(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
抛物线知识点汇总及考点例题
抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。
2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。
考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
20XX高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
-----------------------------------精品考试资料---------------------学资学习网-----------------------------------一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；时，）当k≠0（2，直线与抛物线相交，两个不同交点；0 Δ＞直线与抛物线相切，一个切点；Δ=0，，直线与抛物线相离，无公共点。
0Δ＜（3）（不一定）则直线与抛物线必相切吗?若直线与抛物线只有一个公共点,二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法抛物线，直线：①联立方程法：以及，还可进一步求出，，则有,设交点坐标为,在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.的弦长相交弦AB或，b. 中点,②点差法：，代入抛物线方程，得设交点坐标为，将两式相减，可得a.在涉及斜率问题时，b.，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案到抛物线焦点距离之）的距离与点P到点Q（2，－11、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P1）。
（,－的坐标为和取得最小值时，点P到该抛物线准线的距离之和）的距离与PP到点（0，22、已知点P是抛物线上的一个动点，则点。
的最小值为、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积3。
为。
4、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为，垂足为，、抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，5。
则的面积是。
6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为。
、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为7。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必及准线l 相切假设AB 的倾斜角为α，那么22sin pAB α=假设AB 的倾斜角为α，那么22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线及抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当0时，直线l 及抛物线的对称轴平行，有一个交点； 〔2〕当k ≠0时，Δ＞0，直线l 及抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 及抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 及抛物线相离，无公共点。
（3）假设直线及抛物线只有一个公共点,那么直线及抛物线必相切吗〔不肯定〕 二． 关于直线及抛物线的位置关系问题常用途理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，那么有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 1. 相交弦的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，假设直线l 及抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，那么有px p x p x x k AB 0021222==+=〔留意能用这个公式的条件：1〕直线及抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的间隔 及点P 到抛物线焦点间隔 之和获得最小值时，点P 的坐标为 。
抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线经典结论和例题抛物线)0(22>=p pxy)0(22>-=p pxy)0(22>=p pyx)0(22>-=p pyx定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
{MFM=点M 到直线l 的距离}范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈,0x R y ∈≥,0x R y ∈≤对称性关于x 轴对称关于y 轴对称焦点(2p,0) (2p -,0) (0,2p ) (0,2p -) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O离心率 e =1准线 方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准2p xyO lFxyOl FlF x y Oxy O l F线的距离 焦点到准线的距离p焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++12()y y p ++12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ ox ()22,B x y Fy ()11,A x y切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)
则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义 范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b
y
2
2
px
k 2x22源自kbp)x
b2
0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及标准答案
抛物线专题复习•直线与抛物线的位置关系，消y得：1）当k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k丰0时，△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。
3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线，(p 0)联立方程法：y kx b 2 2 22k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x「y i) , B(x2,y2),则有0 ,以及为X2,%X2 ,还可进一步求出2 2y y2kx.( b kx2 b k(x1x2) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k X j X2kb(X j x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长AB v 1 k 2|% x 2| 』k 2x 2)2 4x 1x 2 4l __k 2或 AB y 1 召 y i y 2抛物线练习1、 已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，— 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ___________2、 已知点P 是抛物线y 2 2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为 ___________23、 直线y x 3与抛物线y 4x 交于A, B 两点，过代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 __________2 ULWo4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°， uuu 则OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ,经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，1「2心1 y 2)2 4y 』2ki 2 a.5AK 丄l ，垂足为K ,则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK| J 2|AF |，贝U AFK的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为4 52&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0)则该抛物线的方程是 ___________ 。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题与答案
一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
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焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出ox ()22,B x yFy ()11,A x ybx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
（41,－1） 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 。
3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 。
484、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 。
5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是 。
6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为 。
87、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。
8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。
9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 。
28y x =10、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 。
4311、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 。
3212、若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 。
k =0,-1<b <113、已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）C A.3 B.4 C.32 D.4214、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）ＣＡ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·15、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=。
(1) 证明线段AB 是圆C 的直径;(2)当圆C 的圆心到直线x-2y=0时，求p 的值。
解： (1)证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅=，设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅=，即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，故线段AB 是圆C 的直径。
证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠--， 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，故线段AB 是圆C 的直径。
证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-， 展开并将(1)代入得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，故线段AB 是圆C 的直径(2)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>，22121224y y x x p∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=， 1212x x y y ∴⋅=-⋅，22121224y y y y p∴-⋅=，12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠，2124y y p ∴⋅=-， 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+， 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-， 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2|y p y d +-===22=当y=p 时,d=，2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>，22121224y y x x p∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅， 22121224y y y y p ∴-⋅=，12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠，2124y y p ∴⋅=-，2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+，所以圆心的轨迹方程为222y px p =-，设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0,则2m =±，因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为522220(2)2(3)x y y px p--=⎧⎨=-⎩ 将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=，2244(22)0p p p ∴∆=--=，02.p p >∴=解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==>，22121224y y x x p∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅， 22121224y y y y p ∴-⋅=，12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠，2124y y p ∴⋅=-，2212122221|()()|y y y y d +-+∴==22=， 当122y y p +=时,d5=，2p ∴=. 16、已知椭圆C 1:22143x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(2)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x=1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p . 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上. （2）解法一 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438kk +.因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且1212()()22p pAB x x x x p =+++=++.从而121214()2x x p x x ++=-+.所以12463px x -+=，即22846343k p k -=+. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法二 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)1(38)(2x k y x m y 消去y 得x m k kx 38)(2=--. ……①因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以)132(-=k m ，即k m 31-=.代入①有x k kx 38)32(2=-.即094)2(342222=++-k x k x k . ……②设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,则x 1,x 2是方程②的两根，x 1＋x 2＝223)2(4kk +.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……③由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22438kk +.从而223)2(4k k +＝22438k k +. 解得6,62±==k k 即.因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=.即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 解法三 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）,因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又是过C 2的焦点),32(m F '，所以)212()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=. 即916)4(3221=-=+p x x . ……① 由（Ⅰ）知21x x ≠，于是直线AB 的斜率m m x x y y k 313201212=--=--=， ……② 且直线AB 的方程是)1(3--=x m y , 所以32)2(32121mx x m y y =-+-=+. ……③ 又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1243124322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--⋅+++x x y y y y x x . ……④将①、②、③代入④得322=m ，即3636-==m m 或. 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y . 17、如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。