1-第一章 数值计算中的误差分析
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第一章数值计算方法与误差分析PPT课件
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0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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2
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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3
参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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4
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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计算声学第一章-数值计算中的误差分析
§2 误差与数值计算的误差估计
一元函数的泰勒（Taylor）中值定理：
如果函数 f x 在区间 a,b内有直到 n 1 阶导数，
x0, x a,b ，则有
§2 误差与数值计算的误差估计
结论：如果 x* (a1 101 a2 102 an 10n ) 10m ,
a1 0 ，有 n 位有效数字，则其相对误差限为
Er (x*)
1 2a1
10( n 1)
反之，如果 x* 的相对误差限满足
Er (x*)
1 2(a1 1)
10( n 1)
则 x* 至少有 n 位有效数字。
三维海洋环境下特征声线求解（线性方程组、非线性方程、 非线性方程组）
1. 牛顿法迭代法： 泰勒级数展开式的线性部分近似
2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等
前言
曲线拟合：已知目标散射场指向性的实验测量结果如图
所示，如何比对其与理论计算结果的误差？
130 铝球散射声场指向性 频率 f 28 kHz
§2 误差与数值计算的误差估计
例1.3
要使 20 的近似值的相对误差小于1% ，至少需取几
位有效数字？
§2 误差与数值计算的误差估计
误差的传播与估计
实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值， 带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差或截断误 差，这些误差在运算过程中会进行传播，影响计算结果。
前言
海洋环境
声源
海洋信道
水听器阵
前言
波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动 特征，也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前， 为了使问题简化，需要对介质和声波做一些假设： （1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析误差
I k −1
11 ( k = n, n − 1,…,2,1) = − Ik 5k
(1 − 3)
依式（ 依式（1-3）计算
* 0
的近似值。 I n −1 , I n − 2 ,…, I 1 , I o 的近似值。
* 14
1 1 1 分别取 I = 0.18232155， I = + ≈ 0.01222222 2 6 × 15 5 × 15 按算法1、算法 2的计算结果见下屏表 1 − 1：
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 逆向递推公式在数学上完全等价， 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，
种方向的递推会使误差扩大， 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用） 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增 长的算法。 长的算法。
1 3 1 5 作近似计算， 取 S = x − x + x ，作近似计算，则 3! 5! 为其截断误差。 为其截断误差。
R = sin x − S
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 公式） 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 观测误差都属初始数据的摄动。 件问题的计算方法是十分重要的课题， 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏， 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当， 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 误差在计算过程中不断被放大， 致计算结果的精度大大降低， 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
数值计算中的误差分析研究
数值计算中的误差分析研究在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。
无论是数学模型的建立还是计算方法的选择，都会引入不同程度的误差。
因此，对误差进行准确的分析和评估，对于保证计算结果的可靠性至关重要。
一、误差类型及来源分析在数值计算中，误差可分为四大类：截断误差、舍入误差、模型误差和数据误差。
下面将针对每一类误差进行详细的分析。
1. 截断误差截断误差是由于采用近似方法而引起的误差，主要来源于数值计算中尽可能使用有限计算量的方法。
常见的截断误差包括级数截断误差和差分截断误差。
级数截断误差是在将无穷级数截断为有限项时引入的误差，而差分截断误差则是在对导数或积分进行差分时产生的误差。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机无法进行无限精度的计算而引入的误差。
计算机在进行计算时都需要将浮点数转化为有限位的二进制表示，从而导致了舍入误差的出现。
常见的舍入误差包括绝对误差和相对误差。
绝对误差是实际值与近似值之间的差异，而相对误差是绝对误差与实际值之间的比率。
3. 模型误差模型误差是由于在数值计算中所采用的数学模型与实际问题之间存在差异而引入的误差。
在数学模型的建立过程中，通常会进行一系列的简化和假设，这些简化和假设都会对计算结果产生一定的影响。
模型误差的大小主要取决于模型的准确性和适用性。
4. 数据误差数据误差是由于实际测量或输入数据的有限精度而引入的误差。
无论是实验数据还是观测数据，在进行数值计算时都需要进行一定的近似处理，而这种近似处理往往会导致数据误差的产生。
数据误差的大小与测量设备的精度、数据采集的方法以及数据传输的过程有关。
二、误差分析方法与评估误差分析是对误差进行定量评估和分析的过程，其目的是确定误差的大小和对计算结果的影响程度。
常见的误差分析方法包括误差界定、误差传递和灵敏度分析等。
1. 误差界定误差界定是通过确定近似值与真实值之间的差异来评估误差的大小。
在数值计算中，常常使用绝对误差和相对误差来界定误差。
数值分析(01) 数值计算与误差分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
Di xi D
N=[(n2-1)n!+n]flop
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
期末考试占总成绩的70%，开卷考试。
Matlab_zm@ 密码 123456
数值分析
数值分析
第二节 数值问题与数值算法
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值方法：适合在计算机上，按确定顺序依次进行计算 的计算公式，也就是通常所说的数值计算方法。 数值算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算
有递推公式
注意
计算量 N n flop
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
数值分析
sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。 科学研究的方法: 科学理论,科学实验,科学计算 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
数值分析
数值分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
科学计算的步骤:实际问题→数学模型→数值方法 →程序设计→上机计算→分析结果。 1、建立数学模型（实际问题数学化） 2、设计计算方案（数学问题数值化）
第一章数值计算方法与误差分析分析
控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
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前言
课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的 数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学 知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算 的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题 的能力。
前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用 以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问 题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射 形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场 时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海 洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通 信及环境监测等的手段。
c*
1.2 299792458
4.1 109 (4.002769
109 )
数值计算中的误差分析
有效数字
如果近似值 x* 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其
“准
x*
确”到这一位x*，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位，
则称近似数 有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度（绝对
学习目的：
提高应用计算机解决实际问题的能力。
前言
数值计算流程：
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点：
既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实 验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研 究方法与理论体系的计算数学课程。
前言
数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题，在计算机上 可执行的（指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能够 执行的计算）求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。
和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。
数值计算中的误差分析
例1.1 国际大地测量学会建议光速采用 c 2997924581.2m/ s
其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？
数值计算中的误差分析
绝对误差限： 近似值： 相对误差限：
1.2m/ s
c* 299792458
利用四阶龙格库塔算法求解
前言
四阶龙格库塔算法
xn1
xn
1 6
k1
2k2
2k3
k4 ,
n 0,1,
,N
1
k1 K axn bxn3 un
k2
K
a
xn
k1 2
b xn
k1 2
3
u
n
1
2
p
1 c2
2 p t 2
2为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
前言
海洋声场的数值预报
在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声场物 理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海洋环境参数 的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给出相应海洋环境条 件下的有关场值。近年来，由于计算机的快速发展，数值计算声场 是一个快速发展的领域。
z1 n2 (z) cos2 0
前言
问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解
前言
伪彩色图
前言
三维环境下声传播
接收船
GPS2
垂直阵
GPS1
发射船
声源 水层
沉积层
前言
三维海洋环境下特征声线求解： k1, k2 , 1, 2, 1, 2 为声线的
位置信息，需要求解，其它参数已知。
（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都 是一级小量。
波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状 态方程和运动方程推导得到。
前言
波动方程：
理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿 x 轴向传播）：
2 p x 2
1 c2
2 p t 2
小振幅声压在三维坐标下的波动方程为
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
取部分和作近似
Pn (x)
x 1 x3 3!
1 x5 5!
(1)n1
1
x 2n1
(2n 1)!
截断误差：
En (x) sin x Pn (x)
数值计算中的误差分析
0.1
1 0.05
0
0
-0.05 -1
-0.1
-2 -0.15
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
SR处 理 后 信 号 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
前言
必要性：
现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行数 值计算，水声领域也不例外。
用 x x* 表示近似值的精度或精确值的范围。
绝对误差限不是唯一的，因为一个数的上界不唯一。实际应用中 ，往往根据需要对准确值取近似，使用最广泛的方法是按照四舍五入 原则取近似。
数值计算中的误差分析
例：用毫米刻度的尺子测得桌子长度近似值为 x* 1235 mm，由
尺子的精度可以知道，近似值的误差不超过0.5mm，即
误差限）。
x 0.0330551
x* 0.033056
x*
例1.2 设
x* ，0.其03近30似5值5 x*
，问
有几位有效数字？如果
， 有几位有效数字？
数值计算中的误差分析
1.指出如下有效数的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数。
2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等
前言
曲线拟合：
已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比对其 与理论计算结果的误差？
130铝球散射声场指向性 频率 f 28kHz
ka 7.6
前言
微分方程求解：
随机共振系统对微弱信号的检测 非线性双稳态随机共振系统
x ax bx3 A0 cos(t) 2D(t)
海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、抛 物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同的适应范 围。
前言
函数插值：
已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的
声速值？
深度（m） 声速(m/s)
0.0 1510.5
50.0 1510.4
100.0 1505.8
200.0 1500.8
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000 1480
1490
1500
1510
1520 1530 声 速 (m/s)
1540
1550
1560
1570
前言
数值积分：
声线轨迹计算：声线从深度 z1传播到深度 z 2所经过的水平距
离为
n(z) c0 c(z)
r z2
cos 0
dz
数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一种 近似描述。
观测误差：
测量工具精度与测量手段的限制。
舍入误差：
计算机位数的限制，由于计算机的字长是有限的，对参与计 算的数据和最后得到的计算结果，都必然用有限位小数代替无穷 位小数。
数值计算中的误差分析
截断误差：
由数值方法求得的数学问题的近似解与数学模型的精确解 之间的误差，是数值计算方法固有的。
300.0 1496.0
400.0 1492.0
500.0 1488.1
800.0 1483.2
1000.0 1482.6
1200.0 1482.4
2000.0 1498.0
3000.0 1516.6
4000.0 1534.8
前言
深 度 (m)
声速剖面图 0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
n2 (k2 1)2 22
1)2
2 2
(k11
sin
1
tan
h)2 h)2
1 sin 1 tan
k1 1 12 H 2 tan k11 sin 1
12 sin1
h
1/ 2
tan
2
k2
h
前言
海洋环境
声源
海洋信道
水听器阵
前言
波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动特征， 也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，为了使问题简 化，需要对介质和声波做一些假设：
（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学 性质保持不变；
（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗， 即忽略介质的粘滞性和热传导性；
量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数 ， 这个正数 叫做误差绝对值的上界或误差限。
课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用的 数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、数学 知识和计算机技术解决科学研究中手工所不能解算 的问题，具备应用现代计算工具解决工程实际问题 的能力。
前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用 以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问 题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射 形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场 时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海 洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通 信及环境监测等的手段。
c*
1.2 299792458
4.1 109 (4.002769
109 )
数值计算中的误差分析
有效数字
如果近似值 x* 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其
“准
x*
确”到这一位x*，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位，
则称近似数 有n位有效数字。
有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度（绝对
学习目的：
提高应用计算机解决实际问题的能力。
前言
数值计算流程：
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点：
既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实际实 验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研 究方法与理论体系的计算数学课程。
前言
数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题，在计算机上 可执行的（指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能够 执行的计算）求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。
和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。
数值计算中的误差分析
例1.1 国际大地测量学会建议光速采用 c 2997924581.2m/ s
其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？
数值计算中的误差分析
绝对误差限： 近似值： 相对误差限：
1.2m/ s
c* 299792458
利用四阶龙格库塔算法求解
前言
四阶龙格库塔算法
xn1
xn
1 6
k1
2k2
2k3
k4 ,
n 0,1,
,N
1
k1 K axn bxn3 un
k2
K
a
xn
k1 2
b xn
k1 2
3
u
n
1
2
p
1 c2
2 p t 2
2为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
前言
海洋声场的数值预报
在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声场物 理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海洋环境参数 的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给出相应海洋环境条 件下的有关场值。近年来，由于计算机的快速发展，数值计算声场 是一个快速发展的领域。
z1 n2 (z) cos2 0
前言
问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解
前言
伪彩色图
前言
三维环境下声传播
接收船
GPS2
垂直阵
GPS1
发射船
声源 水层
沉积层
前言
三维海洋环境下特征声线求解： k1, k2 , 1, 2, 1, 2 为声线的
位置信息，需要求解，其它参数已知。
（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都 是一级小量。
波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状 态方程和运动方程推导得到。
前言
波动方程：
理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿 x 轴向传播）：
2 p x 2
1 c2
2 p t 2
小振幅声压在三维坐标下的波动方程为
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
取部分和作近似
Pn (x)
x 1 x3 3!
1 x5 5!
(1)n1
1
x 2n1
(2n 1)!
截断误差：
En (x) sin x Pn (x)
数值计算中的误差分析
0.1
1 0.05
0
0
-0.05 -1
-0.1
-2 -0.15
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
SR处 理 后 信 号 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
x 10
前言
必要性：
现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行数 值计算，水声领域也不例外。
用 x x* 表示近似值的精度或精确值的范围。
绝对误差限不是唯一的，因为一个数的上界不唯一。实际应用中 ，往往根据需要对准确值取近似，使用最广泛的方法是按照四舍五入 原则取近似。
数值计算中的误差分析
例：用毫米刻度的尺子测得桌子长度近似值为 x* 1235 mm，由
尺子的精度可以知道，近似值的误差不超过0.5mm，即
误差限）。
x 0.0330551
x* 0.033056
x*
例1.2 设
x* ，0.其03近30似5值5 x*
，问
有几位有效数字？如果
， 有几位有效数字？
数值计算中的误差分析
1.指出如下有效数的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数。
2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等
前言
曲线拟合：
已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比对其 与理论计算结果的误差？
130铝球散射声场指向性 频率 f 28kHz
ka 7.6
前言
微分方程求解：
随机共振系统对微弱信号的检测 非线性双稳态随机共振系统
x ax bx3 A0 cos(t) 2D(t)
海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、抛 物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同的适应范 围。
前言
函数插值：
已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的
声速值？
深度（m） 声速(m/s)
0.0 1510.5
50.0 1510.4
100.0 1505.8
200.0 1500.8
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000 1480
1490
1500
1510
1520 1530 声 速 (m/s)
1540
1550
1560
1570
前言
数值积分：
声线轨迹计算：声线从深度 z1传播到深度 z 2所经过的水平距
离为
n(z) c0 c(z)
r z2
cos 0
dz
数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一种 近似描述。
观测误差：
测量工具精度与测量手段的限制。
舍入误差：
计算机位数的限制，由于计算机的字长是有限的，对参与计 算的数据和最后得到的计算结果，都必然用有限位小数代替无穷 位小数。
数值计算中的误差分析
截断误差：
由数值方法求得的数学问题的近似解与数学模型的精确解 之间的误差，是数值计算方法固有的。
300.0 1496.0
400.0 1492.0
500.0 1488.1
800.0 1483.2
1000.0 1482.6
1200.0 1482.4
2000.0 1498.0
3000.0 1516.6
4000.0 1534.8
前言
深 度 (m)
声速剖面图 0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
n2 (k2 1)2 22
1)2
2 2
(k11
sin
1
tan
h)2 h)2
1 sin 1 tan
k1 1 12 H 2 tan k11 sin 1
12 sin1
h
1/ 2
tan
2
k2
h
前言
海洋环境
声源
海洋信道
水听器阵
前言
波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动特征， 也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，为了使问题简 化，需要对介质和声波做一些假设：
（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学 性质保持不变；
（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗， 即忽略介质的粘滞性和热传导性；
量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数 ， 这个正数 叫做误差绝对值的上界或误差限。