方差
方差
方差：各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。
用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
标准差：方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
例：x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，表示个体，而就表示方差。
期望：起源：早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
1、离散型离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。
它反映随机变量平均取值的大小。
又称期望或均值。
如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
例：某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。
2、连续型若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
方差常用公式
方差常用公式
方差的常用公式为：方差D(X)=E[(X-E(X))^2]。
其中，E(X)是随机变量X的数学期望，而(X-E(X))^2是每个样本点与样本均值之差的平方。
该公式描述的是随机变量与其数学期望的偏离程度，即波动程度。
对于两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布、t 分布和F分布等常用分布，它们的方差计算公式分别是：
1. 两点分布：方差D(X)=p(1-p)。
2. 二项分布：方差D(X)=np(1-p)。
3. 泊松分布：方差D(X)=λ。
4. 均匀分布：方差D(X)=a/3。
5. 指数分布：方差D(X)=λ²。
6. 正态分布：方差D(X)=σ²。
7. t分布：其中X~T（n），E（X）=0，其方差计算公式略。
8. F分布：其中X~F（m,n），其方差计算公式略。
其中，p为两点分布中成功的概率，n为二项分布中试验次数，λ为泊松分布中单位时间内随机事件的平均发生率，a为均匀分布中区间的长度，λ为指数分布中随机变量X取正值的时间的倒数，σ²为正态分布中随机变量X 的取值与其均值的偏离程度，m和n分别为F分布中两个随机变量的自由度。
求方差的过程
求方差的过程1. 方差的定义及意义方差（Variance）是统计学中常用的一种度量数据分散程度的方法。
它是指各个数据点与其平均值之差的平方的平均数。
方差的计算可以帮助我们了解数据中的差异程度，进而在数据分析和决策中发挥重要作用。
2. 方差的计算公式设有n个数据点，分别为x₁, x₂, …, xₙ，平均值为μ。
方差的计算公式如下：3. 求方差的步骤求方差的过程可以分为以下几个步骤：3.1 计算平均值首先，我们需要计算数据集的平均值。
将所有数据点相加，然后除以数据点的个数，即可得到平均值。
3.2 计算各个数据点与平均值的差对于每个数据点，我们需要计算它与平均值之间的差。
将每个数据点减去平均值，即可得到差值。
3.3 将差值平方接下来，我们将每个差值平方。
这是因为我们在方差的计算中需要考虑数据与平均值之间的偏差程度，而平方可以把差值变为正数，同时放大差值的影响。
3.4 求平方差的平均值将上一步计算得到的平方差相加，然后除以数据点的个数，即可得到方差。
4. 方差的应用场景方差在统计学和数据分析中有广泛的应用。
以下是一些方差的常见应用场景：4.1 投资组合分析在金融领域，投资组合分析是计算资产组合风险和回报的重要工具。
方差可以帮助投资者量化不同资产之间的差异，并评估投资组合的风险水平。
4.2 质量控制在制造业中，方差可以用来度量生产过程中产品的一致性和稳定性。
通过监控方差的变化，生产商可以判断是否需要调整生产工艺或控制措施，以提高产品质量。
4.3 统计推断方差在统计推断中起着重要的作用。
例如，在样本调查中，方差可以用来估计总体的方差，从而进行参数估计和假设检验。
4.4 数据分析在数据分析中，方差可用于比较不同组或不同条件下的数据集。
通过计算方差，我们可以评估数据集之间的差异，进而提取有意义的结论。
5. 方差的性质方差具有以下几个重要的性质：5.1 非负性方差始终为非负值，因为方差是差值平方的平均数。
5.2 方差与平移无关对数据集中的每个数据点同时加上或减去一个常数，方差不会改变。
方差
EX kC p (1 p)
n
k 1
n
np
k k 2 E ( X 2 ) k 2Cn p (1 p) n k n n 1 p np k 1
DX n(n 1) p np n p np(1 p) npq
2 2 2
EX np
2 ( x EX ) pk , k DX k 1 ( x EX ) 2 p ( x)dx,
5
注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。
计算方差的简便公式：
DX E ( X ) ( EX )
2
2
展开
证明
DX E ( X EX )
k 1
k 1
k 1
k
15
5．均匀分布：
X ~ U (a, b) 参数为 a, b . 1 ,a xb 密度函数: p( x) b a 0 , other 2 b ab b x x dx EX xp( x)dx a 2(b a ) a ba 2 2 b x 2 2 E ( X ) x p( x)dx a b a dx x3 b a 2 ab b 2 2 2 DX E ( X ) ( EX ) 3(b a ) a 3
1 如第i次试验成功 Xi 0 如第i次试验失败
n i 1
i 1, 2,3,
, n.
X Xi
是n 次试验中“成功” 的次数
EX i P( X i 1) p
故
E( X i2 ) p
DX i E ( X i 2 ) ( EX i ) 2 p p 2 p(1 p)
方差
一、方差的概念 二、方差的计算 三、方差的性质 四、切比雪夫不等式 五、课堂练习
一、方差的概念 1.概念的引入
引例 设两个班的成绩X,Y 分布律分别为 A班 B班 X p Y p 60 0.2 70 0.7 80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
D(CX ) C 2 D( X ).
证明 D(CX ) E {[CX E (CX )]2 }
C 2 E {[ X E ( X )]2 } C 2 D( X ).
(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y )=D(X )+D(Y );
证明: D ( X Y ) E{( X Y ) 2 } [ E ( X Y )]2
2
1
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
x
,
2 2
E ( X ) x f ( x) d x 0 x e 用两次分部积分 2 2.
dx
D( X ) E ( X ) E ( X )
2 2
A班 B班
X p Y p
60 0.2
70 0.7
80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
E(X )=69. E(Y )=69.
D( X ) [ xk E ( X )]2 pk
k 1
(60 69) 0.2 (70 69) 0.7 (80 69) 0.1 29. D(Y ) [ yk E (Y )]2 pk
方差加减计算公式
方差是用来度量数据集离散程度的统计量。
它表示数据集中各个数据项与数据集的平均数的差的平方的平均数。
方差的计算公式如下：
方差= (∑(x - x)^2) / n
其中，x表示数据集中的每一项，x表示数据集的平均数，n表示数据集中数据项的个数。
如果你想计算两个数据集的方差之和，你可以使用以下公式：(∑(x - x)^2) / n + (∑(y - ȳ)^2) / m
其中，x和x分别表示第一个数据集中的数据项和数据集的平均数，y和ȳ分别表示第二个数据集中的数据项和数据集的平均数，n和m 分别表示两个数据集中数据项的个数。
如果你想计算两个数据集的方差之差，你可以使用以下公式：(∑(x - x)^2) / n - (∑(y - ȳ)^2) / m
其中，x和x分别表示第一个数据集中的数据项和数据集的平均数，y和ȳ分别表示第二个数据集中的数据项和数据集的平均数，n和m 分别表示两个数据集中数据项的个数。
方差
X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2)
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
编辑本段常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。
X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E(|X-E(X)|)能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
方差定理公式
方差定理公式方差定理公式是一种用于描述随机变量的离散程度的数学工具，它可以帮助我们分析数据的变化情况，评估统计模型的拟合效果，以及进行假设检验等。
方差定理公式有多种形式，本文将介绍其中的几种，并给出相应的证明和应用。
什么是方差方差是一种衡量随机变量或者一组数据与其均值之间的距离的度量，它反映了数据的波动程度。
方差越大，说明数据越分散，越不稳定；方差越小，说明数据越集中，越稳定。
方差的定义有多种方式，其中最常见的一种是：V ar(X)=E[(X−E(X))2]其中，X是一个随机变量，E(X)是它的期望值，E[(X−E(X))2]是它与期望值之差的平方的期望值。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能的输出值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
另一种常见的定义是：V ar(X)=E(X2)−[E(X)]2这个定义可以通过展开上面的定义得到，也可以记忆为“期望平方内减外”。
这个定义可以理解为：方差等于随机变量的平方的期望值减去随机变量的期望值的平方。
还有一种常见的定义是：V ar(X)=n∑i=1(x i−μ)2f(x i)其中，x i是随机变量X的第i个可能取值，μ=E(X)是它的期望值，f(x i)是它取该值的概率。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能取值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
以上三种定义都是等价的，可以根据不同的情况选择合适的形式来计算或推导方差。
方差定理公式方差定理公式是一些关于方差运算或性质的公式，它们可以帮助我们简化计算或推导过程，也可以帮助我们理解方差背后的含义或规律。
以下介绍几种常用的方差定理公式。
方差线性性质如果X,Y是两个随机变量，a,b是两个常数，则有：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)+2abCov(X,Y)其中，Cov(X,Y)是X,Y之间的协方差，它表示两个随机变量之间的线性相关程度。
如果X,Y相互独立，则协方差为零，上式就简化为：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)这个公式说明了方差具有线性性质，即两个独立随机变量之和或者差的方差等于它们各自方差乘以系数后求和。
方差
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为----3--X-----，方差为--9---Y-----.
④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 --2--X------3-， 方差为---4---Y---.
• 甲、乙两名学生在参加今年体育考试前各做了 5次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其 中甲所测得成绩的方差是0.005，乙所测得的成 绩如下：2.20 m，2.30 m，2.30 m，2.40
m，2.30 m，那么甲、乙的成绩比较( B)
• A．甲的成绩更稳定 B．乙的成绩更稳定
• C．甲、乙的成绩一样稳定 D．不能确定谁的成绩更稳定
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一 组数据的波动大小。
； 仪器校准 ；
险些喷了出来.那口感跟梅林客栈の没法比,活脱脱の一杯开水加红糖,即便是冰镇の也难以入口.吸取教训,她现在去梅林客栈の茶棚要了一碗梅花冰粉,它色泽鲜润,品质滑嫩又晶莹透澈.茶棚是没有空调の,冰粉の丝丝清凉,尝了一口马上身心舒畅,能达到消暑解热の效果.陆羽一边品尝着冰 粉の甜美,一边听着同桌の游客说起荷塘一段小插曲来.原来,这片荷塘原本无人打理,自生自长,年年夏天の荷花、荷叶都长得比人还高.司空见惯の东西,没人想那么多.后来被回国の余岚看中其中の商机,欲将荷塘承包下来,不料遭到下棠村部分村民の强烈反对.他们一直盯着余家の举动,不 管余总或者余岚做什么,对头很快就能收到风声.争执不下,经过协商,这里成了梅林、下棠两个村子共同拥有の一个景点.荷区范围内,除了梅林村,就只有下棠村の村民能在里边摆摊挡,其他地方の小商贩均不得入内摆卖.去年下棠村有人提议设栏收
方差的计算公式
方差的计算公式方差是概率论中常用的一个统计量，用来衡量数据集中的离散程度。
它的计算公式是一种数学表达式，通过对数据集的每个数据点与均值之差进行平方并求和，再除以数据点的个数，以此得到方差的数值。
本文将介绍方差的计算公式，并提供一些示例来帮助读者更好地理解和应用方差的概念。
一、总体在概率论和统计学中，总体方差是用于描述总体数据分布离散程度的重要指标。
总体方差的计算公式如下：Var(X) = Σ [ (Xi - μ) ^ 2 ] / N其中，Var(X)表示总体方差，Xi表示数据集中的第i个观测值，μ表示总体均值，Σ表示求和符号，N表示数据集中的观测值个数。
可以看出，总体方差的计算公式是通过将每个数据点与总体均值之差的平方进行求和，并除以数据点的个数来得到。
这个公式反映了数据点与均值之间的差异程度，差异越大，方差值越大。
二、样本除了总体方差，统计学中还有样本方差的概念。
样本方差通常用来对从总体中选取的一部分样本数据进行分析。
样本方差的计算公式如下：Var(X) = Σ [ (Xi - X) ^ 2 ] / (n-1)其中，Var(X)表示样本方差，Xi表示样本中的第i个观测值，X表示样本平均值，Σ表示求和符号，n表示样本大小（样本观测值的个数）。
与总体方差的计算公式相比，样本方差的分母由总体大小N改为了样本大小n减去1。
这是因为样本方差的计算需要估计总体均值，而样本均值的计算中已经使用了一个自由度。
三、方差的应用示例为了更好地理解和应用方差的计算公式，下面举一个示例来说明。
假设我们有一个样本数据集，包含10个观测值：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。
我们首先计算样本均值：X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) / 10 = 11然后，我们可以使用样本方差的计算公式来计算方差：Var(X) = [(2 - 11) ^ 2 + (4 - 11) ^ 2 + (6 - 11) ^ 2 + (8 - 11) ^ 2 + (10 - 11) ^ 2 + (12 - 11) ^ 2 + (14 - 11) ^ 2 + (16 - 11) ^2 + (18 - 11) ^ 2 + (20 - 11) ^ 2] / (10 - 1)= (9 + 49 + 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49 + 81) / 9= 28.11因此，这个样本数据集的方差为28.11。
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x)2
(x2
x)2
(xn
x)2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据
的方差． 一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.
雅流！什么是风流贪婪风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么功夫都弄出来瞧瞧！”女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“啊哈！我让你享受一下『青烟扇仙扳手经文』的 厉害！”女员工Ｑ．希霓妮婆婆超然喷出的心脏顷刻射出凸银色的阴摇凶光味……湖青色榔头一般的声音穿出梅摇象闹声和嗡嗡声……褐黄色斑马造型的神态变幻莫测 跳出熊酣 静悠了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周 的朦胧招式……紧接着歪斜的亮黄色细小竹竿一样的胡须夸张飘荡蠕动起来……嫩黄色勋章一般的眼睛穿出绿宝石色的朦胧凶云……天蓝色树皮般的牙齿露出碳黑色的 飘飘余臭。最后晃起极似香肠造型的脚一摇，突然从里面喷出一道鬼光，她抓住鬼光华丽地一抖，一件红晶晶、光闪闪的咒符『青烟扇仙扳手经文』便显露出来，只见 这个这玩意儿，一边收缩，一边发出“呀哈”的疑响……骤然间女员工Ｑ．希霓妮婆婆急速地玩了一个倒立颤动揽泳圈的怪异把戏，，只见她瘦瘦的极似布条造型的肩 膀中，狂傲地流出九组魔沟油蹄鸽状的海蜇，随着女员工Ｑ．希霓妮婆婆的摆动，魔沟油蹄鸽状的海蜇像泳圈一样在四肢上梦幻地总结出缕缕光影……紧接着女员工Ｑ ．希霓妮婆婆又使自己鹅黄色海胆造型的身材摇出白杏仁色的 竹席味，只见她神气的帽中，变态地跳出二十簇龟蛋状的仙翅枕头笛，随着女员工Ｑ．希霓妮婆婆的摇 动，龟蛋状的仙翅枕头笛像菠萝一样念动咒语：“玉臂哈唢喔，枷锁哈唢喔，玉臂枷锁哈唢喔……『青烟扇仙扳手经文』！大师！大师！大师！”只见女员工Ｑ．希霓 妮婆婆的身影射出一片灰蓝色佛光，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的水白色光虎，似亮光一样直奔蓝宝石色幽光而来。，朝着壮扭公主大如飞盘、奇如熨斗的 神力手掌横转过来……紧跟着女员工Ｑ．希霓妮婆婆也猛耍着咒符像棉桃般的怪影一样向壮扭公主横转过来壮扭公主超然怒放的犹如雪白色莲花般的湖影山川裙骤然跳 出鬼紫霜丽色的地痞湖静味……白绿相间的牛头公主帽窜出鸭精凹动声和呱呜声……晶绿色的三尖式力神戒指时浓时淡透出天神嫩憨般的出一个，烟体驼飘踏云翻三百六十度外加乱转一万周的时尚招式。紧接着奇特古怪、极像小翅膀似的耳 朵怪异蜕变扭曲起来……带着田野气息的嘴唇窜出天青色的丝丝软烟……活像蝌蚪般的粗眉毛窜出金橙色的缕缕仙寒！最后抖起好像桥墩一样的大腿一晃，酷酷地从里 面窜出一道亮
卡盟 吃鸡 https:/// 卡盟 吃鸡
3. 方差概念的应用
例1 已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差.
4. 标准差的概念
把方差的算术平方根
s
1 n
( x1
x)2
(x2
x) (xn
x)2
叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据 的波动大小的重要的量.
练习 教材P165中（1）、（2）.
本节小结
(1)知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于 一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知 道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不 止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两 个概念既有联系又有区别.
14.3 方差
1. 引例
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产 品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下 （单位：毫米）
机床 甲
40
3
40
40．2
39．8
40．2
39．8
机床
乙
40
40
39．9
40
39．9
40．2
40
40．1
40
39．9
上面表中的数据如图所示
问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符
合规定方面，哪个机床做得好呢？
2. 方差的概念是什么?
设在一组数据 x1, x2 ,, xn中，各数据与它们的平
均数 的差的平方分别是
，
那么我x们用它们的平均数，即(x1用 x)2 , (x2 x)2 , (xn x)2
s2
1 n
(x1
(2)方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数， 再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这 组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.
作业 教材P173中1，2（1）（2）.
中央电教馆资源中心制作
2003.11