圆的标准方程
圆的标准方程
（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 5 . 解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方 程为(x－a)2+(y－b)2=5. 已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的 方程得
a 2 (1 b) 2 5 (2 a ) 2 (1 b) 2 5
a1 1 解得 b1 1
三．确定圆的方程的方法和步骤 1．圆的标准方程中含有三个参变数，必 须具备三个独立的条件；才能定出一个圆 的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待 定系数法求圆的方程。 2．求圆的标准方程的一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x－a)2+(y－b)2=r2；
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的
18.51 b r 2 2 (7.2 b) r
2 2 2
Hale Waihona Puke 解得 b 20.19 2 r 750.21
因此拱圆方程为x2+(y+20.19)2=750.21.
例4．已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以 P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9) 和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内? 解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r 的平方为r2=10 所以圆的方程为(x－5)2+(y－6)2=10，
例3．赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高 约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。 解：如图，以AB的中点为原点，x轴通 过AB建立直角坐标系。 根据已知条件，B，C的坐 标分别为(18.51，0)，(0， 7.2)，设圆心的坐标为(0， b)，则圆的方程为x2+(y－ b)2=r2，
因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满 足这个方程，于是得到方程组
4.1.1圆的标准方程
例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
圆的标准方程
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25 所以， △ABC的外接圆的方程是 (x-2)2+(y+3)2=25
3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2C的圆的标准方程。
4.求过圆x y r 上一点M(x0 ,y0 )的切线方程。
2.3.1 圆的标准方程
圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点的集合 (轨迹)是圆. 定点就是圆心, 定长就是半径. 怎样求出圆心是A(a,b),半径是r的圆 y 的方程?
圆的标准方程：
O
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心是A(a,b), 半径是r
x
A
r
M
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
点M0在圆上 点M0在圆内 点M0在圆外
例题分析
例2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)， B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程.
解：设的求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 (5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 根据题意，可得
2 2 2 (7 a ) (3 b) r (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2
求曲线方程的步骤
•1、选系 •2、取动点 •3、列方程 •4、化简
练习
4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
Y Y=X C(2,2) -2 X 0 C(-2,-2) -2 2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
2 2 2
练习
5.已知圆满足(1)截y轴所得弦长为2.(2)被x轴分成两段 圆弧，其弧长之比为3：1.(3)圆心到直线L:x-2y=0的距离 5 为 ，求该圆的方程。 5
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，具有许多独特的性质和特点。
在代数几何中，我们经常需要用方程来描述圆的性质和位置。
而圆的标准式方程就是一种常用的描述方法，它能够清晰地表达圆的位置、半径和中心点，是我们研究圆的重要工具之一。
首先，让我们来看一下圆的标准式方程是如何定义的。
对于平面上的一个圆，假设它的中心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程可以表示为：(x a)² + (y b)² = r²。
在这个方程中，(x, y)表示平面上的任意一点的坐标，(a, b)表示圆的中心坐标，r表示圆的半径。
通过这个方程，我们可以清晰地描述出圆的位置和大小。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。
例1，求圆心坐标为（3，4），半径为5的圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程的定义，我们可以直接写出方程：(x 3)² + (y 4)² = 5²。
化简得：(x 3)² + (y 4)² = 25。
这样，我们就得到了这个圆的标准式方程。
例2，已知圆的标准式方程为(x + 2)² + (y 1)² = 9，求圆的中心坐标和半径。
通过观察方程，我们可以直接得到圆的中心坐标为(-2, 1)，半径为3。
这是因为标准式方程中，圆心坐标为(-a, -b)，半径为r。
通过这两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程可以很方便地描述圆的位置和大小，对于研究圆的性质和问题非常有用。
除了描述圆的位置和大小外，圆的标准式方程还可以用来解决一些与圆相关的问题，比如与直线的交点、切线方程等。
在代数几何和解析几何中，我们经常会遇到这样的问题，而圆的标准式方程可以为我们提供一个方便的工具，帮助我们解决这些问题。
总之，圆的标准式方程是描述圆的位置和大小的重要工具，它能够清晰地表达出圆的特点，方便我们进行进一步的研究和应用。
圆的一般方程如何化为标准方程公式
圆的一般方程如何化为标准方程公式圆是一个平面内到定点距离为定值的点的集合，那么圆的一般方程可以表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
我们可以通过一些代数运算将圆的一般方程化为标准方程公式，即：(x-h)²+ (y-k)²= r²其中，(h, k)是圆心坐标。
具体方法如下：1. 将一般方程展开，得到：x²- 2ax + a²+ y²- 2by + b²= r²2. 将x²和y²的系数变为1，即将方程两边同时除以r²，得到：(x²- 2ax + a²)/r²+ (y²- 2by + b²)/r²= 13. 对于第一项，我们可以将x²- 2ax + a²写成(x - a)²的形式，即：(x - a)²= x²- 2ax + a²所以，我们可以将第一项化为：(x - a)²/r²4. 同理，对于第二项，我们可以将y²- 2by + b²写成(y - b)²的形式，即：(y - b)²= y²- 2by + b²所以，我们可以将第二项化为：(y - b)²/r²5. 将第三步和第四步的结果代入原方程，得到：(x - a)²/r²+ (y - b)²/r²= 16. 最后，将r²移到等号右边，即可得到标准方程公式：(x - a)²+ (y - b)²= r²因此，圆的一般方程可以通过一些代数运算化为标准方程公式，使得我们更方便地研究和理解圆的性质和特征。
圆的通用方程
圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
半径相等的圆互相重合。
二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。
其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。
三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。
假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。
如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。
四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。
具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。
2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。
然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。
3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。
因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。
这个距离就是直径。
五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。
解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。
4.1.1 圆的标准方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
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4.1.1 圆的标准方程
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题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
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4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
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典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
圆的标准方程怎么求
圆的标准方程怎么求圆是平面几何中非常重要的一个图形，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在学习圆的相关知识时，我们经常会遇到求圆的标准方程的问题。
那么，圆的标准方程怎么求呢？接下来，我将详细介绍圆的标准方程的求解方法。
首先，我们知道圆的标准方程一般形式为，(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。
要求圆的标准方程，我们需要知道圆心坐标和半径。
1. 已知圆心坐标和半径。
如果已知圆的圆心坐标为(a, b)，半径为r，那么圆的标准方程就可以直接写出来，(x-a)² + (y-b)² = r²。
举个例子，如果圆的圆心坐标为(2, 3)，半径为5，则圆的标准方程为，(x-2)² + (y-3)² = 25。
2. 已知圆上的三点坐标。
如果已知圆上的三点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，那么可以通过以下步骤求出圆的标准方程：步骤一，先求出中垂线的方程。
中垂线是过两点的直线，且与这两点的连线垂直。
通过已知的三点坐标，可以求出两条中垂线的方程。
步骤二，求出中垂线的交点。
解方程组，求出中垂线的交点，即圆心坐标。
步骤三，求出圆的半径。
利用已知的圆心坐标和任意一点的坐标，可以求出圆的半径。
步骤四，写出圆的标准方程。
根据已知的圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
3. 已知直径的两端点坐标。
如果已知圆的直径的两端点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，那么可以通过以下步骤求出圆的标准方程：步骤一，求出圆心坐标。
直径的中点即为圆心坐标。
步骤二，求出圆的半径。
利用已知的直径的两端点坐标，可以求出圆的半径。
步骤三，写出圆的标准方程。
根据已知的圆心坐标和半径，写出圆的标准方程。
通过上面的介绍，我们可以看到，求圆的标准方程的方法并不复杂。
只要掌握了圆心坐标和半径的求解方法，就可以轻松地写出圆的标准方程。
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|CM|＝ r，
由距离公式，得
O
x
( x a ) 2 ( y b) 2 r ，
将上式两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
这个方程叫做以点C (a,b)为圆 心，以r为半径的圆的标准方程。
思考 当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆的标准方程 如何表示：
2 2 2 x +y =r
圆
直线
直线 圆
8.4.1 圆的标准方程
初中学过的圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹．
A
半径
O
圆心
定点叫做圆心，定长叫做半径．
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y r C
设 M(x，y)是所求圆上任意一点，
M（x，y） 点 M 在பைடு நூலகம் C 上的充要条件是
练习一：说出下列圆的方程
（1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； 答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9；
练习二：说出下列圆的圆心及半径： （2） (x－2)2＋y2＝9;
（3）x2＋y2＝1.
例 1 求过点 A(6，0)，且圆心 B 的坐标为(3，2)的
圆的方程．
解：因为圆的半径 r＝|AB|＝
教材
P 65 练习 第1题； P65练习 第 2题（选做）．
(3 6) 2 ( 2 0) 2 13，
所以所求圆的方程是 (x－3)2＋(y－2)2＝13．
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心， 半径为2 的圆的方程．
x y 1 0 解：由方程组 x y 1 0
解得：
x 0 y 1
所以所求圆的圆心坐标为 (0，1)， 因此所求圆的方程为 ： x2＋(y－1)2＝4．
（1）求圆心 B 的坐标为(1，－2) ，半径为3的圆
的方程；
（2）求以直线 x－y＝0 和 x＋y＝1 的交点为圆心， 半径为 4 的圆的方程．
圆的标准方程
以 C(a，b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2