两直线的位置关系及距离公式
28知识讲解_两直线的位置关系、交点坐标与距离公式_提高
两直线的位置关系、交点坐标与距离公式编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.3．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】要点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．要点三：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.要点四：两直线垂直21tan tan αα=21k k =1111110(0)A x B y C A B C ++=≠2222220(0)A x B y C A B C ++=≠11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩111222A B CA B C ==111222A B C A B C =≠1122A BA B ≠,x y 1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=λλ2220A x B y C ++=2l 21,l l 21,k k 21//l l 1l 2l 1α2α21αα=21//l l 21k k =21k k =21//l l 2121//k k l l =⇔21k k ，21l l 与21l l 与90︒21//l l设两条直线的斜率分别为.若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.要点五：两点间的距离公式两点间的距离公式为.要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点六：点到直线的距离公式点到直线的距离为要点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点七：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a ，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．【思路点拨】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．【答案】a ≠1且a ≠－1且a ≠―221,l l 21,k k 21l l ⊥121-=⋅k k 12121-=⋅⇔⊥k k l l 111222()()P x y P x y ，，，12P P =00()P x y ，0Ax By C ++=d 00()P x y ，0Ax By C ++=P 10Ax By C ++=20Ax By C ++=d 2221||BA C C d +-=1:10l ax y ++=2:10l x ay ++=3:0l x y a ++=【解析】（1）当时，，即a=±1．（2）当时，―a=―1，即a=1．（3）当时，，即a=1．（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a ，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a ≠1且a ≠－1且a ≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．举一反三：【变式1】直线5x+4y ―2m ―1=0与直线2x+3y ―m=0的交点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】【解析】解得所以，解得．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y ―1=0平行的直线方程．【思路点拨】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】解法一：设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y ―1=0平行，∴直线的斜率k=―3．∴根据点斜式有，即所求直线方程为15x+5y+16=0．12//l l 1a a-=-13//l l 23//l l 11a-=-1l 2l 3l 10x ay x y a ++=⎧⎨++=⎩3,22⎛⎫-⎪⎝⎭54210,230,x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩23727m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩2307207m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩3,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭l 233020x y x y --=⎧⎨++=⎩3575x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩l l 73355y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解法二：∵直线过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线的方程为2x ―3y ―3+(x+y+2)=0，即(+2)x+(―3)y+2―3=0．∵直线与直线3x+y －1=0平行，∴，解得．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程理论的发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 举一反三：【变式1】求证：无论m 取什么实数，直线(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0，令m=0，得x ―3y ―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m ―1)×2+(m+3)×(―3)―(m ―11)=4m ―2―3m ―9―m+11=0．这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y ―1)m+(―x+3 y+11)=0．由于m 取值的任意性，有，解得．所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三：两条直线平行的条件例3．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ，所以，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．举一反三：l l λλλλl 2323311λλλ+--=≠-112λ=31104100x y x y ---⎧⎨++=⎩2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩23x y =⎧⎨=-⎩122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩013104130041nmn m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩【变式1】与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。
两直线的位置关系及距离公式
解：(1)取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)，设点 A(0,2) 关于直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)，
则a2b＋ －a b2＋ ＝2 21－5＝0
，解得ab＝ ＝35 ，
∴B(3,5)，
由2x＋ x－y－ y＋52＝＝00 ，解得xy＝ ＝14 ，
∴直线 2x－y＋2＝0 与直线 x＋y－5＝0 的交点为 P(1,4)，
线的距离公式，会求两条平行直 难度不大；若与圆、圆锥曲线结
线间的距离.
合，则出现在解答题中，具有一
定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定
平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2⇔k1＝k2且
；
(2)l1⊥l2⇔
∴|4a＋35b－2|＝2，即4a＋3b－2＝±10.
②
由①②得ab＝ ＝1－，4， 或ab＝ ＝2－77， 87.
∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.
【考向探寻】 1．解关于“中心对称、轴对称”的问题． 2．利用对称解决有关最值问题、光线反射问题．
【典例剖析】
(1)一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，则
反射光线所在的直线方程为
A．2x＋y－6＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋2y－9＝0
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求： ①点A关于直线l的对称点A′的坐标； ②直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(1)利用入射光线上的点关于直线x＋y－5＝0的对称点在反射光线上解题． (2)①直线l为线段AA′的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程 组求出A′点坐标；②转化为点关于直线的对称．
第2讲 直线的位置关系和距离公式
第2讲 直线的位置关系和距离公式【教学目标】知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的 几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充 分体会数形结合的优越性。
情感态度和价值观：体会事物之间的内在联系， 能用代数方法解决几何问题 。
教学重点：两点间距离公式的推导。
教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题考点链接：理解直线的位置关系，掌握点到直线以及直线与直线的距离公式 [知识梳理]：1. 两点之间的距离公式⑴已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(,)d A B⑵中点公式：已知12(,)A x x ，22(,)B x y ，则中点坐标为：122x x x +=，122y y y += 2. 两条直线的位置关系1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= ⑴两条直线相交、平行与重合条件： ①相交的条件：12210A B A B -≠②平行的条件：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ③重合的条件：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑵两条直线垂直的条件：12120A A B B += 3. 点到直线的距离公式点00(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d 的计算公式：d =[典型例题]例1.(1)过点P （5，-2）且与直线x -y -5=0相交成45°角的直线l 的方程 ． (2)两条直线l 1：3x-4y+9=0和l 2：5x+12y-3=0的夹角大小为 ．例2.(1)已知直线y=t 与函数f （x ）=3x 及函数g （x ）=4•3x 的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为 ． (2)已知定义在上的函数y=2（sinx+1）与的图象的交点为P ，过P 作PP 1⊥x 轴于P 1，直线PP 1与y=tanx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 ． 例3．(1)在极坐标系中，直线C 1：ρcosθ-ρsinθ=1与直线C 2：ρsinθ-2ρcosθ=1的夹角大小为 ．（用反三角表示）(2)已知直线l ：5x+2y+3=0，直线l′经过点P （2，1）且与l 的夹角等于45°，则直线l′的一般方程是 ．例4．(1)已知直线l 的方程为2x-y-3=0，点A （1，4）与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 ．(2)已知直线l1的方程为y=2x+3，若直线l2与l1关于直线y=-x对称，则直线l2的斜率为．例5.已知点A（-1，1），B（2，-2），若直线l：x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数M的取值范围是．例6．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．[知识窗]：由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。
高三数学直线与直线的位置关系
g3.1075 直线与直线的位置关系一、知识要点（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。
(二)点到直线的距离、直线与直线的距离1、点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=)0(222200≠++++B A B A CBy Ax2、直线l 1∥l 2，且其方程分别为l 1：Ax+By+C 1=0,l 2：Ax+By+C 2=0,则l 1与l 2的距离为：d=)0(222221≠++-B A B A C C（三）两条直线的交角公式若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则（1）直线l 1到l 2的角满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ. （2） 直线l 1与直线l 2所成的角（简称夹角）θ满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ 说明：（1）当l 1和l 2的斜率都不存在时，所成的角为00；（2）当l 1与l 2的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）l 1到l 2的角1θ不同于l 2到l 1的角2θ，它们满足：πθθ=+21.（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
二、考试要求掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两直线的位置关系；会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式。
三、基本训练1、点（4，a ）到直线4x －3y =1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是………………………（ ）(A )[2，12] (B )[1，12] (C )[0，10] (D )[－1，9]2、两直线的斜率相等是两直线平行的： （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3设方程f(x, y)=0表示定直线，M(x 0, y 0)是直线L 外的定点，则方程f(x, y)－f(x 0, y 0)=0表示直线：（ ）A 、过M 与l 相交，但与l 不垂直B 、过M 且与l 垂直C 、过M 与l 平行D 、以上都不对4、已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y+1=0，3x －y=0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b ⇔==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B CA B C A B C ⇔==≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+平行1212,k k b b ⇔=≠ 2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行()1112222220A B C A B C A B C ⇔=≠≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k ⇔≠2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B ⇔≠ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
1）1l 与2l 相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
例2：设三条直线21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值。
两直线的位置关系及距离公式
06
总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
两直线平行与重合的判定
两直线垂直的判定
点到直线的距离公式
两平行线间的距离公式
通过比较两直线的斜率，可以 判断两直线是否平行或重合。 若两直线斜率相等且不重合， 则两直线平行；若两直线斜率 相等且重合，则两直线重合。
两直线垂直的充分必要条件是 它们的斜率互为负倒数。即， 若一直线的斜率为m，另一直线 的斜率为-1/m，则这两直线垂 直。
通过比较两直线的斜率，若斜率 相等且截距不等，则两直线平行。
相交关系
定义
两直线在同一平面内，且斜率不相等，则称两直线相 交。
性质
相交直线有且仅有一个交点，且相交形成的角的大小 与两直线的斜率有关。
判定方法
通过比较两直线的斜率，若斜率不相等，则两直线相 交。
重合关系
定义
两直线在同一平面内，且斜率和截距都相等，则称两直线重合。
THANKS
感谢观看
在同一平面内，两条直线的位 置关系有平行、相交和重合三 种。
直线的倾斜角是直线与x轴正方 向之间的夹角，取值范围是[0,π)。
直线的方程形式
一般式
Ax + By + C = 0（A、B不 同时为0）。
斜截式
y = kx + b（k是斜率，b是 截距）。
点斜式
两点式
y - y1 = k(x - x1)（k是斜率， (x1, y1)三个顶点分别为$A(1, 2)$，$B(-3, -2)$， $C(5, 6)$，求三角形ABC的面积。
解析
首先求出三角形ABC的三边所在直线的方程，然后利用点 到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用底和高求出 三角形的面积。
两直线之间的距离公式
两直线之间的距离公式
两直线间的距离公式如下：
1、两平行线分别为L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0。
在L2上任取一点P（x0，y0）。
则Ax0+By0+C2=0，Ax0+By0=-C2。
2、根据点到直线距离公式：
P到L1距离为：
|Ax0+By0+C1|/√（A²+B²）。
=|-C2+C1|/√（A²+B²）。
=|C1-C2|/√（A²+B²）。
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
先看在X轴上的两点之间的距离，高两点的坐标分别是X1和X2，那么两点间距离是|X1-X2|，同理在Y轴上也是一样。
即|Y1-Y2|那么在平面直角坐标系中，任意两点间距离，可以连接两点，再分别过两点作两坐标轴的平行线，这样就构成了一个直角三角形。
通过第一段的叙述可以知道两的直角边分别是|X1-X2|，|Y1-Y2|，则利用勾股定理可知，斜边是根号下（|X1-X2|的平方+|Y1-Y2|的平方）这个就是两点间距离公式。
两直线的位置关系与距离公式
两直线的位置关系与距离公式[归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝ 5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝(6－0)2＋(0－8)2＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________． 解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则 2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1， 即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线， 因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．[解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x－1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝⎛⎭⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝⎛⎭⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积．(1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14， 解得交点为P 1⎝⎛⎭⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P 1到直线OA ：x －3y ＝0的距离为d ＝14(3k －1)10(k ＋2)，所以S ＝12|OA |·d ＝14(3k －1)k ＋2；②当32≤k <3时，直线y ＝kx 与线段BC ：y ＝6相交于点P 2⎝⎛⎭⎫6k ，6，所以S △OP 2C ＝12|P 2C |·6＝6(3－k )k.又因为S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △OBC ＝14＋6＝20， 所以S ＝S 四边形OABC －S △OP 2C ＝26－18k .故S ＝f (k )＝⎩⎨⎧14(3k －1)k ＋2⎝⎛⎭⎫13<k <32，26－18k ⎝⎛⎭⎫32≤k <3.(2)若要直线y ＝kx 平分四边形OABC 的面积，由(1)，知只需14(3k －1)k ＋2＝10，解得k ＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：选C d ＝|1－(－1)×1＋1|12＋(－1)2＝322.2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3) 解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝⎛⎭⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝⎛⎭⎫x －222＋( 2－x )2＝2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12.即最小值为12.答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋(－1)2，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝0 9．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3 解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝|P A |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2， 故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12； 直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}． 故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12 2．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4， 即A ′(0,4)． 故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2， 即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522， 如图，直线l 被两平行线截得的线段为5，设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22， 所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为零．又因为直线l 过点D (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6， 故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ， 由已知|k －3|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝1或k ＝－7， 故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0.综上，所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.。
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题中，具有一定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定 平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情
况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2⇔k1＝k2且 b1≠b2 ； (2)l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 ；
(3)l1与l2重合⇔k1＝k2且 b1＝b2 .
立．
答案：B
(2)(理)由题意知 y′＝2ax－a，故曲线在(0,1)处的切线斜 率为 y′|x＝0＝－a，而直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－2，由条 件得－2×(－a)＝2a＝－1，解得 a＝－12.
答案：B
(文)当 m＝0 时两直线不垂直，故 m≠0，可得两直线斜 率分别为12，－m2 .由12·－m2 ＝－1 得 m＝1.
限，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由题意知 k≠0，
由yy＝＝k－x－x＋11 得xy＝ ＝kkk＋ － ＋2 111， .
因为交点在第一象限，故kkk＋ －＋2 111＞＞00 答案：C
，解得 k＞1.
3．过点(1,0)且与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程是( )
解析：两直线的斜率分别为 4－a 和－23， 由两直线垂直的充要条件知(4－a)·－23＝－1， 解得 a＝52. 答案：52
5 ． 直 线 2x ＋ 3y － 6 ＝ 0 关 于 点 (1 ， － 1) 对 称 的 直 线 方 程 为 ________________．
解析：设(x，y)为所求直线上任一点，它关于点(1，－1)的 对称点为(2－x，－2－y)，由题意知2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0， 化简得2x＋3y＋8＝0.即为所求直线方程．
(2)(理)曲线 y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直
线 2x＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于
1 A.2
B．－12
1 C.3
D．－13
(2)(文)若直_.
(3)直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上， 则C的值为________．
考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，本考点侧重
1.能根据两条直线的斜率判定 这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条 相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.
于对两直线位置关系、距离公 式及对称问题的考查，且常与 圆、圆锥曲线交汇在一起命 题． 2.从考查形式看，若单独考 查，则以选择题、填空题的形 式出现，难度不大；若与圆、 圆锥曲线结合，则出现在解答
题号 (1) (2) (3)
分析 根据直线平行的充要条件判断． 利用两直线垂直的充要条件求解． 先求出直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点，再求C.
解 析 ： (1) 由 两 直 线 平 行 的 充 要 条 件 知 l1∥l2⇔an ＝ bm 且
ap≠cm或an＝bm且bp≠cn.故由l1∥l2可得an＝bm，反之不一定成
2．轴对称 解题方法：利用两对称点的连线与对称轴垂直以及两对称 点的中点在对称轴上列方程组，求出两对称点坐标间的关系后 解题．
1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
D. 5
解析：d＝ |1－2＋5|22＝ 5. 答案：D
2．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象
答案：2x＋3y＋8＝0
【考向探寻】 1．求两条直线的交点． 2．两条直线平行、垂直的判定及应用．
【典例剖析】
(1)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋
p＝0，则“an＝bm”是“直线l1∥l2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
解析：设所求方程为x－2y＋c＝0，
由过点(1,0)，知1－2×0＋c＝0，所以c＝－1，
故所求直线方程为x－2y－1＝0.
答案：B
4．已知直线(a－4)x＋y＋1＝0与直线2x＋3y－5＝0垂直，则 a＝________.
答案：1
(3)在 2x－3y＋4＝0 中，令 x＝0 得 y＝43，故该直线与 y 轴交点为0，43.由条件知 A·0＋3×43＋C＝0.所以 C＝－4.
(2)若方程组无解，则两条直线 平行 ． (3)若方程组有无数个解，则两直线 重合 ．
，此解就
三、距离
两点 P1(x1，y1)，P2(x2， |P1P2|＝
y2)间的距离
x1－x22＋y1－y22
点 P0(x0，y0)到直线 l：
|Ax0＋By0＋C|
Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
A2＋B2
两条平行线 Ax＋By＋
(2)l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0
；
(3)l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则两直线的 交点坐标
就是方程组的解．
(1) 若 方 程 组 有 惟 一 解 ， 则 两 条 直 线 相交 是 交点坐标 ．
|C1－C2|
C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝ d＝ A2＋B2
0 间的距离
点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式对直线方 程有什么要求？
提示：点到直线的距离公式中要求直线方程为一般式；两 平行线间的距离公式中要求方程为一般式，且x，y项的系数相 同．
四、对称问题 1．中心对称 解题方法：利用中点坐标公式． 特别地，两点关于原点对称时，解题的方法是以－x代替x， 以 －y 代替y.
若直线l1、l2的斜率都不存在，则l1、l2平行或重合； 若 直 线 l1 、 l2 中 一 条 没 有 斜 率 ， 另 一 条 斜 率l1⊥为l20 ，
则
.
2．利用直线方程的系数判定
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔ A1B2＝A2B1 且A2C1≠A1C2(或B2C1≠B1C2)．