8.2 路径和回路汇总
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典型图纸讲解
典型图纸讲解目录前言 (3)一、220kV旁路刀闸闭锁回路图 (4)二、220kV线路刀闸闭锁回路图 (9)三、冷却器控制回路 (11)四、380V自动装置回路 (17)五、主变保护 (20)六、同期回路 (25)七、失灵保护回路 (28)八、距离保护回路 (32)九、开关控制回路图 (35)前言对于运行人员考试经常涉及的九张图纸翡翠学习小组根据自身所学做了一定的讲解，仅供大家参考、讨论。
由于老图纸缺少相应的注解和自身水平所限，部分回路讲解不够清楚甚至错误，请各位见谅，希望各位同事对我们进行批评指证。
同时希望有更多的同事加入到图纸学习、研究的行列，在以后工作中遇到二次方面的问题可以做一定的讲解加入到其中，最终形成一个运行部图纸讲解库。
一、220kV旁路刀闸闭锁回路图220kV旁路2030间隔如下图1.1所示。
图1.1 220kV旁路2030间隔代表20303刀闸，02G代表2030B0地刀，04G代表2030C0地刀。
1.1电动机构控制回路1G（20301刀闸）的电动机控制回路共有两条电动机控制回路一如图1.2中红线所示。
图1.2 刀闸控制回路A(小母线)→1RD（熔断器）→DLa（2030开关辅助接点，常闭，2030开关A 相在分位时闭合）→DLb（2030开关辅助接点，常闭，2030开关B相在分位时闭合）→DLc（2030开关辅助接点，常闭，2030开关C相在分位时闭合）→02G（2030B0地刀位置接点，常闭，2030B0地刀在分位时闭合）→04G（2030C0地刀位置接点，常闭，2030C0地刀在分位时闭合）→2G(20302刀闸辅助接点，常闭，20302刀闸在拉开位置时闭合) →1G操作机构（20301刀闸操作机构）→1N（小母线，后面一般会串接母线地刀接点，此处没画出来）由以上路径可以看出，20301刀闸的控制回路1要求开关在分闸位置、2030B0地刀和2030C0地刀在拉开位置、20302刀闸在拉开位置。
8.2常用基本线路
FU
熔断器外形： 熔断器外形：
过电流继电器：动作准确性高，多能自动复位， ② 过电流继电器：动作准确性高，多能自动复位，使用 方便。但不能直接断开主回路，需要和接触器等配合使用， 方便。但不能直接断开主回路，需要和接触器等配合使用， 控制关系稍复杂。 控制关系稍复杂。 图文符号： 图文符号：
KA I>
QF
释放弹簧 热脱扣器 分励脱扣器 主触点
自由脱扣机构 DZ47小型断路器 小型断路器 过电流脱扣器 失压脱扣器
（2）过载保护 过载保护，是指保护长时间过载， 过载保护，是指保护长时间过载，通常使用热继电器 来实现。 来实现。 原理：热继电器的线圈接在电动机的回路中， 原理：热继电器的线圈接在电动机的回路中，而触头 接在控制回路中。当电动机过载时， 接在控制回路中。当电动机过载时，长时间的发热使热继 电器的线圈动作，从而触头动作，断开控制回路， 电器的线圈动作，从而触头动作，断开控制回路，使电动 机脱离电网。 机脱离电网。 （3）零压（欠压）保护 零压（欠压） 使用欠电压继电器。 使用欠电压继电器。 作用： 作用：防止因电源电压的消失或降低引起机械设备停 止运行，当故障消失后，在没有人工操作的情况下， 止运行，当故障消失后，在没有人工操作的情况下，设备 自动启动运行而可能造成的机械或人身事故。 自动启动运行而可能造成的机械或人身事故。
工作原理图： 工作原理图：根据工作原理和便于阅读而绘制的电路 图。 特点： 特点 ： 便于 阅读和设计较 复杂的控制电 路。它是生产 机械电气设备 设计的基本和 重要的技术资 料。
2. 原理图的绘制规则
Q FU
. . . . . .
SB1
SBF
KMF
KMF
KMR
SBR KMR
熔断器外形： 熔断器外形：
过电流继电器：动作准确性高，多能自动复位， ② 过电流继电器：动作准确性高，多能自动复位，使用 方便。但不能直接断开主回路，需要和接触器等配合使用， 方便。但不能直接断开主回路，需要和接触器等配合使用， 控制关系稍复杂。 控制关系稍复杂。 图文符号： 图文符号：
KA I>
QF
释放弹簧 热脱扣器 分励脱扣器 主触点
自由脱扣机构 DZ47小型断路器 小型断路器 过电流脱扣器 失压脱扣器
（2）过载保护 过载保护，是指保护长时间过载， 过载保护，是指保护长时间过载，通常使用热继电器 来实现。 来实现。 原理：热继电器的线圈接在电动机的回路中， 原理：热继电器的线圈接在电动机的回路中，而触头 接在控制回路中。当电动机过载时， 接在控制回路中。当电动机过载时，长时间的发热使热继 电器的线圈动作，从而触头动作，断开控制回路， 电器的线圈动作，从而触头动作，断开控制回路，使电动 机脱离电网。 机脱离电网。 （3）零压（欠压）保护 零压（欠压） 使用欠电压继电器。 使用欠电压继电器。 作用： 作用：防止因电源电压的消失或降低引起机械设备停 止运行，当故障消失后，在没有人工操作的情况下， 止运行，当故障消失后，在没有人工操作的情况下，设备 自动启动运行而可能造成的机械或人身事故。 自动启动运行而可能造成的机械或人身事故。
工作原理图： 工作原理图：根据工作原理和便于阅读而绘制的电路 图。 特点： 特点 ： 便于 阅读和设计较 复杂的控制电 路。它是生产 机械电气设备 设计的基本和 重要的技术资 料。
2. 原理图的绘制规则
Q FU
. . . . . .
SB1
SBF
KMF
KMF
KMR
SBR KMR
离散数学王元元习题解答 (9)
第三篇图论第八章图8.1 图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义8.1 图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G)⨯V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = |V |，m = |E |。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ≠v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作K n。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
8.2 赋权图
⑦ ABEFCD 长度为14；
⑧ ABCD 长度为12； ⑨ A对BC于F大E规D 模长复度杂为赋17权图，这种方法显然是不现实的， 所以也，不A到易D计的算最机短上通实路现是。A需F要CD寻，找A合到适D的的求距解离算为法3。。
二、Dijkstra算法
问题：从某个顶点出发，求到达各个顶点的最短路径。
对于简单图，当e=(vi,vj)(或e=<vi,vj>)时，也把w(e)记做 wij。
v3
5 e4
v4
3 e3
e2 8
v1
e1
6
v2
二、边权矩阵
设赋权图G=<V,E,w>, V={v1,v2,…,vn}
令aij为：
aij
wij (vi, vj)E（ <vi, vj>E ） (vi, vj)E （<vi, vj>E ）
转②； ⑤ 输出u到其它各个结点的最短通路的长度L(v)。
二、Dijkstra算法（续）
例 对于赋权图G1，求其中结点v1到各结点的最短通路？ 解 根据Dijkstra算法步骤，可得如下运算过程：
从上可知，结点v1到结点v2的最短通路为v1v2，距离为1； 结点v1到结点v3的最短通路为v1v2v3，距离为3；结点v1到 结点v4的最短通路为v1v2v3v5v4，距离为7；结点v1到结点 v5的最短通路为v1v2v3v5，距离为4；结点v1到结点v6的最 短通路为v1v2v3v5v4v6，距离为9。
算法核心：结点u到结点集V 的距离为：
d(u, V ) = minvV {d(u, v)} 等价于 d(u, V ) = min vV，xV {d(u, v) + w(v, x)}
图论—基本概念
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
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第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
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第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
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G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
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第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
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例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
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第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
图论简介
推论:任何6人的人群中,或者有3人互相认识,或 者有3人彼此陌生.(当二人x,y互相认识,边 (x,y)着红色,否则着兰色.则6人认识情况对应 于K6边的一个二着色.由上述命题知或者有红K3 或者有兰K3.)
f
6改5结论不成立
c b
a c
b
a
路径与回路
• 图 G=V,E 的点边交替序列 P=v0e1v1e2v2envn 称为 G 的一条从v0到vn的长为 n 的路径,其 中,ei=(vi-1,vi)E,i=1,…,n(对有向图要求 vi-1,vi为ei的始,终点). P 称为简单路径,如果 e1,,en 两两不同; P 称为基本路径(链),如果 v0,v1,,vn两两不 同(易见链必为简单路径); P 称为回路,如果 v0= vn; 回路 P 称为简单(基本)回路,如果 e1,,en(v1,,vn)两两不同.
4d
c
e
H H’
1a,2b,3c,
4d,5e,6f
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图 仍然不同构的情况.一个例子是图8.1-8;另一 例如下:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
G
G’
子图的概念
定义:给定两个无(有)向图 G=V,E,G=V,E. 若 VV 和 EE,则称 G是G的子图; 若 VV,EE,且 GG,则称 G是 G 的真子图; 若 V=V 和 EE,则称 G是 G 的生成子图; 若子图 G无孤立结点且G由E唯一确定,则称G是
解2:可一般地证明在无向图G中从任一奇度点u出 发的一条最长简单路的另一端点必为一个奇度 点,原因是从u出发的最长简单路不会终止在u 处(否则d(u)为偶数);也不会终止在任一偶度 点v处(否则d(v)为奇数).
f
6改5结论不成立
c b
a c
b
a
路径与回路
• 图 G=V,E 的点边交替序列 P=v0e1v1e2v2envn 称为 G 的一条从v0到vn的长为 n 的路径,其 中,ei=(vi-1,vi)E,i=1,…,n(对有向图要求 vi-1,vi为ei的始,终点). P 称为简单路径,如果 e1,,en 两两不同; P 称为基本路径(链),如果 v0,v1,,vn两两不 同(易见链必为简单路径); P 称为回路,如果 v0= vn; 回路 P 称为简单(基本)回路,如果 e1,,en(v1,,vn)两两不同.
4d
c
e
H H’
1a,2b,3c,
4d,5e,6f
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图 仍然不同构的情况.一个例子是图8.1-8;另一 例如下:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
G
G’
子图的概念
定义:给定两个无(有)向图 G=V,E,G=V,E. 若 VV 和 EE,则称 G是G的子图; 若 VV,EE,且 GG,则称 G是 G 的真子图; 若 V=V 和 EE,则称 G是 G 的生成子图; 若子图 G无孤立结点且G由E唯一确定,则称G是
解2:可一般地证明在无向图G中从任一奇度点u出 发的一条最长简单路的另一端点必为一个奇度 点,原因是从u出发的最长简单路不会终止在u 处(否则d(u)为偶数);也不会终止在任一偶度 点v处(否则d(v)为奇数).
离散数学(第二版)第8章图的基本概念
第八章 图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列 为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念 是非常重要的。 所谓子图， 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复 杂通路。 在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于 简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路， 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图，简称G的补图，记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作
民用建筑电气设计规范-第8章-配电线路布线系统
线路安全，延长钢导管的使用寿命，应采用厚壁钢管。 3采用导管布线方式，电线在导管内的填充率不超过40%，是为了满足电
线在通电以后的散热要求外，并满足线路在施工穿线或维修更换电线 时，不损坏导体及其绝缘等要求。 4条文所规定的“金属导管”系指建筑电气工程中广泛使用的钢导管等铁 磁性管材。此种管材会因管内存在不平衡交流电流产生的涡流效应使 管材温度升高，影响导管内绝缘电线的载流能力，绝缘迅速老化，甚 至脱落，发生漏电、短路、着火等故障。 5不同回路的线路能否共管敷设是根据发生故障的危险性和相互之间在运 行时的干扰和维修时的影响而决定。 6保证电线导管与其它管道相互间的距离 的规定是为避免金属导管布线系 统，因外部热源及其它机械损伤而带来的损害，保证运行安全。 7管路较长或转弯较多时，宜加装拉线盒（箱），也可加大管径。 8不宜穿过设备基础，是为了防止基础下沉或设备运行的振动而影响线路 的正常运行。穿过建筑物变形缝设补偿装置，是保证不会因建筑物变 形位移而损坏线路。 9室外地下埋设管路不宜采用绝缘电线穿金属导管的布线方式，是为保证 线路安全运行必 须保持足够的平行或交叉净距。
8.1 一般规定
8.1.1 本章适用于民用建筑10kV及以下室内、外电缆及室内绝缘电线、封 闭式母线等配电线路布线系统的选择和敷设。
8.1.2 布线系统的敷设方法应根据建筑物构造、环境特征、使用要求、用 电设备分布等敷设条件及所选用导体的类型等因素综合确定。
8.1.3 布线系统的选择和敷设，应避免因环境温度、外部热源、浸水、灰 尘聚集及腐蚀性或污染物质等外部影响对布线系统带来的损害，并应防 止在敷设和使用过程中因受撞击、振动、电线或电缆自重和建筑物的变 形等各种机械应力作用而带来的损害。
8.5 金属线槽布线
8.5.7 金属线槽布线与各种管道平行或交叉时，其最小净距应符合表的规定。 表8.5.7 金属线槽和电缆桥架与各种管道的最小净距（m）
线在通电以后的散热要求外，并满足线路在施工穿线或维修更换电线 时，不损坏导体及其绝缘等要求。 4条文所规定的“金属导管”系指建筑电气工程中广泛使用的钢导管等铁 磁性管材。此种管材会因管内存在不平衡交流电流产生的涡流效应使 管材温度升高，影响导管内绝缘电线的载流能力，绝缘迅速老化，甚 至脱落，发生漏电、短路、着火等故障。 5不同回路的线路能否共管敷设是根据发生故障的危险性和相互之间在运 行时的干扰和维修时的影响而决定。 6保证电线导管与其它管道相互间的距离 的规定是为避免金属导管布线系 统，因外部热源及其它机械损伤而带来的损害，保证运行安全。 7管路较长或转弯较多时，宜加装拉线盒（箱），也可加大管径。 8不宜穿过设备基础，是为了防止基础下沉或设备运行的振动而影响线路 的正常运行。穿过建筑物变形缝设补偿装置，是保证不会因建筑物变 形位移而损坏线路。 9室外地下埋设管路不宜采用绝缘电线穿金属导管的布线方式，是为保证 线路安全运行必 须保持足够的平行或交叉净距。
8.1 一般规定
8.1.1 本章适用于民用建筑10kV及以下室内、外电缆及室内绝缘电线、封 闭式母线等配电线路布线系统的选择和敷设。
8.1.2 布线系统的敷设方法应根据建筑物构造、环境特征、使用要求、用 电设备分布等敷设条件及所选用导体的类型等因素综合确定。
8.1.3 布线系统的选择和敷设，应避免因环境温度、外部热源、浸水、灰 尘聚集及腐蚀性或污染物质等外部影响对布线系统带来的损害，并应防 止在敷设和使用过程中因受撞击、振动、电线或电缆自重和建筑物的变 形等各种机械应力作用而带来的损害。
8.5 金属线槽布线
8.5.7 金属线槽布线与各种管道平行或交叉时，其最小净距应符合表的规定。 表8.5.7 金属线槽和电缆桥架与各种管道的最小净距（m）
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23
(一)边的遍历——欧拉图
• 定义：经过图G(有向图或无向图)中所有边一次且 仅一次的路径(回路),称为欧拉路径(欧拉回路). • 存在欧拉回路的图,称为欧拉图. • 存在欧拉路径，而无欧拉回路的图,称为半欧拉图.
从图中v2出发经过图中每边一次 且仅一次到v3的欧拉路有： P1：v2 v1 v3 v5 v4 v2 v3 P2：v2 v1 v3 v2 v4 v5 v3 但此图不可能有欧拉回路
2018年10月30日星期二 南京信息工程大学数理学院 13
无向图的连通性
• 定理1 设(n,m) 简单无向图G有k个连通分图， 则 k=1——无向图G连通 k≥2 ——无向图G不连通 且 ½(n-k)(n-k+1) ≥ m ≥ n-k 证明：数学归纳法 ——书P251
• 推论： 在(n,m)简单无向图G中， 若图G连通， 则 m ≥ n-1。 若 m > ½(n-1)(n-2), 则图G是连通图。
2018年10月30日星期二 南京信息工程大学数理学院 9
在(a)中有： d(v2，v1)＝1， d(v3，v1)＝2， 在(b)中有： d(v1，v3)＝2， d(v3，v7)＝3，
d(v1，v2)＝2， d(v1，v3)＝4； d(v3，v1)＝2， d(v1，v7)＝4。
2018年10月30日星期二
特别地： (1)若路径P中的所有边互不相同,则称P为简单路径. 若回路中的所有边互不相同,称此回路为简单回路. (2)若路径P中的所有顶点互不相同则称此路径为基 本路径. 若回路中,除v0＝vl外,其余顶点各不相同, 则称 此回路为基本回路. • 若路径P中所有顶点互不相同，则所有边互不相同, 反之不成立。 • 基本路径一定是简单路径，简单路径不一定是基 本路径。
• 定理3： 在无向图G=<V,E>中， 每个结点和每条边必位于且位于一个连通分图中。
2018年10月30日星期二 南京信息工程大学数理学院 15
(2)有向图的连通性
定义：设G是一个有向图, • 若G中任何一对顶点都是相互可达的,则称G是强连 通图． • 若G中任意两个顶点至少一个可达另一个,则称G是 单向连通图. • 若略去G中各有向边的方向后所得无向图G’是连通 图,则称G是弱连通图.
2018年10月30日星期二
南京信息工程大学数理学院
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• 显然：强连通要求高于单向连通 单向连通要求高于弱连通 三者统称为连通有向图 • 若有向图G不是弱连通图,则称为非连通图。 • 定理1 (有向图的连通性的判定) • 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一条 经过所有结点的回路。 • 一个有向图是单向连通的，当且仅当G中有一 条经过所有结点的路径。
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定理的证明： 必要性。设图G有欧拉路v0e1v1e2v2...eiviei+1...ekvk，其 中结点可重复出现，但边不重复，且每条边都经历一次， 因此，欧拉路遍历G中所有结点，所以G是连通的。 其次，若vi不是端点，则deg(vi)必为偶数；而对端点v0 和vk，如果v0=vk，则G中无奇数度结点；如果v0vk，则 deg(v0)和deg(vk)必为奇数，故G中有一对奇数度结点。 充分性。当G连通，且有零个或两个奇数度结点。可按如 下方法构造一条欧拉路。 (1)若G有两个奇数度结点v0和vk，因G连通，可构造一条 迹 (无重复边的路)L1：v0e1v1e2...vk；若G无奇数度结点， 则可从任何结点vi出发构造一条闭迹L1：vie1v1e2...vi。
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基本路径的存在性
定理1 在一个n阶图中，如果从结点vi到vj (vi ≠vj)存在一条路径，则从结点vi到vj必存在一 条基本路径，且长度小于等于n-1。
例如左图有5个结点，
P=v1e1v2 e3v3e4v2 e6v5 e8v4是图中从v1到v4 路，它有5条边。
(在G是有向图时,要求vi-1 是ei 的始点,vi是ei 的终点),
称顶点和边的交替序列 P= v0 e1v1 e2 v2… envn
为G的一条从v0到vn的路径。
顶点v0和vn分别称为该路径 P的起点和终点，
P中边的数目n称为该路径的长度。
当v0=vn时，该路径称为回路。
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(1) 无向图的欧拉路径
定理1： 无向图G具有欧拉路径,当且仅当G是连通图 且有零个或两个奇度顶点. 若无奇度顶点,则欧拉路径为欧拉回路; 若有两个奇度顶点,则它们是每条欧拉路径的端点.
(1),(2),(3) 不是欧拉图, (4) 是欧拉图.
删去内部的一切回路
现去掉v2到 v2 之间的回路e3v3e4 v2 ，
所得的路径P’ =v1e1v2 e6v5 e8v4 仍然是从v1到v4路，其边数 3 小于5-1。
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• 证明：设从结点vj到vj存在一条路，该路的结点序列 为vi … vj。如果该路有m条边，则该路的结点序列 中有m+1个结点。 • 若m>n-1，则必存在结点vk，它在该路中不止出 现一次，可设该路的结点序列为vj … vk … vk … vj。去掉vk 到 vk 之间这段路，则vj … vk … vj 仍然是vj到vj的路，只不过路中边数已减少。 • 如果所得的这条路中的边仍然大于n-1，重复上述 步骤，可得一条vj到vk的路且路中边数进一步减少。 如此继续下去，最终可得一条vj到vj且路中边数不多 于n-1条边的路。
特别地，G中只有一个结点，也是连通图。
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连通分图
定义：设G1为图G的具有某种性质的子图。 对于该性质来说，在图G中，再没有包含G1的图G的子 图具有该性质， 则称G1为图G的具有该性质的极大子图。 定义：设G是一个无向图，称G的极大连通子图为 图G的连通分图。 图G的连通分图满足的条件： • G1为图G的子图 • G1本身连通 • 在G1中，结点之间的连通性以已达到了极大限度： 在G1中再添加原图G的任意点或边后，就不连通了。
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连通分图
• 定义：设G是一个有向图, 称G的极大强连通子图为G的强连通分图(强分图) G的极大单向连通子图为G的单向连通分图(单向分图) G的极大弱连通子图为G的弱连通分图(弱分图)
G单向连通， G的单向分图、弱分图均为自身
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三、图的连通性
• 图的连通性是图的一个基本性质，它与图中从 结点到结点的路径密切相关，即与结点的可 达性密切相关。
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(1)无向图的连通性
定义：若无向图G中任意两结点间都是可达的,则称G是 连通图;否则,称G是非连通图(分离图).
有两个强连通分支 G1=<{V1,V2,V3,V4},{<1,2>,<2,3><3,4>,<4,1><2,3>}> G2=<{V5}, Φ> 有一个单向连通分支
G3=G =<{V1,V2,V3,V4,V5},
{<1,2>,<2,3><3,4>,<4,1><2,3>,<3,5>,<4,5>}> 有一个弱连通分支 G4=G =<{V1,V2,V3,V4,V5}, {<1,2>,<2,3><3,4>,<4,1><2,3>,<3,5>,<4,5>}>
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证明：充分性。如果图G中有一个回路，它至少 包含每个结点一次，则G中任何两个结点相互 可达，故图G是强连通的。 必要性。如果有向图G是强连通的，则G中任何 两个结点相互可达，故可从图中任一结点v出 发，经由图中所有的结点，再返回v，从而形 成一个回路。
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v1 e1v2 e5 v4 e8 v5 e7 v3 ——基本路径 v2 e3 v3 e4v2 e6v5 e8 v4 e5v2 ——简单回路 v2 e3v3 e7v5e6v2 ——基本回路
P= v0 e1v1 e2 v2… en vn —— 点边交替序列 可简记为 P= ( e1， e2， … ，en ) 边列 在线图中，还可以简记为 P= ( v0 ，v1 ， v2，… ，vn ) 点列
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基本回路的存在性
• 定理2 在一个n阶图中，如果存在从结点vi到 自身的简单回路，则从结点vi到自身必存在一条 基本回路，且长度小于等于n。
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二、结点的可达性
定义： 在图G中,若从结点vi到vj存在一条路径， 则称从vi到vj是可达的。规定vi到自身总是可达的。 • 在无向图G中，若从vi到vj是可达的，则从vj到vi当然 也是可达的。 • 在有向图G中，若从vi到vj是可达的，则从vj到vi不一 定是可达的。 结点的可达性作为图G结点集V上的二元关系时， 对无向图G，它满足自反、对称和传递，是V上的等价 关系。 对有向图G，它仅满足自反、传递，但一般不对称， 不是V上的等价关系。
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