关于误差和数据处理的计算
误差分析和数据处理讲解
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
物理实验技术中的误差分析和统计处理方法
物理实验技术中的误差分析和统计处理方法在物理实验中，误差分析和统计处理方法是非常重要的，它们能够帮助我们准确地评估实验结果的可靠性，并提供有效的数据处理手段。
本文将介绍物理实验技术中的误差分析和统计处理方法，探讨它们的应用和作用。
一、误差分析误差是物理实验中不可避免的，它们可能来自于多个方面，例如仪器的精度限制、操作者的技巧以及环境因素等。
误差可以分为系统误差和随机误差两种。
系统误差是指对多个实验结果产生相同或相似影响的误差，它们可能由于仪器固有的缺陷或者操作者的不精确等原因而引起。
例如，一个仪器的指针可能有固定的偏移量，导致每次测量结果都存在一个常数偏差。
为了减小系统误差的影响，我们可以对仪器进行校准或者运用纠正公式进行修正。
随机误差是指在多个实验结果中呈现随机分布的误差，它们往往是由于操作者的技巧、环境因素以及测量仪器的不确定性等原因引起的。
随机误差往往用标准差来度量，通过多次重复实验可以有效减小其影响。
二、统计处理方法统计处理方法是一种用数学手段对实验数据进行处理和分析的方法，它能够通过概率和统计学的原理提供有效的结果。
常用的统计处理方法包括均值的计算、标准差的估计、误差棒的绘制以及假设检验等。
均值是对一组数据的集中趋势进行描述的指标，它通常用算术平均值来表示。
通过多次测量实验数据的均值，我们可以减小随机误差对结果的影响。
标准差是对一组数据的离散程度进行描述的指标，它能够体现数据的波动情况。
标准差越大，表示数据的离散程度越大，即数据的可靠性越低。
误差棒是用来表示数据误差范围的一种图示方式，它常常由标准差和均值计算得出。
我们可以通过绘制误差棒来表达数据的可信度和结果的不确定性。
假设检验是用来判断实验结果是否具有统计显著性的方法，它通过设定统计显著水平和计算检验统计量来进行判断。
假设检验能够帮助我们决定实验结果是否与理论值或者其他实验结果有显著不同。
三、误差分析与统计处理方法的应用误差分析和统计处理方法在物理实验中具有广泛的应用。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
分析化学实验中误差及分析数据的处理
* 有界性：大误差出现概率很小，误差很大的测量 值，往往由过失误差造成的。对这种数据应作适 当处理。
标准正态分布曲线 N(0 ,1 ) 为了将不同精密度的正态分布曲线统一起来， 令u=x-u/σ为横坐标表示的正态分布曲线
u
x
横坐标：u 纵坐标：误差出现的概率大小。
二. 随机误差的区间概率
特点：
随机性（大小、正负不定） 不可消除（原因不定） 但可减小（测定次数↑,一般平行测定3－ 4次） 分布服从统计学规律（正态分布） (三）过失误差 由于操作者的过失而引起的误差（损失试 样、加错试样、记录或计算错误等 )－－错 误。
（四）如何提高分析结果准确度？
减少误差的方法
1. 选择合适的分析方法 根据待测组分的含量、性质、试样的组成及对 准确度的要求。 2. 减少测量误差 控制取样量 : 天平称量取样 0.2g （为什么？）以 上，滴定剂体积大于20mL（为什么？）。 3. 增加平行测定次数，减小偶然误差 化学分析中通常要求平行测定3～4次。 4. 消除系统误差
二.精密度与偏差
1．几个定义
精密度 一组平行测定值相互接近的程度。
偏差 是衡量数据精密度高低的尺度。偏差越小，
数据的分散性越小，测定值的精密度越高。
第一组 第二组 1.10 1.10 1.12 1.18 1.11 1.15 1.11 1.13 1.10 1.16
在实际分析中，真实值难以得到，常以多次平行测定结果
平均偏差
| d | | d 2 | | d 3 | | d 4 | | d n | d 1 n
| d
i 1
n
i
|
n
相对平均偏差：
d d r 100% X
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中,我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品,虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法,尽可能将误差减到最小,以提高分析结果的准确度。
1。
1 真实值、平均值与中位数（一)真实值真值是指某物理量客观存在的确定值.通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均,在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)。
(二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值,只能是近似真值，或称为最佳值.一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种:（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明:在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值;n ――观察的次数.（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中;n x x x 21、—-各次观测值；n w w w 21、—-各测量值的对应权重。
误差及误差分析-数据的误差处理
注：在处理测量数据时常用物. 理量的平均值代替其真值。
2、误差
(1)概念：测量值与真值之差定义为误差，
记为 ，即 i i xi x0
(2)表示方法：绝对误差= 测量值 —真值
相对误差=
×绝1对00误 ％差
真值
(3)分类：系统误差和随机误差
.
系统误差 概念：在相同的条件下，多次测量同一物理量
时，若误差的大小及符号都保持不变或按一定 规律变化，这种误差称为系统误差。 特征：系统误差表现出恒偏大、恒偏小或周期 性的特点。增加测量次数系统误差不能减少。 来源：仪器、理论、观测等 处理方法：修正已定系统误差；
真值：被测量物理量所具有的、客观的、真实的 数值，记为 x 。0
测量值：通过测量所获得的被测物理量的值，记
为x。
平均值（最佳估计值）：在相同条件下，对某物
理量进行n次测量，x1, x2, ,这xnn个测量结果称为一 个测量列，取这n次独立测量值的算术平均值，记
为 。即 x
x
1 n
n i 1
xi
uc(y)yurel(y)
5.计算扩展不确定度 U(y)2uc(y)
6.写出测量结果表达式 yyU(y)单 位
或 yyU(y)单 位
.
【例题】用单摆测重力加速度的公式
g42LT2
现用最小读数为1/100s的电子秒表测量周期 T 五 次，其周期的测量值为2.001，2.004，1.997， 1.998，2.000（单位：s）；用Ⅱ级钢卷尺测摆长 L一次，L = 100.00 cm 。试求重力加速度g及合 成不确定度 uc (g )，并写出结果表达式。
如果已知被测量的测量值 x分i 散区间的半宽为a， 且落在 ( 至x a ) 区间( x的 概a ) 率为100%，通过
第二章 误差和分析数据的处理
第二章误差和分析数据的处理第一节误差及其产生的原因定量分析的任务是准确测定试样中各组分的含量，因此必须使分析结果具有一定的准确度。
不准确的分析结果将会导致生产上的损失、资源上的浪费和科学上的错误结论。
在定量分析中，由于受到分析方法、测量仪器、所用试剂和分析人员主观条件等方面的限制，故使测定的结果不可能和真实含量完全一致；即使是分析技术非常熟练的分析人员，用最完善的分析方法、最精密的仪器和最纯的试剂，在同一时间，同样条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不会完全一样。
这说明客观存在着难于避免的误差。
因此，人们在进行定量分析时，不仅要得到被测组分的含量，而且必须对分析结果进行评价，判断分析结果的准确性（可靠程度），检查产生误差的原因，采取减小误差的有效措施，从而不断提高分析结果的准确程度。
分析结果与真实结果之间的差值称为误差。
分析结果大于真实结果，误差为正；分析结果小于真实结果，误差为负。
一、误差的分类根据误差的性质与产生的原因，可将误差区分为系统误差和偶然误差两类。
（一）系统误差系统误差（systematic error）也叫可定误差（determination error），它是由某种确定的原因引起的，一般有固定的方向（正或负）和大小，重复测定可重复出现。
根据系统误差的来源，可区分为方法误差、仪器误差、试剂误差及操作误差等四种。
（1）方法误差：由于分析方法本身的缺陷或不够完善所引起的误差。
例如，在质量分析法中，由于沉淀的溶解或非被测组分的共沉淀；在滴定分析法中，由于滴定反应进行不完全，干扰离子的影响，测定终点和化学计量点不符合等，都会产生这种误差。
（2）仪器误差：由于所用仪器本身不够准确或未经校正所引起的误差。
例如，天平两臂不等长，砝码、滴定管刻度不够准确等，会使测定结果产生误差。
（3）试剂误差：由于试剂不纯和蒸馏水中含有杂质引入的误差。
（4）操作误差：由于操作人员的习惯与偏向而引起的误差。
例如，读取滴定管的读数时偏高或偏低，对某种颜色的变化辨别不够敏锐等所造成的误差。
第2章 误差及分析数据的统计处理(完成)
第2章误差及分析数据的统计处理2.1 有效数字及其运算规则2.1.1有效数字指在分析工作中实际能测到的数字，它包括所有的准确数字和最后一位可疑数字。
在有效数字中, 只有最后一位数是不确定的，可疑的。
有效数字位数由仪器准确度决定，它直接影响测定的相对误差。
在科学实验中，对于任一物理量的测定，其准确度都是有一定限度的，例如：读取滴定管的刻度，甲得到23.43ml，乙得到23.42ml，丙得到23.44ml，这些四位数字中，前三位都是很准确的，第四位是估读出来的，所以稍有差别，称为可疑数字，但是它并不是臆造的，这4位数字都是有效数字。
有效数字就是实际能测到的数字，其位数的多少，反映测量的精确程度。
1.零的作用：在1.0008中，“0” 是有效数字；在0.0382中，“0”定位作用，不是有效数字；在0.0040中，前面3个“0”不是有效数字，后面一个“0”是有效数字。
在3600中，一般看成是4位有效数字，但它可能是2位或3位有效数字，分别写3.6×103，3.60×103或3.600×103较好。
注意：1.单位变换不影响有效数字的位数。
例如：1.0L=1.0×103ml ，不能写成1000ml2. pH ，pM ，lgc ，lgK 等对数值，有效数字的位数取决于小数部分(尾数)位 数，因整数部分代表该数的方次。
如pH=11.20，有效数字的位数为两位。
3. 有效数字的位数，直接与测定的相对误差有关。
例：测定某物质的含量为0.5180g ，即0.5180±0.0001g 相对误差%02.0%10051801±=⨯±=Er课堂练习：一、下列数据包括几位有效数字：（1）0.0330 （2）10.030（3）0.01020（4）8.7×10-5（5）PKa=4.74(6) PH=10.00二、见课后题第11页11题2.1.2 有效数字的运算规则2.1.2.1有效数字的修约规则在处理数据过程中，涉及到的各测量值的有效数字位数可能不同，因此需要按下面所述的计算规则，确定各测量值的有效数字位数，有效数字确定后，就要将它后面多余的数字舍弃，此过程称为“数字修约”。
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定义： u
x
y (u) 1 eu2 / 2 2
y ：概率密度
u：随机误差
4、随机误差的区间概率 ?
u x
P27习题1 例3: 万分之一天平称量的质量误差
m
Ea
Er
0.2000 g 0.2 mg
0.1%
0.0200 g 0.2 mg
1.0%
2.1.2精密度与偏差 ?
精密度：平行测定的结果互相靠近的程度。 用偏差表示。 偏差小，精密度高。
偏差： 个别测定值xi与几次测定结果的平 均值之间的差别。
绝对偏差 di = xi - x
平均偏差 d 1 n di 1 n i
n i1
n i1
相对平均偏差
dr
d
100%
n
样本标准偏差s= (i )2 i 1
n 1
（有限次测定）
总体标准偏差 （无限次测定）
相对标准偏差（RSD） sr= s x
Sr以百分率表示时又称变异系数CV
三、系统误差的判断与校正
1、判断
▪ 回收实验:
回收率 x3 x1 100%
是否存在系统误差，常常通x过2 回收试验检查。
2、校准或消除 校正方法: 用标准方法或标准试样做对照实验; 校正试剂: 做空白实验； 校正仪器和主观误差(操作人员)。
四、系统误差与随机误差的比较
项目 产生原因
来源
▪ 过失误差 —由粗心大意引起 重 做 !
二、系统误差的来源 ?
▪ 方法误差： 如反应不完全；干扰成分的影响；指示剂
选择不当；
▪ 试剂误差： 试剂或蒸馏水纯度不够 ▪ 仪器误差： 如容量器皿刻度不准又未经校正；电子仪
器“噪声”过大等造成；
▪ 主观误差：如观察颜色偏深或偏浅，第二次读数总是
想与第一次重复等造成。
第二章 误差及分析数据的统计处理 重点难点
1、误差的有关概念及表示； 2、关于误差和数据处理的计算； 3、定量分析中的数据处理及评价； 4、有效数字的表示及运算规则； 5、工作曲线的回归分析
§2.1 定量分析中的误差
2.1.1 准确度与误差 ?
准确度：指测定平均值与真值 接近的程度。
误差：指测定值xi与真值 之差。
甲 乙 丙 丁
36.00 36.50 37.00 37.50 38.00
结论：精密度是保证准确度的前提。 精密度高，准确度不一定就高。 两者的差别在于系统误差的存在
2.1.4 误差的分类及减免误差的方法
一、误差的分类 ?
▪ 系统误差 —由某种固定的因素造成的误差 ▪ 随机误差(偶然误差)—由不确定的因素造成的误差
x 绝对误差 Ea = i
相对误差 Er = xi 100% Ea 100%
例1：用分析天平称量两物体，比较结果的准确度。
p7 A物体. x =1.6380g， =1.6381g
B物体. x =0.1637g， =0.1638g
Ea=1.6380-1.6381= - 0.0001g
Er
0.0001 1.6381
×100% = -0.006%
Ea=0.1637-0.1638= - 0.0001g
Er
0.0001 100% 0.1638
-0.06%
例2: 滴定的体积误差
V
Ea
Er
20.00 mL 0.02 mL 0.1%
2.00 mL 0.02 mL 1.0%
续解：
s
n
(i )2
i 1
n 1
n
di2
i 1
n 1
(0.11)2 (0.14)2 (0.04)2 (0.16)2 (0.09)2 % 5 1
0.13%
CV s 100% 0.13 100% 0.35%
x
37.34
2.1.3 准确度与精密度的关系 ?
第二章 误差及分析数据的统计处理
学习目的
1、认识到误差的客观存在。 2、了解分析过程中误差产生的原因及其出现
规律，以及如何采取相应措施减小误差。 3、对测试数据进行正确的统计处理以获得最
可靠的数据信息。
第二章 误差及分析数据的统计处理
§2.1 定量分析中的误差 §2.2 分析结果的数据处理 §2.3 误差的传递 §2.4 有效数字及其运算规则 §2.5 标准曲线的回归分析
例1: 测w(Fe)/%: 50.04, 50.10, 50.07 ( x =50.07)
绝对偏差di /% ：d1=-0.03; d2= 0.03; d3= 0.00
平均偏差 d /%:
0.02
相对平均偏差dr /%: 0.04
例2：分析铁矿中的铁的质量分数，得到如下数据：
37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%）。计
率小。误差分布曲线只有一个峰 值，说明误差有明显集中的趋势。 (3) 有界性：由随机误差造成的误差不可能很大 即大误差出现的概率很小； (4) 抵偿性：误差的算术平均值的极限为零。
lim n d i 0
n n i1
3、标准正态分布曲线
如何计算某取值范围的误差 出现的概率？ 计算很麻烦！
系统误差 固定的因素
方法误差、试剂误差 仪器误差、主观误差
性质 重复性、单定的因素
环境温度、湿度、电压等的 变化
时正时负，时大时小，不可 测性，不可避免，可用统计 方法研究
精密度
消除或减 校正(做对照实验和空白实验， 免的方法 并校正仪器)
增加测定的次数
2.1.5 随机误差的分布服从正态分布
1、正态分布
正态分布曲线数学表达式为：
y f (x) 1 e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； μ：总体平均值；
x：测量值 ：总体标准偏差
x-：随机误差
服从正态分布的前提：测定次数无限多；系统误差已经排除。
2、随机误差分布规律 ?
(1) 对称性：正误差和负误差出现的概率相等; (2) 单峰性: 小误差出现的概率大，大误差的概
算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系
数。
解：
p10
x 37.45% 37.20% 37.50% 37.30% 37.25% 37.34% 5
d
1 n
n i 1
di
1 n
n i 1
xi
x
1 (0.11 0.14 0.16 0.04 0.09)% 0.11% 5