椭圆,双曲线,抛物线知识点
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线是数学中的重要概念，它们的知识点汇总如下：
首先是椭圆，它是一种抛物线，其特征是两个轴的长度不相等，形状像一个椭圆。
它的方程式为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴。
其次是双曲线，它也是一种抛物线，其特征是两个轴的长度相等，形状像一个双曲线。
它的方程式为：x2/a2 - y2/b2 = 1，其中a为双曲线的长轴，b为双曲线的短轴。
最后是抛物线，它是一种曲线，其特征是一个轴的长度为零，形状像一个抛物线。
它的方程式为：y2 = 2px，其中p为抛物线的焦点距离。
椭圆双曲线抛物线是数学中重要的概念，它们的方程式分别为：x2/a2 + y2/b2 = 1（椭圆），x2/a2 - y2/b2 = 1（双曲线），y2 = 2px（抛物线）。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 是椭圆的长半轴，\(b\) 是短半轴。
3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。
- 椭圆的面积 \(A = \pi a b\)。
4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
5. 椭圆的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 是焦点到中心的距离。
二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为右开口双曲线；\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 为上开口双曲线。
3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。
- 双曲线的面积无限大。
4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 - PF_2 = 2a\)。
5. 双曲线的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦点到中心的距离，且 \(e > 1\)。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎
抛物线椭圆双曲线知识点总结知乎抛物线、椭圆和双曲线是三种常见的二次曲线形状，它们在数学和物理学中具有重要的应用。
下面是对这三种曲线的知识点总结： 1. 抛物线：定义，抛物线是一个平面曲线，其定义为到一个定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比等于一个常数（离心率）。
方程形式，一般的抛物线方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
特点，抛物线是对称的，关于焦点和准线都具有对称性。
焦点和准线的位置和形状取决于抛物线方程中的参数。
2. 椭圆：定义，椭圆是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之和等于一定距离（长轴）的点的集合。
方程形式，一般的椭圆方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 是长轴和短轴的长度。
特点，椭圆是对称的，关于中心点具有对称性。
长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状和大小。
3. 双曲线：定义，双曲线是一个平面曲线，其定义为到两个定点（焦点）之差等于一定距离（距离焦点的距离）的点的集合。
方程形式，一般的双曲线方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 (y-k)^2/b^2 = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标，a 和 b 是与中心有关的参数。
特点，双曲线有两个分支，分别向外延伸。
焦点和中心之间的距离决定了双曲线的形状和大小。
这些是抛物线、椭圆和双曲线的基本知识点总结。
它们在数学中有广泛的应用，例如物体的运动轨迹、光学系统的焦点和镜面反射等。
深入了解这些曲线的性质和特点，对于数学和物理学的学习都具有重要意义。
一轮复习专题48 椭圆、双曲线、抛物线(知识梳理)
专题48椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）一、椭圆(一)椭圆的基本定义和方程1、椭圆的定义：设1F 、2F 是定点，P 为动点，则满足a PF PF 2||||21=+(a 为定值且||221F F a >)的动点P 的轨迹称为椭圆，符号表示：a PF PF 2||||21=+(||221F F a >)。
注意：当||221F F a =时为线段21F F ，当||221F F a <时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质定义方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ac y x c y x 2)()(2222=-++++标准方程12222=+b y a x (0>>b a )12222=+b x a y (0>>b a )一般方程122=+ny mx (0>m ，0>n ，n m ≠)推导方程22222b x ab y +-=(0>>b a )22222a x ba x +-=(0>>b a )范围][a a x ，-∈，][b b y ，-∈][b b x ，-∈，][a a y ，-∈图形焦点坐标焦点在x 轴上)0(1，c F -，)0(2，c F 焦点在y 轴上)0(1c F -，，)0(2c F ，对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)顶点)0(1，a A -、)0(2，a A 、)0(1b B -，、)0(2b B ，)0(1a A ，、)0(2a A -，、)0(1，b B 、)0(2，b B -轴长轴21A A 的长为：a 2(a 为长半轴)短轴21B B 的长为：b 2(b 为短半轴)离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率ace =，)10(，∈e ，e 越大越扁，e 越小越圆焦距：cF F 221=222c b a +=3、椭圆12222=+by a x (0>>b a )的图像中线段的几何特征(如图)：(1)a PF PF 2||||21=+，e PM PF PM PF ==2211，c a PM PM 2212||||=+；(2)a BF BF ==||||21，c OF OF ==||||21，2221||||b a B A B A +=+；(3)c a F A F A -==||||2211，c a F A F A +==||||1221。
(完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点
标准
方程
（焦点在 轴）
（焦点在 轴）
定 义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线 >0）交于 ，
则：（1） =
（2）
（3）通径长：
（4）焦点弦长
直线与抛物线的位置
抛物线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
切线
方程
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
椭圆上到焦点的最大（小）距离
最大距离为：
最小距离为：
相关应用题：远日距离
近日距离
椭圆的参数方程
（ 为参数）
（ 为参数）
椭圆上的点到给定直线的距离
利用参数方程简便：椭圆 （ 为参数）上一点到直线 的距离为：
直线和椭圆的位置
椭圆 与直线 的位置关系：
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
( )
( )
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
直线和双曲线的位置
双曲线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：
过双曲线上一点的切线
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
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左老师备战考高基础复习资料椭圆〔焦点在 x 轴〕〔焦点在 y 轴〕标准x 2y2y 2x2方程22 1(a b 0)1(a b 0)a b a 2b2第必然义：平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距离〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
M MF1MF22a 2a F1F2定义范围极点坐标对称轴对称中心焦点坐标离心率准线方程y yMF2MF1O F2x O xF1第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
yyM MF2MF1F2xF1xMx a y b x b y a(a,0)(0,b)(0, a)(b,0)x 轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为 2b原点O(0,0)F1 (c,0)F2 (c,0)F1 (0, c)F2 (0, c)焦点在长轴上， ca2b2；焦距： F1F22cec( 0 e 1), e2 c 2 a 2b2，a a 2ae 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。
xa2ya 2c c左老师备战考高基础复习资料准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：2a2 c极点到极点 A1〔 A2〕到准线 l 1〔 l 2〕的距离为a2ac准线的距离〕到准线 l2〔 l1〕的距离为a2极点 A1〔 A2ac焦点到焦点 F1〔 F2〕到准线l1〔l2〕的距离为a2cc准线的距离〕的距离为a2焦点 F1〔 F2〕到准线 l 2〔 l1cc椭圆上最大距离为： a c到焦点最小距离为： a c的最大相关应用题：远日距离 a c〔小〕距近期距离 a c离椭圆的x a cos 〔x b cos 〔参数方为参数〕为参数〕程y bsin y a sin椭圆上利用参数方程简略：椭圆x a cos0 的的点到y〔为参数〕上一点到直线 Ax By C b sin给定直|Aa cos Bb sin C|线的距离距离为： dA2B2椭圆 x 2y21与直线 y kx b 的地址关系：a 2b2直线和x2y21利用a2b2转变成一元二次方程用鉴识式确定。
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共渐近线 的双曲线 系方程
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l1 （ l2 ）的距离为 c a2
c
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a2 c
c
ybx a
(虚) 实
xb y a
(虚) 实
x2 a2
y2 b2
k
（k
0）
y2 a2
x2
b2
k（k
0）
直线和双 曲线的位
置
双曲线 x 2 y 2 1与直线 y kx b 的位置关系： a2 b2
x2
利用
a
2
y2 b2
1转化为一元二次方程用判别式确定。
y kx b
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径： AB y2 y1
y a，xR
对称轴
x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
对称中心
原点 O(0, 0)
焦点坐标
F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c)
焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2c
F2 (0, c)
顶点坐标 离心率
（ a ,0） ( a ,0)
(0, a ,) e c (e 1)
x
F1
F2
yy F2
xx
P F1
第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 e 1时，动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线，常数 e （ e 1）叫做双曲线的离心率。
P
yy
P
x
x
F1
F2
yy P F2
xx P
F1
范围
x a， yR
关于 x 轴对称
关于 y 轴对称
p
( ,0)
2
( p ,0) 2
p
(0, )
2
焦点在对称轴上
(0, p ) 2
O(0, 0)
e =1
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到
准线的
p
距离
2
焦点到
准线的
p
距离
设直线过焦点 F 与抛物线 y 2 2 px( p >0）交于 A x1, y1 ，B x2, y2
，
e 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。
x a2 c
y a2 c
准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离： 2a 2 c
顶点到准 线的距离
顶点
A1
（
A2
）到准线
l1
（
l2
）的距离为
a2 c
a
顶点
A1
（
A2
）到准线
l2
（
l1
）的距离为
a2 c
a
焦点到准 线的距离
焦点
F1
（
F2
）到准线
l1
（
l2
a
(0， a )
准线方程
x a2 c
y a2 c
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a 2 c
顶点到准 线的距离
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l1 （ l2 ）的距离为 a a 2
c
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a 2 a
c
焦点到准 线的距离
感谢参与知识体系表和基础题整理的老师及这些老师所在教研组的辛勤工作！
04-05 年度参与工作了老师：
三中：艾 梅 铁三中：付春青
鲁迅中学：任成波 56 中：龚 萌
154 中：史环宇 214 中：王 丹 原子能院中学：刘峥嵘 7 中：计德贵
39 中：左福林 42 中：赵国文
31 中：史东辉 等。
04-05 年度参与工作了老师：王丹、薛超、张蓉、张燕化、王屹威、朱雪晨、龚
y kx b
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径： AB y2 y1
过椭圆上 一点的切
线
x0 x y0 y 1 利用导数 a2 b2
y0 y a2
x0 x b2
1
利用导数
二．双曲线
标准方程（焦点在 x 轴）
双曲线
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
离
利用参数方程简便：椭圆
x y
a b
cos sin
（
为参数）上一点到直线
Ax By C 0 的距离为： d |Aa cos Bb sin C| A2 B2
椭圆 x 2 a2
y2 b2
1与直线 y kx b 的位置关系：
直线和椭 圆的位置
x2
利用
a2
y2 b2
1 转化为一元二次方程用判别式确定。
焦点弦 的几条
性质
则：（1） x1 x2 =
p2 4
（2） y1 y2 p 2
（3）通径长： 2 p
y A x1, y1
oF
x
B x2, y2
（4）焦点弦长 AB x1 x2 p
直线与 抛物线 的位置
切线 方程
抛物线 y 2 2 px 与直线 y kx b 的位置关系：
y kx b
标准方程（焦点在 y 轴） y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数
定义
（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦
点，两焦点的距离叫焦距。 M MF1 MF2 2a2a F1F2
P
yy
x
盟、李召江、贾雨桐 等教师。
一．椭圆
（焦点在 x 轴）
标准
方程
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
（焦点在 y 轴）
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的和等于定长（定长
大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，
两定点间距离焦距。M MF1 MF2 2a2a F1F2
过双曲线 上一点的
切线
x0 x a2
y0 y b2
1
或利用导数
y0 y x0 x 1 或利用导数 a2 b2
三．抛物线
y2 2 px ( p 0)
抛
y l
物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线 OF
y 2 2 px ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
y l
xF O x
y
F
O
x
l
y l
O x
F
定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M 到直线 l 的距离}
范围 对称性
焦点
顶点 离心率
准线 方程
x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0
y
M
F1 O
F2
x
y
F2
M
O
x
F1
定 义 第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭 圆的焦点，定直线是椭圆的准线。 y
y
M
M
F2
M
F1
F2
x
x
F1
M
范围
x a y b
x b y a
顶点坐标
(a,0) (0, b)
(0,a) (b,0)
对称轴
x 轴， y 轴；长轴长为 2a ，短轴长为 2b
对称中心
原点 O(0, 0)
焦点坐标
F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
焦点在长轴上， c a2 b2 ； 焦距： F1F2 2c
离心率 准线方程
e c (0 e 1) a
, e2
c2 a2
a2 b2 a
）的距离为
a2 c
c
焦点
F1
（
F2
）到准线
l2
（
l1
）的距离为
a2 c
c
椭圆上到 焦点的最 大（小）
距离
最大距离为： a c 最小距离为： a c 相关应用题：远日距离 a c
近日距离 a c
椭圆的参 数方程
x
y
a b
cos sin
（
为参数）
x
y
b cos a sin
（
为参数）
椭圆上的 点到给定 直线的距
利用
y
2
2 px
转化为一元二次方程用判别式确定。
y0 y p(x x0 ) y0 y p(x x0 ) x0 x p( y y0 ) x0 x p( y y0 )