离散数学 第1章 习题解答
习题
1. 下列句子中，哪些是命题哪些不是命题如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗
⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；
⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；
⑶p：天在下雨；q：湿度很高；
⑷p：刘英上山；q：李进上山；
⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；
⑹p：你看电影；q：我看电影；
⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；
⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q
⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q
⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q
⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：pq
⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p
⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：pq。
⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r
4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制)
⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：pq；该命题是假命题。
⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。
⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。
⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。
习题
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴(p∧q→r)
⑵(p∧(q→r)
⑶((p→q)(r∨s))
⑷(p∧q→rs)
⑸((p→(q→r))→((q→p)q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴p∧q
⑵r→q
⑶p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴r∧q
⑵(r∨q)
⑶q (r∧p)
⑷(q→r)∧(r→q)
解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧q)∨(p∧q)。
⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。
⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。
⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（qr）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符
号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题
1.设A、B、C是任意命题公式，证明：
⑴AA
⑵若AB，则BA
⑶若AB，BC，则AC
证明：⑴由双条件的定义可知AA是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。
⑵因为AB，由等价的定义可知AB是一个永真式，再由双条件的定义可知B A也是一个永真式，所以，B A成立。
⑶对A、B、C的任一赋值，因为A B，则AB是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为BC，则BC是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即AC成立。
2.设A、B、C是任意命题公式，
⑴若A∨CB∨C, AB一定成立吗
⑵若A∧CB∧C, AB一定成立吗
⑶若AB，AB一定成立吗
解：⑴不一定有AB。若A为真，B为假，C为真，则A∨CB∨C成立，但AB不成立。
⑵不一定有AB。若A为真，B为假，C为假，则A∧CB∧C成立，但AB不成立。
⑶一定有AB。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴q∧(p→q)→p
⑵p→(q∨r)
⑶(p∨q)(q∨p)
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r
⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)
解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表所示。
表
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。
⑵p→(q∨r) 的真值表如表所示。
表
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。
⑶(p∨q)(q∨p) 的真值表如表所示。
表
所有的赋值均使得公式(p∨q)(q∨p)成真，即(p∨q)(q∨p)是一个永真式。
⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表所示。
表
，使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。
⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r) 的真值表如表所示。
使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((p →(p ∧q ))→r )∨(q ∧r )成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式： ⑴(p →q )p ∧q
证明：证明(p →q )p ∧q 的真值表如表所示。
表
由上表可见：(p →q )和p ∧q 的真值表完全相同，所以(p →q )p ∧q 。 ⑵p →qq →p
证明：证明p →qq →p
的真值表如表所示。
表
由上表可见：p →q 和→p 。 ⑶(pq )pq
证明：证明(pq )和pq 的真值表如表所示。
表
表
由上表可见：(pq)和pq的真值表完全相同，所以(pq)pq。
⑷p→(q→r)(p∧q)→r
证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。
表
由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q→r)(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)p→(p→q)
证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表所示。
表
由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q→p)p→(p→q)。
⑹(pq)(p∨q)∧(p∧q)
证明：证明(pq)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表所示。
表
由上表可见：(pq)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同，所以(pq)(p∨q)∧(p∧q)
⑺(pq)(p∧q)∨(p∧q)
证明：证明(pq)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表所示。
表
由上表可见：(pq)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表完全相同，所以(pq)(p∧q)∨(p∧q)。
⑻p→(q∨r)(p∧q)→r
证明：证明p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。
表
由上表可见：p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)(p∧q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴(p→q)
(p∨q) (条件等价式)
p∧q (德·摩根律)
⑵q→p
q∨p (条件等价式)
q∨p (双重否定律) p∨q (交换律)
p→q (条件等价式)⑶(pq)
((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ((p∨q)∧(q∨p)) (条件等价式) (p∧q)∨(q∧p) (德·摩根律) ((p∧q)∨q)∧((p∧q)∨p) (分配律)
(p∨q)∧(q∨p) (分配律)
(p∨q)∧(q∨p) (交换律)
(p→q)∧(q→p) (条件等价式) pq (双条件等价式)
⑷p→(q→r)
p∨(q∨r) (条件等价式) (p∨q)∨r (结合律)
(p∧q)∨r (德·摩根律) (p∧q)→r (条件等价式)⑸p→(q→p)
p∨(q∨p) (条件等价式) T
p→(p→q)
p∨(p∨q) (条件等价式) T
所以p→(q→p)p→(p→q)
⑹(pq)
((p∧q)∨(p∧q)) (例
(p∨q)∧(p∨q) (德·摩根律) (p∨q)∧(p∧q) (德·摩根律)所以(pq)(p∨q)∧(p∧q)
⑺(pq)
((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ((p∨q)∧(q∨p)) (条件等价式) (p∧q)∨(p∧q) (德·摩根律)⑻p→(q∨r)
p∨(q∨r) (条件等价式) (p∨q)∨r (结合律)
(p∧q)∨r (德·摩根律) (p∧q)→r (条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律：(p∨q)∨rp∨(q∨r)，(p∧q)∧rp∧(q∧r)
证明：证明结合律的真值表如表和表所示。
表
表
由真值表可知结合律成立。
⑵分配律：p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)，
p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)
证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。
表
表
由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式：p→qq→p
证明：证明假言易位式的真值表如表所示。
表
由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式：pqpq
证明：证明双条件否定的真值表如表所示。
表
由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴(p∨q)→q
(p∨q)∨q （条件等价式）
(p∧q)∨q （德·摩根律）
q （可满足式）（吸收律）
⑵(p→q)∧q
(p∨q)∧q （条件等价式）
(p∧q)∧q （德·摩根律）
F（永假式）（结合律、矛盾律）
⑶(p→q)∧p→q
(p∨q)∧p→q （条件等价式）
(p∧p)∨(q∧p)→q （分配律）
(q∧p)→q （同一律、矛盾律）
(q∧p)∨q （条件等价式）
(q∨p)∨q （德·摩根律）
T(永真式) （零律、排中律）
⑷(p→q)∧q
(p∨q)∧q （条件等价式）
q（可满足式）（吸收律）
⑸(p→q)→(q→p)
(p→q)→(p→q) （假言易位式）
T(永真式)
⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r) （条件等价式）
(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r) （德·摩根律）
(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r)) （分配律）
(p∧q)∨(p∨q∨r) （同一律、排中律、零律）(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q) （分配律）
T(永真式)
⑺p→(p→q)
p∨(p∨q) （条件等价式）
T(永真式)
⑻p→(p∨q∨r)
p∨(p∨q∨r) （条件等价式）
T(永真式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p→q))→q的真值表如表所示。由表可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。
表
⑵(q∧(p→q))→p
(q∧(p→q))→p的真值表如表所示。由表可以看出(q∧(p→q))→p是重言式。
表
⑶(p∧(p∨q))→q
(p∧(p∨q))→q的真值表如表所示。由表可以看出(p∧(p∨q))→q是重言式。
表
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p→q)∧(q→r))→(p→r)的真值表如表所示。由表可以看出((p→q)∧(q→r))→(p→r)是重言式。
表
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r的真值表如表所示。由表可以看出((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r是重言式。
表
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))的真值表如表所示。由表可以看出((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))是重言式。
表
⑺((pq)∧(qr))→(pr)
((pq)∧(qr))→(pr)的真值表如表所示。由表可以看出((pq)∧(qr))→(pr)是重言式。
表
3. 用等价演算证明题2中的命题公式是重言式。
⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p∨q))∨q
(p∨(p∧q))∨q
((p∨p)∧(p∨q))∨q
(p∨q)∨q
T
⑵(q∧(p→q))→p
(q∧(p∨q))→p
(q∧(p∨q))∨p
(q∨(p∧q))∨p
(p∨q)∨(p∧q)
(p∧q)∨(p∧q)
T
⑶(p∧(p∨q))→q
(p∧q)→q
(p∧q)∨q
p∨q∨q
T
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r)
(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r)
(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r))
(p∧q)∨(p∨q∨r)
(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q)
T
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
((p∨q)∧(p∨r)∧(q∨r))→r
((p∨q)∧((p∨q)∨r))→r
((p∨q)∧r)→r
((p∨q)∧r)∨r
(p∨q)∨r∨r
T
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
((p∨q)∧(r∨s))∨((p∧r)∨(q∧s))
((p∧q)∨(r∧s))∨((p∨r)∨(q∧s))
((p∧q)∨(r∧s))∨((p∨r∨q)∧(p∨r∨s))
((p∧q)∨(r∧s)∨(p∨r∨q))∧((p∧q)∨(r∧s)∨(p∨r∨s)) ((r∧s)∨((p∨r∨q∨p)∧(p∨r∨q∨q)))∧((r∧s)∨((p∨r∨s∨p)∧(p∨r∨s∨q)))
((r∧s)∨T)∧((r∧s)∨(p∨q∨r∨s))
(r∧s)∨(p∨q∨r∨s)
(p∨q∨r∨s∨r)∧(p∨q∨r∨s∨s)
T
⑺((pq)∧(qr))→(pr)
((p∨q)∧(q∨p)∧(q∨r)∧(r∨q))→(pr)
((p∨q)∧(q∨p)∧(q∨r)∧(r∨q))∨(p∧r)∨(p∧r)
(p∧q)∨(p∧r)∨(r∧q)∨(q∧r)∨(q∧p)∨(p∧r)
((p∧(q∨r))∨(q∨r))∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
(((q∨r)∨(q∨r))∧(p∨(q∨r)))∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
(T∧(p∨(q∨r)))∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
p∨(q∧r)∨(r∧q)∨(q∧p)∨(p∧r)
p∨(q∧r)∨((q∧p)∨(p∧r))∨(r∧q)
p∨(q∧r)∨((p∧(q∨r))∨(q∨r))
p∨(q∧r)∨p∨(q∧r)
T
4.证明下列等价式：
⑴((p→r)∧(q→r))
(p∨r)∧(q∨r)
(p∧q)∨r
(p∨q)∨r
(p∨q)→r
⑵(p→q)∧(p→q)
(p∨q)∧(p∨q)
p∨(q∧q)
p∨F
p
⑶p∧(p→q)
p∧(p∨q)
(p∧p)∨(p∧q)
F∨(p∧q)
p∧q
习题
1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(p∧q)→r
(p∧q)∨r
p∨q∨r
⑵(p→q)→r
(p∨q)∨r
(p∨q)∨r
p∨q∨r
⑶p∧(p→q)
p∧(p∨q)
(p∧p)∨(p∧q)
p∧q
⑷(p→q)∧(q∨r)
(p∨q)∧(q∨r)
q∨(p∧r)
⑸(p∨q)∧(r→t)
(p∧q)∧(r∨t)
(p∧q∧r)∨(p∧q∧t)
2. 求下列命题公式的合取范式。
⑴(p→q)
(p∨q)
p∧q
⑵q∨(p∧q∧r)
(q∨p)∧(q∨q)∧(q∨r)
(q∨p)∧(q∨r)
⑶(p∧q)∨(p∧q)
((p∧q)∨p)∧((p∧q)∨q))
(p∨p)∧(q∨p)∧(p∨q)∧(q∨q)
(p∨q)∧(p∨q)
⑷(pq)
((p∧q)∨(p∧q))
(p∨q)∧(p∨q)
⑸(p→q)→r
(p∨q)∨r
(p∨q)∨r
p∨q∨r
3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。
⑴(p∧q)∨(p∧r)
作(p∧q)∨(p∧r)的真值表，如表所示。
表