050-长春市普通高中2021 届高三质量监测(二)理科数学试题&答案
.
2
16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图)，其反射面的形状 为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆
面的直径被截得的部分为高,球冠表面积 S 2 Rh ，其中 R 为球的半径， h 球冠 的高)，设球冠底的半径为 r ,周长为 C ，球冠的面积为 S ，则 r 的值为
xi2
2
nx
.
i 1
3
18. 已 知 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 , AB AC , AA1 ⊥ 平 面 ABC ， 2 AA1 AB AC 4 , M 为 棱 AB 上 一 点 ， 若 AM 3BM .
(Ⅰ)求证：平面 A1BC1 ⊥平面 B1C1M ； ( II)求平面 A1ACC1 与平面 B1C1M 所成锐二面角的余弦值.
( II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润 w (单位:万元）满足 w y 5x2 140 ，请根据:(Ⅰ)中的线
性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.
n
参考公式：线性回归方程 y bx a ，其中 a
y b x ， b
xi yi nx y
i 1
n
长春市普通高中 2021 届高三质量监测（二） 数学（理科）试题
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.复数 z cos 2 i sin 2 ，则复数 z 的虚部是
3
3
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2
2
2
2
2.设全集U R, A {x | 4 x 2 ≥0}, B {x | x ≤1} ，则右图阴影部分表示的集合为，
8.【试题解析】B 由题意知 | DC | 1,D CBC 0 ，所以 AD DC (AB BC CD) DC AB DC CD DC 1 ，故选 B
9.【试题解析】D 由题意，设 △ ABC 为 A 36 的黄金三角形，
有 b c, a 5 1 ，所以 cos 36 b2 c2 a2 5 1 ，
二、本题共 4 小题，每小题 5 分.
x y 4
13.已知点
P(x,
y)
满足约束条件
x
y 0
，则
z
2x
y
的最小值为
.
x4
14.写出一个符合“对 x1, x2 R ，当 x1 x2 时， (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 ”的函数
.
15.已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x ，则该双曲线的离心率为
3
，则
f
( x1 )
f
(x2)
0
.
其中正确的命题是
A. ②③
B. ①④
C. ①③
D. ①②
12. 已 知 函 数
f
(x)
2ex ex ex
与 函 数 g(x) x3 12x 1 的 图 象 交 点 分 别 为 ： P1(x1, y1) ，
P2 (x2 , y2 ),, Pk (xk , yk )(k N ) ，则 (x1 x2 xk ) ( y1 y2 yk ) A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
3. 【试题解析】B 若 m 与 n 不相交，则“直线 l m 且 l n ”不能推出“ l ”；反之，如果“ l ”，无论 m
与 n 是否相交，都能推出“直线 l m 且 l n ”，故“直线 l m 且 l n ”是“ l ”的必要不充分条件，故选
B.
4.【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为 1289（万），④错，故选 C.
于点 (0,1) 对称，所以所求和为 4，故选 D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 【答案】 6 【解析】 可行域为
由 z 2x y 得 y 2x z ，过（2,2）点时有最小值 6. 14. 【答案】例如 x 【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可.
A. 2x y 0 B. 2x y 3 0 C. 2x y 4 0 D. 2x y 2 0
8.四边形 ABCD 中， AB 2DC, AB BC 0, | AB | 2 ,则 AD DC
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
1
9.现有如下信息: (1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整
21.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a >b
0)
1
的离心率为
2
， P(1, 3) 为椭圆上一点， 2
A, B 为椭圆上不同两点， O 为坐标
原点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
( II)线段 AB 的中点为 M ，当 AOB 面积取最大值时，是否存在两定点 G, H ，使 | GM | | HM | 为定值？若存在，
1 ，可知
f
(x)
的图象与 g(x)
的图象都关于点 (0,1)
对称，又
f (x)
4e 2 x (e2x 1)2
0
，所以
f (x)
在
(, 0), (0, )
上单调递减，由
g(x) 3(x2
4)
可知，
g(x)
在
(, 2), (2, ) 上单调递减，在 (2, 2) 上单调递增，由图象可知， f (x) 与 g(x) 的图象有四个交点，且都关
2
2
11.【试题解析】C
由图知，1 2
2
5
, 12
2 ，2 ( ) 12
2k , k
0,
6
，故①正确，②错误；
③中， x1 x2 , 而直线 x 是函数 f (x) 的对称轴，故③正确，④错误，故选 C.
26
6
12.【试题解析】D由题意化简，
f
(x)
ex ex
ex ex
(II)曲线 C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点，求 | OA | | OB | 的值.
23．[选修 4-5 不等式选讲]
已知函数 f (x) | x 1| . (Ⅰ)解不等式 f (x) f (x 4)≥8 ; (II)若 | a | 1,| b | 1, a 0 ，求证： f (ab) | a | f ( b) .
15. 【答案】
5 【解析】注意到双曲线的焦点在 y 轴上，可得 a 2 e 1 (b )2
5
.
2
b
a2
7
C
16. 【答案】
4 S C2 2 S
【解析】 S
2 Rh
2 R(R
R 2 r 2 ) ①, C 2 r C 2 4 2r 2 ②
①②两式对应相除得 S C2
2 R(R R2 4 2r 2
5.【试题解析】C
设事件 A “第 1 次抽到代数题”
，事件 B
“第
2 次抽到几何题”，则 P(B |
A)
3 2 3 4
1， 2
故选 C.
6.【试题解析】C 由题意 S5 5a3 65, a3 13 ，所以 a1 a4 a2 a3 28 ，故选 C.
7.【试题解析】D 由题意知，直线 l 过点 ( 1 ,1) ，斜率为 2 ，所以直线 l : 2x y 2 0 ，故选 D. 2
A. (1, 2] C. [2, 1)
B. [1, 2] D. (, 1]
3.已知 m, n 是平面 内的两条直线，则“直线 l m 且 l n ”是“ l ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的 4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千 年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020 年为脱贫攻坚收官之年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减贫人数的条形图.
r2 )
S C2
R(R R2 2 r2
r2 )
2 S C2
R[R rr
( R )2 1] r
设m
R r
得
2 S C2
m[m
m2
1]
2 S C2
m2
则抛物线方程为
A. y2 8x B. y2 16x C. y2 24x D. y2 32x
11.已知函数 f (x) 2sin(x ) ( 0,| | ) 的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述:
① 2; ② ; 3
③若
x1
x2
3
，则
f
( x1 )
f
(x2) ;
④若
x1
x2
5 1
体长度之比，其比值为
.
2
(2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. (3)有一个内角为 36°的等腰三角形为黄金三角形.
由上述信息可求得 sin126
A. 5 1 2
B. 5 1 C. 5 1
2
4
D. 5 1 4
10.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 上一点 A(2, y0 ) ，F 为焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 M ，满足 2FA AM ，
根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为
①平均每年减贫人数超过 1300 万;
②每年减贫人数均保持在 1100 万以上:
③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;
④历年减贫人数的中位数是 1240(万人) .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
吉林省长春市普通高中高三质量监测二数学理科试题题解析版
()
A. 1
B． 2 C. 3 D. ４
【答案】C
【解析】
【分析】
通过标准差的比较,得出两只股票的稳定性，通过极差的比较,得出风险和回报,再根据折线图得出股票的上升
和下跌趋势，可分析出答案．
【详解】由题可知,甲的标准差为２.０４元,乙的标准差为９．63 元,可知股票甲在这一年中波动相对较小,
表现的更加稳定，故①正确；
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
因为复数 =
，所以对应的点位于第二象限.
2．集合
，
,则
（)
A．
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题,先求出集合 A=
,再根据交集的定义求出答案即可.
【详解】
,
．
故选Ａ.
【点睛】本题主要考查了交集的定义,属于基础题.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意,画岀切线 扫过的区域,得当
时,此时切线 都在 轴的上方，即可作出判断，得到答案.
【详解】由题意,画岀切线 扫过的区域，如图所示，
当
时，此时切线 都在 轴的上方，
所以不可能在直线上的点为
.故选 C.
【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记
8.直线 绕原点顺时针旋转 得到直线 ，若 的倾斜角为 ,则 的值为（ )
A．
B.
【答案】Ｄ 【解析】 【分析】
C.
D.
根据题意，可得
，解得
，
进而根据余弦的倍角公式,即可求解. 【详解】由题意，直线 的斜率为 2,将
吉林省长春市普通高中2021届高三质量监测(二)数学(理)试题答案
长春市普通高中2021届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. D2. A3. B4. C5.C6. C7. D8. B9. D 10.C 11. C12. D简答与提示：1. 【试题解析】D 复数z 的虚部为2sin3π=D. 2. 【试题解析】A 易知阴影部分为集合()(1,2]U A B =-，故选A. 3. 【试题解析】B 若m 与n 不相交，则“直线l m ⊥且l n ⊥”不能推出“l α⊥”；反之，如果“l α⊥”，无论m 与n 是否相交，都能推出“直线l m ⊥且l n ⊥”，故“直线l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，故选B.4. 【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5. 【试题解析】C 设事件A =“第1次抽到代数题” ，事件B =“第2次抽到几何题”，则321(|)342P B A ⨯==⨯，故选C. 6. 【试题解析】C 由题意533565,13S a a ===，所以142328a a a a +=+=，故选C.7. 【试题解析】D 由题意知，直线l 过点1(,1)2-，斜率为2，所以直线:220l x y -+=，故选D.8. 【试题解析】B 由题意知||1,0DC DC BC =⋅=，所以()1AD DC AB BC CD DC AB DC CD DC ⋅=++⋅=⋅+⋅=，故选B9. 【试题解析】D由题意，设ABC △为36A =︒的黄金三角形，有,a b c b ==，所以222cos362b c a bc +-︒==所以sin126cos36︒=︒=另外36A B ==︒，108C =，也可获得此结果，故选D.10. 【试题解析】C 由2FA AM =知A 为线段FM 上靠近F 的三等分点，所以0(,0),(,3)22p p F M y -，有22(2)2,12,2422p pp y x -=+==，故选C. 11. 【试题解析】C 由图知，125,221212πππωω⋅=+=，2()2,0,126k k ππϕπϕ⨯-+===，故①正确，②错误；③中，12,26x x π+=而直线6x π=是函数()f x 的对称轴，故③正确，④错误，故选C.12. 【试题解析】D 由题意化简，()1x xx xe ef x e e --+=+-，可知()f x 的图象与()g x 的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xx e f x e -'=<-，所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递减，由2()3(4)g x x '=--可知，()g x 在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，由图象可知，()f x 与()g x 的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 614. 例如x -15.16. 三、解答题17. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意，521885020400ˆ90,4,859080ii x x b =-⨯====-∑，ˆ40085460a=-⨯=，所以ˆ8560y x =+. （6分） （2）由（1）知，22171125585805()24w x x x =-+-=--+，所以当8x =或9x =时能获得总利润最大. （12分）18. (本小题满分12分) 【试题解析】解：（1）证明：11111111111A A ABC A A AC AC A ABB AC ABC AC B M AC B M AB AC B M A ABB ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面，即平面111111*********AC B M B M A BC A B B M B C M A BC B M B C M ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面平面平面. （6分） （2）以A 为原点，AB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系.1(4,0,2)B ，1(0,4,2)C ，(3,0,0)M11(4,4,0)BC =- 1(1,0,2)B M =--平面11B C M 的法向量为1(2,2,1)n =- 平面11A ACC 的法向量为2(1,0,0)n =即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角θ的余弦值为1212||2cos 3||||n n n n θ⋅==⋅，即平面11A ACC 与平面11B C M 所成锐二面角的余弦值为23. （12分）19. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意112112080a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，可知4q =， 进一步解得14a =. 即{}n a 的通项公式为4n n a =. （6分）（2）22log log 42n n n b a n ===，212(1)22n S n n n n n =+-⋅=+，2221111111n n b n S n n n n==+++++，由*n ∈N ， 利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203n n +≥得61123n n b S +≤则λ的最小值为623. （12分）20. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）当1a =时，令2()()()ln F x f x g x x x =-=-，1()2F x x x'=-（0x >） 2121()2x F x x x x -'=-=，令()0F x '=且0x >可得22x =，min 21111((ln 2)ln 222222F F ==--=+. （4分）（2）方法一：由函数()f x 和()g x 的图象可知，当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线.即2ln ax x >在(0,)+∞上恒成立，即2ln x a x>在(0,)+∞上恒成立，设2ln ()x h x x =，312ln ()xh x x -'=令312ln ()0xh x x -'==，x e =即max 1()2h h e e ==，因此，12a e >. （12分）法二： 取两个函数相切的临界条件：20000ln 12ax x ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0x =，12a e =， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>. （12分） 21. (本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由12e =可设2a t =，c t =，则b =， 则方程化为2222143x y t t+=，又点3(1,)2P 在椭圆上，则22914143t t+=，解得1t =，因此椭圆C 的方程为22143x y +=. （4分） （2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =+， 联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，2234()120x kx m ++-=，化简得：222(34)84120k x kmx m +++-=，21111||||||||222AOB S m x x m m =⋅-==△222||2||3434m m k k =++==当221342m k =+时，S22234m k =+， 又122834km x x k -+=+，121226()234my y k x x m k +=++=+， 则1212(,)22x x y y M ++，即2243(,)3434km mM k k -++ 令22434334km x k my k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221322x y +=， 因此平面内存在两点G 、H使得||||GM HM +=当直线AB的斜率不存在时，设(2cos )A θθ，则(2cos ,)B θθcos 2AOB S θθθ==△，即当4πθ=此时AB 中点M的坐标为，满足方程221322x y +=，即||||GM HM +=（12分）22. (本小题满分10分)【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为cos sin 0y x αα⋅-⋅=，即极坐标方程为θα=（ρ∈R ）.曲线2C 的直角坐标方程为2223x y x +-=，即22(1)4x y -+=. （5分）（2）曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρθρ-⋅-=，代入θα=，可得123ρρ⋅=-， 则12||||||3OA OB ρρ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分) 【试题解析】（1）()(4)|1||3|8f x f x x x ++=-++≥，则(,5][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）要证()||()bf ab a f a>成立，即证|1|||ab b a ->-成立， 即证22221b a b a +>+成立，只需证222(1)(1)0a b b --->成立即证22(1)(1)0a b -->成立，由已知||1,||1a b <<得22(1)(1)0a b -->显然成立.（10分）。
2021年高三普通高考教学质量检测(二)数学理试题 含答案
2021年高三普通高考教学质量检测（二）数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：xx.4.181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}{}24,Z,13M x x x N x x=-≤≤∈=-<<，则A．B．C．D．2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A．B．C．D．3．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于A．1 B．3 C．5 D．64.为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A．30 B．60 C．70 D．80 5．函数，,则A．为偶函数，且在上单调递减；B．为偶函数，且在上单调递增；C．为奇函数，且在上单调递增；90110周长(cm) 100120第4题图D ．为奇函数，且在上单调递减. 6．下列命题中假．命题．．是 A ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．7．直线与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ． 个B . 个C .个D .无数个8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法： ①的值域为； ②是周期函数； ③； ④.其中正确的说法个数为:A.0B.C.D.二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．命题“R ，0”的否定是 . 10. 已知向量满足, , 向量与的夹角为 .11．若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于 . 12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为 . 13．将集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列 的数记为（）,则= .(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)O xPA 第8题图35691012第13题图14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与 的交点分别为，则线段的垂直平分线的 极坐标方程为 ．15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O相切于点， 于，若，设， 则______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限， 已知.（1）若,求的值； （2）若点横坐标为,求.17．（本题满分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.（1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求的均值.18．（本题满分14分）如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上． （1）证明：平面；DC第15题图乙甲丙第17题图（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19．（本题满分14分）在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20．（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．）21．（本题满分14分）设函数，记的导函数，的导函数，图甲图乙第18题图的导函数，…，的导函数，. （1）求； （2）用n 表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.xx 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数 学（理科） 评分参考一、填空题 CDBCABBC二、填空题9．R ，0 10． 11． 12． 13． 14．（或） 15．三、解答题16．⑴解法1、由题可知：，， ……1分 ， ……2分，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由题可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 设，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 记， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式计算各1分） ……8分43sin sin()55AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯（列式计算各1分） ……12分解法2、由题意得：的直线方程为 ……6分 则 即（列式计算各1分） ……8分 则点到直线的距离为（列式计算各1分） ……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、即 （每式1分） …6分 即：， ， ……7分，，4313cos 10OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===……9分 （模长、角的余弦各1分）∴ ……10分则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯=（列式计算各1分） ……12分 解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B 点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D 、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是（列式计算各1分） ……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是； ……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是， ……4分 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， …5分 甲到乙遇到拥堵的概率是， ……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意可以取. ……9分 =,=,=,…11分 分布列是：22185170+1+2=30030030030060E ξ=⨯⨯⨯=. ……12分18．⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有， ……1分因为平面，平面，所以平面（条件2分）……4分 ⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分 所以平面，则， ……6分 所以平面与平面所成二面角的平面角， ……8分 图甲中有，又，则三点共线， ……9分 设的中点为，则，易证，所以，，；……11分（三角形全等1分） 又由，得， ……12分 于是，， ……13分图甲图乙在中，，即所求二面角的余弦值为．……14分解法2、 如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则， ……5分所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线， ……6分设的中点为，则，易证，所以，则； 又由，得，……7分于是，，在中，1A G ===……8分作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分显然，是平面的一个法向量， ……12分设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， ……13分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，1212cos 3||||23(1)GA n GA n θ===+-，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为． ……14分19．⑴由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等 ……2分由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 ……4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心的轨迹的方程为.……5分 ⑵解法1、设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分） ……8分将其代入抛物线方程，得：，所以. ……9分 联立 ，消去，得： ……11分 由，得， ……12分注意到，即，所以，即， ……13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为. ……14分 解法2、设 ，因为两点关于直线对称，则， ……6分 即，解之得 ……7分图丙即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为（斜率1分，方程1分）……9分联立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为. ……14分20．⑴由题意知或……2分解得或，即……3分能够维持有效的抑制作用的时间：小时. ……4分⑵由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为……5分当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=; ……6分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当时， =; ……7分当时， ; ……8分所以1164633186()67361571036xxxxg x xxxx⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩……9分当时， ==;当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）……11分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当时，，所以为增函数;当时，为减函数;故 =，……12分又10117(=03266---=>,所以当时，水中碱浓度的最大值为. ……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为. ……14分21．⑴易得,, ……1分……2分,所以……3分⑵不失一般性，设函数的导函数为，其中，常数，.对求导得：2111111()[(2)()]xn n n n n nf x a x a b x b c eλλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅……4分故由得：①，②，……5分③由①得：，……6分代入②得：，即，其中故得：. ……7分代入③得：，即，其中.故得：， ……8分 因此.将代入得：，其中. ……9分 （2）由（1）知，当时，21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<，，故当最大时，为奇数. ……10分 当时， ……11分 又，221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-，，因此数列是递减数列 ……12分 又，， ……13分故当或时，取最大值. ……14分21139 5293 劓]30962 78F2 磲 26497 6781 极32132 7D84 綄'34811 87FB 蟻31855 7C6F 籯23202 5AA2 媢26328 66D8 曘33556 8314 茔2 39361 99C1 駁。
2021届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)理科数学试卷
2021年吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）理科数学试卷学校:___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： __________一、单选题1. 已知集合P={x|x^0},Q=[x|^>o],则 PD([RQ) = (3. 已知随机变量§服从正态分布N （1。
）若PG>2）= 0・15,则P （0<歹<1） = （）4・己知p:函数/(x) = |x+a|在(-s,-1)上是单调函数，q:函数g(x) = log“(x+l) （a> 0且在（—1,+S ）上是增函数，则成立是q 成立的（5x + 3y <15若X, y 满足约束条件Jy<x+1 ,则3x + 5y 的取值范围是（x-5y<36・一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.(—8, 2) E. ( — 8, —I]C. (-1,0) D ・[0,2]2. A.1-/ 复数——的共轨复数对应的点位于（）2-i第一彖限B.第二象限C.第三彖限D.第四彖限x-2A. 0.85B. 0.70C. 0.35D. 0.15A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5. A. [-13)5]B ・[-13,17] C. [-口⑸D. [-1147]A.13T16TD.7. 已知平面向量N, b 满足同=馆，网=2, 打=_3,则\d+2b\=（）A. 1B. 77c. 4+羽D. 2^78. 图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次 为人，人，…，人“，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序 框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）则加+料的取值范围是()A. (―c*o,2-2>/T]U 〔2 + 2^^,B. (-8, - 2VT|U [2>/I P )C. [2-2>/2,2 + 2V2]D. (―8,—2]U[2,+S )11.设数列｛©｝的前"项和为S”，且4 =心=1, ｛沾“+(〃 + 2)©｝为等差数列，则二、填空題7 8 9 10 11 6 1 2 3 47 6 5 17 6 2E16已知函数/（x ） = JJsinxcosx + *cos2x,若将其图彖向右平移0 （°>0）个单位后所得的图彖关于原点对称，则卩的最小值为（）, 兀 c 5龙 厂 兀 ,5A. —B.——C. —D.——6 6 12 1210.设加，“ WR,若直线（〃?+l ）x+（〃 + l ）y —2 = 0与圆（x-l ）2+（y-l ）2= 1 相切，A.9. E. 10C ・91D. 92A./? + 1 2心+12n-l C.------2〃_1D.n+l图n«-613.设a>0.若曲线y = 与直线x = a,y = 0所围成封闭图形的面积为贝ija =14. 正四面体ABCD 的外接球半径为2,过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为 _________ .315. 已知函数/(x)为偶函数且/(x ) = /(x-4),又/(x) = ｛「~2，_ _2x + 2_v,l<x<2(1屮I函数g(x)= —+a‘若F(x) = /(x)—g(x)恰好有4个零点,则a 的取值范围、2丿是 ________ .三、解答题16. (本小题满分 12 分)在 AABC 中，taiiA = 2, taiiB = 3. (1) 求角C 的值； (2) 设=求AC.17. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示.(1) 已知[30, 40), [40, 50), [50, 60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列， 求a,b 的值；(2) 该电子商务平台将年龄在[30, 50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人 群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消 费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层 抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3 人进行回访，求此3人获得代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望.12的展开式中常数项为 ______18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, PA = AB = AD = 2,四边形ABCD满足AE丄AD，BC//AD且EC = 4,点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且—=2・EC(1) 求证：平面ADW 丄平面PBC ：(2) 是否存在实数兄，使得二面角P-DE-B 的余弦值为亍？若存在，试求出实数；I 的值；若不存在，说明理由.19. (本小题满分12分)在AABC 中，顶点B(—1,0), C(LO), G 、I 分别是AABC的重心和内心，且IG//BC.(1) 求顶点A 的轨迹NI 的方程；(2) 过点C 的直线交曲线M 于P 、Q 两点，H 是直线x = 4上一点，设直线CH 、PH 、 QH 的斜率分别为人，k“ k,,试比较2々与人+心的大小,并加以证明.20. (本小题满分12分)设函数/(x) = (l-ox)ln(x+ l)-bx ,其中a 和b 是实数, 曲线y = / (x)恒与x 轴相切于坐标原点. (1) 求常数b 的值；(2) 当时，关于x 的不等式/(A )> 0恒成立，求实数d 的取值范围;21. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE, E 为切点，连接AE ，BE, ZAPE 的 平分线与AE, BE 分别交于点C, D,其中ZAEB = 30 .⑴求证:諏器⑵求ZPCE 的人小.22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］X = 2(3)求证:r wool V 0000 4 <e< ^looiY 0005—y［2t在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛_ （/为参数）；以原点0极y = -1 + >/2/2点，以％轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C.的极坐标方程为P= I>/l + 3siir 6⑴ 求曲线G的普通方程与曲线G的直角坐标方程;⑵试判断曲线C\与G是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离：若不存在, 说明理由.23・设函数f （%） = 12x— 1| + \2x — a\ + a, x E R.（1）当a = 3时，求不等it/（%） > 7的解集；（2）对任意% e R,恒有O > 3,求实数a的取值范围.参考答案1.D【解析】试题分析：由题意可知Q = {%卜兰一1或％>2},则C R Q={X\-1 <%<2},所以P A (C R Q) = [0,2].故选D.考点：集合交集与补集的运算2.A【详解】I• 1 2 [试题分析：由题意可得：= 共緬复数为- + 故选A.2-1 53 53考点：1•复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系3.C【解析】试题分析：根据题意可得：P(0"Wl) = P(l"W2) = 0.5-陀>2) = 0.35故选c.考点：正态分布的概念4.C【解析】试题分析：由卩成立，则由Q成立，则d>l,所以成立时°>1是9的充要条件.故选C.考点：命题逻辑5.D【解析】3 5试题分析：由题意可知，3x + 5>?在(一2,一1)处取得最小值，在亍‘处取得最犬值，即3x + 5ye [-11,17]故选D>考点：线性规划的应用6.D【解析】试题分析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体枳为8-中=孕.故选D. 考点：组合体体积的求法7. B【解析】试题分析：根据题意结合向量的运算可得：\a + 2b\ = ^a2+4a b + 4b2 =^7 -故选B考点：向量模的运算8. B【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分(包括90分)以上的人数。
吉林省长春市2021届高三下学期质量监测(二)(二模)理综试题 Word版含答案
长春市普通高中2021届高三质量监测(二)理科综合能力测试本试卷共16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量:H-1 N-14 O-16 Al-27 S-32 Fe-56 Zn-65 Pb-207一、选择题:本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是A.细菌因缺乏线粒体而不能进行有氧呼吸B.性腺细胞中发达的高尔基体合成性激素C.缺少细胞核的细胞不能进行基因的表达D.人成熟红细胞膜上有运输葡萄糖的载体2.黑藻是一种沉水高等植物，在中学生物实验中应用广泛。
下列叙述正确的是A.可用高倍光学显微镜观察黑藻叶绿体中的类囊体B..黑藻叶肉细胞不可用于观察植物细胞的吸水和失水C.可用有机溶剂无水乙醇提取黑藻叶片中的光合色素D.处于有丝分裂前期的黑藻细胞可观察到两组中心粒3.面对新冠疫情，全球紧急启动了疫苗研究，目前我国的新冠疫苗研发已达到世界领先水平。
下列叙述错误的是A.新冠病毒能在营养丰富的培养液中大量繁殖B.新冠病毒的遗传物质彻底水解产物有6种C.利用全程冷链运输新冠疫苗可以避免其失效D.接种疫苗可使机体产生相应的免疫应答反应4.图为高等雄性动物某初级精母细胞的部分染色体组成，图中I、II表示染色体，①、②、③、④表示染色单体。
下列叙述正确的是A.II是I经减数分裂前的间期复制形成的B.①与②的分离发生在减数第一次分裂后期C.③与④可发生交叉互换导致基因重新组合D.该细胞正常分裂产生的精子中含2个染色体组5.中国自主研发的“蛟龙”号载人潜水器在印度洋发现了27处富含硫化物的高温热液活动区，此处没有阳光，生活着海葵、蠕虫、硫细菌(化能自养生物)、嗜热古细菌等生物、下列叙述正确的是A硫细菌和嗜热占细菌是该生态系统中的分解者B.输入该生态系统的总能量是生产者固定的化学能C.该区域生物体内的DNA中(G+C) /(A+T)的比值一般较小D.研究该区域生物耐高温的特点，体现了生物多样性的间接价值6.已知果蝇的灰身和黑身是一对相对性状，多对具有该相对性状的亲本果蝇进行杂交,每瓶只有1对雌雄果蝇，其中一只为灰身，一只为黑身，每瓶子代果蝇中灰身:黑身均为1 : 1。
吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测(二)理科数学试题(含答案解析)
吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测（二）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则i z -=（ ）A B ．2C ．D ．82．命题“00x ∃≥，001xe x -≥”的否定是（ ）A ．00x ∃<，001xe x -< B ．00x ∃≥，001xe x -<C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<3．已知集合{}24,Z A x x x =≤∈，{}2,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）A ．{}0,2,4B ．{}0,1,4C ．{}0,1D ．{}0,44．我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（ ）A ．8 B ．9 C ．10D ．115．下列函数是偶函数，且在区间(),0∞-上为增函数的是（ ） A ．2yxB ．2y x =+C ．2x y =D ．31y x =-6．在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．127．已知数列{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若31598a a a =，99b a =，则711b b +=（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．已知()cos ()f x ax a x a R =++∈，则在曲线()y f x =上一点()0,2处的切线方程为（ ） A ．20x y -+=B ．20x y +-=C ．220x y -+=D ．220x y +-=9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，点P 为双曲线C 右支上一点，点M 的坐标为()0,c ，若1PMPF 的最小值为，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．12πD ．8π11．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2π的周期函数 B ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．直线6x π=是()f x 图象的一条对称轴D ．对任意实数x ，()712f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立12．已知a 为函数()21log f x x x=-的零点，b =c =a 、b 、c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>二、填空题13．已知向量()3,4a =，()2,1b =，则()a b b -⋅=______.14．已知实数x ，y 满足约束条件202010x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则x y +的最小值是______.15．已知1F 、2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上第一象限内的点，且12PF PF ⊥，则2PF =______.16．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，其中*n N ∈，则1232022a a a a ++++=______.三、解答题17．从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？(2)若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量X ，求X 的数学期望.（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知5c =，3B π=，sin 3sin sin a A C b B =+.(1)求ABC 的面积；(2)若D 是AC 边上一点，且2DC AD =，求BD 的长.19．直三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，AB BC =，120ABC ∠=︒，M 为棱1BB 上任意一点，点D 、E 分别为AC ，CM 的中点.(1)求证：//DE 平面11AA B B ；(2)当点M 为1BB 中点时，求直线1B C 和平面CDM 所成角的正弦值. 20．若()212ln 2f x x bx a x =++． (1)当0a >，2b a =--时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若2b =-，且()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明()()123f x f x +>-． 21．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切. (1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，过点P 作PQ A B '⊥，垂足为Q ，在平面内是否存在定点E ，使得EQ 为定值.若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)已知点()1,0P ，设曲线2C 与曲线1C 的交点为A 、B ，当72PA PB +=时，求cos α的值.23．设函数()1f x x =+，()21g x x =-. (1)解关于x 的不等式()()1f x g x ->；(2)若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据题意先表示出复数的标准形式，再用模长公式计算即可. 【详解】由已知得2i z =-，所以i 22i z -=-== 故选：C 2．D 【解析】 【分析】将特称命题的否定改为全称命题即可 【详解】命题“00x ∃≥，001xe x -≥”的否定是“0x ∀≥，1x e x -<”，故选：D 3．C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，再求函数的值域得集合B ，然后利用交集的定义计算作答. 【详解】解不等式24x ≤得：22x -≤≤，于是得{2,1,0,1,2}A =--，{0,1,4}B =， 所以{0,1}A B =. 故选：C 4．B 【解析】 【分析】把数表中的奖牌数从小到大排列即可求出中位数. 【详解】将自1992年以来我国冬奥会获得奖牌数从小到大排列为：3，3，8，8，9，9，11，11，15，所以1992年以来我国获得奖牌数的中位数为9. 故选：B 5．A 【解析】 【分析】根据奇偶性与单调性分别判断各选项. 【详解】 A 选项：221yf xxx，()()()2211f x f x x x -===-，为偶函数，在(),0∞-上单调递增，故A 选项正确；B 选项：()2y g x x ==+，()()22g x x x g x -=-+=+=，为偶函数，0x <时，2y x =-+，在(),0∞-上单调递减，故B 选项错误； C 选项：()2xy h x ==，()22xxh x --==，为偶函数，0x <时，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，在(),0∞-上单调递减，故C 选项错误；D 选项：()31y s x x ==-，()()()3311s x x x s x -=--=--≠，且()()s x s x -≠-，为非奇非偶函数，且在R 上单调递增，故D 选项错误； 故选：A. 6．B 【解析】 【分析】求出4名志愿者分到四个城市的代表团服务的基本事件种数，再求出恰有两名为自己家乡代表团服务的基本事件数即可求解作答. 【详解】依题意，4名志愿者分到四个城市的代表团服务的试验的基本事件种数为44A ，它们等可能，四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的事件为A ，4人中任取2人为自己家乡代则另2人只能到对方家乡代表团服务，事件A 含有的基本事件数为24C 1⨯，于是得2444C 11()A 4P A ⨯==，所以所求概率是14.故选：B 7．D 【解析】 【分析】运用等比数列和等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以0n a ≠，由23159999888a a a a a a =⇒=⇒=，即998b a ==，因为{}n b 是等差数列， 所以711922816b b b +==⨯=， 故选：D 8．A 【解析】 【分析】由点()0,2在函数()f x 的图像上，求出a 的值，再求出()f x '，由导数的几何意义可得切线的斜率，从而得出切线方程. 【详解】因为点()0,2在曲线上，所以()0cos02f a =+=，于是1a =， 所以()cos 1f x x x =++，()1sin f x x =-'，()01f '=， 故切线方程为20y x -=-，即20x y -+=. 故选：A 9．A【分析】根据双曲线的定义，将1PM PF 转化为2||2PM PF a ，再通过最小值得到等式后可求解. 【详解】由于点P 为双曲线C 右支上一点，根据双曲线的定义， 有1212||||2||||2PF PF a PF PF a -=⇒=+，所以122222PM PF PM PF a MF a a +=++≥+=+=，所以有ec a === 故选：A 10．A 【解析】 【分析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，根据截面圆的周长求得1r =，再利用2222R r 求解.【详解】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2， 根据截面圆的周长可得22r ππ=，则1r =， 由题意知2222R r ，即222125R =+=，∴该球的表面积为2420R ππ=． 故选：A 11．B【分析】根据给定图象求出函数()f x 的解析式，再逐一分析各个选项，计算判断作答. 【详解】依题意，令()f x 的周期为T ，则5555()46124T πππ=--=，解得T π=，22T πω==， 由5()212f π-=-得：52()2,Z 122k k ππϕπ⨯-+=-∈，而2πϕ<，则有0,3k πϕ==，即()2sin(2)3f x x π=+，函数()f x 的最小正周期T π=，A 不正确；因()2sin(2)0333f πππ=⨯+=，则点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，B 正确；因()2sin(2)2663f πππ=⨯+=≠，则直线6x π=不是()f x 图象的对称轴，C 不正确；77()2sin(2)212123f πππ=⨯+=-，即7()12f π是函数()f x 的最小值，D 不正确.故选：B 12．B 【解析】 【分析】对b 、c ，同时进行6次方运算，利用6y x =的单调性比较大小；先利用零点存在定理判断出：3825a <<.对a 、c ，同时进行3次方运算，利用3y x =的单调性比较大小； 对a 、b ，同时进行平方运算，利用2y x 的单调性比较大小.【详解】因为b =c =所以366355e 1528b ⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，()6262 3.210.24c π==<=，所以66b c >.因为6y x =在()0,∞+上单增，所以b c >.因为a 为函数()21log f x x x =-的零点，所以()21log 0f a a a=-= 因为2log y x =为增函数，1y x =-为增函数，所以()21log f x x x =-为增函数，所以()21log f x x x=-有且仅有一个零点a . 又2233132log log 322232f ⎪⎛⎫=-=- ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为1132133333327,24228⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以23322<,所以2233132log log 0322232f ⎛⎫=-=-< ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2288185log log 855585f ⎪⎛⎫=-=- ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为1815188888843,23255⎡⎤⎛⎫=≈=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以58825>，所以2288185log log 0855585f ⎛⎫=-=-> ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由零点存在定理，可得：3825a <<. 所以3333825a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33c π==，所以3333273.37528a c π⎛⎫>==>= ⎪⎝⎭.因为3y x =在()0,∞+上单调递增，所以.a c >因为3825a <<，所以228 2.565a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，而2 2.71828b e =≈，所以22b a >.因为2yx 在()0,∞+上单调递增，所以.b a >所以b a c >>. 故选：B 13．5 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】解：因为向量()3,4a =，()2,1b =，所以()()()3,42,11,3a b -=-=， 所以()()()1,32,112315a b b ⋅=-⨯==+⋅⨯， 故答案为：5.14．4- 【解析】 【分析】作出x ，y 满足的约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答. 【详解】作出实数x ，y 满足的约束条件202010x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC 及内部，其中24(1,3),(,),(1,2)33A B C ----，令x y z +=，即y x z =-+表示斜率为-1，纵截距为z 的平行直线系，作出直线0:l y x =-，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点A 时，直线1l 的纵截距最小，即z 最小，min 4z =-， 所以x y +的最小值是4-. 故答案为：4- 15．2【解析】 【分析】根据椭圆的定义及12PF PF ⊥，列出关于1PF 和2PF 方程组求解即可. 【详解】由椭圆的定义，124PF PF +=∴，又12PF PF ⊥，222121212PF PF F F +==∴，∴∴联立得222420PF PF -+=，解得22PF =P 是椭圆上第一象限内的点，有12PF PF >，22PF ∴=.故答案为：2 16．4044 【解析】 【分析】根据递推公式可以确定数列的周期，利用数列的周期进行求解即可. 【详解】因为1212(1)n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，所以当2,n n N *≥∈时，有111(2)n n n n n n a a a a a a -+-⋅⋅=++，(1)(2)-得：12121211()()(1)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-+-+-+-=-⇒--=，因为11a =，22a =，所以333233a a a =+⇒=，显然231a a ≠，即11n n a a +≠，于是有210n n a a +--=，于是当n *∈N 时，3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，因为1236a a a ++=， 所以123202267464044a a a a ++++=⨯=，故答案为：4044 【点睛】关键点睛：利用递推公式判断数列的周期是解题的关键.17．(1)有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关； (2)()E X =36. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，代入求观测值公式，求出观测值同临界值进行比较即可得出结论；（2）根据二项分布期望计算公式，计算出数学期望. (1)由22⨯列联表中数据计算可得，2K 的观测值为()25001007015018051.948 6.635250250280220k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关. (2)从22⨯列联表可知，数学得分在120分以上(含120分) 且注意力集中水平得分在500分以上(含500分)的频率为=180950025， 由题意知,XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭910025，所以()E X =⨯=91003625.18．(1). 【解析】 【分析】（1）根据给定条件结合正余定理计算出边a 的值，再利用面积公式计算作答. （2）由（1）结合余弦定理求出角A ，再利用余弦定理计算作答. (1)在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及sin 3sin sin a A C b B =+得： 223a c b =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即222b a c ac =+-，则2223a c a c ac =++-，而5c =，解得8a =，7b =，1sin 2ABC S ac B =△185sin 23π=⨯⨯⨯=所以ABC 的面积是 (2)由（1）及余弦定理得2222227581cos 22757b c a A bc +-+-===⨯⨯，而2DC AD =，则1733AD b ==，在ABD △中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅=22771244()5253379+-⨯⨯⨯=，解得BD =所以BD . 19．(1)证明见解析；(2)14. 【解析】 【分析】（1）连接AM ，证明//DE AM ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用等体积法求出点B 到平面CDM 的距离，可得点1B 到平面CDM 的距离，再借助线面角的正弦公式计算作答. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱1BB 上任意一点，连接AM ，如图，因点D 、E 分别为AC ，CM 的中点，则//DE AM ，而AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ，所以//DE 平面11AA B B . (2)直三棱柱111ABC A B C -中，令2AB =，则2BC =，而120ABC ∠=︒，点D 为AC 中点，则有BD AC ⊥，1BD =，CD =12BCDSCD BD =⋅=， 又1BB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，则1BB AC ⊥，而BD BM B =，,BD BM ⊂平面MBD ，有CD ⊥平面MBD ，DM ⊂平面MBD ，于是得CD MD ⊥，又点M 为1BB 中点，即1MB =，MD =12MCDSCD MD =⋅=B 到平面CDM 的距离为h ，由B MCD M BCD V V --=得： 1133MCD BCD S hS BM ⋅=⋅1=，解得h = 因平面CDM 经过线段1BB 的中点M ，则点1B 到平面CDM 的距离d 等于点B到平面CDM 的距离h ，即d =1B C =1BC 和平面CDM 所成角为θ，则11sin 4d B C θ===，所以直线1B C 和平面CDM 所成角的正弦值为14.20．(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出函数的导函数，依题意方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围，从而得到()()122ln222f x f x a a a +=--，再令()12ln22202h a a a a a ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：因为()212ln 2f x x bx a x =++ 当0,2a b a >=--时，所以()()()()222222(0)x a x a x a x a f x x a x x x x-++--=--+==>'， 令()0f x '=，解得x a =或2，当2a >时，则当02x <<或x a >时()0f x '>，当2x a <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；当2a =时，()()220x f x x-'=>，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当02a <<时，当0x a <<或2x >时()0f x '>，当2a x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，在()2,+∞单调递增；(2)证明：当2b =-时，()22222(0)a x x af x x x x x'-+=-+=>．函数()f x 有两个极值点12,,x x ∴方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，12122,20,x x x x a +=⎧∴⎨⋅=>⎩且480a ∆=->，解得10,2a <<，由题意得()()22121112221122ln 22ln 22f x f x x x a x x x a x +=-++-+ ()()()22121212122ln 2x x x x a x x =+-++⋅ ()()()212121212122ln 2x x x x x x a x x =+-⋅-++⋅ 2ln222a a a =--，令()12ln22202h a a a a a ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭．则()()2ln20,h a a y h a <'=∴=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递椷，()132h a h ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，()()123f x f x ∴+>-．21．(1)24y x =；(2)存在定点E ，使得||2EQ =，点(0,0)E . 【解析】 【分析】（1）设出点M 的坐标，利用给定条件列式化简作答.（2）设出直线l 的方程，与轨迹C 的方程联立，探求出直线A B '所过定点，再推理计算作答. (1)设圆心(,)M x y|1|x =+，化简整理得：24y x =，所以圆心M 的轨迹C 的方程是：24y x =.依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：2x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)A x y '-，12y y ≠-，由抛物线对称性知，点A '在轨迹C 上，直线A B '的斜率为()212122212121444y y y y k y y x x y y --+===---， 直线A B '的方程为：222214()4y y y x y y -=--，化简整理得：1221214y y y x y y y y =---， 由224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2480y ty --=，则有128y y =-， 直线A B '的方程化为：214(2)y x y y =+-，因此直线A B '恒过定点(2,0)P '-， 因PQ A B '⊥于点Q ，于是得PQP '是直角三角形，且点(0,0)O 是斜边PP '的中点，则恒有1||||22OQ PP '==， 令点(0,0)为E ，从而有||2EQ =，所以存在定点E ，使得||2EQ =为定值，点E 坐标为(0,0). 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 22．(1)22143x y +=；椭圆；. 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出1C 的直角坐标方程，再由方程确定曲线作答. （2）将2C 的参数方程代入1C 的直角坐标方程，利用几何意义计算作答. (1)把222,sin x y y ρρθ=+=代入()223sin 12ρθ+=得：223412x y +=，即22143x y +=， 所以曲线1C 的直角坐标方程是22143x y +=，它是焦点在x 轴上的椭圆.由（1）知，把方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入223412x y +=并整理得：22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，设点A 、B 所对参数分别为12,t t ，于是得1226cos 4cos t t αα-+=-，122904cos t t α-=<-， 由直线参数方程的几何意义知：122127||4cos 2PA PB t t α+=-=-=，解得24cos 7α=，而0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是得cos α=所以cos α. 23．(1)1(,1)3； (2)1a 2-<<. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解含绝对值的不等式作答.（2）分段讨论去绝对值符号，再结合不等式恒成立列式计算作答. (1)因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<，当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<， 综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3. (2)依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x-+=，于是得2a <，于是得2a <， 综上得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围1a 2-<<.。
吉林省长春市高三数学上学期第二次月考试题理.docx
高三年级第二次月考数学（理科）试题、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A. aB.C.2.己若 E)+3 — 2i=4+i, 则日等于（A. 1 + iB. l + 3iC.D. -l-3i3.下列说法不正确的是（A.命题“对曰，都有”的必要不充分条件;C, “若J ，则D,甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题回是“甲考试及格”，日是“乙考试及格”，则命题“至少有一位学生不及格”可表示为4.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. 国A. B. C.6.设区是两条不同的直线，3 是两个不同的平面，下列命题中不正硕的是（）A.若巨1 ,日，巨］,则曰B.若巨I ,曰，EE］，则曰一条对称轴的方程为（ ） A. 目B. [x]C.C.若目，曰，则Ml 巨］，则曰7.已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸（单位：cm-）,可得这个几何体 的体积是 （）c. [KID . a- 1 士~~- K ,_►俯视图（7题图）I H 始）入函Mr ） //fl 出初//［扁］（8题图）8.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ）A. I x IB. ［x ］C. F^lD. 1 x 】9.设回，四满足约束条件 ,则I X ］的最小值是（）A. SB. S c. aD . aio.已知函数 ］—■,且 mW3 ,则函数 图象的左视图311.已知椭圆的标准方程为 a 为椭圆的左右焦点，。
为原点，尸是椭圆在第一象限的点，则区的取值范围（）A. Fx!B. | X |C. | X |D.12.已知 3 是定义在回上的偶函数，对于巨］，都有I —■，当巨|时，I x I ,若［一■在［-1,5］上有五个根，则此五个根的和是（）A. 7B. 8C. 10D. 12第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
数学-吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测(二)理科数学试题
长春市普通高中2022届高三质量监测（二）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则i z -=（ ） A 2B ．2C ．22D ．82．命题“00x ∃≥，001xe x -≥”的否定是（ ） A ．00x ∃<，001xe x -< B ．00x ∃≥，001xe x -< C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<3．已知集合{}24,Z A x x x =≤∈，{}2,B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,2,4B ．{}0,1,4C ．{}0,1D ．{}0,44．我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌．现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表： 年份 1992 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 2022 奖牌数338811119915则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．115．下列函数是偶函数，且在区间(),0-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x -=B ．2y x =+C ．2xy =D ．31y x =-6．在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．127．已知数列{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若31598a a a =，99b a =，则711b b +=（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．已知函数()()cos R f x ax a x a =++∈，则在曲线()y f x =上一点()0,2处的切线方程为（ ） A ．20x y -+= B ．20x y +-= C ．220x y -+=D ．220x y +-=9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，点P 为双曲线C 右支上一点，点M 的坐标为()0,c ，若1PM PF +的最小值为22c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5210．某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后中间剩余部分（球心与正方体中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ） A ．20πB ．16πC ．12πD ．8π11．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2π的周期函数；B ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心； C ．直线6x π=是()f x 图象的一条对称轴； D ．对任意实数x ，()712f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立． 12．已知a 为函数()21log f x x x=-的零点，b e =3c π=a 、b 、c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量()3,4a =，()2,1b =，则()a b b -⋅=______．14．已知实数x ，y 满足约束条件202010x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则x y +的最小值是______．15．已知1F 、2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上第一象限内的点，且12PF PF ⊥，则2PF =______．16．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且1212n n n n n n a a a a a a ++++⋅⋅=++，其中N*n ∈，则1232022a a a a ++++=______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表．数学得分注意力集中水平得分120分以下120分以上（含120分）500分以上（含500分）100 180 500分以下15070（1）若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？（2）若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量X ，求X 的数学期望．()20P K k ≥0.025 0.010 0.005 0.001 0k5.0246.6357.87910.828（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）18．（12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知5c =，3B π=，sin 3sin sin a A C b B =+．（1）求ABC △的面积；（2）若D 是AC 边上一点，且2DC AD =，求BD 的长． 19．（12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，AB BC =，120ABC ∠=︒，M 为棱1BB 上任意一点，点D 、E 分别为AC ，CM 的中点．（1）求证：DE ∥平面11AA B B ；（2）当点M 为1BB 中点时，求直线1B C 和平面CDM 所成角的正弦值． 20．（12分） 已知()212ln 2f x x bx a x =++． （1）当0a >，2b a =--时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若2b =-，且()f x 有两个极值点1x 、2x ，证明：()()123f x f x +>-． 21．（12分）已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，过点P 作PQ A B '⊥，垂足为Q ，在平面内是否存在定点E ，使得EQ 为定值．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()2232sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）已知点()1,0P ，设曲线2C 与曲线1C 的交点为A 、B ，当72PA PB +=时，求cos α的值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()1f x x =+，()21g x x =-． （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；（2）若()()22f x g x ax +>+，求实数a 的取值范围．。
吉林省长春市2021届高三(二模)理科综合试题及答案
长春市普通高中2021届高三质量监测(二)理科综合能力测试本试卷共16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量:H-1 N-14 O-16 Al-27 S-32 Fe-56 Zn-65 Pb-207一、选择题:本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是A.细菌因缺乏线粒体而不能进行有氧呼吸B.性腺细胞中发达的高尔基体合成性激素C.缺少细胞核的细胞不能进行基因的表达D.人成熟红细胞膜上有运输葡萄糖的载体2.黑藻是一种沉水高等植物，在中学生物实验中应用广泛。
下列叙述正确的是A.可用高倍光学显微镜观察黑藻叶绿体中的类囊体B..黑藻叶肉细胞不可用于观察植物细胞的吸水和失水C.可用有机溶剂无水乙醇提取黑藻叶片中的光合色素D.处于有丝分裂前期的黑藻细胞可观察到两组中心粒3.面对新冠疫情，全球紧急启动了疫苗研究，目前我国的新冠疫苗研发已达到世界领先水平。
下列叙述错误的是A.新冠病毒能在营养丰富的培养液中大量繁殖B.新冠病毒的遗传物质彻底水解产物有6种C.利用全程冷链运输新冠疫苗可以避免其失效D.接种疫苗可使机体产生相应的免疫应答反应4.图为高等雄性动物某初级精母细胞的部分染色体组成，图中I、II表示染色体，①、②、③、④表示染色单体。
下列叙述正确的是A.II是I经减数分裂前的间期复制形成的B.①与②的分离发生在减数第一次分裂后期C.③与④可发生交叉互换导致基因重新组合D.该细胞正常分裂产生的精子中含2个染色体组5.中国自主研发的“蛟龙”号载人潜水器在印度洋发现了27处富含硫化物的高温热液活动区，此处没有阳光，生活着海葵、蠕虫、硫细菌(化能自养生物)、嗜热古细菌等生物、下列叙述正确的是A硫细菌和嗜热占细菌是该生态系统中的分解者B.输入该生态系统的总能量是生产者固定的化学能C.该区域生物体内的DNA中(G+C) /(A+T)的比值一般较小D.研究该区域生物耐高温的特点，体现了生物多样性的间接价值6.已知果蝇的灰身和黑身是一对相对性状，多对具有该相对性状的亲本果蝇进行杂交,每瓶只有1对雌雄果蝇，其中一只为灰身，一只为黑身，每瓶子代果蝇中灰身:黑身均为1 : 1。
2021届吉林省吉林市高三上学期数学理第二次调研测试题答案
2021届吉林省吉林市高三上学期数学理第二次调研测试题答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 13.5 14. 35- 16. 内心 (2分)，（3分） 17．【解析】（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，因为354a a +=，所以2=d ......................1分又13-a 是12-a 和14+a 的等比中项，有)1)(1()1(4223+-=-a a a ...............2分 即)7)(1()3(1121++=+a a a ，得11=a .........................................4分12)1(1-=-+=n d n a a n ，所以数列}{n a 的通项公式12-=n a n .................5分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ...........................7分12)1211(21)12112171515131311(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21321+=+-=+--++-+-+-=+--++-+-+-=++++=n n n n n n n b b b b T n n ...................10分18.【解析】（1）∵(sin ,1)m A =-，(s ,1)n co B =，且m 与n 平行．∴sin cos 0A B += ...................................................1分 ∴sin cos cos()cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-6C π=sin A A ∴=...........................................................3分 tan 3A ∴=分 (0,)A π∈，6A π∴=........................................................6分（2）设BD x =，则4BC x =......................................................7分由（1）知，6A C π==，4AB BC x ∴==，23B π=.............................9分在ABD ∆中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 即222211624cos3x x x x π=+-⨯⨯⨯，解得1x =................................10分 4AB BC ∴==..............................................................11分所以1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅1244sin 23π=⨯⨯⨯=分19.【解析】（Ⅰ）PAB ∆ 为正三角形，且O 为AB 中点，AB PO ⊥∴...........................1分平面⊥PAB 平面ABCD⊂PO 平面PAB ..............................................................2分平面 PAB 平面AB ABCD =.................................................3分⊥∴PO 平面ABCD ..........................................................4分（2）取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，O 为AB 中点,∴AB OE ⊥,由（Ⅰ）知，⊥PO 平面ABCD ，所以以O 为原点，以OP OE OA ,,的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系xyz O -.................................................6分2=AB∴)3,0,0(P ，)0,2,1(C ，)0,0,0(O ，)0,2,1(-D ∴)3,2,1(-=PC ,)3,0,0(=OP ,)0,2,1(-=OD设平面POD 法向量为),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅0203y x OD n z OP n ，取1=y ,得)0,1,2(=n ...............................9分 5105224||||,cos =⨯=<n PC n PC n PC ...................................11分设PC 与平面POD 所成角θ，则510sin =θ所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为510....................................12分 方法二：连接OC ，在等边三角形PAB 中2AB =， 所以3PO =...........................5分在直角三角形OBC 中1,2OB BC ==， 所以5OC =...........................6分由（1）知PO ⊥平面ABCD ，所以POC ∆与POD ∆都是直角三角形， 所以 223522PC PO OC =+=+=分11153522POD S PO OD ∆=⨯⨯==分 设C 到平面POD 的距离为h由C POD P OCD V V --=得1133PODOCD S h S PO ∆∆⨯⨯=⨯⨯ 即115123323h ⨯=⨯455h =.......................................10分 设PC 与平面POD 所成的角为θ则45105sin =22h PC θ==分 所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为510......................................12分 20.【解析】（Ⅰ）依题意，110)028.0011.0005.0(=⨯++++a b ，故056.0=+b a ..........1分 又因为028.0=-b a ，所以014.0,042.0==b a ......................................3分 所求平均数为2.4005.06028.05042.04014.03011.020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（小时）......5分 所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为2.40小时......................6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生比例为2:328.0:42.0=................................................................7分又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生中随机抽取5人，则在)45,35[中抽取3人，分别记为c b a ,,，在)55,45[中抽取2人，分别记为N M ,,.........8分则从5人中随机抽取2人的基本事件有),,(),,(),,(),,(N a M a c a b a ),,(),,(),,(N b M b c b),(),,(),,(N M N c M c ，共10个...................................................10分这2人来自不同组的基本事件有：),,(),,(N a M a ),,(),,(N b M b ),,(),,(N c M c共6个，........................................................................11分所以所求的概率53106==P .......................................................12分 解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生比例为2:328.0:42.0=，................................................................7分 又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在)45,35[和)55,45[的学生中随机抽取5人，则在)45,35[中抽取3人，在)55,45[中抽取2人，..........................................8分则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为1025=C ...................................10分这2人来自不同组的基本事件数为61213=C C .........................................11分 所以所求的概率53106==P ......................................................12分 21【解析】（1）由椭圆的定义知12PF F ∆的周长为22a c +，所以226a c +=.......................1分又因为椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =，.................................2分 联立解得2,1a c ==，所以b ==..................................3分因此所求的椭圆方程为22143x y +=..............................................4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，.......................5分联立22143x y+=消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=..................6分 则221212228412,3434k k x x x x k k--+==++......................................7分 因为 1212211212(1)(+4)(1)(+4)+4+4(+4)(+4)QM QN y y k x x k x x k k x x x x ++++=+= 1212121225()84()16kx x k x x kx x x x +++=+++................8分222222228244083434=0412********k k k k k k k k k--+++=⋅--+++.............9分 所以QM QN k k +为定值，这个定值为0......................................10分当直线l 与x 轴垂直时，也有0QM QN k k +=.................................11分所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.............................12分方法二：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程为1x my =-................5分联立22143x y +=消去x 得22(3m 4)y 690my +--=.........................6分则12122269,y 3434m y y y m m -+==++......................................7分 因为 12121212+4+433QM QN y y y y k k x x my my +=+=+++ 12122121223(y )3(y )9my y y m y y m y ++=+++.................8分22222218183434=091893434m mm m m mm m -+++=-++++................9分所以QM QN k k +为定值，这个定值为0......................................10分 当直线l 与x 轴重合时，也有0QM QN k k +=.................................11分所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.............................12分22. 【解析】 （1）4)21(2)2(e a e ef =-=，.................................................1分 解得1=a所以函数解析式为)ln 1)(2()(x ex x f --=....................................2分 （2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞x xe x e x x xf ln 2)1)(2(ln 1)(-=--+-='..................................3分 设xx e x g x x e x g 12)(,ln 2)(2--='-=........................................4分 在),0(+∞上，0)(<'x g 恒成立所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，即)(x f '在),0(+∞上单调递减又0)(='e f ，则在),0(e 上0)(>'x f ，在),(+∞e 上0)(<'x f ..............5分所以函数)(x f 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减....................6分（3）构造函数)2()()(x e f x f x F --=，),0(e x ∈............................7分()())F x f x f x '''=+ln )x x =+-ln[)]x x =-.................................8分设)2(x e x t -=，当),0(e x ∈时，),0(e t ∈设t t e t h ln )(-=，且01)(2<--='tt e t h 可知)(t h 在),0(e 上单调递减，且0)(=e h 所以0)(>t h 在),0(e t ∈上恒成立 即0)(>'x F 在),0(e x ∈上恒成立所以)(x F y =在),0(e 上单调递增................................................9分不妨设21x x <，由（Ⅱ）知21x e x <<0)2()()()2()()(111=--=<--=e e f e f e F x e f x f x F即)2()(11x e f x f -<..........................................................10分 因为)()(21x f x f =，所以)2()(12x e f x f -< 由（Ⅱ）知)(x f 在),(+∞e 上单调递减得122x e x ->.................................................................11分所以12x x +>分。