交点M 11(,)22a a -+，z 取得最值11722a a a -++⨯=，解之得a =-5或a =3. 但a =-5时，z 取得最大值，舍去，所以a =3，故选B.12．解：依题a≠0，f '(x )=3ax 2-6x ，令f '(x )=0，解得x =0或x =2a，当a >0时，在(-∞, 0)与(2a ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )是增函数.在(0,2a) 上，f '(x )<0，f (x )是减函数.且f (0)=1>0，f (x )有小于零的零点，不符合题意.当a <0时，在(-∞,2a )与(0,+∞)上，f '(x )<0，f (x )是减函数.在(2a,0)上，f '(x )>0，f (x )是增函数.要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0，只要2()0f a>，即a 2>4，所以a <-2．故选C另解：依题a≠0，f (x )存在唯一的正零点，等价于3113a x x=-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于a =-t 3+3t 有唯一的正零根，即y =a 与y =-t 3+3t 有唯一的交点且交点在在y 轴右侧，记g (t )=-t 3+3t ，g '(t )=-3t 2+3，由g '(t )=0，解得t =±1，在(-∞,-1)与(1,+∞)上，g '(t )<0，g (t )是减函数.在(-1,1)上，g '(t )>0，g (t )是增函数.要使a =-t 3+3t 有唯一的正零根，只要a <g (-1)=-2，故选C 二、填空题13．23 14．A 15．(-∞,8] 16．15013．解：设数学书为1，2，语文书为A ，则所有的排法有(1,2,A)，(1,A,2)，(2,1, A)，(2, A,1)，(A,1,2)，(A,2,1)共6 种，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为4263P ==.14．解：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市，∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为A.本题考查逻辑推理，反证法的思想.15．解：当x<1时，由e x -1≤2可得x ≤1+ln 2，故x<1；当x≥1时，由13x ≤2可得x ≤8，故1≤x ≤8，综上可得x ≤8.16．解：在RtΔABC 中，由条件可得AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故AM =在直角RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150.三、解答题17．解：(Ⅰ) 解x 2-5x +6=0得的两个根为2，3，依题a 2=2，a 4=3，…2分所以2d =1，故12d =，从而132a =， …4分所以通项公式为a n =a 2+(n -2)d 112n =+ …6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知1222n n n a n ++=，设{}2n na 的前n 项和为S n ，则 2313412...2222n n n n n S +++=++++，① 341213412 (22222)n n n n n S ++++=++++，② …8分①-②得3412131112...242222n n n n n S ++++=++++-123112(1)4422n n n -++=+--所以，1422n n n S ++=- …12分18．解：(Ⅰ)…4分(Ⅱ)质量指标值的样本平均数为 x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 所以平均数估计值为100，…6分 质量指标值的样本方差为 s 2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+(10)2×0.22+(20)2×0.08=104. 方差的估计值为104. …8分(Ⅲ)依题0.38+0.22+0.08=0.68 < 80％， 所以该企业生产的这种产品不符合“质量指 标值不低于95的产品至少要占全部产品的 80％”的规定. …12分19．(Ⅰ)证明：连接 BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C ， …2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，…4分 ∴BC 1⊥平面ABC 1，∵AB ⊂平面ABC 1，故B 1C ⊥AB . …6分(Ⅱ)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结AD ，∵AO ⊥BC ，∴BC ⊥平面AOD ， 又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面AOD ，交线为AD ， 作OH ⊥AD ，垂足为H ，∴OH ⊥平面ABC . …9分∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，可得OD 3由于AC ⊥AB 1，∴11122OA B C ==，∴2274AD OD OA =+=，由 OH·AD=OD·OA ，可得OH=2114，又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217，所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为217. …12分另解(等体积法)：∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，可得BO 3AC ⊥AB 1，∴111OA B C ==，∴AB =1，2，…9分则等腰三角形ABC 的面积为2212271()24-，设点B 1到平面ABC 的距离为d ，由V B 1-ABC =V A-BB 1C 73121,27d ==解得， 所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为217. …12分20．解：(Ⅰ)圆C 可化为x 2+(y -4)2=16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. …2分 设M (x ,y )，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，由题知0CM MP =，…4分 故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0，整理得(x -1)2+(y -3)2=2， 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2 …6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N (1,3)2 为半径的圆.由于|OP |=|OM |22=O 在线段PM 的 垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . …8分因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，直线l 的方程为：12(2)3y x -=--，即1833y x =-+， …10分 又|OP |=|OM |22=O 到l 410，410||PM =，所以ΔPOM 的面积为165. …12分另解：因为|OP |=|OM |22=P ,M 也在圆x 2+y 2=8上，点P ,M 也在圆(x -1)2+(y -3)2=2，…8分 两式相减可得公共弦方程2x +6y -16=0，即1833y x =-+，就是线l 的方程. …10分21．解：(Ⅰ) ()(1)af x a x b x'=+--(x >0)，依题f '(1)=0，解得b =1， …3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )= a ln x+212a x --x ，2(1)(1)[(1)]()a x x a x a x a f x x x--+---'==，因为a ≠1，所以f '(x )=0有两根：x =1或1ax a=-. …4分(1)若12a ≤，则11aa≤-，在(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<1a a -，的充要条件为(1)1a f a ≤-，即1121a aa--<-， 解得2121a -<<. …6分(2)若112a <<，则11a a >-，在 (1,1a a -)上，f '(x ) <0 , f (x )单调递减， 在(,1aa+∞-)时，f '(x )>0，f (x )单调递增. 所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<1a a -，的充要条件为()11a af a a≤--， 而()2()ln 112111a a a a a f a a a a a a=++>-----，所以不合题意. …9分(3) 若a >1，则11(1)1221a a af a ---=-=<-.存在x 0≥1，符合条件.…11分 综上，a 的取值范围为：(21,21)(1,)---⋃+∞. …12分22.证明：（Ⅰ）由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ （Ⅱ）设BC 的中点为N ，连结MN ，如图所示，则 由MC MB =知BC MN ⊥，所以，O 在MN 上，又AD不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故AD OM ⊥，即AD MN ⊥，所以BC AD //，故D A ∠=∠，由（Ⅰ）D E ∠=∠，所以△ADE 为等边三角形. 23.解：（Ⅰ）C:⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x l ：062=-+y x（Ⅱ）P 到直线l 的距离为|6sin 3cos 4|55-+=θθd |6sin 3cos 4|55230sin ||0-+==θθd PA ，从而||PA 的最大值为5522，最小值为552 24.解：（I ）由112ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时取等号． 故33a b +33242a b ≥≥，且当2a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为42． ……5分（II ）由（I ）知，232643a b ab +≥≥．由于436>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．……10分N。