高中数学双曲线抛物线知识点总结
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线
高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by a x ，因式分解得到0x ya b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
(完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点
标准
方程
（焦点在 轴）
（焦点在 轴）
定 义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线 >0）交于 ，
则：（1） =
（2）
（3）通径长：
（4）焦点弦长
直线与抛物线的位置
抛物线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
切线
方程
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
椭圆上到焦点的最大（小）距离
最大距离为：
最小距离为：
相关应用题：远日距离
近日距离
椭圆的参数方程
（ 为参数）
（ 为参数）
椭圆上的点到给定直线的距离
利用参数方程简便：椭圆 （ 为参数）上一点到直线 的距离为：
直线和椭圆的位置
椭圆 与直线 的位置关系：
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
( )
( )
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
直线和双曲线的位置
双曲线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：
过双曲线上一点的切线
双曲线抛物线知识点总结
标准图
参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
几何性质
开口方向
右
左
上
下
焦点位置
X正
X负
Y正
Y负
焦点坐标
准线方程
范围
对称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
离心率
通 径
2p
焦半径
焦点弦长
引申
焦点弦长 的补充，
以 为直径的圆必与准线 相切
若 的倾斜角为 ，
若 的倾斜角为 ，则
双曲线知识点总结
定义
在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线
标准方程
焦点在x轴
焦点在y轴
－ ＝1(a>0，b>0)
－ ＝1(a>0，b>0)
标准图
几
何
性
质
1.范围
x≥a或x≤－a
y∈R
x∈R
y≤－a或y≥a
2.对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
3.顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
4.渐近线
y＝± x
y＝± x
5.离心率
6.实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
焦点三角形
1.余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F1F21的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：|MF,| |MF2| 2a 2a 2c将定义中的常数记为2a,贝①.当2a卩人时，点的轨迹是椭圆_____________双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：MF t - MF22a 2a 2c将定义中的常数记为2a，贝①.当2a FE时，点的轨迹是双曲线_____________________ ②•当2a |吋2时，点的轨迹是两条射线③.当2a卩占时，点的轨迹不存在焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mn 02 2与双曲线仔笃1共焦点的双曲线系方程可设为:a b2y1 ba kb kx22 2 2 2与双曲线笃 耸1共渐近线的双曲线系方程可设为： $ 爲a ba b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线I （I 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做AB x , x 2 p -2^（为弦AB 的倾斜角）sin直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A （x i ,y i ）,B x 2,y 2，则椭圆（或双曲线、抛 物线）的弦长公式：AB x , x 2| —k 2J x , x 2 2 4%卷—k22 2 2 2与椭圆負b 2 1共焦点的椭圆系方程可设为：和冷1 k b 2标准方程2y 2px (p o )图形焦点坐标(p ,0) 2 (匕0) 2 （0月2(0,上) 2准线方程x& 2x E 2 y 舟 yi范围x 0, y R x 0, y Ry 0,x Ry 0,x R对称性 关于x 轴关于y 轴顶点坐标 (0,0)焦半径M X o ,y o|MF | X 。
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双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ<)的点的轨迹。
方程 22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±(0,)c ±渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率 (1)ce e a => (1)ce e a=> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2a x c =±2a y c=±a 、b 、c 的关系 222c a b =+考点题型一 求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠。
2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12,离心率为54; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。
_x_ O_y_x_ O_y解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54。
∴b=6,ｃ=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2)∵双曲线经过点M(0,１2），∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。
又2c ＝26，∴c ＝13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
(３)设双曲线的方程为2222x y a bλ-=(3,23A -在双曲线上 ∴(22331916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1,０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率ｅ的取值范围。
解:直线l 的方程为1x ya b-=，级bx ＋ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离122d a b=+,同理得到点(－1,0）到直线l 的距离222d a b=+,122abs d d c=+==。
由s ≥45c ,得2ab c ≥45c ,即252c ≥。
于是得22e ≥,即42425250e e -+≤。
解不等式，得2554e ≤≤。
由于e ＞1>0，所以e的取值范围是2e ≤≤ 【例３】设F 1、F ２分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使1290F AF ∠=,且︱ＡＦ1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。
解:∵1290F AF ∠= ∴222124AF AF c +=又︱AF 1︱=３︱AF 2︱，∴12222AF AF AF a -==即2AF a =, ∴222222212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，∴2c a ==即e =。
题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路:1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组,即2222220Ax By C b x a y a b++=⎧⎨-=⎩,对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长:2121l x x y y =-=- 【例4】如图,已知两定点12(F F ,满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线Ｅ,直线y=ｋx-1与曲线E 交于A、B 两点，如果AB =且曲线E 上存在点Ｃ，使OA OB mOC +=,求(1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程;（３)m 的值和△ＡB Ｃ的面积Ｓ。
解：由双曲线的定义可知,曲线E是以12(F F 为焦点的双曲线的左支,且c =a=1，易知1b ==。
故直线Ｅ的方程为221(0)x y x -=<, (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),由题意建立方程组22y=kx-1x -y =1⎧⎨⎩消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。
又已知直线与双曲线左支交于两点Ａ、B ，有22212212210,(2)8(1)0,20,120.1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩解得1k <-。
又∵12AB x x =-===依题意得=，整理后得422855250k k -+=， ∴257k =或254k =。
但1k <<-，∴k =。
故直线ＡＢ的方程为102x y ++=。
（3)设(,)c c C x y ,由已知OA OB mOC +=，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=,∴1212(,)(,)(0)c c x x y y x y m m m++=≠。
又12221kx x k +==--212122222()22811k y y k x x k k +=+-=-==--，∴点8)C m。
将点C 的坐标代入曲线Ｅ的方程,的2280641m m-=， 得4m =±，但当4m =-时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。
∴4m =,C点的坐标为(2)，C 到A13=, ∴△ABC的面积1123S =⨯=一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。
（一） 知识归纳(二)典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2y mx =或2(0)x my m =≠。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1)抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；(２）经过点Ａ(2，-3);（3)焦点在直线x －2y －4=０上;（4)抛物线焦点在ｘ轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱A Ｆ︱＝５．解：（１)双曲线方程可化为221916x y -=，左顶点是（-3,0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32p-=-, ∴ｐ=6.∴方程为212y x =-（2)解法一：经过点Ａ(2,-3）的抛物线可能有两种标准形式: y 2=２px 或ｘ２＝-2py .点A (２,-３）坐标代入，即９＝4p ，得2ｐ=29 点A （2，-3)坐标代入x 2＝-2p ｙ,即４=6p ，得2p ＝34 ∴所求抛物线的标准方程是y ２＝29x 或ｘ2=－34ｙ 解法二：由于A （２，-３）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx =或2x ny =，代入A 点坐标求得ｍ=29,n=-34, ∴所求抛物线的标准方程是ｙ２＝29x 或x 2＝-34ｙ(3）令x=0得y=-2,令ｙ＝0得x=4,∴直线x-２y-４=0与坐标轴的交点为(０，-2)，(4,0)。
∴焦点为（０，-２)，(4，０)。
∴抛物线方程为28x y =-或216y x =。
（4)设所求焦点在ｘ轴上的抛物线方程为22(0)y px p =≠，A （m ，-3)，由抛物 线定义得p 52AF m ==+, 又2(3)2pm -=， ∴1p =±或9p =±,故所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±。
题型二 抛物线的几何性质方法思路:1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线ｌ的距离处理,例如若P(x 0，y 0)为抛物线22(0)y px p =>上一点,则02p PF x =+。
2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ,22(,)B x y ,则弦长12AB x x p =++，12x x +可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例６】设Ｐ是抛物线24y x =上的一个动点。
（1） 求点Ｐ到点A(-1，１)的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值; （2） 若B(3，2),求PB PF +的最小值。
解:(1）抛物线焦点为F(１,0），准线方程为1x =-。
∵P 点到准线1x =-的距离等于Ｐ点到F(１，０)的距离，∴问题转化为：在曲线上求一点P,使点Ｐ到Ａ(-1，1)的距离与P 到Ｆ(1，0）的距离之和最小。
显然P 是ＡF 的连线与抛物线的交点, 最小值为5AF =（2）同理PF 与Ｐ点到准线的距离相等，如图： 过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。
∵11PQ PF =， ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。
∴PB PF +的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例７】已知抛物线y=ｘ2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。
分析一:要求AB 中点纵坐标最小值,可求出y １+ｙ2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y 1、y ２是梯形ＡBCD 的两底,这样使得中点纵坐标ｙ成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一:设A(x 1,y １)，Ｂ(ｘ２,y 2），ＡＢ的中点为Ｍ(x,y)由抛物线方程ｙ=x 2知焦点1F(0,)4，准线方程14y =-,设点Ａ、Ｂ、M 到准线的距离分别为|A Ｄ1｜、|B Ｃ1｜、|M Ｎ|,则|AD 1|＋|BC 1|＝2|ＭN|,且1MN =2(y+)4,根据抛物线的定义，有|AD １｜=|ＡyxAOPFF ｜、|B Ｃ1｜=|B Ｆ|,∴12(y+)4＝|A Ｆ|＋｜BF|≥|A Ｂ|=2, ∴12(y+)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34。